5. Elementos tipo barra

Transcripción

1 Univrsidad Simón Bolívar 5. Elmntos tipo barra En st capítulo s xpon l dsarrollo dl método dl lmnto finito para rsolvr l problma d una barra d scción transvrsal A, módulo d lasticidad E, dnsidad ρ y longitud L, somtida a cargas (d curpo, distribuidas y concntradas) d tracción y/o comprsión, tal y como s mustra n la figura 11. Dbido a la gomtría dl sólido n studio (i.. una dimnsión prdomina sobr las otras dos), y a las condicions d bord (i.. g (x,t) g x(t), t (x,t) t x(t) y p (x,t) p x(t) ) s pud considrar qu los dsplazamintos n las dirccions transvrsals al j d la barra son dsprciabls cuando s comparan con los dsplazamintos n la dircción axial. En otras palabras, s supon qu todos los puntos d una scción transvrsal d la barra xprimntan un mismo dsplazaminto n la dircción axial. Así tnmos: u (x,t) u (x,t) (5.1) En conscuncia, l vctor d dformacions toma la forma scalar: ε (x,t) ε x(x,t) u x (5.) y s habla d un stado d sfurzo uniaxial, dond l vctor d sfurzos rsulta sr un scalar: σ (x,t) σ x(x,t) (5.3) 5.1. Plantaminto dl problma (formulación furt) Tratándos d un problma d sfurzo uniaxial, tnmos qu las cuacions d quilibrio prsntadas n la scción 1.3 toman la siguint forma: σ x x + g x ρ u t (5.4) La rlación cinmática, como s mostró arriba, s xprsa como: ε ε x u x La rlación constitutiva s scrib ntoncs como: (5.5) d dond s vidnt qu D E (x). σ Dε σ x E (x) ε x (5.6) Euro Casanova,

2 Univrsidad Simón Bolívar y E ( x), A( x ), ( x) z g x Px t x x L Figura 11: Barra n tracción/comprsión Así, sustituyndo la rlación cinmática n la rlación constitutiva y sto n las cuacions d quilibrio, s obtin la cuación qu gobirna al problma: ( ) u E (x) + g x ρ u (5.7) x x t Con las condicions d contorno inicials dl tipo: u (xu,t) u 0 σ xt u x E (x) x xt u (x,0) u 0 u (x,0) u 0 P A (xt ) (5.8) 5.. Plantaminto dl problma por lmntos finitos Pusto qu l problma qu nos intrsa s uniaxial, ntoncs parc lógico utilizar lmntos unidimnsionals. Así la longitud total d la barra s discrtizada n m lmntos tipo barra. Un lmnto tipo barra cualquira tin una longitud h, nodos y un solo grado d librtad por nodo qu corrspond al dsplazaminto n la dircción axial (cf. figura 1). Los nodos, al igual qu los grados d librtad, s pudn numrar localmnt (i.. para cada lmnto: 1 y ) ó globalmnt (i.. para todo l dominio: 1,,..., m + 1) Euro Casanova,

3 Univrsidad Simón Bolívar y E ( x), A( x ), ( x) z g x Px t x x L 1 1 m q 1 q x 1 h x Figura 1: Discrtización d la barra n lmntos La posición dl nodo 1 dl lmnto s dnota x 1, mintras qu la posición dl nodo s dnota x. Así, la longitud dl lmnto rsulta: h x x 1 (5.9) D la misma forma, los grados d librtad dl lmnto s dnotan q 1 y q Paramtrización d la gomtría Con l fin d simplificar la dscripción d la gomtría dl conjunto d lmntos s convnint paramtrizarla n función d un lmnto normalizado, para llo s utiliza un sistmas d coordnadas paramétricas tal y como s mustra n la figura 13. La posición d un punto cualquira dntro dl lmnto pud ntoncs sr xprsada n función dl parámtro ξ como: x (ξ) a ξ + b (5.10) dond a y b son constants qu s pudn dtrminar n función d las posicions nodals, para llo: Euro Casanova,

4 Univrsidad Simón Bolívar x 1 x (ξ) a + b x x (ξ1) a + b (5.11) d dond rsulta: a (x x 1) b (x + x 1) Así, la posición d x paramtrizada s xprsa como: x (ξ) (x x 1) ξ + (x + x 1) Esta xprsión pud scribirs n función d posicions nodals como: (5.1) (5.13) x (ξ) (1 ξ) x (1 + ξ) 1 + x [ ] { } (1 ξ) (1 + ξ) x 1 x { } x [N 1 N ] 1 x N (ξ) x (5.14) Rcíprocamnt, la coordnada paramétrica ξ pud sr xprsada n función d la coordnada física x, como: ξ x x 1 x (x x 1 ) x x 1 x h (5.15) 5.4. Funcions d forma Siguindo la mtodología d Rayligh-Ritz y l método d sparación d variabls, s propon la siguint aproximación linal para los dsplazamintos d un punto cualquira dl lmnto. u (x,t) a (t) x + b (t) (5.16) Euro Casanova,

