Segunda Parte: Producto escalar de vectores

Transcripción

1 Segnda Parte: Prodcto escalar de ectores Constrcciones ectores En el diseño del techo de na galería se emlea n semicílindro, qe se sostiene a traés de igas qe se cran en distintos ntos sobre el techo. En la figra, se mestra n corte transersal del diseño: C B A r O E Por raones de constrcción se necesita determinar el alor de la medida de los ánglos qe srgen en los ntos donde se sostiene cada ar de igas: AB E, AC E A E. Cál es la medida de estos ánglos? Introdcción Recordemos qe en la rimera arte de la resente nidad, hemos lanteado como sitación real qe necesita de n modelo matemático ara ser elicada, el caso de dos intores qe deslaan n escritorio ara oder intar na ared. Ahora, sigiendo con el roblema lanteado, el escritorio se encentra donde qerían llearlo, la ared a intar esta libre ero Ramón Simón están cansados se los esccha decir Qe trabajo!. Si, efectiamente, realiaron trabajo al deslaar el escritorio e intitiamente, odemos er qe canto maor sea la fera alicada el trabajo realiado será maor, así como también canto maor sea el deslaamiento maor será el trabajo. Si las magnitdes qe interienen en el caso roesto: fera deslaamiento feran magnitdes escalares, n ben modelo físico matemático ara definir el trabajo (qe siemre es na magnitd escalar) seria el sigiente: el deslaamiento realiado. L = F (1), donde F es la fera alicada 1

2 Lamentablemente, en el ejemlo ni F ni son magnitdes escalares, así qe si admitimos la definición (1), debemos soner qe eiste na oeración entre ectores qe dé como resltado n escalar. Esta sosición es álida el modelo matemático qe resele el caso se denomina: rodcto escalar entre ectores. En esta sección del módlo, estdiaremos el rodcto escalar entre ectores Proósitos En consecencia, será mestra intención qe cando finalice la lectra de la segnda sección de la nidad: Vectores, eda dar resesta a las sigientes regntas: Cáles son las formas de cálclo del rodcto escalar entre ectores? Qé roiedades tiene el rodcto escalar entre ectores? e qé manera se ede hallar la medida del ánglo qe definen dos ectores considerados con origen en n mismo nto? Cómo se determina si dos ectores son erendiclares? Cómo se determina la roección escalar el ector roección ortogonal de n ector sobre la dirección de otro ector? A qé se denomina comonente ortogonal? cómo se cálcla la misma? A medida qe aance en la lectra, recerde estas regntas a qe ellas son la gía de s estdio. Prodcto escalar Sean dos ectores, sea en ánglo entre, entonces el rodcto escalar entre se define como el rodcto entre las normas de los ectores el coseno del ánglo determinado entre ellos. En símbolos: = cos Obseración: Se entiende or el ánglo entre los ectores, al ánglo qe satisface 0 π Por ejemlo:

3 Ejemlo: Sean los ectores = (1;1;0) 0 = (0;0;0), los ersores i = (1;0;0) k = (0;0;1), entonces: 0 = 0 cos = 0, esto qe: 0 = 0 =..cos0 = i =.1.cos 45 = 1 i k = 1.1.cos 90 = 0 i i = 1.1.cos 0 = 1 Ejercicio 1. Obtener la incógnita qe se ide en cada caso: a) la norma del ector si: = 1, = = 30 b) el ánglo entre los ectores si: = 3, = = 3 Proiedades del rodcto escalar entre ectores 1. Si = 0 ó = 0 entonces el rodcto escalar entre es: = 0. El rodcto escalar entre ectores es conmtatio: = 3. El rodcto escalar entre ectores es distribtio resecto de la sma de ectores: ( + w) = + w 4. Etracción de n escalar del rodcto escalar entre ectores: λ( ) = (λ ) (λ ) con λ R = 5. Si los ectores son ortogonales entonces: = 0 6. Si el rodcto escalar entre es nlo entonces algno de los ectores es el ector nlo o los ectores son ortogonales. En símbolos: = 0 ( = 0 o = 0) ó ( ) 7. El rodcto escalar de n ector or si mismo es igal al cadrado de la norma del ector: = Consecencia roiedad 7: La roiedad 7 ermite ennciar qe la norma de n ector es igal a la raí cadrada del rodcto escalar del ector or si mismo. En símbolos: = Usando la definición dada del rodcto escalar demestre las roiedades (5) (7) 3

