Introducción. Descripción del espacio físico Coordenadas curvilíneas: propiedades Líneas y superficies coordenadas Elementos de geometría diferencial

Transcripción

1 I. Fundamntos mat. Coordnadas d curvlínas Góm, 00/ Dpto. Físca Aplcada III (U. Svlla) Campos Elctromagnétcos Ingnro d Tlcomuncacón I. Fundamntos mat. Coordnadas curvlínas Introduccón. Dscrpcón dl spaco físco Coordnadas curvlínas: propdads Línas y suprfcs coordnadas Elmntos d gomtría dfrncal. Sstmas d coordnadas ortogonals. Campos scalars 4. Campos vctorals 5. Dvrgnca y rotaconal 6. pradors dfrncals 7. Tormas ntgrals

2 Introduccón Magntuds físcas Tmpratura (T) y dscrpcón cuanttatva d las propdads d vlocdad (v) nunfludo los fnómnos (lctromagnétcos) n movmnto suscptbls d mdda corrspondnca con nts mat ncsdad d un álgbra tpos d magntuds: scalar T vctoral v tnsoral W Campos scalars y vctorals dscrbn magntuds con valors dstntos n cada punto dl spaco ( ) T(;t) T() v(;t) v() v s pudn prsar como funcons d la r poscón: T=T(r); v=v(r) (staconaros) y y tambén dl tmpo: T=T(r;t); v=v(r;t) Dscrpcón dl spaco (I) {,y,}: Coordnadas cartsanas r, tal qu r = q = q =y q (,y,) r(,y,) q = y y r =+y+= +y + 4

3 Dscrpcón dl spaco (II) {,,}: Coordnadas clíndrcas r, tal qu r = q = (,,) q = q = r(,,) r =+y+= cos +sn + y 5 Dscrpcón dl spaco (III) {r,,}: Coordnadas sfércas r, tal qu r = q (r,) = r r(r,,) =r q r q r sn q = y r =+y+ =rsn cos +rsn sn +r cos 6

4 Coordnadas curvlínas. ropdads (I) Qué son? {q, q, q }: trna d númros rals (q ) valors d parámtros gométrcos: r=r (q, q, q ) = (q(, q, q ) + y(q(, q, q ) + +(q, q, q ) { ; ; }, vctors ortogonals untaros fjos Rqustos dscrpcón contnua dl spaco: q 0 (,,) r 0 sólo s (q,q,q ), y (q,q,q ), (q,q,q ) son funcons contnuas y drvabls dscrpcón d todo ntorno d : ()=[r/q ] lnalmnt l ndpndnts d (no coplanaros): r r r 0 q q q r(q,q,q ) y r ' r(q',q',q' ) =r r r r r q q q q q q r q q q 7 Coordnadas curvlínas. ropdads (II) Bas natural. Sstma d rfrnca local v trs vctors lnalmnt l ndpndnts d (no ' coplanaros) son bas d ' r r r ; ; ; ; tal qu q q q ' ' v v v v ; v n partcular, dr=dq +dq +dq bas natural y punto forman sstma local r q r (,, ) q ( q, q, q ) q q q Coordnadas ortogonals su bas natural s ortogonal n todo h 0 j 0; j factor t d scala: h ( q, q, q ) 8 r(q',q',q' ) Bas físca: u r(q,q,q ) ( q, q, q ) ( q, q, q ) h u; u; u tal qu vctors ortogonals untaros u u u ; u u 0 j

5 Línas y suprfcs coordnadas (I) Coordnadas curvlínas {q,q,q }: r(q,q,q )0 (q,q,q )0 Lína coordnada Coordnadas d ortogonals (a,b,c) Rcta tangnt r q lano tangnt r(q =a;q =b;q =c) [ ] [ ] Suprfc coordnada 9 Línas y suprfcs coordnadas (II) Coordnadas curvlínas {q,q,q }: r(q,q,q )0 (q,q,q )0 Coordnadas ortogonals otogo óm, 0/ 0

6 Elmntos d gomtría dfrncal (I) Elmntos gométrcos studo local d magntuds n torno a q q dq,, lmntos gométrcos d dcho ntorno Dfrncal d camno varacón nfntsmal d vctor poscón, dr dr dq dq dq lmnto d arco ds: longtud o g uddd dr ds dr drdr dr dr dr ds dr Elmntos d gomtría dfrncal (II) Dfrncal d suprfc parallogramo con lados dr y dr j ; dscrto por: ds dr dr ds dr dr ds dr dr d ára y orntacón: dr d S sn drj drk j k ds j, k Dfrncal d volumn parallpípdo con arstas dr d, dr y dr : d drds d dr dr dr dr ds dr