MEDICIÓN DE LA BANDA PROHIBIDA DEL SILICIO

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1 MEDICIÓN DE LA BANDA PROHIBIDA DEL SILICIO Amador Ana y Rausch Frnando Dpartamnto d física, Univrsidad d Bunos Airs, Bunos Airs, Argntina Nustro trabajo consistió n mdir l ancho d la banda prohibida dl Silicio. Para ralizar nustra xprincia utilizamos la técnica d an Dr Pauw (3) n una mustra dl matrial, studiando l comportaminto d la rsistividad n función d la tmpratura. Obtuvimos un valor d (.6 ± 0.0) n un rango d tmpratura d 380 a 507 k. I. Introducción Una propidad important d los sólidos s su conductividad léctrica. Algunos matrials, conocidos tradicionalmnt como aislants, son muy malos conductors d lctricidad. Dntro d sta clasificación s ncuntran l diamant y l cuarzo. Otros sólidos son muy bunos conductors d lctricidad. En st grupo stán los mtals como l cobr y la plata. Como una mdida cualitativa d su difrncia, la conductividad léctrica dl cobr a tmpratura ambint s d 0 0 vcs mayor qu la dl cuarzo. Entr stos dos xtrmos hay una trcra clas d sólidos, llamados smiconductors. Aunqu los smiconductors son conductors léctricos mucho más pobrs qu los mtals, s un hcho xprimntal qu su conductividad aumnta con la tmpratura, mintras qu la d los mtals disminuy con la tmpratura. Los lctrons d los átomos pudn ocupar sólo cirtos nivls d nrgía. En una rd, sin mbargo, los nivls d nrgía stán modificados y los lctrons s muvn dntro d cirtas bandas d nrgía. Los bunos conductors d lctricidad son aqullos sólidos cuya banda suprior (banda d conducción) sólo stá ocupada parcialmnt. Mintras qu n los aislants la banda d mnor nrgía (banda d valncia) stá complta y sparada d la siguint banda vacía por una banda prohibida d unos cuantos d nrgía (por jmplo n l diamant s d alrddor 6 ). La misma ida s aplica a los smiconductors. Éstos al igual qu los aislants tinn la banda d valncia complta. Sin mbargo, la banda prohibida qu hay ntr la banda d valncia y la d conducción s mucho mnor qu n los aislants (alrddor d ). Esta sparación pquña hac qu sa mucho más fácil xcitar térmicamnt los lctrons d la banda d valncia a la banda d conducción. A mdida qu aumnta la tmpratura, hay más lctrons capacs d saltar a la banda siguint. Al ocupar parcialmnt la banda d conducción los lctrons s comportan como n los mtals y n la banda d valncia los stados vacíos o hucos, actúan d modo parcido pro como si s tratara d lctrons positivos. Así s obtin conducción léctrica d los lctrons xcitados n la banda d conducción y d los hucos d la banda d valncia. En conscuncia la conductividad aumnta rápidamnt con la tmpratura. Suponindo qu l grado d impurzas d la mustra no s muy alto la dpndncia d la conductividad con la tmpratura E g k σ A () pud xprsars mdiant la siguint cuación

2 dond E g s l ancho d la banda prohibida d nrgía (band-gap), k la constant d Boltzman, la tmpratura y A una constant. Mdiant un fito linal al gráfico dl ln(σ) n función d / s obtin como pndint E g /k, d dond obtnmos l valor d E g. Dbido a qu l ancho d la banda prohibida tin un comportaminto linal con la tmpratura (sólo a tmpraturas muy bajas s obsrva un comportaminto cuadrático. r figura ) s tin qu E g () E g (0) + m*. Al rmplazar n la cuación rsulta: o sa, σ A σ ( ) A' (0) K E g (0) K m K A' (0) K Con sto aclaramos qu l valor obtnido d E g s una xtrapolación linal a 0K, qu s lvmnt mayor qu su valor ral, como pud obsrvars n la figura. técnica d an dr Pauw. Colocamos una mustra dl matrial con cuatro contactos como s obsrva n la figura. Inyctamos corrint por dos d llos y mdimos la caída d tnsión sobr los otros dos. Para sto usamos una continua d 30 olts. Figura : Dispositivo xprimntal utilizado para la mdición d (técnica d an dr Paw) Rptimos la mdición sobr otra configuración hacindo uso d una llav qu invrtía los contactos. Ralizando sto podmos dfinir dos rsistncias: R AB, CD I CD AB R BC, AD I DA BC () Éstas rlacions satisfacn la siguint cuación (vr Rfrncia []): RAB, CD d π + RBC, AD d π (3) Figura :Comportaminto típico dl band- gap con la tmpratura n un smiconductor II. Dscripción dl xprimnto Para obtnr la conductividad lo qu hicimos fu mdir la rsistividad, qu s su invrsa multiplicativa, para lo cual utilizamos la En la cuación antrior d s l spsor d la mustra y s la rsistividad qu dbmos calcular. Para liminar los potncials d contacto d CD y DA pasamos corrint n ambos sntidos, ya qu l potncial lído no s l d la mustra.