4 Ejemlos: Obtener la norma del ector a si sabe qe: a a = 10 Por roiedades del rodcto escalar sabemos qe: a a = a entonces si a a = 10 reslta qe: a = 10. Por lo tanto: a = 10 Usando roiedades del rodcto escalar, redcir a na mínima eresión: a ( a + b) + a ( a b) Alicando roiedad distribtia del rodcto escalar resecto de la sma de ectores: a ( a + b) + a ( a b) = a a + a b + a a a b Cancelando alicando roiedad del rodcto escalar de n ector or si mismo, reslta qe: a ( a + b) + a ( a b) = a a + a b + a a a b = a a = a Por lo tanto: a ( a + b) + a ( a b) = a Ejercicios. Obtener la norma del ector a no nlo, sabiendo qe a es erendiclar al ector (a b), la norma del ector b es 6 qe el ánglo entre a b es: Encontrar la norma del ector b sabiendo qe el ector (a b) es erendiclar al ector (a+b) qe la norma del ector a es emostrar qe: Si a b a + b = a + b Fórmla del rodcto escalar entre ectores en fnción de ss comonentes Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k entonces el rodcto escalar entre es: = + + Es decir, el rodcto escalar entre dos ectores es igal a la sma de los rodctos entre comonentes homólogas. 4

5 emostración: Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k entonces el rodcto escalar entre es: = ( i + j + k) ( i + j + k) = Alicando roiedad distribtia del rodcto escalar resecto de la sma de ectores, obtenemos: = ( i) ( i) + ( i) ( j) + ( i) ( k) + + ( j) ( i) + ( j) ( j) + ( j) ( k) + + ( k) ( i) + ( k) ( j)+ ( k) ( k) = Notemos qe seis de los nee términos se anlan, es los ectores qe interienen son ortogonales. Restan tres términos, en los cales alicando la roiedad de etracción de n escalar del rodcto escalar de ectores, reslta qe: = ( ) (i i) + ( ) (j j) + ( ) (k k) = Alicando la roiedad del rodcto escalar de n ector or si mismo, tendremos qe: = ( ) i + ( ) j + ( ) k = Y or ser i, j k ersores reslta qe: = + + Por lo tanto: = + + qdl.# Ejemlos: Sean los ectores = (1;1;0) = (1;7;) entonces: = ( 1;1;0) (1;7;) = = 1+ 7 = 8 Sean los ectores w = ( 3;1) = (7;) entonces: w = ( 3;1) (7;) = = 1+ = 19 5

6 Ejercicios 5. Calclar el rodcto escalar entre los ectores qe se dan a continación: a) = i + 4 j + 5 k = 6 i + 6 j + 6 k b) = 3i + 4 j = 4i + 3j 6. eterminar los ectores a R 3 tal qe: a (1;1;0) = 0, a (0;0;1) = 3 qe: a = 4 Cálclo del ánglo entre ectores Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k entonces el ánglo entre es: = arccos emostración: atos: = i + j + k = i + j + k Incógnita: : ánglo entre Entonces, de la definición de rodcto escalar tenemos: = cos Oerando, reslta: cos =. Y or definición de fnción inersa del coseno de n ánglo: = arccos. Lego, alicando la fórmla del rodcto escalar entre ectores en fnción de ss comonentes alicando la fórmla de la norma de n ector, reslta: + + = arccos qdl.# Ejemlo: Hallar el ánglo determinado entre los ectores = (1;1;1) = (0;0;3). Para hallar el ánglo, calclamos: = ( 1;1;1) (0;0;3) = = 3 6

7 = = 3 = = 3 3 Lego: = arccos 54, Ejercicio 7. Obtener la medida del ánglo qe se determina entre los sigientes ares de 1 ectores: a) = ;; 4 1 = (0;1;1) b) a = (1;1;4) b = ( 5 ;0; 5) c) w = (1; 7) s = (3;4) 8. Utiliando oeraciones entre ectores, comrobar qe los ntos A(4;;3), B(4;5;6) C(14;6; 7) determinan n triánglo rectánglo. 9. Hallar n ector aralelo al lano coordenado () de norma qe sea erendiclar al ector a = ( 1 ; ; 4 ) Proecciones Ortogonales Proección escalar Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k Al roectar ortogonalmente el ector sobre la dirección del ector se obtiene n segmento tal como se obsera en las figras 1. N Figra 1 Figra O M O Se denomina: roección escalar del ector sobre la dirección del ector a la longitd del segmento asociado a n signo: ositio o negatio, qe indicará si la roección coincide o no con el sentido qe tiene el ector sobre el cal roectamos ortogonalmente. 7

