E-Book ISBN Fecha de catalogación: 19/12/2014.

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1 E-Book ISBN Fecha de catalogación: 9//04.

2 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 INTERPRETACIÓN DE LA PORTADA DE LA SERIE DIDACTICA Nº 7 El fondo reresenta na de las cras del matemático italiano Gisee Peano El rostro enmarcado en n cono circlar es la gran cientifica Hiatia de Alejandría (55-45), rimera mjer matemática de la qe tenemos n conocimiento razonablemente segro detallado, qe estdió las cónicas de Aolonio ( Aolonio de Perga era contemoráneo de Arqímedes 86 a. C. - a. de J.C.). Cónicas de Aolonio

3 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 INDICE I.-BREVE RESEÑA HISTORICA 8 I..-Inicios del Álgebra 8 I..-Períodos del Álgebra 8 I..-Períodos más sobresalientes en la Historia de la Matemática 0 I.4.-Historia acerca de la estrctra de los Esacios Vectoriales I.4..-Bree reseña histórica de matemáticos recrsores del estdio de los esacios ectoriales II.- VECTORES DE n R 6 II..- Conjntos ordenados: n-las ordenadas de números reales 6 II..- La estrctra de Esacio Vectorial 7 II...- Proiedades de los esacios ectoriales 9 II...- Esacio ectorial real 9 II...- Esacio Vectorial Eclídeo. Prodcto Interior II...-Definiciones II...- Proosiciones II...-Ortogonalidad aralelismo entre ectores II..- Resltados qe se dedcen de n esacio ectorial eclídeo 4 II...- Norma de n ector 4 II...- Distancia entre ectores 5 II...- Vector nitario. Versor de n ector. 6 II...- Versores fndamentales 6 II.4.- Alicaciones de la Teoría de Vectores a la Geometría a la Trigonometría Planas 7 Serie Didáctica Página

4 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 II.4..- Desigaldad de Cach-Schwarz 7 II.4..- Desigaldad Trianglar 8 II.4..- Anglo entre dos ectores 9 II Cosenos directores de n ector 0 II Proosiciones II.5.- Prodcto Vectorial 4 II.5..- Definiciones roiedades 4 II.6.- Alicaciones del Prodcto Vectorial a la Geometría a la Trigonometría Planas 5 II.6..- Área del aralelogramo 5 II.6..- Teorema del seno de n ánglo en n triánglo 6 Ejercicios Problemas de Alicación 7 III.- APLICACIONES A LA GEOMETRIA ANALITICA LINEAL 4 III..- Ecaciones de la recta 4 III.. Ecación de la recta determinada or dos ntos dados. 45 III...-Paralelismo 47 III...-Ortogonalidad 48 III..-Ecación del lano 49 III...-Plano en el esacio (IR,+, IR, ) 50 III...-Método ara graficar lanos en el e..e. (IR,+, IR, ) 50 III...- Sitaciones articlares 5 III..4.- Plano qe asa or tres ntos no alineados 56 III..5.- Los lanos coordenados 57 IV.- LAS CÓNICAS 6 IV..- Bree reseña histórica sobre las cónicas 6 IV...- La generación de las Cónicas de Aolonio 6 Serie Didáctica Página

5 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 IV...- La inflencia histórica de Aolonio 6 V.-SECCIONES CÓNICAS V..- Definiciones 68 V..- La circnferencia 70 V...- Ecación general de la circnferencia. Proosiciones 7 V..- Ecaciones de las Cónicas referidas a n sistema de coordenadas cartesianas 74 V...- La circnferencia 75 V.4.- Ecación general de las cónicas. Proosiciones 75 V.5.- Circnferencia determinada or tres ntos no alineados 77 V.5..- Otros resltados 78 V.5..- Intersección de recta circnferencia. Proosiciones. 78 V.6.- La Elise 79 V.6..- Bree reseña histórica 79 V.6..- Proosiciones 80 V.7.- Ecaciones de las cónicas en n sistema de coordenadas cartesianas 80 V.7..- La Elise. Gráfica elementos 80 V.7..- Ecaciones de la elise 8 V.7..- Ecación general de la elise 84 V.8.- La Hiérbola 85 V.8..- Bree reseña histórica 85 V.8..- Proosiciones 85 V.9.- Ecaciones de las cónicas en n sistema de coordenadas cartesianas 87 V.9..- La Hiérbola. Gráfica elementos. 87 Serie Didáctica Página

6 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V.9..- Ecaciones de la hiérbola 88 V.9..- Ecación general de la hiérbola 89 V.0.- La Parábola 89 V.0..- Bree reseña histórica 89 V..- Ecaciones de las cónicas en n sistema de coordenadas cartesianas 9 V...- La Parábola. Definición. Gráfica elementos 9 V...- Ecaciones de la arábola 9 Ejercicios Problemas de alicación 9 BIBLIOGRAFIA 96 Serie Didáctica Página 4

7 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 La Matemática ha eigido siglos de ecaación, ese roceso de búsqeda no está conclido ni lo estará nnca. Pero ho día emos a lo ecaado con claridad sficiente como ara distingir entre ello las herramientas tilizadas ara la ecaación (Phili E. B. Jordain ) Serie Didáctica Página 5

8 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 INTRODUCCION En esta segnda Serie Didáctica en la cátedra de Algebra Geometría Analítica se tieron en centa además de los asectos ennciados en la rimera Serie Didáctica, otros como ser: Establecer la relación entre la geometría el algebra. Describir la constrcción de n sistema, donde las ideas intitias básicas se sonen conocidas. La tilidad del rocedimiento gráfico-intitio ara ehibir estdiar asntos ramente algebraicos oeracionales. Proorcionar na base ara na definición rigrosa de las nociones geométricas. La condcción a la algebrización de la teoría de ectores considerando los conjntos ordenados de los números reales. Definir la noción de esacio ectorial real otros concetos elementales asociados, tales como ecaciones de la recta, ecaciones del lano alicaciones de la teoría de ectores a la Geometría Plana (circnferencia cónicas) a la Trigonometría Plana. Mostrar qe el esacio en qe iimos es eclídeo así interretar, or ejemlo a la relación itagórica, los concetos de longitd de ectores, distancia entre dos ntos otros resltados. Dedcir de la desigaldad de Cach-Schwarz, or comaración del método intitio cidadoso (reba gráfica-trigonométrica) con el algebraico rigroso (qe clmina con la definición de ánglo entre dos ectores). Interretar geométrica algebraicamente la fnción rodcto ectorial en el esacio ectorial de ternas ordenadas de números reales; alicando la misma en resltados relacionados a la geometría analítica lana, como ser ecación del lano qe contiene a tres ntos, área del aralelogramo teorema del seno de n ánglo entre dos ectores. Además la intención fndamental a traés de esta Serie Didáctica es la de roorcionar al estdiante de las carreras de la Facltad de Ciencias Forestales, de n material qe le ermita abordar n estdio de maor rofndización sobre los temas qe se desarrollan en la misma, inclidos en los contenidos de la asignatra Algebra Geometría Analítica. Año 0 Lic. Josefa Sangedolce Serie Didáctica Página 6

9 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 I.- BREVE RESEÑA HISTÓRICA I..- Inicios del Álgebra I..-Períodos del Álgebra I..- Períodos más sobresalientes en la Historia de la Matemática I.4.- Historia acerca de la estrctra de los Esacios Vectoriales I.4..- Bree reseña histórica de matemáticos recrsores del estdio de los Esacios Vectoriales Cando se nos otorga la enseñanza se debe ercibir como n alioso regalo no como na dra tarea, aqí está la diferencia de lo trascendente. Albert Einstein (4-0-74/ ) Serie Didáctica Página 7

10 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 I.-Bree Reseña Histórica I..- Inicios del Algebra Diofanto de Alejandría (Diohanti Aleandrini) (4-98) fe n antigo matemático griego. Se considera a Diofanto el adre del Algebra. Nacido en Alejandría, nada se conoce con segridad de s ida salo la edad a la qe falleció, gracias a este eitafio redactado en forma de roblema conserado en la antología griega: Transeúnte, esta es la tmba de Diofanto: es él qien con esta sorrendente distribción te dice el número de años qe iió. S niñez oco la seta arte de s ida; desés, drante la doceaa arte s mejilla se cbrió con el rimer bozo. Paso an na sétima arte de s ida antes de tomar esosa, cinco años desés, to n recioso niño qe, na ez alcanzada la mitad de la edad de s adre, ereció de na merte desgraciada. S adre to qe sobreiirle, llorándole, drante catro años. De todo esto se dedce s edad. 5 4 donde es la edad qe iió Diofanto 6 7 Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qe siglo iió. Si es el mismo astrónomo Diofanto qe comentó Hiatia (fallecida en 45), habría fallecido antes del siglo V, ero si se trata de ersonas distintas cabe ensar qe iía a finales de dicho siglo, a qe ni Proclo ni Pao le citan, lo qe reslta difícil de entender tratándose de n matemático qe asa or ser el inentor del algebra. En oinión de Albfaraga, Diofanto iía en los tiemos del emerador Jliano, hacia 65, fecha qe acetan los historiadores. I..- Períodos del Algebra El Algebra resenta tres eriodos claramente diferenciados or el lengaje algebraico emleado en cada no. Estos eriodos son: Retórico o Verbal. Sincoado o Abreiado. Simbólico. Retórico o Verbal Serie Didáctica Página 8

11 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Se etiende, aroimadamente, desde el año 700 AC hasta la éoca de Diohanto, se caracteriza or el so de la alabra, a traés de frases largas. Periodo Sincoado o Abreiado Este eríodo es comrendido desde el año 00 AC 450 AC dra aroimadamente hasta el siglo XVI. Se caracteriza or la tilización de algnos sincoes o abreiatras. Diohanto drante el eríodo 00AC 4500 AC comenzó a introdcir signos ara designar la igaldad, la resta la otencia de n número desconocido. La solción de roblemas radicaba en encontrar la identidad de las letras más qe la encontrar na forma de eresar lo general. La eresión olinómica + 5 = 8 Se escribía en notación de Diohanto así: κ. γ Δ ~ ε ^ δ β ε σ τ ξ ξ η Período Simbólico Este eríodo comrende los años Ya los matemáticos tienen símbolos ara eresar la incógnita. El so de símbolos ermite la eliminación de información de serfla da ie ara generar otros concetos matemáticos tal como el conceto de fnción. El rincial sistematizador es Francois Viéte, con s obra Isagoe n artem analítics, sobre algebra simbólica en el siglo XVI René Descartes dominó el siglo XVII la mitad del siglo XVIII, dio origen a la fsión entre el álgebra la geometría comletó el simbolismo algebraico Serie Didáctica Página 9

12 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 I..-Periodos más imortantes en la Historia de la Matemática Nacimiento de la Matemática Hasta los siglos VI V A.C. Es na ciencia indeendiente con objeto método roio Período de las Matemáticas Elementales Desde los siglos VI V A.C. hasta el siglo XVI. Estdio de las magnitdes constantes Período de Formación de las Matemáticas de las magnitdes ariables Desde el siglo XVII, XVIII hasta el siglo XIX Descartes, Leibnitz Newton Período de las Matemáticas Contemoráneas Aarece na matemática abstracta, con teorías neas. Se constre n rigroso sistema de fndamento de la matemática Serie Didáctica Página 0

13 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 I.4.-Historia acerca de la estrctra algebraica de los Esacios Vectoriales Los esacios ectoriales se derian de la geometría afín a traés de la introdcción de coordenadas en el lano o el esacio tridimensional. Alrededor de 66, los matemáticos franceses Descartes Fermat fndaron las bases de la geometría analítica mediante la inclación de las solciones de na ecación con dos ariables a la determinación de n cra lana. Para lograr na solción geométrica sin sar coordenadas, Bolzano introdjo en 804 ciertas oeraciones sobre ntos, líneas lanos, qe son redecesores de los ectores. Este trabajo hizo so del conceto de coordenadas baricéntricas de Agst Ferdinand Mobis de 87. El origen de la definición de los ectores es la definición de Gisto Bellaitis de bioint, qe es n segmento orientado, no de cos etremos es el origen el otro n objetio. Los ectores se reconsideraron con la resentación de los números comlejos de Argand Hamilton la creación de los caterniano es or este último (Hamilton fe además el qe inentó el nombre de ector). Son elementos de R R 4 ; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Lagerre en 867, qien también definió los sistemas de ecaciones lineales. En 857,Cale introdjo la notación matricial, qe ermite na armonización simlificación de los alicaciones lineales. Casi al mismo tiemo, Grassmann estdió el cálclo baricéntrico iniciado or Möbis. Preió conjntos de objetos abstractos dotados de oeraciones. En s trabajo, los concetos de indeendencia lineal dimensión, así como de rodcto escalar están resentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 844 sera el marco de los esacios ectoriales, a qe teniendo en centa la mltilicación, también, lo lleó a lo qe ho en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la rimera definición moderna de esacios ectoriales alicaciones lineales en 888. Un desarrollo imortante de los esacios ectoriales se debe a la constrcción de los esacios de fnciones or Henri Lebesge. Esto más tarde fe formalizado or Banach en s tesis doctoral de 90 or Hilbert. En este momento, el álgebra el neo camo del análisis fncional emezaron a interactar, en articlar con concetos clae tales como los esacios de fnciones -integrables Serie Didáctica Página

