2 El Método de Elementos Finitos (MEF)

Transcripción

1 El Método d Elmntos Finitos (MEF). Funcions d pruba por tramos Los métodos d rsiduos pondrados son muy podrosos, principalmnt l método d Galrkin, pro prsntan una limitación important: no stablcn una manra sistmática para lgir l conjunto d funcions d pruba ncsarias para dtrminar la forma d las aproximacions ^u (qu s stablcn para todo l dominio ). Las funcions d pruba qu s utilizan para armar ^u son arbitrarias, salvo por los rquisitos d indpndncia, continuidad y dribabilidad qu dbn cumplirs para todo l dominio. Quin quira rsolvr un problma dbrá lgir ntr distintas posibilidads lo cual pud no rsultar muy claro n algunos casos. Lo qu sí sta claro s qu la calidad d la solución qu s obtnga dpndrá furtmnt d las propidads d las funcions qu s lijan. El problma mpora cuando s trata d probmas n dos y trs dimnsions dond l contorno dl dominio sul sr d gomtría complicada y las funcions N m dbn disñars para satisfacr las condicions n sos bords. Por otra part, una mala lcción d las funcions d pruba pud rsultar n una matriz d co cints K mal condicionada lo cual hac qu sa difícil o imposibl ncontrar su solución con un grado d aproximación su cint. Una manra altrnativa d armar ^u s hacrlo por tramos. Esto signi ca dividir l dominio n subdominios a los qu llamarmos lmntos, los cuals no dbn suprponrs, y lgir las xprsions para ^u qu valdrán para cada uno d los subdominios d la partición. La intgral dl rsiduo qu sta d nida sobr todo l dominio, por propidad d las intgrals, s obtndrá como la suma d las contribucions d las intgrals sobr cada uno d los subdominios o lmntos, s dcir: W l R d W l R d W l R da W l R d A (a) (b) No prdindo d vista qu: X NE (a) (b) dond NE rprsnta l númro d subdivisions (númro d lmntos) n los qu s ha dividido l dominio y s la part dl contorno d qu s ncuntra sobr. Figura: Discrtización con lmntos

2 .. Aproximación mdiant funcions d forma d nidas por tramo En la Fig.[] l dominio [; L] s ha dividido ligindo puntos x i (i ; ; :::; M) qu prtncn a, sindo x y x M L. Cada lmnto s d n como l intrvalo x x x +. A la subdivisión dl dominio la dnominarmos discrtización. En la misma gura s mustra la aproximación d una función u cualquira n un dominio unidimnsional utilizando colocación por puntos, ligindo como puntos d colocación a los puntos mdios d cada lmnto, a los qu dnominarmos nodos. Figura : Aproximación con lmntos constants Como rsultado d sto, la aproximación ^u tin valor constant dntro d cada lmnto (subdominio), rsultando una función discontinua n los puntos dond un lmnto s concta con sus vcinos. La función ^u pud scribirs u ' ^u + MX a m N m n () m Figura : Funcions d pruba constants En l caso particular s: u ' ^u N m MX m ^ u m N m n () si m si m ()

3 Dond N m s una función d forma global discontinua, como pud obsrvars n Fig.[], qu tin valor n l lmnto m y cro n l rsto dl dominio; ^u m s l parámtro qu toma función u n l nodo m. Si s pinsa la aproximación dsd l punto d vista d los lmntos, sta rsulta: l valor d la u ' ^u u N ^u n l lmnto () La aproximación qu s obtndrá no va a coincidir n los xtrmos (x y x L) con los valors qu toma la función original u n sos puntos. Una manra d obtnr una mjor aproximación sría disminuir la longitud d los lmntos qu tinn como punto mdio x y x M (la otra posibilidad sría incorporar a la función, pro sto di culta la sistmatización). Otro aspcto d la gura, qu guarda rlación con l método d lmntos nitos, s qu s numran los nodos y los lmntos (las numracions son indpndints una d la otra) numración qu n st caso tan simpl s muy obvia. En Fig.[] s mustra la misma subdivision dl dominio qu n Fig.[], pro s utilizan funcions linals dntro d cada lmnto, rsultando una mjor aproximación. En st caso los nodos coincidn con los xtrmos dl lmnto. Otra particularidad s qu a cada nodo m s l asocia una función N m global con las siguints propidads: s no nula dntro d los lmntos (subdominio ) qu s ncuntran conctados por l nodo m s nula n los rstants lmntos (lmntos qu no continn al nodo m) N m n x x m N m n x j x m (x j y x m son las coordnadas x d los nodos j y m rspctivamnt) Figura : Aproximación con lmntos linals Dsd un punto d vista global, nuvamnt: u ' ^u MX m ^ u m N m n ()