5 Univrsidad Simón Bolívar x x h 1 1 Figura 13: Elmnto paramétrico dond a y b son constants a dtrminar n función d los dsplazamintos nodals q1(t) y q (t). Esto pud hacrs para las coordnadas físicas x, sin mbargo rsulta más convnint hacrlo n las coordnadas paramétricas ξ, i..: Así, tnmos: u (ξ,t) a (t) ξ + b (t) (5.17) q 1(t) u (ξ,t) a (t) + b (t) q (t) u (ξ1,t) a (t) + b (t) (5.18) d dond rsulta: Lugo: a (t) (q (t) q 1(t) ) b (t) (q (t) + q 1(t) ) u (ξ,t) (q (t) q 1(t) ) ξ + (q (t) + q 1(t) ) (1 ξ) q (1 + ξ) 1(t) + q(t) [ ] { (1 ξ) (1 + ξ) q } 1(t) q(t) [ ] { q } 1(t) N 1(ξ) N (ξ) q(t) N (ξ) q (t) (5.19) (5.0) Euro Casanova,

6 Univrsidad Simón Bolívar N 1 N Figura 14: Funcions d forma D sta última xprsión s vidnt qu las funcions d Ritz, N 1 y N, utilizadas para aproximar los dsplazamintos, son las mismas qu s utilizan para aproximar la gomtría, i..: x (ξ) N (ξ)x u (ξ,t) N (ξ)q (t) (5.1) S dic ntoncs qu l lmnto s isoparamétrico. A las funcions N 1 y N s ls llama funcions d forma o funcions d intrpolación y n st caso son linals. A la matriz N s l llama matriz d funcions d forma. Es important dstacar qu las funcions d forma s anulan o toman valors unitarios n las posicions nodals (cf. figura 14) Dformacions y sfurzos lmntals Emplando la aproximación para los dsplazamintos obtnida n la scción antrior, l vctor d dformacions rsulta: ε ε x(x,t) u x ( ) N (ξ) q (t) x (5.) Pusto qu los dsplazamintos nodals q (t) no dpndn d las coordnadas spacials, si no dl timpo, sta xprsión s scrib como: ε ε x(x,t) ( ) N(ξ) q x (t) (5.3) ( ) Hacindo uso d la rgla d la cadna, la drivada x N(ξ) s scrib, como: ( ) ( ) ξ N(ξ) N(ξ) x ξ x (5.4) Euro Casanova,

7 Univrsidad Simón Bolívar y rcordando las xprsions para las funcions d forma N 1 y N, y la xprsión para ξ n función d x tnmos: ( ) ( ) ξ N(ξ) N(ξ) x ξ x 1 [ 1] (5.5) h Lugo las dformacions a nivl lmntal s obtinn como: ε ε x(x,t) 1 h [ 1] q (t) B q (t) 1 h (q (t) q 1(t) ) (5.6) Nóts, por un lado, qu las dformacions a nivl lmntal rsultan sr iguals para toda la longitud dl lmnto, y por otro lado qu la matriz B s pud xprsar como l producto d una matriz d opradors difrncials L y la matriz d las funcions d forma N, i..: B 1 h [ 1] L N (5.7) dond, para st caso (i.. barra n tnsión / comprsión), L [ x ()]. Para obtnr los sfurzos lmntals usamos la rlación constitutiva y la xprsión para las dformacions a nivl lmntal, i..: dond, para st caso D [E (x) ]. Así tnmos: σ Dε DB q (t) (5.8) σ σx(x,t) DB q (t) E (x) [ 1] q (t) h E ( ) (x) q(t) h q 1(t) (5.9) Not, qu al igual qu para l caso d las dformacions, los sfurzos a nivl lmntal no dpndn d la posición dntro dl lmnto, salvo si l módulo d lasticidad varía, s dcir, son constants para toda la longitud dl lmnto Matriz d rigidz lmntal La matriz d rigidz lmntal s calcula como: K B T (x) D B (x) dv (5.30) Ω Para l caso dl lmnto tipo barra qu nos ocupa, un difrncial d volumn s pud xprsar como l ára d la scción transvrsal por un difrncial d Euro Casanova,