14 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 los esacios de Hilbert. También en este tiemo, los rimeros estdios sobre esacios ectoriales de infinitas dimensiones se realizaron. I.4..-Bree reseña histórica de matemáticos recrsores del estdio de los esacios ectoriales. René Descartes René Descartes (La Hae en Toraine actal Descartes, de marzo de 596- Estocolmo, de febrero de 650) fe n filósofo, matemático científico francés, considerado como el adre de la filosofía moderna. La inflencia de Descartes en las matemáticas es también eidente; el sistema de coordenadas cartesianas fe nombrado en honor a él. Se le atribe como el adre de la geometría analítica, ermitiendo qe formas geométricas se eresaran a traés de ecaciones algebraicas. Descartes fe también na de las figras clae en la reolción científica. Pierre de Fermat Pierre de Fermat (Beamont-de-Lomagne, Francia, 0 de agosto de 60; Castres, Francia, de enero de 665) fe n jrista matemático francés aodado or Eric Temle Bell con el sobrenombre de "ríncie de los aficionados". Fermat fe jnto con René Descartes no de los rinciales matemáticos de la rimera mitad del siglo XVII. Descbrió el cálclo diferencial antes qe Newton Leibniz, fe co-fndador de la teoría de robabilidades jnto a Blaise Pascal e indeendientemente de Descartes, descbrió el rinciio fndamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido or ss aortaciones a la teoría de números en esecial or el conocido como último teorema de Fermat, qe reocó a los matemáticos drante aroimadamente 50 años, hasta qe fe reselto en 995. Fermat es no de los ocos matemáticos qe centan con n asteroide con s nombre, (007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a n cráter lnar de 9 km de diámetro. Serie Didáctica Página

15 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Bernard Bolzano Bernard Placids Johann Neomk Bolzano (Praga, Bohemia, 5 de octbre de 78-8 de diciembre de 848) fe n matemático, lógico, filósofo teólogo bohemio qe escribió en alemán qe realizó imortantes contribciones a las matemáticas a la Teoría del conocimiento. En matemáticas, se le conoce or el teorema de Bolzano, así como or el teorema de Bolzano-Weierstrass, qe esbozó como lema de otro trabajo en 87, décadas desés habría de desarrollar Karl Weierstrass En s filosofía, Bolzano criticó el idealismo de Hegel Kant afirmando qe los números, las ideas, las erdades eisten de modo indeendiente a las ersonas qe los iensen. Edmond Lagerre Edmond Nicolas Lagerre (9 de abril de 84, Bar-le-Dc - 4 de agosto de 886), fe n matemático francés, conocido rincialmente or la introdcción de los olinomios qe llean s nombre. Comenzó ss estdios en la École Poltechniqe (Promoción X85). Efectó na carrera militar de 854 a 864 como oficial de artillería. Lego, fe ttor de la École oltechniqe. Gracias al aoo de Joseh Bertrand, obtiene la cátedra de físico matemático en el Colegio de Francia, en 88, se conierte en miembro de la Academia de Ciencias en 885. Lagerre blicó más de 40 artíclos sobre los diferentes asectos de la geometría del análisis. Ss obras comletas feron blicadas en diez olúmenes entre or encargo de Charles Hermite, Henri Poincaré Egène Roché Gisee Peano Gisee Peano (7 de agosto de de abril de 9) fe n matemático filósofo italiano, conocido or ss contribciones a la Teoría de conjntos. Peano blicó más de doscientos libros artíclos, la maoría en matemáticas. La maor arte de s ida la dedicó a enseñar en Trín. Serie Didáctica Página

16 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 VECTORES DE n R II..- Conjntos ordenados: n-las ordenadas de números reales II..-La estrctra de Esacio Vectorial II...- Proiedades de los Esacios Vectoriales II...- Esacio Vectorial Real II...- Esacio Vectorial Eclídeo. Prodcto Interior II...- Definiciones II...- Proosiciones II...- Ortogonalidad aralelismo entre ectores II..- Resltados qe se dedcen de n esacio ectorial eclídeo II...- Norma de n ector II...- Distancia entre ectores II...- Vector nitario. Versor de n ector II...- Versores fndamentales II.4.- Alicaciones de la Teoría de Vectores a la Geometría a la Trigonometría Planas II.4..- Desigaldad de Cach-Schwarz II.4..- Desigaldad Trianglar II.4..- Anglo entre dos ectores II Cosenos directores de n ector II Proosiciones II.5.- Prodcto Vectorial II.5..- Definiciones roiedades Serie Didáctica Página 4

17 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 II.6.- Alicaciones del Prodcto Vectorial a la Geometría a la Trigonometría Planas II.6..- Área del aralelogramo II.6..- Teorema del seno del coseno de n ánglo en n triánglo Ejercicios roblemas de alicación El Álgebra es generosa; a mendo nos da más de lo qe le edimos Jean le Roed d Alembert (77-78) Citado en la obra de Carl B. Boer en el libro A Histor of Mathematics Serie Didáctica Página 5

18 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 II.-Vectores de IR n II..-CONJUNTOS ORDENADOS: n-las ordenadas de números reales Sea n conjnto cos elementos se denominan q, qe se reresenta or {, q}. Además {, q}= {q, } lo cal nos dice qe el orden en qe se consideren los elementos carece de imortancia. Sin embargo, en mchos casos interesa el orden de los elementos del conjnto. En tal caso, el conjnto se dice qe es ordenado. Definición: Un conjnto ordenado se indica oniendo entre aréntesis los símbolos de ss elementos, los cales se anotan en s orden. Según el número de comonentes de n conjnto ordenado odemos tener: ares, ternas, caternas ordenadas, etc. A n a, a,..., a,..., a /,,..., n; a i n i n IN fijo. El símbolo A n reresenta el conjnto de todos las n-las ordenadas de elementos. i A Sean A B conjntos calesqiera en articlar se tiene qe: s A t B, definimos ar ordenado de rimera comonente s segnda comonente t al símbolo (s, t), def s, t s t s s t t def A B / Si s, t s A t B A B reslta elementos de A. A def A A. Reslta A el conjnto de todos los ares ordenados de De igal modo: A,, z/ A A z A de A. Por definición: A 4 así scesiamente. Si consideramos A =IR se obtiene: es el conjnto de todas las ternas es el conjnto de todas las caternas de A, A 5 qíntlas ordenadas a) ara n = : IR = {(a ) / a IR} qe se identifica con la recta real Geométricamente: a IR = (a ) qe se identifica con el ector o Serie Didáctica Página 6

19 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 o b) ara n = : IR = {(a, a ) / a IR, a IR} qe se identifica con el lano. a Geométricamente: (a, a ) IR, = (a, a ) qe se identifica con el ector o en el lano a o a c) ara n = : IR = {(a, a, a ) / a IR, a IR, a IR} qe se identifica con el esacio. Geométricamente: (a, a, a ) IR = (a, a, a ) qe se identifica con el ector o en el esacio a a a Análogamente se resenta el conjnto de las n-las ordenadas de números reales IR n = {(a, a, a,..., a n ) / a IR, a IR, a IR,..., a n IR} Serie Didáctica Página 7

20 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 II..-La estrctra de esacio ectorial Sea V n conjnto de ectores, K n cero de escalares,na le de comosición interna definida como la sma de elementos del conjnto de ectores, na le de comosición eterna definida como el rodcto de n elemento del cero K or n elemento del conjnto de ectores, esto es : Definición: +: V V V : K V V (, ) + La caterna (V, +, K, ) es n esacio ectorial si sólo si: (, ) i) La sma de ectores erifica las roiedades: le de comosición interna, ii) asociatia, conmtatia, eistencia del elemento netro eistencia del oesto. El rodcto de n escalar del cero K or n ector del conjnto V erifica las roiedades: le de comosición eterna, distribtia del rodcto de n escalar con resecto a la sma de ectores distribtia del rodcto de n ector con resecto a la sma de escalares, asociatia mita eistencia del elemento netro. Esto es: - Para +: V V V / (, ) + : La sma es Asociatia en V. + es Asociatia en V,,wV : ( ) w ( w ) : Eiste en V elemento netro resecto de la sma. 0 V V / V: 0V 0V 0 V : Vector Nlo : Todo elemento de V admite oesto en V. V, V / ( ) ( ) 0V : Vector Oesto 4: La sma es Conmtatia en V. + es Conmtatia en V, V : - Para la Le de Comosición Eterna: : K V V / (, ) 5: El rodcto satisface la asociatiidad mita., K V : (. )..(. ) 6: El rodcto es distribtio resecto de la sma en K., K V : ( )... 7: El rodcto es distribtio resecto de la sma en V., V K :.( ).. Serie Didáctica Página 8

21 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 8: La nidad del cero K es el netro ara el rodcto. V : K /. II...-Proiedades de los esacios ectoriales Sea V n Esacio Vectorial sobre el cero K. Pro : El rodcto de calqier escalar or el ector nlo es igal al ector nlo: 0 0, K Pro : El rodcto del escalar nlo or calqier ector es igal al ector nlo: o 0, V Pro : El oesto de calqier escalar or n ector es igal al oesto de s rodcto. V K : (- ).. (- ) - (. ) En articlar si :, V :(-). - Pro 4: Si el rodcto de n escalar or n ector es el ector nlo el ector no es nlo entonces el escalar es nlo II...-Esacio Vectorial Real Si el cero K se identifica con el cero de los números reales IR, tenemos el esacio ectorial V sobre el cero de los números reales, or lo qe se denomina esacio ectorial real. Si tomamos al conjnto de ectores V como los ectores de comonentes ertenecientes al conjnto ordenado: n IN, IR = {(,,, i,, n ) / i IR i n } Donde los elementos son n-las ordenadas de números reales Podemos generalizar el conceto de la estrctra del e.. real (IR n, +, IR, ) Las oeraciones del esacio ectorial real (IR n, +, IR, ) las definimos así: Sean = (,,, i,, n ), = (,,, i,, n ) IR n, +: IR n IR n IR n (, ) + = w IR tal qe w = ( w, w,, w i,, w n ) def ( +, +,, i + i,, n + n ) : IR IR n IR n (, ) tal qe = (,,, i,, n ) def (,,, i,, n ) Serie Didáctica Página 9

22 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Estas oeraciones cmlen con las roiedades qe identifican a la caterna (IR n, + IR, ) con el esacio ectorial real de los ectores de IR n sobre el cero de los números reales IR Son ejemlos de esacios ectoriales reales: (IR, +, IR, ); (IR, +, IR, );...; (IR n, + IR, ) Esto es, ara n = se tiene el esacio ectorial (IR, +, IR, ) Si se toma n= se tiene: (IR, +, IR, ),en el cal el significado geométrico de las oeraciones definidas es el sigiente: La sma de dos ectores del lano definida or: += a b c, d a c, b d, qeda reresentada or la diagonal del aralelogramo qe forman. Gráficamente: (c,d) s=(a+c,b+d) (a,b) El rodcto de n número real or n ector no nlo, definida or:. a, b. a,. b es n ector qe tiene la misma dirección qe el ector dado el mismo sentido si el número real es ositio, sentido oesto si el número real es negatio. Corresonde a na dilatación si a na contracción si. Si 0, entonces se obtiene el ector nlo..(a,b) (a,b) (a,b) (a,b)=(a,b).(a,b) (-a,-b)=-(a,b) Serie Didáctica Página 0

23 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 II...-Esacio ectorial Eclídeo-Prodcto interior Una gran ariedad de hechos geométricos se basan rincialmente en la osibilidad de medir las longitdes de los segmentos los ánglos entre ellos. Esto no es osible en n esacio ectorial. Por ello nestro objetio ahora será definir otros esacios a artir de na definición aiomática de lo qe se da en llamar rodcto escalar o rodcto interior de ectores. II...Definicones Sea el esacio ectorial (V, +, K, ). Definimos la le llamada rodcto interior o rodcto escalar. : V V K (, ). (se lee: rodcto interior, o bien rodcto escalar ) Solo si se erifican los sigientes aiomas: A. Conmtatiidad:, V:. =. A. Distribtiidad:,, w V: ( + ). w =. w +.w A. Prodcto or n escalar:, V, α K: α.(. ) = (α. ). A 4. V:. 0.,. = 0 = 0 Un esacio real V se dice eclídeo si ha na regla qe asigne a cada ar de ectores, V n número real llamado rodcto interior En el e.. real (IR n, +, IR,.) odemos definir na alicación robar qe la misma es n rodcto interior o escalar. Esto es: Sean = (,,, n ) = (,,, n ), ectores de IR n.definimos. : IR n IR n IR (, ). n i i i Serie Didáctica Página