8 Cómo determinar? Consideremos la figra 1, en ella el triánglo NOM es rectánglo en M, or lo tanto: cos = entonces: =.cos ( I ) Así obtenemos qe: la roección del ector sobre la dirección del ector es igal a la norma del ector or el coseno del ánglo comrendido entre los ectores. Pero, or otra arte, si comaramos (I) con la fórmla del rodcto escalar entre ectores, tendremos: = cos (II) ro esc de sobre Entonces, oerando en (II) reemlaando or los datos reslta: ro esc = = Ejemlos: Calclar la roección escalar del ector a = (0; 1;1) sobre la dirección del ersor j = (0;1;0) (0; 1;1) (0;1;0) = ro esc j a = = = 1 1 Calclar la roección escalar del ersor i = (1;0;0) sobre la dirección del ersor k = (0;0;1) (1;0;0) (0;0;1) = ro esc k i = = Calclar la roección escalar del ector = (1;1;1) sobre la dirección del ector = (1;1;0) Obseremos qe: (1;1;1) (1;1;0) = ro esc = = = 1 = La roección escalar es n número real negatio, cero o ositio. La roección escalar es ositia cando el ánglo entre los ectores es agdo. La roección escalar es cero cando los ectores son ortogonales. La roección escalar es negatia cando el ánglo entre los ectores es obtso. 0 8

9 En todos los casos, la longitd de la roección escalar es el alor absolto de la roección escalar. En resmen: La roección escalar del ector sobre la dirección del ector es: ro esc = La roección escalar del ector sobre la dirección del ector es: En general: ro esc = La roección escalar de n ector sobre la dirección de otro ector, es el cociente entre el rodcto escalar de los ectores la norma del ector sobre el qe roectamos ortogonalmente. Es conmtatia la roección escalar? Analicemos n ejemlo: Sean los ectores: = (1;1;1) = (1;1;0) Calclemos : roección escalar del ector sobre la dirección del ector (1;1;1) (1;1;0) = ro esc = = = Calclemos q: roección escalar del ector sobre la dirección del ector Claramente: q (1;1;1) (1;1;0) q = ro esc = = Por lo tanto, la roección escalar no es... 3 Ejercicios 10. En cada caso, hallar la roección escalar del ector sobre la dirección del ector a) = 4 j + 5 k = (0;0;) b) = 4 j 5 k = (0;0;) 9

10 c) = mi + mj + mk = (m;m;0) con m>0 d) = i 3 k = (3;7;) e) = 3 i + 4 j = (8;) f) = ( 3;) = (1;1) En los casos (e) (f) comrebe gráficamente Vector roección Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k Hemos analiado como determinar la roección escalar del ector sobre la dirección del ector, ahora nos interesa definir el ector : ector roección del ector sobre la dirección del ector tal como se obsera en las figras 3 4. Figra 3 O O Cómo hallar el ector roección:? Por definición, la roección escalar es n número real qe indica: la longitd de la roección ortogonal de n ector sobre la dirección de otro el sentido en qe se efectúa la roección, or lo tanto, ara transformar a esta magnitd escalar en na magnitd ectorial es necesario incororar la característica de dirección. Figra 4 Obseremos qe, tanto en la figra 3 como en la figra 4, la dirección del ector roección coincide con la dirección del ector sobre el qe roectamos ortogonalmente. Entonces si mltilicamos la roección escalar or el ersor asociado al ector sobre el qe roectamos ortogonalmente obtendremos las comonentes del ector roección. Esto es: = ector ro =. (III) Recordando qe: = ro esc = qe: 1 = al reemlaar en (III) obtenemos: = ector ro = 1 ersor (IV) 10