8 Univrsidad Simón Bolívar longitud, y sto s pud scribir tanto para las coordnadas físicas, como para las paramétricas, i..: h dv A (x) dx A (ξ) dξ (5.31) Sustituyndo ntoncs las xprsions para las matrics B y D n la xprsión para la matriz d rigidz lmntal s tin: K B T (x) D B (x) dv Ω x x 1 1 h B T D BA (x) dx B T h D BA (ξ) dξ [ 1 E (ξ) A (ξ) h 1 [ ] 1 E 1 (ξ) A (ξ) dξ ] [ 1] dξ (5.3) Considrando qu l módulo d lasticidad y la scción transvrsal son constants n la longitud dl lmnto (i.. E (ξ) E y A (ξ) A ) la xprsión para la matriz d rigidz lmntal rsulta: K E A h 5.7. Matriz d masa lmntal [ 1 ] 1 (5.33) La matriz d masa lmntal s calcula como: M ρ N T (x) N (x) dv (5.34) Ω Euro Casanova, 006 4

9 Univrsidad Simón Bolívar Sustituyndo ntoncs las xprsions para l difrncial d volumn y la matriz N n la xprsión para la matriz d masa lmntal s tin: M ρ N T (x) N (x) dv Ω x x 1 h h 8 ρ (x) N T NA (x) dx ρ (ξ) N T (ξ) N h (ξ)a (ξ) dξ [ ] (1 ξ) [(1 ρ (ξ) A ξ) (ξ) (1+ξ) [ ] (1 + ξ) dξ ] (1 ξ) (1 ξ)(1 + ξ) (1 + ξ)(1 ξ) (1 + ξ) ρ (ξ) A (ξ) dξ (5.35) Considrando qu la dnsidad y la scción transvrsal son constants n la longitud dl lmnto (i.. ρ (ξ) ρ y A (ξ) A ) y rsolvindo las intgrals, la xprsión para la matriz d masa lmntal rsulta: M ρ A h 6 [ ] Vctor d furzas lmntal El vctor d furzas lmntals, s calcula como: f(t) f g + ft + fp N T (x) g (x,t) dv + N T (x) t (x,t) ds + Ω Γ i N T (x i ) p i(t) (5.36) Euro Casanova,

10 Univrsidad Simón Bolívar Vctor d furzas lmntal asociado a las furzas d curpo La componnt dl vctor d furzas lmntals asociada a las furzas d curpo s calcula como: fg N T (x) g (x,t) dv Ω x x 1 N T g x(x,t) A (x) dx N T (ξ) g h x(ξ,t)a (ξ) dξ } { (1 ξ) (1+ξ) g x(ξ,t) A (ξ) h dξ (5.37) Considrando qu la intnsidad d furza d curpo y la scción transvrsal son constants n la longitud dl lmnto (i.. g x(ξ,t) g x (t) y A (ξ) A ) y rsolvindo las intgrals, s obtin: f g g x (t)a h { 1 1} Vctor d furzas lmntal asociado a las furzas distribuidas sobr suprfici (5.38) Para un lmnto tipo barra, un difrncial d ára ds pud xprsars como una mdida dl prímtro b (x) por un difrncial d longitud (i.. ds b (x) dx). Así, la componnt dl vctor d furzas lmntals asociada a las furzas d suprfici s calcula como: ft N T (x) t (x,t) ds Γ x x 1 N T t x(x,t) b (x) dx N T (ξ) t h x(ξ,t)b (ξ) dξ } { (1 ξ) (1+ξ) t x(ξ,t) b (ξ) h dξ (5.39) Euro Casanova,

11 Univrsidad Simón Bolívar Considrando qu la intnsidad d furza distribuida sobr suprfici y l prímtro, son constants n la longitud dl lmnto (i.. t x(ξ,t) t x (t) y b (ξ) b ), y rsolvindo las intgrals, s obtin: f t t x (t)b h { 1 1} Vctor d furzas lmntal asociado a las furzas concntradas (5.40) La componnt dl vctor d furzas lmntals asociada a las furzas concntradas s calcula como: f p i N T (x i ) p x i (t) i i i N T (x i ) p x i (t) N T (ξ i ) p x i (t) p xi (t) { } (1 ξi ) (1 + ξ i ) (5.41) Not qu la furza lmntal asociada a las furzas concntradas dpnd dl punto d aplicación d las últimas dntro dl lmnto. Así, si una furza concntrada s aplica n la mitad dl lmnto (i.. ξ i 0), sto s traduc n la aplicación d furzas nodals, iguals a la mitad dl valor la furza concntrada. D forma más gnral, s obtin qu si una furza concntrada actúa a una distancia a dl nodo 1, d un lmnto d longitud L (i.. ξ i a L 1), sobr st nodo s aplicará una furza d valor igual a la fracción (1 a/l) d la furza concntrada, mintras qu para l otro nodo la furza srá igual a la fracción a/l d la furza concntrada Gnralización dl lmnto barra al plano y al spacio El lmnto dsarrollado n la scción antrior pud sr aplicado para simular structuras formadas por barras idals, tals como las armaduras y crchas, dond dichas barras stán distribuidas n cualquir orintación n l plano o n l spacio. Esta scción prsnta ntoncs una gnralización dl lmnto barra para sr utilizado n tals modlos. Euro Casanova,