24 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 O bien:.= n. n n i i i Demostración: Para robar qe es n rodcto interior erificamos el cmlimiento de los aiomas A. Conmtatiidad:, IR n / = (,,, n ) = (,,, n) :.=.. = (,,, n ). (,,, n ) = n. n = = n n = (,,, n ). (,,, n ) =. A. Distribtiidad:, IR n / = (,,, n ), = (,,, n ) w = (w, w,, w n ): ( + ). w =. w +.w ( + ). w = [(,,, n ) + (,,, n )].(w, w,, w n ) = = ( +, +,, n + n ).(w, w,, w n ) = = ( + ) w + ( + ) w + +( n + n ) w n = = ( w + w ) + ( w + w ) + +( n w n + n w n ) = = w + w + + n w n + w + w + + n w n = =(,,, n ).(w, w,, w n ) + (,,, n ).(w, w,, w n ) = =. w +.w A. Prodcto or n escalar:, IR n / = (,,, n ) = (,,, n ), α IR: α.(. ) = (α. ). α.(. ) = α. [(,,, n ). (,,, n ) ] = α.( n. n ) = = α.. + α α. n. n = = (α. ). +( α. ). + + (α. n ). n = = (α., α.,,α. n ).(,,, n ) = = (α. ). A 4. IR n :. 0.,. = 0 = 0 Si = 0, = (0,0,, 0) lego. = 0 Serie Didáctica Página

25 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Si 0,. = (,,, n ). (,,, n ) = = n > 0 Este rodcto interior o escalar se ede articlarizar ara : el e.. real (IR, +, IR,.), donde = (, ) = (, ), qeda definido n rodcto interior o escalar del sigiente modo:. : IR IR IR tal qe. = (. +. ) i i i En forma análoga se define n rodcto interior en (IR, +, IR,.),. : IR IR IR tal qe. = ( ) i i II...-Proosiciones Proosición : En todo esacio ectorial de dimensión finita es osible definir n rodcto escalar i Proosición : Un esacio ectorial sobre el qe se ha definido n rodcto escalar o interior recibe el nombre de Esacio Eclídeo (e..e.). Proiedades del Prodcto Interior i), V, α IR:. (α. ) = α.(. ) ii) : V : 0. =. 0 = 0 La definición de rodcto escalar nos ermite introdcir concetos qe en el caso de los esacios clásicos IR, IR,, IR n son erfectamente conocidos II...-Ortogonalidad aralelismo entre dos ectores Sea (V, +, K, ) e..e sean V- { 0 }. Decimos qe son ortogonales si sólo si s rodcto interior es nlo.. = 0 Serie Didáctica Página

26 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Sean dos ectores, diremos qe son aralelos si solo si se erifica qe: c, c IR- 0 II..-Resltados qe se dedcen de n esacio ectorial eclídeo II...-Norma de n ector Definición Sea (V, +, K, ) e..real eclídeo, se dice qe la relación, así definida: : V K def. Es n oerador qe identifica a la norma del ector si cmle los sigientes aiomas: N : N : V : 0, 0 0 V, K : N :, V : (desigaldad trianglar) La definición general de norma se basa en generalizar a esacios ectoriales abstractos la noción de módlo de n ector de n esacio eclídeo. A artir de las roiedades de la norma eclídea definida más arriba se etraen algnas condiciones razonables qe debe cmlir la longitd de n ector o norma. Estas condiciones básicas son: Siemre es ositia e indeendiente del sentido (orientación) de la medición. La longitd debe ser directamente roorcional al tamaño (es decir, doble-o trile- de tamaño significa doble o trile- de longitd) La longitd entre dos ntos será siemre menor o igal qe la sma de longitdes desde esos mismos dos ntos a n tercero diferente de ellos (desigaldad trianglar: la sma de dos lados de n triánglo nnca es menor qe el tercer lado, también generalizado en el Teorema de Schwarz) En el esacio ectorial real (IR n. +, IR, ) odemos definir módlo o norma como el número ositio n IR s longitd, d(,0) = def. Serie Didáctica Página 4

27 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 también n, IR d(,) def d(-,0) o sea d(,) = ( ).( ) A esta norma le llamaremos norma eclídea o norma indcida or el rodcto interior De esta forma sea IR n s longitd, modlo o norma es la raíz cadrada no negatia del rodcto interior de dicho ector consigo mismo. El símbolo se lee módlo, longitd o norma de. La norma de n ector : IR n IR def. Considerando el rodcto interior definido anteriormente tendremos: Sea = (,,, n ) IR n la norma de es = n i i. = En articlar ara IR se tiene =. = i i en forma análoga ara IR : =. = i i En ambos casos. 0 reresenta la longitd del segmento o (métrica eclídea). II...-Distancia entre ectores Definición: La distancia entre dos ectores, en n e..e. está definida or el módlo de s diferencia: d(,) = ( ).( ) A artir de las roiedades de norma, fácilmente se obtienen los sigientes resltados: Sea (V,+, K, ) e..e i) d(, ) = d(, ), V ii) d(, ) 0, V Serie Didáctica Página 5

28 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 iii) d(, ) = 0 si solo si =, V i) d(, w) d(, ) + d(, w),, w V Todo esacio ectorial qe tenga definida na distancia recibe el nombre de Esacio Métrico. Esacio Prehilbertiano En este tio de esacio se cmle la llamada Regla del Paralelogramo: Sea (V,+, K, ) e..e:,, V Obseraciones: -La definición de ortogonalidad de ectores es concordante con el conceto geométrico de erendiclaridad sal. -El conceto de norma es comatible con nociones de la geometría elemental -La distancia definida en términos de la norma, también comatibiliza con las nociones elementales de la geometría del lano II...-Vector nitario-versor de n ector Sea (V, +, K, ) e..e sea V. Se denomina ector nitario a todo ector co módlo es igal a la nidad. V-{ 0 } es nitario = Sea V-{ 0 }, odemos constrir el ector aralelo al ector además es nitario. Esto es : qe tiene la roiedad de ser = = = Definición: Al ector le llamaremos el ersor del ector Serie Didáctica Página 6

29 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 II...-Versores Fndamentales Sean los ectores E i = (0,,,, 0), con i =,,,n Definidos tales qe todas ss comonentes son nlas salo la i-ésima comonente qe ale ; así: E = (, 0,..., 0) E = (0,,..., 0) E n = (0, 0,..., ) Estos ectores se denominan ersores fndamentales del e..e. (IR n. +, IR, ), coinciden con los ejes coordenados en IR n son nitarios II.4.-Alicaciones de la Teoría Vectorial a la Geometría a la Trigonometría Planas En el esacio (IR n. +, IR, ), dotado de las tres oeraciones consideradas (adición, mltilicación or n escalar rodcto escalar) es n esacio ectorial eclídeo de n dimensión. Las roiedades de este esacio ermiten desarrollar los temas qe a continación se consideran: II.4.-Desigaldad de Cach- Schwarz Sea V n esacio ectorial eclídeo, V :. Demostración: i) Pede ocrrir qe algno de los ectores sea nlo Si = 0. = 0 = 0 Lego se satisface la igaldad.= ii) Si 0 0, a,b IR se erifica a + b V además or roiedad de rodcto interior (a + b ). (a + b ) 0 Desarrollando el rimer miembro, reslta: a (. ) + ab (.) + ab(.) + b (.) 0 a (. ) + ab (.) + b (.) 0 haciendo a=. b= - (.) se tiene (.) (.) -(.)(.) + (.) (.) 0 Serie Didáctica Página 7

30 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 (.) (.) - (.)(.) 0 Por definición de norma. =., análogamente 4 = (.) Reemlazando en la eresión anterior: 4 - (.) 0 () Como 0,se ede mltilicar ambos miembros de () or, reslta 4 (.) (.) 0 (.) lego teniendo en centa qe el cadrado de n nmero real es igal al cadrado de s alor absolto. Y como las bases son no negatias reslta:. qe es lo qe se qería robar II.4.-Desigaldad Trianglar Sean ectores en IR n. Entonces: Además la igaldad ale si solo si n ector es múltilo no negatio del otro Demostración: ( ).( ) Como.. entonces... Por la desigaldad de Cach- Schwarz reslta:.. O sea Al tomar raíz cadrada ositia se consera la desigaldad entonces Serie Didáctica Página 8

31 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Si = 0, o = 0 la roosición se cmle atomáticamente, se tiene na de las dos desigaldades triiales (si = 0 ) o (si = 0 ) o aún 0 =0 (si = = 0 ) En todos los casos algún ector es múltilo nlo del otro. Descartando estos casos, ede sonerse 0 0, si ocrre la igaldad II.4..-Anglo entre dos ectores Siendo dos ectores no nlos de n e..e. entonces llamamos k al número real único tal qe:. k =. Podemos demostrar qe:! [0, ] : cos = k Preba: -Por la desigaldad de Cach- Schwarz sabemos qe:.. -or definición de alor absolto, tenemos () -Como 0 0 odemos mltilicar los miembros () or. Reslta: Lego - k Esto nos indica qe el nmero k consegido en base a esos ectores, es n nmero entre -. Por lo tanto dado k IR: k = cos Sintetizando tenemos:. a) Dados, V, 0, 0! k IR : k =. Serie Didáctica Página 9

32 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 b) Dado k IR : k =..,! [0, ] : cos = k De a) b) reslta: Definición: Dados, V, 0, 0,! [0, ] :. cos =. Llamaremos a el ánglo entre los ectores Notas:a) Si, son aralelos = c con c 0, lego tenemos qe cos =.. = c. c. = c(. ) c. = c c. c = c. = c c de donde si c >0 cos = = 0 si c <0 cos = - = b)si, son ortogonales. = 0 entonces cos =.. = 0 = c)la eresión cos =.. nos ermite escribir. = cos la qe eresa el rodcto escalar (interior) de dos ectores en fnción del ánglo formado or ellos II.4.4.-Cosenos directores de n ector n Sea n ector,,..., n IR 0 en el e..e (IR n, +, IR,.),sea i el ánglo entre el ector E i (ersores fndamentales) con i =,,,n. Los cosenos directores del ector son los cosenos de los ánglos qe forma con cada no de los ersores fndamentales De acerdo con la definición de ánglo entre dos ectores se debe satisfacer qe: i =,,,n cos i =. Ei. E i o sea i =,,,n cos i = ( n,,..., i,..., )(0,0,...,,...,0 ) i =,,,n cos i = i o sea : Serie Didáctica Página 0

33 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 cos, cos, cos,, cos n n Los ánglos,,, n se denominan ánglos directores Obseraciones: -Todo ector no nlo de IR n ede eresarse del sigiente modo = (cos, cos,,cos n ) -Todo ector nitario de IR n tiene como comonentes a ss cosenos directores II.4.5.-Proosiciones a.-la sma de los cadrados de los cosenos directores de n ector es igal a la nidad. n i cos Demostración: Como i =,,,n cos i = i tenemos: i n i cos i + n + + n i n i cos i cos i ( n ) lego n i cos i -Si articlarizamos ara IR tenemos: cos + cos = () Pero IR, los ánglos directores son comlementarios, esto es : cos = sen sen = cos lego remlazando en () tenemos: sen + cos = sen + cos = Comrobamos con esto qe la roosición cos i no es más qe na generalización a IR n de la conocida igaldad itagórica sen + cos = n i Serie Didáctica Página

34 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Tanto la desigaldad de Cach- Schwarz como la desigaldad trianglar han sido robadas tilizando solamente recrsos algebraicos a artir de las roiedades de rodcto interior (las cales también se erifican algebraicamente). No se tomaron como recrso a ningún resltado geométrico, en articlar a ningna figra. En lo qe sige se trabajara con resltados de la geometría elemental también de la trigonometría. Damos otros dos ejemlos de relacionados a las alicaciones de los esacios ectoriales reales, a saber: b.-desigaldad trianglar Sean dos ectores del e..e. (IR, +, IR, ) o en el e..e.(ir, +, IR, ) reresentados or segmentos dirigidos como se indica en la figra + Entonces la desigaldad trianglar es na ersión del teorema de la geometría elemental qe eresa en todo trianglo la sma de las longitdes de dos de los lados es maor qe la longitd del lado restante. Si son colineales, esto es qe no forman ningún trianglo, se da la igaldad esto es:, gráficamente : c.-teorema de Pitágoras Por analogía con los ectores en el lano, odemos considerar + como la hiotensa de n trianglo rectánglo determinado or los ectores ortogonales entre sí. Serie Didáctica Página

35 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 + Por la definición de rodcto interior la ortogonalidad de se tiene: = (+). (+) = = = +. + = = = = + d.- Teorema del coseno Sean,, w ectores de. (IR, +, IR, ),,, los ánglos interiores de n triánglo de lados,, w, tales qe es ánglo formado or w, el formado or, el formado or w. Además = +w o bien w=- w Tomemos el cadrado de la norma de : w= - reslta w w = (-)(-) w w = = w = - cos + w = + - cos Serie Didáctica Página

36 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Si interretamos a los módlos de los ectores dados or la norma, como la longitd de los lados del trianglo dado, esta última eresión nos dice: En todo triánglo el cadrado de n lado es igal a la sma de los cadrados de los otros dos menos el doble rodcto de los mismos or el coseno del ánglo qe ellos forman. Lego se erifican las sigientes relaciones w w w - cos w cos w cos II.5-Prodcto ectorial II.5..-Definición roiedades Sea ( IR, +, IR,.) e..e., sean ectores no nlos qe ertenecen a IR. Definimos na le de comosición interna llamada rodcto ectorial: :IR IR IR (,) def,,,,,, -Si samos los ersores fndamentales de IR : E =(,0,0), E =(0,,0), E =(0,0,) en forma simbólica se ede eresar: = E E E = det(e,,) Donde E no es n ector de IR sino n ector simbólico E=(E, E,E ) en el qe ss comonentes son ectores de IR, los ersores fndamentales Se ede oerar con en forma simbólica como si fera n determinante ordinario erificándose: ) = det(e,,) entonces = det(e,,) Pero como det(e,,) = - det(e,,) se dedce = - roiedad anti conmtatia ) = 0, an si 0, es Serie Didáctica Página 4