11 Oerando en la eresión (IV), reslta qe: El ector : ector roección del ector sobre la dirección del ector es: = ector ro = Ejemlo: Calclar el ector roección del ector = (1;1;1) sobre la dirección del ector = (;;0) Ejercicio = ro esc = (1;1;1) (;;0) ( ) (;;0) = ( ) 8 4 (;;0) = (1;1;0) 11. En cada caso, hallar el ector roección del ector sobre la dirección del ector a) = 4 j + 5 k = (0;0;) b) = 4 j 5 k = (0;0;) c) = mi + mj + mk = (m;m;0) con m>0 d) = j 3 k = (0;3;) e) = 3 i + 4 j = (8;) f) = ( 3;) = (1;1) En los casos (e) (f) comrebe gráficamente Comonente ortogonal Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k Hemos analiado como determinar el ector : ector roección del ector sobre la dirección del ector, ahora nos interesamos en el roblema de obtener la comonente ectorial del ector ortogonal a la dirección del. Este será el ector q qe se obsera en las figras 5 6. q O Figra 5 Notemos qe en ambas figras se cmle qe: q Figra 6 O = + q es decir: el ector es la sma del ector roección de sobre la dirección del ector la comonente de ortogonal a la dirección del ector ) Entonces: q = com ortog = 11

12 Recordando qe: = ector ro = reslta qe la comonente de ortogonal a la dirección del ector es: q = com ortog = Ejemlo: Calclar la comonente de = (1;1;1) ortogonal a la dirección del ector = (;;0) En rimer lgar debemos hallar el ector roección del ector sobre la dirección del ector, entonces: = ro esc = (1;1;1) (;;0) ( ) (;;0) = ( ) 8 4 (;;0) = (1;1;0) Lego: la comonente de ortogonal a la dirección del ector será: q = es decir: q = (1;1;1) (1;1;0) = (0;0;1) Ejercicio 1. En cada caso, hallar la comonente del ector ortogonal a la dirección del ector a) = 4 j + 5 k = (0;0;) b) = 4 j 5 k = (0;0;) c) = mi + mj + mk = (m;m;0) con m>0 d) = j 3 k = (0;3;) e) = 3 i + 4 j = (8;) f) = ( 3;) = (1;1) En los casos (c) (d) comrebe gráficamente. Comrobar, en cada caso qe, la comonente del ector ortogonal a la dirección del ector es erendiclar a los ectores roección hallados en el ejercicio 11. Software Mathematica Para realiar el rodcto escalar de ectores se emlea el comando:. Ejemlo: Calclar el rodcto escalar entre los ectores: = ( ;3;5 ) w = ( 5; 7;0 ) 1

13 0< Ingresamos: 8, 3, 5<.85, - 7, Ejectamos intro del teclado nmérico obtenemos el alor del rodcto escalar - 11 Atoealación: Prodcto escalar de ectores 1. Elicar orqé la sigiente eresión carece de sentido: ( ) w 1 1. emostrar qe: + = Sean los ectores: = (1; α; ) = (1;1;0). eterminar α R tal qe: a) el ánglo entre sea 45 b) sean erendiclares 4. emostrar qe: : ector roección del ector sobre la dirección del ector es erendiclar al ector q: comonente del ector ortogonal a la dirección del ector. 5. Resoler la sitación lanteada inicialmente en Constrcciones Vectores 6. Analiar si las sigientes afirmaciones son erdaderas o falsas. En caso de ser erdadera, demostrar en caso de ser falsa ofrecer n contraejemlo adecado. a) Si ro esc k a = ro esc i a entonces a (k i) b) Si ( ) ( + ) entonces = 7. Los tres ánglos de cierto ector nitario son igales, estando s alor entre Cáles son las comonentes de dicho ector? 8. Encontrar las comonentes del ector w = + R si se indica el módlo de cada ector el ánglo director de cada ector resecto del eje de abscisas en sentido ositio: = 4, α = 0, = β π =. 3 13

14 Resestas de las actiidades 1. a) 4 3 b) π = 4 4. Conslte con s rofesor la demostración a) 66 b) 0 6. a = ( 6 ; 6 ; ) ó a = ( 6 ; 6 ; ) 7. a) π = b) 4 π = c) 6 8. El triánglo es rectánglo en en értice A ; ; ó 0 ; ; π = 4 m a) 5 b) 5 c) d)0 e) a) = (0;0;5) b) = (0;0; 5) c) = (m;m;0) d) = (0;0;0) e) = ; d) = ; a) q = (0;4;0) b) q = (0;4;) c) q = (0;0;m) d) q = (0;; 3) e) q = 13 5 ; d) q = 5 5 ; f) Resestas de la atoealación eberá entregar la resolción de los ejercicios ara ser corregidos or s rofesor. Bibliografía Anton, H. Introdcción al Álgebra lineal.º Edición. Limsa. Méico, 000. Nakos, G. Joner,. Álgebra lineal con alicaciones. Thomson editores. Méico, La,. Álgebra lineal ss alicaciones. º Edición. Addison Wesle Longman. Méico,