3 Lugo como ( ± I) ( ± I) + lído mustra contacto (4) adquiridos por l ajust linal y los transformamos n los valors corrspondints dl ajust xponncial, con los qu construimos las figura 3. obtnmos mustra como: mustra lído ( I) lído ( I) (5),0,5 Modlo: y A*xp(x/t) + y0 Chi^ y0-0.09±0.0 A.5E-6±8.4E-7 t0.0009±7e-6,0 Rsulta E g 0.9 III. Rsultados y análisis 0,5 Una vz liminados los potncials d contacto d R AB,CD y R BD, AC dtrminamos la rsistividad n función d la tmpratura rsolvindo la cuación 3 con l Solvr d Microsoft Excl. Si bin la cuación () utiliza la conductividad σ, s más convnint utilizar /σ para obtnr un valor d la banda prohibida d nrgía (E g ), sindo ést un camino más dircto. Si s utiliza σ /, ntoncs σ/ *, por lo cual hay una gran propagación d rror para valors pquños d. Para calcular E g tníamos dos opcions:. graficar ln( ) vs / y ajustar sto con una función linal, dond la pndint s E g /k.. graficar vs / y ajustar sto con una función xponncial d la forma + κ Al comparar los valors obtnidos sgún las dos opcions vmos qu difirn n un 7,7%, qu ya no las hac comparabls y nos obliga a dcidir cuál d los dos ajusts s l más adcuado y/o confiabl. Para comparar los ajusts, n primr lugar tomamos los valors 0,0 0,000 0,00 0,004 0,006 /mpratura [K - ] Figura 3: Comparación d los valors ntrgados por l ajust linal (azul) y xponncial (rojo). En la figura 3 pud obsrvars qu los datos ntrgados por l ajust linal s convirtn n un mjor ajust qu l xponncial, fundamntalmnt para tmpraturas altas (valors bajos d /), zona dond las altracions d las impurzas dl matrial s vulvn dsprciabls, y por lo tanto, sta s la zona d mayor intrés. Para cuantificar st hcho cualitativo calculamos, punto a punto, la difrncia dl valor d la rsistividad y l valor d los ajusts. En la figura 4 s mustran stas difrncias, sindo las dl ajust linal n gnral más pquñas qu las dl ajust xponncial. omando un promdio obtnmos qu l ajust xponncial tin una difrncia promdio d 0,058 y l ajust linal sólo d 0,04. Esto rflja lo obsrvado n la figura 4. Concluimos qu l mjor ajust s l linal (opción ) con l qu obtnmos l siguint valor para l ancho d banda prohibida dl Silicio a una tmpratura d 0K: E g (.6 ± 0.0) 3

4 Difrncia 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 0,000 0,00 0,004 0,006 /mpratura [K - ] Figura 4: Difrncia dl valor d la rsistividad y l valor dl ajust linal (ngro) y xponncial (rojo). ya qu sta no ra fija sino qu variaba. Para cada Klvin s tomaron ocho mdicions d corrint y caída d tnsión. Entr la primra y la última mdición la tmpratura d la mustra aumntaba 0.8 K, sindo lo óptimo qu la tmpratura no varí. Esta difrncia d tmpratura ntr la primra y la octava mdición fu arrastrada a lo largo d toda la toma d mdicions. Nosotros proponmos dos solucions para vitar st rror sistmático. La primra s lvar la tmpratura d la mustra d manra más lnta, sto llvaría a star todo un día para tomar las mismas mdicions. La sgunda s utilizar como funt corrint altrna con una onda cuadrada. Esto vita hacr uso d la llav para invrtir l sntido d la corrint pudiéndos tomar las mdicions a una mayor vlocidad. Ln () Y A + B * X A -8,6 ± 0,5 B 733 ± 67 R 0,9983 Rsulta E g.6 0,008 0,000 0,00 0,004 0,006 0,008 / mpratura [K - ] Figura 5: Ajust linal d ln() vs. / El valor tabulado dl E g dl Silicio a 0 K s d.7 y l tabulado d una xtrapolación dl comportaminto linal s d.. La difrncia con l valor mdido s db a un rror sistmático n la toma d mdicions, ya qu al analizar los datos como s v n la figura 5, s obtin un comportaminto linal qu stá d acurdo con l modlo utilizado. Considramos qu st rror sistmático s ncuntra al tomar las mdicions para cada unidad d tmpratura,. Conclusions El valor obtnido d la banda prohibida dl Silicio s d (.6 ± 0.0) para una tmpratura d 0K. El valor obtnido s mayor al valor ral (.7) ya qu stamos utilizando un modlo linal para E g, qu no s l qu mjor ajusta a bajas tmpraturas dond s obsrva un comportaminto cuadrático. La difrncia con l valor tabulado d la xtrapolación a 0K (. ) s db a un rror sistmático comtido n la toma d mdicions. A psar d sto la técnica d an dr Pauw y l sistma utilizado para obtnr la conductividad dl matrial s ficint simpr y cuando s control la vlocidad a la qu s lva la tmpratura d la mustra. Proponmos dos solucions para no comtr l rror sistmático mncionado. La primra s tomar las mdicions aumntando la tmpratura d la mustra d una manra más gradual. Esto significa lvar la tmpratura d la misma d manra tal qu aumnt un Klvin cada cinco minutos. La sgunda solución qu proponmos s utilizar como funt corrint altrna 4

5 con una onda cuadrada d sta manra la toma d mdicions s más rápida. I. Rfrncias - D. K. d ris y A. D. Wick, Potntial distribution in th van dr Pauw tchniqu, Amrian Journal of physics, vol. 63, nro., dicimbr 995, páginas N. W. Ashcroft and D. Mrmin, Solid stat Physics cap.8, Saundrs Collg Publishing, L. J. an dr Pauw. Phillips Rsrch Rport, 3 L (958) 5