37 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Serie Didáctica Página 5 det(e,,) = E E E = E + E + E = = 0 E +0 E +0 E = 0 (,0,0)+0 (0,,0)+0 (0,0,) = (0,0,0) = 0 ) ( +w) = det(e,,+w) = det(e,,) + det(e,,w) = = + w (distribtiidad) Proiedades: ) = - (.) Demostración: ),, ( = ( ) ( ) = Haciendo centas cancelando, esto es igal a = ) ( ) )( ( = ). ( ) = senβ siendo β el ánglo entre (geométricamente es el área del aralelogramo definido or los ectores ) Demostración: Teniendo en centa la roiedad ) llamada Identidad de Lagrange reslta: = - (.) considerando qe β es el ánglo entre = - ( cosβ ) = - cos β = ( cos β) = sen β

38 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Como β es el ánglo entre, 0 β π, reslta senβ 0 ara todo β qe erifiqe 0 β π, en consecencia = senβ II.6.-Alicaciones del Prodcto Vectorial a la Geometría Trigonometría Planas II.6..-Área del Palelogramo De acerdo a las nociones elementales de geometría el área del aralelogramo de la figra es β h Nota: Área = h, ero h = senβ, reslta reemlazando Área = senβ = El ector de IR erifica qe:,. II.6..-Teorema del seno de n ánglo entre dos ectores Sean ahora los ectores = (, ) = (, ) w= - = ( -, - ), como mestra la figra w Estos tres ectores son lados de n triánglo. Probaremos qe los módlos de los rodctos ectoriales qe se obtienen mltilicando dos a dos estos ectores son igales. Es decir: w = w = Serie Didáctica Página 6

39 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Preba: Teniendo en centa la definición de rodcto ectorial en término de las comonentes de los ectores reslta w =, ) (, ) = ( ) ( ) = ( = + = = Lego w = w =, ) (, ) = ( ) ( ) = ( = + = = Lego w = En forma análoga se llega a: = Obseramos qe los resltados obtenidos son igales en lo qe resecta al modlo del ector. Esto es w = w = Si estos rodctos ectoriales son igales se erifica: w = w sen w = w sen = sen Es decir: w sen = w sen = sen Por lo tanto como 0, 0 w 0,reslta w sen w sen sen = = simlificando tendremos: w w w sen = sen = sen w Si interretamos,, w como los módlos de los ectores de los lados de n triánglo, esta eresión nos dice qe: En todo triánglo los senos de los ánglos interiores son roorcionales a los lados oestos Esta roiedad es conocida con el nombre del Teorema del seno Serie Didáctica Página 7

40 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 II.7.Ejercicios de Alicación Resela los sigientes ejercicios ) Sean = (,,-) = (,,-) ectores de IR ; rebe qe: a) = + b) + = + +. c) = 4. ) Sean = (,4) = (5,0) ectores de IR, descomonga el ector en sma de dos tales qe. ) En cada no de los sigientes casos, determine qe ares de ectores son aralelos. P A reresentan origen, Q B etremos. a) P= (,-) Q= (4,); A = (-,5) B = (7,) b) P= (,4) Q= (-,5); A = (5,7) B = (9,6) c) P= (,-5,5) Q= (-,,-4); A = (, 5,) B = (-, 9,-7) 4) Determine k de modo qe los ectores sean ortogonales: a) = (k,,-) = (,0,4) b) = (, k,-4,) = (0,,,4k) 5) Sea el ánglo entre dos ectores. Si cos = = (, ) = (-,), encentre el alor de. 6) Encentre el alor de, dados los ectores ss cosenos directores: a) = (+,,,); ss cosenos directores son: 5/6; /6; /; /6. b) = (4, 0, ); ss cosenos directores son: / ; 0; / 7) Dados = (, 0,); = (,,); w = (-,,0) z = (-5, 8,-). Comrebe qe: () ( + w) = ( w) + ( w) + z Serie Didáctica Página 8

41 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 8) Dados = (-,,); = (, 0,); w = (0,,-) z = (,,-). Calcle: a) ( ).w c) ( w). e) (.)(w ) b) ( ) w d) ( ) (-w) f) ( z).(w ) 9) Encentre los alores ara qe ( ) () = 0, siendo: = (5,-,) = (-, 0,) = (,, ) 0) Determine el área del aralelogramo de lados : a) = (,0,) ; = (,-,) b) = E +E +E ; = E +E +E ) Sean los ectores = (4,,-4); = (, 6,4) de IR : a) Encentre los cosenos directores determinados or los ectores: i) - ii) - ) Sea el ector = (,, ) de IR, tal qe tenga como cosenos directores a cos=/; cos= ¾, qe = 8: a) Halle el alor de cos b) Encentre las comonentes,, ) Del triánglo abc conocemos los sigientes datos: = /6; ab = 8cm ac = 5cm. Cál es la longitd de bc? c a b Serie Didáctica Página 9

42 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 4) Calcle el ladobc del triánglo abc sabiendo qe = 5º; ab = 0cm ac = 5cm. c a b Serie Didáctica Página 40

43 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 III.- APLICACIONES A LA GEOMETRIA ANALITICA LINEAL III..- Ecaciones de la recta III.. Ecación de la recta determinada or dos ntos dados. III...-Paralelismo III...-Ortogonalidad III..-Ecación del lano III...-Plano en el esacio (IR,+, IR, ) III...-Método ara graficar lanos en el e..e. (IR,+, IR, ) III...- Sitaciones articlares III..4.- Plano qe asa or tres ntos no alineados III..5.- Los lanos coordenados El gran libro de la Natraleza se encentra abierto ante nestros ojos la erdadera filosofía está escrita en él Pero no odemos leerlo a no ser qe rimero arendamos el lengaje los caracteres con los cales está escrito...está escrito en lengaje matemático los caracteres son triánglos, círclos otras figras geométricas Galileo Galilei Serie Didáctica Página 4

44 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 III.-Alicaciones a la Geometria Analitica Lineal III..-Ecaciones de la recta. Las cestiones inherentes a rectas ectores eden generalizarse a IR n, en articlar a lo referente a la definición : Sean A B elementos de (IR, +, IR,.) o de (IR, +, IR,.) La recta qe contiene al nto A es aralela al ector B es el conjnto de ntos X qe eden eresarse como X = A + t B, t IR Lego tenemos esta definición: Definición : Sean los esacios ectoriales eclídeos (IR, +, IR,.) o (IR, +, IR,.) P nto de IR o IR ; A ector no nlo, esto es A IR -0 o A IR -0 La recta qe contiene al nto P es aralela al ector A es el conjnto de ntos X qe eden eresarse como X = P + t A, t IR Tomando a continación esta definición en forma generalizada, reslta Sea (IR n, +, IR,.) e..e., el nto P = (,,, n ) de IR n de el ector A = (a, a...a n ) de IR n -0. Qeremos determinar el conjnto R,de ntos XIR n,tal qe los ectores X P tengan la misma dirección qe A, esto es, caracterizar el conjnto R = {XIR n / X P A}. La condición de aralelismo X - P A eqiale a decir qe ara cada nto XIR n eiste n único alor de tir tal qe X P = t A, es decir: R = {X IR n / X P = t A}. Definición : El conjnto R caracteriza a la recta qe contiene al nto P tiene la dirección del ector A. Definición : La eresión X - P = t A reresenta a los ntos de la ecación ectorial de la recta R qe contiene al nto P es aralela al ector de dirección A Serie Didáctica Página 4

45 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Debemos destacar la información del arámetro t IR, mientras este arámetro asme todos los alores reales, X recorre todos los ntos de la recta R A artir de la ecación ectorial de la recta R odemos realizar el sigiente desarrollo: De la ecación ectorial X P = t.a t IR, reslta: (,... n ) (,... n ) = t. (a, a a n ) alicando diferencia de n-las rodcto de n escalar or na n-la se tiene (, - n n ) = (ta, ta ta n ) or igaldad de n-las se dedce n sistema de n ecaciones con n incógnitas ara t IR n - n ta ta ta n A este sistema obtenido lo identificamos con las ecaciones aramétricas de la recta qe contiene al nto P es aralelo al ector A. A artir de ellas, igalando el arámetro t, se ede determinar las ecaciones cartesianas: a = a n = = a Esta es la forma cartesiana de la ecación de la recta qe contiene al nto P es aralelo al ector A. n n Ejemlo: Trabajado con el e..e. (IR, +, IR,. ) tendremos las distintas formas de la recta R qe contiene al nto P es aralela al ector de dirección A A saber; sea P, IR A a,a IR { 0,0} del e..e. (IR, +, IR,. ) la 0 0 ecación ectorial de la recta qe contiene al nto P tiene la misma dirección del ector A es : La ecación ectorial X P = t.a t IR O sea:,, ta a 0 0, Serie Didáctica Página 4

46 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Para determinar la ecación cartesiana hagamos las sigientes consideraciones a) a 0 a, asi : - a 0 0 t t a a a Esta es la ecación cartesiana de la recta, qe también ede escribirse : a -0 0 a a a Los cosenos directores de A son: cos α ; cos α, A IR { 0,0} A A De aqí se obtienen los números directores a A cos α ; a A cos α Sstitendo los alores de a a en la ecación de la recta tendremos: A cos α -0 0, A cos α como α α son comlementarios,,entonces cosα sen α reslta sen α 0 0 o sea : cos α -0 tg α 0 Denotando el número real tgα como m = tg α, la ecación cartesiana de la recta reslta - o = m ( - o ) donde m se llama endiente o coeficiente anglar de la recta, el cal brinda información acerca del ánglo qe la recta forma con la dirección ositia del eje o. Se eden analizar las sigientes sitaciones: a - En caso de ser a =0, cos α entonces cos α =0, lego sen α 0 m= tg α =0 lo A qe caracteriza a las rectas aralelas al eje o - Si es a =0 no se ede hablar de endiente de la recta. b) a 0 a la ecación,, ta a 0-0 ta 0 0 t 0 0 ta reslta 0 0, Serie Didáctica Página 44

47 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Analizando estas ecaciones conclimos qe: t IR, asme n alor real tal qe aria en el conjnto de los números reales mientras qe ermanece constante e igal a o En consecencia la ecación qe caracteriza a esta recta es = o Obseramos qe la endiente es nla, esto qe el ánglo qe forma el ector A =(a, a ) con a =0, con el ersor E =(, 0) es α = 0. Entonces tg α = tg 0 = 0. Reslta entonces qe la recta de ecación = o es aralela al eje o. 0 E =(,0) c) a 0 a 0 0 t. 0 0 t.a 0 0 ta El análisis es igal al caso anterior se tiene qe la ecación de la recta es = o Obseremos qe en este caso no odemos hablar de endiente a qe el ánglo entre el ector A =(a, a ) con a =0, el ersor E =(, 0), es la tg no esta definida E =(,0) 0 Ejemlo : Sea P, z IR A a,a a IR { 0 } la ecación ectorial de la 0 0, 0, recta qe contiene al nto P es aralela al ector A es: Serie Didáctica Página 45

48 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0,,z,,, z ta, a, a lego : 0-0 ta 0 ta z z0 ta 0 0 Estas son las tres ecaciones aramétricas de la recta Para determinar las ecaciones cartesianas hagamos las sigientes consideraciones: a) si a, a 0 a 0 las ecaciones cartesianas son 0 - a 0 a 0 z z a 0 Donde a, a a son los números directores de la recta, odemos eresar asimismo las igaldades - a - a b) Si a z-z a a a a z z0 0 0 a 0 Recta aralela al lano c) Si a 0, a 0 a a 0, tendremos : 0 t a 0 0 z z 0 Dado qe toma todos los alores reales (cando t recorre IR) las ecaciones qe definen la recta en este caso son 0 z z0 se trata de na recta aralela al eje o III...-Ecación de la recta determinada or dos ntos dados. Sea P = (,... n ) Q = (q, q...q n ) ntos del e..e. (IR n, +, IR,.) se desea determinar la ecación de la recta qe contiene a dichos ntos, esto es obtener el conjnto de todos los ntos X ertenecientes a IR n tales qe X-P P-Q, en símbolos: R = {X IR n / X-P P-Q} Serie Didáctica Página 46

49 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Serie Didáctica Página 47 La ecación ectorial es: X-P Q-P X-P = t (P-Q), t IR Desarrollando la ecación realizando los algoritmos corresondientes llegamos a...,...,,,..., - qe tal,..,,...,,...,. n n n n n n n n n n n n q t q t q t q t q t q t q q t,...,, Estas son las n ecaciones aramétricas de la recta R Desejando t de cada na e igalando resltan las ecaciones cartesianas q = q =...= n n n n q Ejemlo: Sean P = (, ) Q = (q, q ) ntos del e..e. (IR, +, IR,.), tal qe P Q la ecación ectorial de la recta qe contiene a los ntos P Q es: X P = t (Q-P) o bien,,,,,, q t q t q q t q q t Estas son las ecaciones aramétricas de la recta qe contiene a los ntos P Q Para obtener la ecación cartesiana debemos tener en centa las comonentes del ector P-Q m donde sea o t t de cartesiana ecacion la obtiene se t desejando, i) -q -q q q - q -q - q - q - q q m es la endiente de la recta qe contiene a los ntos P Q