12 Univrsidad Simón Bolívar y v 1 q 1 q u v 1 u 1 x Figura 15: Elmnto barra n l plano Gnralización dl lmnto barra al plano La figura 15 mustra un lmnto barra n l plano xy. Dicho lmnto stá inclinado un ángulo θ rspcto al j x. D sta figura s vidnt qu l dsplazaminto nodal dl nodo i (q i ) s pud xprsar n función d los dsplazamintos nodals cartsianos u i y v i mdiant la siguint xprsión: q i u i cos(θ) + v i sn(θ) [ cos(θ) sn(θ) ] { } u i (5.4) v i Así l vctor d grados d librtad lmntal s pud xprsar como: { q q } [ ] (t) 1(t) cos(θ) sn(θ) 0 0 q(t) 0 0 cos(θ) sn(θ) u 1(t) v1(t) u (t) v(t) R xy(θ) q xy(t) (5.43) dond R xy(θ) rprsnta una matriz d rotación para l plano, qu dpnd dl ángulo d inclinación θ dl lmnto; y q xy(t) rprsnta l vctor d grados d librtad lmntal xprsados n l plano cartsiano. Introducindo sta transformación n la xprsión para la nrgía potncial total lmntal (cf. 4.7) s tin: U 1 qt (t) K q (t) 1 qt xy(t) K xy q (t) (5.44) dond K xy R T xy(θ) K R xy(θ) rprsnta la matriz d rigidz dl lmnto barra Euro Casanova,

13 Univrsidad Simón Bolívar para l plano, y tin la siguint xprsión: c (θ) c(θ)s(θ) c (θ) c(θ)s(θ) K xy E A c(θ)s(θ) s (θ) c(θ)s(θ) s (θ) h c (θ) c(θ)s(θ) c (θ) c(θ)s(θ) (5.45) c(θ)s(θ) s (θ) c(θ)s(θ) s (θ) dond: c(θ) cos(θ) y s(θ) sn(θ) En forma análoga s obtin la xprsión para la matriz d masa dl lmnto barra n l plano como: M xy R T xy(θ) M R xy(θ) c (θ) c(θ)s(θ) c (θ) c(θ)s(θ) ρ A h c(θ) sn(θ) s (θ) c(θ)s(θ) s (θ) 6 c (θ) c(θ)s(θ) c (θ) c(θ)s(θ) c(θ)s(θ) s (θ) c(θ)s(θ) s (θ) (5.46) Finalmnt, l vctor d furzas lmntal para un lmnto barra n l plano s xprsa como: c(θ)f1 f fxy R T xy(θ) f s(θ)f1 x1 f c(θ)f y1 f (5.47) s(θ)f x Gnralización dl lmnto barra al spacio En forma similar a como s procdió n la scción antrior, s pud dfinir una matriz d rotación para xprsar l grado d librtad d un nodo i n función d los dsplazamintos d s nodo n las dirccions d los js cartsianos: f y q i u i c(φ)c(θ) + v i c(φ)s(θ) + w i s(φ) [ c(φ)c(θ) c(φ)s(θ) s(φ) ] u i v i Así, l vctor d grados d librtad lmntal s pud xprsar como: dond: w i (5.48) q (t) R xyz(θ,φ)q xyz(t) (5.49) Euro Casanova,

14 Univrsidad Simón Bolívar R xyz(θ,φ) rprsnta una matriz d rotación para l spacio, qu dpnd d los ángulos d inclinación θ y φ dl lmnto rspcto a los js coordnados: [ ] c(φ)c(θ) c(φ)s(θ) s(φ) R xyz(θ,φ) (5.50) c(φ)c(θ) c(φ)s(θ) s(φ) q xyz(t) rprsnta l vctor d grados d librtad lmntal xprsado n l spacio cartsiano: u 1(t) v 1(t) q xyz(t) w1(t) u (t) (5.51) v(t) w(t) Finalmnt, las matrics d rigidz, masa y l vctor d furza para l lmnto barra gnralizado al spacio s obtinn d la siguint forma: K xyz R T xyz(θ,φ) K R xyz(θ,φ) (5.5) M xyz R T xyz(θ,φ) M R xyz(θ,φ) (5.53) f xyz R T xyz(θ,φ) f (5.54) Euro Casanova,