50 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 ii ) q q la ecación cartesiana reslta ser =, se trata de na recta aralela al eje o or lo tanto carece de sentido hablar de endiente de la recta iii ) q q la ecación cartesiana es =, or lo qe se trata de na recta aralela al eje o de endiente cero III...-Paralelismo En el e..e. (IR n, +, IR,.),sean: P = (,... n ) Q = (q, q...q n ) ntos de IR n,a IR n {0 n } B IR n {0 n } ectores las ecaciones aramétricas de las rectas R R se eresan or R : X -P = ta R : X - Q = tb La recta R es aralela a la recta R si solo si c IR-{0} qe erifiqe la igaldad R =c R Es decir: R // R c IR-{0}: R =c R Para estdiar la relación entre las endientes de las rectas R R, consideremos el e..e. (IR, +, IR,.).entonces sean las rectas: R : (,) - (, ) = t (a,a ) R : (,) - (q,q )=t(b,b ) tales qe R // R lego or las condiciones de aralelismo se tiene qe (a,a ) = c (b,b ) con c IR-{0} () Songamos adicionalmente qe: i) a 0 () de () () se tiene a a a a (a,a ) = c (b,b ) a = c b a = c b c= c () b b b b Si los ánglos,,son los ánglos directores del ector A o sea de la recta R β, β los ánglos directores del ector B o sea de la recta R, las endientes de dichas rectas sen cos son : m = tg = = cos cos = a A a A a = a Serie Didáctica Página 48

51 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 m = tg β = sen cos = cos cos = b B b B b = b Teniendo en centa la eresión () se tiene m = m ii) a = 0 En este caso tanto la recta R como la recta R la endiente no está definida esto qe el ánglo qe forma cada na de ellas con la dirección ositia del eje o es, ero resltan ser igalmente aralelas III...-Ortogonalidad En el e..e. (IR n, +, IR,.),sean: P = (,... n ) Q = (q, q...q n ) ntos de IR n,a IR n {0 n } B IR n {0 n } ectores las ecaciones aramétricas de las rectas R R qe se eresan or R : X -P = ta R : X - Q = tb La recta R es ortogonal a la recta R si solo si el rodcto interior entre los ectores A B es nlo. Esto es simbólicamente: R es ortogonal a R R.R =0 Para er la relación entre ss endientes consideremos el e..e. (IR, +, IR,.). Sean las rectas: R R. las ecaciones ectoriales de cada na de ellas se eresa como: R : (,) - (, ) = t (a,a ) R : (,) - (q,q ) = t(b,b ) Tales qe R R Donde P IR,Q IR, A IR {0 }, B IR {0 } Lego or la definición de ortogonalidad, tenemos R.R =0 Esto es: (a,a ) (b,b ) = a b + a b = 0 () Songamos además qe: i) a 0 b 0 () de () () tenemos diidiendo () or a b + ab a b = 0 o bien ab a b = - () Serie Didáctica Página 49

52 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Como a a es la endiente de R relación entre las endientes de dos rectas ortogonales a = - a b b o bien m m b b es la endiente de R, la relación () es la ii) Si a = 0,en este caso debe ocrrir qe b = 0 esto es teniendo en centa (), lo qe nos indica qe la endiente de la recta R es m = 0, la recta R no tiene endiente III..-Ecación del lano Sea (IR n, +, IR,.) e..e., el nto P = (,,, n ) de IR n el ector A = (a, a...a n ) de IR n -0 n. Caracterizaremos al conjnto P formado or todos los ectores XIR n, tales qe X P sea ortogonal al ector A, esto es determinar na condición qe cmlan todos los ectores del conjnto P = {XIR n / X P A} De la condición X P A se llega a qe (X P). A = 0 Definición: La eresión (X P). A = 0 le llamaremos Ecación ectorial del lano qe contiene al nto P es ortogonal al ector de dirección A Desarrollando la ecación ectorial (X P). A = 0, reslta: [(,... n ) (,... n )]. (a, a a n ) = 0 (,... n ) (a, a a n ) (,... n ) (a, a a n ) = 0 ( a + a + + n a n ) ( a + a.+ + n a n ) = 0 considerando d = ( a + a.+ + n a n ) la eresión anterior qeda: a + a + + n a n + d = 0 Ecación cartesiana del lano qe contiene al nto P es ortogonal al ector de dirección A Notas: - Obseremos qe d = - (P. A) - El número real d indica si el lano contiene o no al origen del sistema de coordenadas es si d=0 el ector nlo satisface la ecación, or lo tanto el ector nlo ertenece al lano; en cambio si d 0 el ector nlo no satisface la ecación en consecencia no ertenece al lano Serie Didáctica Página 50

53 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 III...-Plano en el esacio (IR,+, IR, ) Se ede obtener la ecación de n lano en el esacio (IR,+, IR, ) esecificando n nto en dicho lano n ector A IR -0 erendiclar a todos los ectores en el lano z A P=(,, ) X=(, ) ) Definición: Sea P n nto del esacio A n ector distinto del ector nlo. El conjnto de ntos X ara los qe (X-P) A constite n lano de IR. Este conjnto ede simbolizarse asi: P= X IR / X-P A La condición (X-P) A llea a la eresión (X P). A = 0 qe reresenta la ecación ectorial del lano Desarrollando este rodcto (X P). A = 0 obtenemos: [(,, ) (,, )] (a, a, a ) = 0 ( -, -, - ) (a, a, a ) = 0 a ( - )+ a ( - )+ a ( - ) = 0 a - a + a - a + a - a = 0 a + a + a (a + a + a ) = 0 a + a + a + d = 0 Obseración: La ecación del lano es na ecación algebraica racional entera de rimer grado en tres ariables. Los coeficientes de las ariables son las comonentes de n ector erendiclar al lano III...-Método ara graficar lanos en el e..e. (IR,+, IR, ) Para graficar lanos en IR debemos tener en centa dos sitaciones diferentes: Serie Didáctica Página 5

54 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 a) El lano es aralelo a n lano coordenado: i) Consideremos n lano aralelo al lano z z E =(,0,0) P=( 0,0,0) 0 Este lano contiene al nto bicado sobre el eje de coordenadas P=( 0, 0, 0). Calqier ector sobre el eje es erendiclar al lano, en articlar, el ersor fndamental E =(, 0,0). Con estos datos la ecación ectorial del lano es (X P). E = 0 desarrollando se tiene: [(,, z) ( 0, 0,0)]. (, 0, 0) = 0 ( - 0, -0, z-0). (, 0, 0) = 0 ( - 0 ) +( -0) 0+( z-0) 0 = 0 ( - 0 ) = 0 = 0 Es la ecación del lano aralelo al lano z qe contiene al nto P=( 0, 0, 0) De idéntica manera se obtienen: ii) La ecación = 0 qe reresenta al lano aralelo al lano z qe contiene al nto P=(0, 0, 0) z E =(0,,0) * 0 Serie Didáctica Página 5

55 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 iii) La ecación z = z 0 qe reresenta la ecación del lano aralelo al lano qe contiene al nto P=(0, 0, z 0 ) z z 0 E =(0,0,) b) El lano corta a cada eje coordenado: Songamos qe la ecación del lano es: a + a + a + d = 0 con a, a, a d distintos de cero. d S intersección con el eje es el nto : (-, 0, 0) a d S intersección con el eje es el nto : ( 0, -, 0) a d S intersección con el eje z es el nto : ( 0, 0, - ) a De aqí se sige: Para graficar el lano se rocede a traés de los sigientes asos: i) Se marcan los tres ntos de intersección ii) Se nen los tres ntos de intersección ara formar n triánglo III...-Sitaciones Particlares: A artir de la ecación cartesiana del lano a + a + a z+ d = 0 con X=(,, z) Se eden estdiar las sigientes sitaciones articlares: a) a 0, a 0, a 0 d 0 Serie Didáctica Página 5

56 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Serie Didáctica Página 54 en este caso la ecación a + a + a z+ d = 0 reresenta n lano qe no contiene al origen del sistema de coordenadas, es el ector nlo de IR,O=(0,0,0) no satisface la ecación de dicho lano Ejemlo: Dibjar el lano de ecación + + 4z 4 = 0 Se obtienen las intersecciones con los ejes coordenados qe se denominan trazas del lano, esto es: z Traza 0 z de ecación recta z Traza 4 0 z de ecación recta 4 0 z Traza 4 0 z de ecación recta b) Si a 0, a 0, a 0 d = 0, la ecación a + a + a z = 0 es la de n lano qe contiene al origen de sistemas de coordenadas es el ector O=(0,0,0) erifica la ecación Ejemlo: Dibjar el lano de ecación - + z = 0 z Trazas 0 : z 0 z 0 (Al ser d=0 los ectores P A resltan ortogonales) 4 z

57 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 z c) Si a 0, a 0, a = 0 d 0 en este caso la ecación a + a + d = 0 reresenta n lano aralelo al eje z, esto qe si el nto (,, z ) satisface a la ecación del lano, también lo harán todos los ntos del conjnto (,, z) / z IRqe es na recta aralela al eje z,de modo qe el lano de ecación a + a + d = 0 contiene a esa recta, entonces el lano reslta ser aralelo al eje z Ejemlo: Dibjar el lano de ecación: = 0 z Trazas : 8 8 z 8 d) Si a 0, a = 0, a 0 d 0 la ecación a + a z+ d = 0 reresenta n lano aralelo al eje z Serie Didáctica Página 55

58 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Serie Didáctica Página 56 e) a 0, a = 0, a = 0 d 0 la ecación a + d = 0 reresenta n lano aralelo al lano z Ejemlo: Dibjar el lano de ecación: 4 5 = : Trazas z f) Si a = 0, a 0, a 0 d = 0 la ecación del lano a + a z = 0 reresenta n lano aralelo al eje qe contiene al origen de coordenadas Ejemlo: Dibjar el lano de ecación: - z = : z Trazas z z z 5/ z

59 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 III..4.-Plano qe asa or tres ntos no alineados Sea (IR,+, IR, ) e..e., qeremos encontrar la ecación del lano qe contiene a los ntos P, P P no alineados. P = (,, ) P = (,, ) P = (,, ) Si los ntos ertenecen al lano, entonces dichos ntos satisfacen a la ecación de ese lano. Esto es: P a a a d P ' ' ' a a a d P a '' Por lo qe reslta el sigiente sistema de tres ecaciones lineales con tres incógnitas a a ' a '' a a a a ' '' a a a '' a ' '' '' d d d d Resoliendo este sistema tendremos la ecación del lano reqerida. También odemos encontrar la ecación de este lano alicando la teoría de ectores: Recordemos qe la ecación del lano qe asa or el nto P es ortogonal al ector A es: (X-P) A=0 Para determinar la ecación del lano qe asa or los ntos P, P P no alineados, odemos considerar el lano qe asa or el nto P, debemos determinar n ector qe sea ortogonal a dicho lano, o sea n ector ortogonal al ector X - P.Sabemos qe el rodcto ectorial entre dos ectores es n ector erendiclar al lano formado or estos ectores. Esto es: consideremos los ectores P - P P P, s rodcto ectorial (P - P ) (P P ) es n ector erendiclar al lano formado or ellos, como el ector ( X - P ) también se encentra en este lano, la ecación del lano qe asa or P es erendiclar al ector (P - P ) (P P ) es: ( X - P ).[(P - P ) (P P )] = 0 Esta es la ecación del lano qe asa or los tres ntos P, P P no alineados Serie Didáctica Página 57

60 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 III..5.-Los lanos coordenados, z, z El lano asa or el origen de coordenadas calqier ector sobre el eje z es erendiclar a él. En articlar el ersor fndamental E = (0, 0, ) es n ector erendiclar al lano La condición z =0 caracteriza a los ntos del lano [o] [o] = P IR / z = 0 z Análogamente obtenemos los lanos z e z [oz] = P IR / = 0 [oz] = P IR / = 0 z z Serie Didáctica Página 58

61 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 III..-Ejercicios de Alicación ) Halle las ecaciones ectorial, aramétrica cartesiana de la recta qe contiene al nto P es aralela al ector A. Determine si el nto Q ertenece a dicha recta en cada caso. a) P= (,); A= (4, -) ; Q= (0,4) b) P= (0, 0, 0) ; A= (0,,) ; Q= (0,-7,-7) ) Dados los ntos =(,) =(,-) determine: a) La ecación ectorial de la recta qe contiene a. b) Los ntos corresondientes a los sigientes alores del arámetro t: t=0; t=; t=-; t=; t= ) Halle la ecación de la recta qe contiene al nto de intersección de las rectas 5 +9 = =0 qe ase or el nto = (-,-5). 4) Dado el triánglo de értices A= (-,); B= (5,4) C=(,-); encentre: ecación: a) la ecación de la recta qe al nto B es aralela al lado oesto AC. b) Verifiqe qe la recta qe contiene a los ntos A C es aralela a la recta de 8 8 5) Halle la ecación de la recta qe contiene al nto (,-,) cos ánglos de dirección son ; ;. 4 6) Halle la ecación de la recta (en todas ss formas) qe asa or el nto de intersección de las rectas - + = 0 ; + - = 0 es aralela a la recta de ecación: reresentarla gráficamente. 7) Dados P=(,0) ; Q=(-,); (, ) ; (, ). Hallar las ecaciones de las sigientes rectas en todas ss formas dibjarlas. a) Recta qe asa or P tiene como ector director a b) Recta qe asa or P tiene como ector director c) Recta qe asa or Q tiene como ector director 8) Determine la ecación ectorial cartesiana del lano qe contiene a P es ortogonal a A. Serie Didáctica Página 59

62 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 a) P= (,-,-); A= (-,, ) b) P= (,-,); A= (,, ) 9) Halle la ecación del lano qe contiene al nto P 0 = (5,-,) es erendiclar a la recta qe contiene a los ntos A= (,-,) B = (5,0,-). 0) Encentre la ecación del lano qe contiene al nto P= (-,,) es erendiclar z a la recta 5 4 ) Determine la ecación ectorial cartesiana del lano qe contiene a P, Q, R: a)p=(,,) ; Q=(,,4) ; R=(-,4,-) b)p=(,,) ; Q=(0,0,0) ; R=(,0,0) ) Dados P= (,,) ; Q=(-,-,-), R=(0,,-) ( 0,, ) (5,, ). Hallar las ecaciones aramétricas cartesianas de los sigientes lanos: a) lano qe asa or P, Q, R. b) lano qe asa or R es erendiclar a c) lano qe contiene a Q es erendiclar a ) Dibje las trazas de los lanos cas ecaciones se dan: a) + +4z =0 c) =0 e) + z =6 b)4 + +z =6 d) +z =4 f)4-5 =0 Serie Didáctica Página 60

63 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 IV.- LAS CÓNICAS IV..- Bree reseña histórica sobre las cónicas IV...- La generación de las Cónicas de Aolonio IV...- La inflencia histórica de Aolonio Consera celosamente t derecho a refleionar, orqe inclso el hecho de ensar erróneamente es mejor qe no ensar en absolto. Hiatia de Alejandría (70-45) Serie Didáctica Página 6

64 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 IV.-Las Cónicas IV..-Bree Reseña Histórica sobre las Cónicas.- Las cónicas de Menecmo el roblema de la Dlicación del Cbo. Se atribe a Menecmo (75 a,.c) de la Academia latónica, fe recetor de Alejandro Magno, es ator de la célebre frase No ha caminos reales ara la geometría ante na regnta qe le hace Alejandro Magno sobre como introdcirse en forma fácil a la geometría, con el aarece el descbrimiento de las cras qe más tarde recibieron el nombre de elise, arábola e hiérbola, la llamada triada de Menecmo. Este feliz hallazgo está relacionado al estdio de la resolción del roblema dlicación del cbo (constrir n cbo de doble olmen qe otro dado). Redjo el roblema al de la constrcción de las dos medias roorcionales entre. En el lengaje algebraico se tradce como: Entonces =, =, así =, es decir, el cbo de lado es de olmen doble qe el de lado. En general, el roblema de las dos medias roorcionales entre a b consiste en hallar e, tales qe: a b S resolción se redce a hallar la intersección de la cra = a con =ab es así como aarecen lo qe nosotros llamamos arábola e hiérbola eqilátera. Menecmo detectó qe ara la resolción del roblema había na familia de cras adecadas, los tres tios de cónicas obtenidos or el mismo método, a artir de la sección or n lano erendiclar a la generatriz de conos rectos de tres tios, según qe el ánglo en el értice fera agdo, recto obtso ara la elise, arábola e hiérbola, resectiamente. Serie Didáctica Página 6

65 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Menecmo introdce estas cras como secciones de n cono circlar recto or n lano erendiclar a na generatriz. Por eso la arábola fe llamada, con eta terminología aarece todaía en Arqímedes, sección de cono rectánglo (es decir sección de cono co ánglo de aertra es recto or n lano erendiclar a na generatriz). La elise era la sección de cono actánglo la hiérbola (hasta Aolonio solo se consideró na rama de ella) la sección de cono obtsánglo. Hacia fines del siglo IV aarecen dos obras imortantes en las qe se desarrollan la teoría de las cónicas. La rimera es de Aristeo, el Libro de los lgares sólidos ( lgares lanos eran los qe dan lgar a rectas círclos; lgares sólidos son aqellos en los qe aarecen las cónicas or intersección de cilindros conos con lanos, lgares lineales eran otras cras de orden serior no redcibles a las anteriores como la concoide). La segnda obra de interés, también erdida, fe la de Eclides, en catro libros, co contenido debió ser en ss líneas fndamentales el qe se encentra en los catro rimeros libros de las Cónicas de Aolonio, estos libros feron escritos en ocho libros de los qe actalmente se conseran siete gracias a los trabajos de Thabit ibn Qrra (hacia 856 d.c.) de Edmond Halle (656-74) Aolonio de Perga nació hacia el año 6.C, en Perga, región de Panfilia ( la actal Antala, Trqía), estdió en el Mseo de Alejandría con los scesores de Eclides, mere en Alejandría hacia el 90 a.c. Fe Aolonio en Las Cónicas qien no sólo demostró qe de n cono único eden obtenerse los tres tios de secciones, ariando la inclinación del lano qe corta al cono, lo cal era n aso imortante en el roceso de nificar el estdio de los tres tios de cras, sino qe demostró qe el cono no necesita ser recto consideró, asimismo, el cono con dos hojas, con lo qe identifica las dos ramas de la hiérbola. Asimismo en s tratado antes mencionado, fe el rimero en sar el término arábola. Asimismo menciona qe n esejo arabólico refleja de forma aralela los raos emitidos desde s foco, roiedad sada ho en día en las antenas satelitales. La arábola también fe estdiada or Arqímedes, neamente en la búsqeda de na solción ara n roblema fanira: la cadratra del círclo, dando como resltado el libro Sobre la cadratra de la arábola. Serie Didáctica Página 6

66 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 IV...-La generación de las cónicas de Aolonio arábola elise hiérbola Constrcción de Aolonio de las tres secciones cónicas mediante n cono único, ariando la inclinación del lano qe corta al cono. Parábola: el lano de corte es aralelo a na sola generatriz. Elise: el lano de corte no es aralelo a ningna generatriz. Hiérbola: el lano de corte es aralelo a na sola generatriz. IV...-La inflencia histórica de Aolonio. Coordenadas Geometría Analítica Hemos isto en forma sintética las imortantes originales aortaciones de Aolonio al a la geometría griega, entre la abndante rodcción científica sobresale el ehastio esecializado trabajo sobre las cónicas donde estdia las roiedades fndamentales de todos los clásicos elementos notables de estas cras: ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, tangentes normales. Si en mchos ámbitos ha qe conceder a Aolonio el alor de ionero, entre todos ellos ha qe destacar s ael trascendental en el adenimiento de la Reolción Científica a artir del Renacimiento. Así lo reconocen algnos sabios e historiadores de la ciencia: La meditación sobre los libros de Aolonio hará osible la reolción astronómica oerada or Keler (A.Koiré en Estdios de Historia del Pensamiento Científico, siglo XXI, Madrid, 97, ca.4,.44) Serie Didáctica Página 64

67 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Los griegos descbrieron las cónicas en estado salaje en los conos o cilindros Aolonio las cltió como n mero jego de ingenio. Cál sería la sorresa, qince siglos desés, cando Keler descbrió qe la traectoria del laneta Marte es elítica, Galileo qe la caída de las iedras es arabólica (B.Mandelbrot, en el artíclo De Aolonio de Perga a Keler, en Tsqets, Barcelona, 984). La inflencia más releante del aorte realizado or Aolonio en el ámbito estricto de la Matemática es sobre la emergencia de la Geometría Analítica, el trabajo de Aolonio, antes el de Menecmo, inagran na marcada traectoria histórica qe anta al desarrollo de las Geometrías Analíticas de Fermat Descartes. Aolonio tilizaba Algebra Geométrica, Vieta en s obra Arte Analítica desarrolla el Algebra Simbólica ero no sa coordenadas. Al anar ambos instrmentos, coordenadas Algebra literal, Fermat Descartes almbran la Geometría Analítica estableciendo n neo entre la Geometría el Algebra, lo qe ermite asociar cras ecaciones, en fnción de alicar el Análisis algebraico de Vieta a los roblemas de lgares geométricos de Aolonio, definidos, en n sistema de coordenadas, or na ecación indeterminada en dos incógnitas, llamada la ecación de la cra, eresión matemática inclada a la cra, imlícitamente resme ss roiedades geométricas, las qe lego son robadas erificadas mediante el cálclo algebraico. El hecho de qe Aolonio, no de los más grandes geómetras de la antigüedad no consigiese desarrollar de na manera efectia la Geometría Analítica, se debe robablemente más a na obreza en el número de cras qe de ensamiento; los métodos generales no son ni m necesarios ni m útiles cando los roblemas se refieren siemre a n número limitado de casos articlares. Por otra arte es bien cierto qe los rimeros inentores de la Geometría Analítica tenían a s disosición todo el álgebra renacentista (el Algebra de los cosistas italianos el Algebra simbólica de Vieta), mientras qe Aolonio to qe trabajar con las herramientas del Algebra Geométrica, mcho más rigrosa ero a la ez mcho más incomoda de manejar (C.Boer en s libro Historia de la Matemática) Hiatia (70-45) El nombre de Hiatia significa la más grande. La leenda de Hiatia de Alejandría nos mestra a na joen, irgen bella, matemática filósofa, ca merte iolenta marca n nto de infleión entre la cltra del razonamiento griego el oscrantismo del Serie Didáctica Página 65

68 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 mndo medieal. Como ocrre con todas las biografías de los matemáticos ( matemáticas) de la antigüedad, se sabe m oco de s ida, de s obra se conoce sólo na eqeña arte. Fe recordada como na gran maestra admirada or la magnitd de ss conocimientos. Era considerada como el mejor matemático io del mndo grecoromano. Enseñó Matemáticas, Astronomía Filosofía, escribió n trabajo titlado El Canón Astronómico, comentó las grandes obras de la matemática griega como la Aritmética de Diofanto, Las Cónicas de Aolonio, el libro III del Almagesto de Tolomeo, robablemente comentara jnto a s adre, los Elementos de Eclides el resto del Almagesto. Constró instrmentos científicos como el astrolabio el hidroscoio. De ella se ha dicho: "Hiatia es la rimera mjer de ciencia ca ida está bien docmentada". Anqe la maoría de ss escritos se han erdido eisten nmerosas referencias a ellos. "Fe la última científica agana del mndo antigo, s merte coincidió con los últimos años del Imerio romano". "Ha llegado a simbolizar el fin de la ciencia antiga". Los llamados cosistas italianos feron matemáticos del sr de Alemania qe, entre los siglos XV XVI, trabajaron el álgebra en Italia. S etraño nombre rocede de la denominación de la incógnita mediante el nombre de cosa qe significa en italiano objeto, tanto es así qe el álgebra llegó a llamarse el arte de la cosa. Elaboraron sistemas de símbolos m cómodos ara oerar en el lengaje algebraico el lengaje matemático en general de los cales mchos han llegado hasta nosotros. François Viète (540-60), matemático francés, nacido en Fontena-le-Comte fallecido en París. Se le considera no de los rinciales recrsores del álgebra. Fe el rimero en reresentar los arámetros de na ecación con letras. François Viète también fe conocido en s éoca como súbdito del re, fiel cometente. Fe consejero riado de los rees de Francia, Enriqe III Enriqe IV. René Descartes.( ), fe n filosofo, matemático científico francés nacido en La Hae en Toraine, considerado el adre de la filosofía moderna. Serie Didáctica Página 66

69 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V.-SECCIONES CÓNICAS V..- Definiciones V..- La Circnferencia V...- Ecación general de la circnferencia. Proosiciones V..- Ecaciones de las Cónicas referidas a n sistema de Coordenadas cartesianas V...- La circnferencia V.4.- Ecación general de las cónicas. Proosiciones V.5.- Circnferencia determinada or tres ntos no alineados V.5..- Otros resltados V.5..- Intersección de recta circnferencia. Proosiciones V.6.- La Elise V.6..- Bree reseña histórica V.6..- Proosiciones V.7.- Ecaciones de las cónicas en n sistema de coordenadas cartesianas V.7..- La Elise. Gráfica elementos V.7..- Ecaciones de la elise V.7..- Ecación general de la elise V.8.- La Hiérbola V.8..- Bree reseña histórica V.8..- Proosiciones V.9.- Ecaciones de las cónicas en n sistema de coordenadas cartesianas Serie Didáctica Página 67

70 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V.9..- La Hiérbola. Gráfica elementos V.9..- Ecaciones de la hiérbola V.9..- Ecación general de la hiérbola V.0.- La Parábola V.0..- Bree reseña histórica V..- Ecaciones de las cónicas en n sistema de Coordenadas cartesianas V...- La arábola. Definición. Gráfica elementos V...- Ecaciones de la arábola Ejercicios roblemas de alicación Así, bajo el esqema Descartes-Fermat, los ntos se conirtieron en arejas de números las cras en colecciones de arejas de números restringidas a na ecación. Las roiedades de las cras dieron dedcirse mediante rocesos algebraicos alicados a las ecaciones. Con este desarrollo, la relación entre número geometría llegó a ser lena. Los griegos clásicos seltaron el álgebra en la geometría, ero ahora la geometría qedó eclisada or el álgebra. Tal como los matemáticos lo eresan, la geometría fe aritmetizada. Morris Kline(908-99) Serie Didáctica Página 68

71 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V.- Secciones Cónicas V..-Definiciones Definición : Un doble cono recto es la figra qe engendra na recta g al girar alrededor de na recta h qe la corta,( h se denomina eje del cono g generatriz del cono, se llama értice al nto de intersección del eje con las generatrices) h g -La recta h es el eje del cono -Las distintas osiciones de la recta g son las generatrices del cono -El nto intersección del eje h con las distintas osiciones de la generatriz g se llama értice del cono Definición : Una sección cónica es la figra lana qe se obtiene como intersección de n doble cono recto con n lano. Según las distintas osiciones del lano de intersección se obtienen las diferentes secciones cónicas, o simlemente cónicas, cos nombres son circnferencia, elise, arábola, hiérbola. Esto es: h a) Es na circnferencia cando el lano de intersección es erendiclar al eje del cono no contiene al értice Si el lano de intersección contiene al értice se obtiene como intersección n nto Serie Didáctica Página 69

72 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 b) Es na elise cando el lano de intersección no es erendiclar al eje del cono. El lano el eje h forman entre si n ánglo serior al qe forman el eje h del cono na calqiera de las generatrices, no contiene al értice Si el lano de intersección contiene al értice se obtiene n nto h h c) Es na arábola cando el lano de intersección es aralelo a na calqiera de las generatrices g no contiene al értice. Si el lano de intersección contiene al értice se obtiene na recta d) Es na hiérbola cando el lano de intersección el eje del cono h forman entre si n ánglo inferior al qe forman el eje h del cono na calqiera de las generatrices g, no contiene al értice Si el lano de intersección contiene al értice se obtiene, como intersección, dos rectas qe se cortan h Serie Didáctica Página 70

73 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V..- La Circnferencia Sea el doble cono recto intersecado or el lano erendiclar al eje del cono. En la circnferencia obtenida reslta qe la distancia del értice a n nto calqiera P de la circnferencia es constante. Como el ector VC es fijo, siendo C el nto de intersección del lano el eje h del cono se tiene qe: V En la circnferencia la distancia del értice V a n nto calqiera P de la circnferencia es constante; como el ector VC es fijo, se ede determinar la distancia entre C P qe C P π es constante ara todo P erteneciente a la circnferencia: CP VP VC Proosición : Una circnferencia es el conjnto de ntos P de n lano qe satisfacen qe s distancia a n nto fijo C, llamado centro, es constante. Esta constante se denomina radio de la circnferencia. En símbolos C (C,r) = {X IR / d(x,c) = r}. C (C,r) significa los ntos de na circnferencia C de centro el nto C radio r Serie Didáctica Página 7

74 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V...-Ecación General de la Circnferencia-Proosiciones. Proosición : a) La ecación ectorial de la circnferencia C (C,r) es: CP. CP r Y r P=(,) C=(,) O X Demostración: Sea P C (C,r), la distancia entre los ntos P C es r, esto es d(p,c) = r. Como r >0, la igaldad anterior significa qe: d(p,c) = P C ( P C).( P C) r Eleando al cadrado reslta: PC r ( P C).( P C) r PC. PC r Con lo cal se ha robado qe si P C (C,r) entonces P = (,) erifica CP. CP r b) Recírocamente, si P = (,) erifica CP. CP r se dedce qe: CP. CP r PC. PC de lo qe se dedce, or ser 0 es qe d(p,c) = r, o sea qe P C (C,r) CP r >0, qe CP r, esto Proosición : Sean A B dos ntos de n lano. Un nto P del lano ertenece a la circnferencia en la qe los ntos A B son diametralmente oestos si solo si los ectores AP BP son erendiclares Demostración: Sea IR el lano en el qe trabajaremos cmliendo todas las condiciones de n lano eclídeo, odemos soner definido el rodcto escalar sal, también según el grafico Serie Didáctica Página 7

75 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 CB AC A P C r B Sea r el radio de la circnferencia C s centro entonces tenemos: AP BP AP. BP 0 P C (C,r) AP. BP 0 Con A B ntos de la circnferencia diametralmente oestos Si C (C,r) es la circnferencia centrada en C radio r, se tiene: r CP CP. CP () Obserando el grafico, reslta qe el ector CP geométricamente se ede obtener como r CA AP o bien como CB BP lego en la eresión () odemos escribir CP. CP CA AP CB BP CP ).( rodcto escalar reslta: CA. CB CA. BP AP. CB AP. BP Como CA CB r, CB AC entonces reslta r. r CA. BP CA. AP AP. BP r CA. BP CA. AP AP. BP r CA.( BP AP) AP. BP r CA. BA AP. BP r rr AP. BP r r AP. BP r AP. BP reslta : r r AP. BP AP. BP 0 AP BP Lo cal demestra la ortogonalidad deseada. alicando la roiedad distribtia del or ser BP AP BA Serie Didáctica Página 7

76 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Proosición 4: Consideremos na circnferencia de centro C n nto A eterior a ella. Si P P son los ntos de intersección de las tangentes a la circnferencia qe asan or A se tiene AP AP'. Además, CP. es erendiclar a AP. P C A P Demostración Sea r el radio de la circnferencia n ector nitario esto es,, en la dirección del ector AP. Si elegimos n número tal qe AP se tiene qe; además odemos decir qe AP entonces AP. r CP CA AP CA or definición de norma reslta CA ( CA ).( CA ) CA. CA. CA CA.. CA (. CA) como es nitario reslta : CA (. CA) Si consideramos la ecación en esta ha de tener na solción únicamente a qe AP. es tangente a la circnferencia, esta solción es AP (. CA) (. CA) CA r (. CA) 0 4( CA r ) Serie Didáctica Página 74

77 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 La ecación tiene solción única si solo si CA () (. CA) r Y esta solción única es : (. CA) AP (. CA) () Sea n ector nitario en la dirección AP' el mismo resltado rodce: CA () (. CA) r AP' (. CA) (4) De (),(),() (4) se dedce qe AP AP'., Obtenemos AP CA CP or lo tanto, el triánglo CPA satisface el teorema de Pitágoras. Esto reba qe el triánglo CPA tiene n ánglo recto en P, lo cal demestra la roosición V..-Ecaciones de las Cónicas en n Sistema de Coordenadas Cartesianas Sea el sistema de ejes de coordenadas cartesiano o. Un nto P IR tiene or coordenadas cartesianas el ar de números reales (,) Consideremos el nto O IR de Y coordenadas cartesianas el ar de números reales (, ). Y P=(,) Con este nto O odemos considerar el sistema de ejes X O Y, el nto P IR tendrá como coordenadas cartesianas el β O =(α,β) X X ar de números reales (X,Y), así odemos escribir la sigiente relación o α entre las coordenadas en los dos sistemas de la sigiente forma : X X - () () Y Y - Las eresiones () () son las ecaciones qe ermiten asar de n sistema a otro. Serie Didáctica Página 75

78 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V...-Circnferencia Ahora eremos la ecación de la circnferencia en n sistema de coordenadas cartesiano. En el sistema o la ecación cartesiana de C (C, r) es: ( -) r Demostración: En el sistema o el nto P tiene las coordenadas P=(,), en el sistema XO Y ss coordenadas son P=(X,Y), la relación entre ellas esta dada or las eresiones: X X - Y Y - Podemos escribir el nto P = (X, Y) = (-α, -β) Y Tomando el ector CP lo odemos eresar: CP ( ). i ( ). j P=(X,Y) tomando la ecación ectorial β C=(α,β) X CP.CP = r o α Lego CP. CP = ( ). i ( ). j. ( ). i ( ). j ( ). i ( ).( ) i. j ( ).( ). i. j ( ). j ( ). i ( ).( ) i. j ( ). j Como i j, i j i. j 0 remlazando en la eresión anterior: CP.CP ( ) ( ) Entonces la ecación ectorial CP.CP = r es eqialente a la ecación cartesiana ( ) ( ) r V.4.-Ecación General de na Cónica. Proosiciones Toda cónica es na eresión olinómica de segndo grado en dos ariables. Esta eresión se denomina ecación general de na cónica: A +B + C + D + E + F = 0 Serie Didáctica Página 76

79 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Proosición 5:.- La ecación general del conjnto de todas las circnferencias del lano es: A + C + D + E + F = 0 () Con A = C 0 D +E 4AF >0 () Demostración: Sea C (C, r) na circnferencia del lano, s ecación cartesiana es: Desarrollando esta eresión obtenemos: α β α β ( ) ( ) r r 0; Si onemos D -α ; E β ; F α β r se tiene qe: D E F 0 Además reemlazando A, D, E, F en la eresión () se tiene: D E 4AF 4α 4β 4 α β r 4r A C 0 Con lo cal qeda robado qe en toda circnferencia del lano eiste números: A, C, D, E, F tales qe cmlen la condición () qe la () es la ecación de esa circnferencia. 0.-Recírocamente, sea n conjnto de ntos del lano qe erifica la ecación: A C D E F 0 con A C 0 ; D E 4AF 0. Como A 0 la ecacion A D D A 4A agrando: C D E F 0 A A A comletando cadradosreslta: D E F 0 E E A 4A F A D 4A edeescribirse E 4A 0 Serie Didáctica Página 77

80 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 D E D E 4AF Y A A 4A * El rimer miembroes el cadradode la distancia entre el nto ariable P (, ) el nto fijo C - C - D A D A,, E A E A * El segndomiembroes contante ositio or ser : D lego el conjntode ntos del lanoqe erifican () radio r D E 4AF A E Corolario: Una ecación de segndo grado en dos ariables () A +B + C + D + E + F = 0-4AF 0 es na circnferencia de centro es la ecación de na circnferencia, cando solo cando, tiene igales los coeficiente de los términos cadrados, B=0 se erifica qe : D E 4AF 0 Corolario: La ecación de todas las circnferencias del lano se redce a la forma: D' E' F' 0 donde D' D, A E' E, A F' Teorema: La ecación F A A C ecación de na circnferencia del lano, donde: Si D +E 4AF > 0 la circnferencia tiene radio real. Si D +E 4AF < 0 la circnferencia es imaginaria. D E F 0 con A C 0 es siemre la Si D +E 4AF = 0 la circnferencia tiene or radio a n nto del lano. V.5.-Circnferencia determinada or tres ntos no alineados Proosición 6: Por tres ntos no alineados asa na solo na circnferencia del lano Demostración: Sean P (, ), P (, ) P (, ) cmlen 0 tres ntos del lano, es decir Serie Didáctica Página 78

81 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Sea C (C, r) na circnferencia de ecación + + D + E + F = 0 Si qeremos qe C (C, r) ase or los ntos P, P P deben erificarse: D E F 0 D E F 0 D E F 0 De la cal se obtiene: D D D E E E F F F Qe es n sistema de tres ecaciones lineales con tres incógnitas D, E, F Como or hiótesis el determinante del sistema es 0, eiste na solo na terna: (D, E, F) solción del sistema, lego eiste na solo na circnferencia qe asa or los tres ntos: P, P P. V.5..-Otros Resltados V.5..-Intersección de Recta Circnferencia. Proosiciones Proosición 7: Sea na circnferencia C (C, r) L na recta qe asa or el nto P 0 es aralela al ersor. Entonces C (C, r) L tienen intersección no acía si solo si CP. CP0 r *Si se cmle la desigaldad, la recta L la circnferencia C ntos se intersecan en dos *Si se cmle la igaldad, la recta L la circnferencia C tienen n solo nto en común o P 0 P C L Serie Didáctica Página 79

82 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Demostración: Sea P=(,) n nto de la recta L,P L CP CP0 t, t IR () Además P C CP. CP0 r () ecación ectorial de la circnferencia Entonces C L cando solo cando se erifiqen simltáneamente () () es decir : CP 0 t. CP0 t r CP 0. CP0 CP 0. t t. CP0 t. t CP CP t t r 0 como es ersor 4 CP0. 4 CP0 r o lo qe es eqialente CP 0. CP0 r 0 t t CP0. CP0 r 0 () Reslta na ecación de segndo grado en t. Para qe tenga raices reales, es necesario qe :, 0 *Si la circnferencia la recta se intersecan en dos ntos la ecación () tiene dos raíces reales distintas, entonces erifica: CP. CP r 0 0 ** Si la circnferencia la recta se intersecan en n nto la ecación () tiene dos raíces reales coincidentes esto es: CP CP 0. 0 r Con lo qe qeda robada la roosición V.6.-Elise V.6..-Bree reseña histórica La elise como cra geométrica, fe estdiada or Menaechms, inestigada or Eclides, s nombre se atribe a Aolonio de Perge. El foco la directriz de la sección cónica de na elise feron estdiadas or Pas. En 60, Keler creía qe la órbita de Marte era oalada, anqe más tarde descbrió qe se trataba de na elise con el Sol en n foco. De hecho, Keler introdjo la alabra focs blico s descbrimiento en 609.Halle, en 705, demostró qe el cometa qe ahora llea s nombre trazaba na órbita elítica alrededor del Sol Serie Didáctica Página 80

83 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V.6..-Proosiciones Proosición: Una elise es el lgar geométrico de los ntos A de n lano ca sma de las distancias de A a dos ntos fijos distintos, llamados focos F F, es constante O sea:. AF AF costante Demostración: Sea π el lano dado qe forma con el eje n ánglo maor qe α sin ser 90. Consideremos las dos esferas tangentes al cono al lano. Estas esferas tocan al lano π en los ntos F F. Por la roosición 4 dada en circnferencia, reslta qe AF AN AF AM F J α N A F π Como AN AM JL qe es fija, M se tiene: AF AF JL cte qe es lo qe qeremos demostrar V.7.- Ecaciones de las Cónicas en n sistema de coordenadas cartesianas. V.7..- La Elise. Grafica Elementos. Dibjando ahora la elise en n sistema de ejes de coordenadas cartesianas B =(0,b) A =(-a,o) F =(-c,0) b O c a F =(c,0) A = (a,o) B =(0,b) El eje qe contiene a los focos F F se denomina eje rincial Serie Didáctica Página 8

84 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 El eje erendiclar al eje maor qe asa or el nto medio del segmento FF se denomina eje secndario. Las distancias: d(a,0) = d(a,0) = a semieje rincial d(f,0) = d(f,0) = c d(b,0) = d(b,0) = b semieje secndario d(f,f ) = c distancia focal El cociente = a c, entre c a, se denomina ecentricidad como a > c, se tiene qe 0 < < En el trianglo rectánglo F 0B se tiene qe: B = (0,b), F = (c,0) d(b,f ) = B F F B (F B ).(F B ) = = (c, b).(c, b) c b a = b + c a = d (B,F ) = B b + c F a = b + c b = a c a a a - Proosición : Para todo nto A de na elise se tiene qe: A F A F a Demostración: Usando la definición de elise A F A constante, si en lgar de A onemos A F A, se obtiene A F A F constante = A F A F A F A F F F, A F A F F F ; lego A F A F F F A F F F A F de aqí se dedce A o eqialente a F A F A tilizando este resltado se tiene F A F A F A F constante = A F A F, como A F A F lego Serie Didáctica Página 8

85 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 A F A F A F A F = A F A F A A a V.7..-Ecaciones de la elise en n sistema de coordenadas cartesiano Haciendo so de la roosición tenemos PF + PF = a () B=(0,b) P A=(-a,o) A= (a,o) F =(-c,0) F =(c,0) d(p,f ) = P F (( c), ) (( c), ).(( c), ) ( c) PF = d(p,f ) = ( c) d(p,f )= P F (, ) - (c,0) (( - c), ) (( c), ).(( c), ) ( c) PF = d(p,f )= ( c) Lego la eresión () reslta a = PF + PF = ( c) + ( c) a - ( c) = ( c) eleado al cadrado reslta ( a - ( c) ) = ( ( c) ) 4 a 4 a ( c) + ( c) = ( c) 4 a + + c + c a ( c) = - c + c + Simlificando reslta 4 a +4 c - 4 a ( c) = 0 Serie Didáctica Página 8

86 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 4( a + c - a ( c) ) = 0 a + c = a ( c) eleando de neo al cadrado reslta ( a + c ) = ( a ( c) ) a 4 + a c + c = a ( c) a 4 + a c + c = a [( + c + c ) + ] a 4 + a c + c = a + a c + a c + a simlificando teniendo en centa qe: b = a c obtenemos a 4 - a c + c = a + a a (a - c )+ c = a + a a b = a - c + a a b = (a - c ) + a a b a b b a b a a b a b a b Si la elise tiene s centro en el nto de coordenadas (,) ss ejes son aralelos a los ejes coordenados, s ecación es: ( α) a ( β) b Y β F C=(α,β) F X o α Serie Didáctica Página 84

87 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 V.7..-Ecación General de la Elise Recodemos qe toda cónica es na eresión olinómica de segndo grado en dos ariables, qe esta eresión se denomina ecación general de na cónica: A +B + C + D + E + F = 0 Proosición :.- Una ecación de la forma A +B + C + D + E + F = 0 con B = 0 es la ecación de calqier elise si sólo si A.C >0. Demostración: A + C + D + E + F = 0 es na elise si solo si A.C >0. Sea la ecación de la elise: ( α) a Desarrollando esta eresión obtenemos: ( β) b b ( α) a a b b a ( β) b α a β b b ( α) α a β a ( β) a b 0; a b Si onemos A b,c a D -b α ; E a β ; F b α a β a b se tiene qe: A C D E F 0 se obsera qe A.C >0 Recírocamente, sea n conjnto de ntos del lano qe erifica la ecación: A C Como A 0 C 0 D E F 0 con AC 0 La ecación A C D E F 0 ede escribirse: A( D ) C( A E ) F 0 C Comletando cadrados reslta: D D A( A 4A agrando: A D A C ) C( E C E C CD E 4C AE 4AC D ) F 4A 4ACF E 4C 0 Serie Didáctica Página 85

88 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 D E A A CD AE 4ACF 4AC A C Considerando: α D A,β E, G A CD AE 4ACF 4AC Qeda la eresión: α β A C G () Donde A 0, C 0 A.C >0, entonces A C tienen el mismo signo. Si G tiene el mismo signo de A C la () ede escribirse en la forma de la ecación de na elise: ( α) a ( β) b V.8.-Hiérbola V.8..- Bree reseña Histórica Según la tradición, las secciones cónicas feron descbiertas or Menecmo, en s estdio de la dlicación del cbo, donde demostró la eistencia de na solción mediante el corte de na arábola con na hiérbola, lo cal es confirmado osteriormente or Proclo Eratostenes. Sin embargo el rimero en sar el término hiérbola fe Aolonio de Perge en s trabajo cónicas, considerada cmbre sobre el tema de las matemáticas griegas, donde se desarrolla el estdio de las tangentes a secciones cónicas. V.8..-Proosiciones Proosición: Una hiérbola a es el lgar geométrico de los ntos P de n lano ca diferencia a dos ntos fijos distintos F F, llamados focos es constante en alor absolto. PF PF a,a constante. Serie Didáctica Página 86

89 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Grafico: Demostración Consideremos las dos esferas tangentes al cono al lano ( en los ntos L L ); sean F F los ntos los ntos de contacto del lano la esfera. Teniendo en centa el sigiente resltado: Sea la circnferencia de centro C radio r, A nto eterior a ella. Si P P son los ntos de intersección de las tangentes a la circnferencia qe asa or el nto A, se tiene qe: AP AP', además CP es erendiclar a AP. Gráficamente es: Podemos eresar en relación al grafico : Serie Didáctica Página 87

90 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 PF PF PP' ' PP' PP' ' P' P' ' Se tiene qe : P' P' ' JL constante PF PF PP' ' PP' JL constante V.9.-Ecaciones de las cónicas en n Sistema de Coordenadas Cartesianas IV.9..- La Hiérbola. Gráfico elementos * Si dibjamos na hiérbola en n sistema de coordenadas cartesianas de manera qe el eje rincial contiene a los focos F F el eje secndario es erendiclar al eje rincial diide al segmento F F en dos segmentos igales. Los demás elementos de la hiérbola reciben los mismos nombres qe en el caso de la elise se señalan en la sigiente figra: (0,b) P F =(-c,0) (-a,0) 0 (a,0) F =(c,0) (0,-b) En manera análoga a la realizada ara la elise se ede robar qe : PF PF a, ( se toma a > 0 si el nto P esta en la rama derecha a < 0, si P esta en la rama izqierda ) ara na hiérbola la ecentricidad es c con c > a,, or lo tanto > a Serie Didáctica Página 88

91 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Asintotas Definición: Se denomina asintotas a na cra lana en general, a las rectas qe se acercan a las cras en los ntos del infinito. En el caso de la hiérbola las rectas qe asan or el centro del sistema de coordenadas tienen a las ectores ( a, b) o ( a, - b) como ectores de dirección son asintotas de la hiérbola. Hiérbola en los ntos del infinito: Las ecaciones de las asintotas son : b b, a a Grafico (0,b) P F =(-c,0) (-a,0) 0 (a,0) F =(c,0) (0,-b) V.9..- Ecaciones de la Hiérbola en n sistema de coordenadas cartesiano Para hallar la ecación de na hiérbola de semieje maor a foco en los ntos ( -c,0) ( c, 0 ), se rocede como en el caso de la elise, esto es, haciendo so de la definición : PF PF a Por lo tanto: c c PF PF a Serie Didáctica Página 89

92 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 De aqí se sige qe: c c c 4a 4a Simlificando obtenemos qe: a c a + c = Eleando al cadrado teniendo en centa qe b = c a, se obtiene :, b a llamada ecación canónica de la hiérbola con centro ( 0, 0 ) focos ( c, 0 ) ( -c, 0 ) eje real. or sesto qe en el sistema 0 0 en qe 0 =, la ecación de la hiérbola adota la forma a b () si los focos se hbieran elegido sobre el eje, se hbieran mantenido A = ( 0, a) A = ( 0, - a ) como értices, la ecación () se ondría : a b V.9..-Ecación general de la hiérbola Desarrollando la () reslta: b a - b + a +( b - a a b ) = 0 Del tio : A +C +D +E +F, con A C. V.0.-Parábola V.0..-Bree reseña histórica. Alicaciones rácticas Históricamente las secciones cónicas feron descbiertas or Menecmo en s estdio del roblema de la dlicación del cbo, donde demestra la eistencia de na solción mediante el corte de na arábola con na hiérbola, lo cal es confirmado osteriormente or Proclo Eratóstenes. Serie Didáctica Página 90

93 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Sin embargo, el rimero en sar el término arábola fe Aolonio de Perge, en s tratado Cónicas, considerada obra cmbre sobre el tema de las matemáticas griegas, donde se desarrolla el estdio de las tangentes a secciones cónicas. Si n cono es cortado or n lano a traés de s eje, también es cortado or otro lano qe corte la base del cono en na línea recta erendiclar a la base del triánglo aial, si adicionalmente el diámetro de la sección es aralelo a n lado del triánglo aial, entonces calqier línea recta qe se dibje desde la sección de n cono a s diámetro aralelo a la sección común del lano cortante na de las bases del cono, será igal en cadrado al rectánglo contenido or la línea recta cortada or ella en el diámetro qe inicia del értice de la sección or otra línea recta qe está en razón a la línea recta entre el ánglo del cono el értice de la sección qe el cadrado en la base del triánglo aial tiene al rectánglo contenido or los dos lados restantes del triánglo. Y tal sección será llamada na arábola Aolonio de Perge Es Aolonio qien menciona qe n esejo arabólico refleja de forma aralela los raos emitidos desde s foco, roiedad sada ho en día en las antenas satelitales. La arábola también fe estdiada or Arqímedes, neamente en la búsqeda de na solción ara n roblema famoso: la cadratra del círclo, dando como resltado el libro Sobre la cadratra de la arábola. Una consecencia de gran imortancia es qe la tangente refleja los raos aralelos al eje de la arábola en dirección al foco. Las alicaciones rácticas son mchas, como ser: las antenas satelitales radiotelescoios aroechan el rinciio concentrando señales recibidas desde n emisor lejano en n recetor colocado en la osición del foco. La concentración de la radiación solar en n nto, mediante n reflector arabólico tiene s alicación en eqeñas cocinas solares grandes centrales catadoras de la energía solar Serie Didáctica Página 9

94 Facltad de Ciencias Forestales. Cátedra de Algebra Geometría Analítica. Año 0 Análogamente, na fente emisora sitada en el foco, eniará n haz de raos aralelos al eje: diersas lámaras faros tienen esejos con serficies arabólicas reflectantes ara oder eniar haces de lz aralelos emanados de na fente en osición focal. Los raos conergen o diergen si el emisor se deslaza de la osición focal. La arábola refleja sobre el foco los raos Los radiotelescoios aralelos al eje. concentran los haces Análogamente, n de señales en n emisor sitado en el recetor sitado en el foco, eniará n haz foco. El mismo de raos aralelos al rinciio se alica en eje. na antena de radar Cocina solar de concentrador arabólico. El mismo método se emlea en las grandes centrales catadoras de energía solar Los faros de los atomóiles enían haces de lz aralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de na serficie arabólica V.-Ecaciones de las cónicas en n sistema de coordenadas cartesianas V...- La Parábola. Definición. Gráfica elementos. Dado n nto fijo F llamado foco na recta fija llamada directriz, se llama arábola al conjnto de ntos P del lano o qe eqidistan del foco de la directriz Gráfica L P=(,) (-/,0) 0 F=(/,0) PF d ( P, L ) * F, 0, > 0 directriz, = Serie Didáctica Página 9