4 Figura : Funcions d pruba linals Dond, ahora tnmos qu: 8 >< N m >: x x j x j x j para x j x x j x x j x j+ x j para x j x x j+ para x x j y x x j+ 9 > >; (8) y ^u m s l valor qu toma la función u n l nodo m. En st caso, ^u automáticamnt coincid con con los valors d u n los xtrmos (x y x M ) (no sría ncsario utilizar la función ). Si s pinsa la aproximación dsd l punto d vista d los lmntos, n st caso: u ' ^u u i N i + u j N j n l lmnto (9) Dond: u i y u j son los valors qu toma la función u n l nodo i y n l nodo j rspctivamnt N i y N j son funcions d intrpolación linals qu s d nn como: N i h (x x i ) h () N j (x x i) h h x j x i Para ncontrar los co cints d la aproximación dbmos plantar l rsiduo, qu si utilizamos Galrkin (W l N l ), pud scribirs como: L x N l u ^ u dx () Rstan ahora sguir los pasos ya vistos para rsiduos pondrados. (S sugir utilizar funcions d nidas por tramos linals para ncontar una aproximación a la función propusta n l jmplo d la scción Antcdnts dl método d lmntos nitos ).. Aproximación a la solución d cuacions difrncials. Vrmos ahora como utilizar las funcions d pruba d nidas n la scción antrior para rsolvr cuacions difrncials. La forma gnral d una cuación difrncial: y d las condicions d bord asociadas A(u) L(u) + p n () B(u) M(u) + r n () Si aplicamos rsiduos pondrados para obtnr una aproximación discrta

5 W l R d + W l R d () R A(^u) L(^u) + p n (a) R B(^u) M(^u) + r n (b) Cuando s d niron las funcions por tramos n la scción antrior, n l primr caso tniamos una función discontinua ntr lmntos y n l sgundo una función continua pro con drivadas discontinuas ntr lmntos. Obsrvando () vmos qu contin drivadas d la función aproximada. Surg ahora la prgunta: srá posibl utilizar st tipo d funcions d aproximación?.. Condicions d continuidad Para obtnr una rspusta a la prgunta plantada, s anlizan los siguint trs tipos d funcions d aproximación n la vcindad dl punto d unión o ntr dos lmtos: función discontinua n o (Fig.[a)]) función continua n o, pro su drivada primra s discontinua n o (Fig.[b)]) la función y su drivada primra son continuas n o pro la drivada sgunda d la función s discontinua n o (Fig.[c)]) Figura : Funcions d forma y sus drivadas n la union d dos lmntos (D)

6 Estas trs funcions tndrán valors in nitos d la drivada primra, sgunda y trcra n l punto o rspctivamnt. Para valuar las intgrals d la xprsión d rsiduos pondrados () sría dsabl no tnr sos valors in nitos porqu pud indtrminarnos la forma intgral. Entoncs podmos obsrvar qu si los opradors L() y M() continn drivadas d ordn d, aparcrán drivadas d ordn d n nustra xprsión (), ntoncs dbmos asgurarnos qu las funcions N m tngan drivadas continuas d ordn d. Dirmos ntoncs qu nustras funcions rquirn continuidad d ordn d, y utilizarmos la notación C d. Si n L() y M() no aparcn drivadas (d ) podrmos utilizar la primra función d nida por tramos (Fig.[a) ]); si aparcn drivadas primras (d ) podrmos utilizar la sgunda funcion d nida por tramos (Fig.[ b)]) continuidad C y si aparcn drivadas sgundas utilizar concontinuidad C (Fig.[c ]). Las condicions d continuidad qu dbn cumplir las funcions d pruba también son xigibls a las funcions d pso W l. En l caso d colocación por puntos, stos rqurimintos no s cumpln pro sta xcpción s prmisibl dado qu la intgral dl rsiduo toma un valor nito. En gnral no s utilizan funcions d pso spcials, para las funcions d pso las condicions d continuidad stablcidas constituyn condición su cint para qu sa válido utilizarlas. Si rmplazamos a u por ^u d nida como n () n la xprsión dl rsiduo () s tin: W l L(^u) + p W l L(^u)d + Al agrupar términos convnintmnt, s obtinn: d + W l M(^u) + r W l p d + W l M(^u)d + W l rd d () K lm f l W l L(^u)d + W l M(^u)d () W l p d + W l rd. Cálculos básicos dl método d lmntos nitos. Problmas unidimsnionals (D) Los pasos a sguir para obtnr la solución aproximada a un problma spcí co, combinando las opcions mas vntajosas ya prsntadas, pudn ordnars sgún la siguint lista: Establcr l problma (cuación difrncial y condicions d contorno, -forma furt dl problma-) Planto dl rsiduo Encontrar la forma débil dl rsiduo Elcción d las funcions d pso y d pruba (d nidas por tramos y tnindo n cunta las condicions d continuidad, -Galrkin-) Discrtizar l dominio (stablcr los subdominios) Evaluar las intgrals (obtnr los co cints K lm y f l ) Aplicar las condicions d bord (*) Rsolvr l sistma d cuacions algbraicas. ((*) Est itm ha stado implícito n l procso d cálculo, pro dja d starlo cuando s utiliza la dscripción local y l procso d nsambl qu s prsntan más adlant). Ants d procdr a aplicar stos pasos a un jmplo, s analizan algunas considracions a tnr n cunta al utilizar funcions d discontinuas d nidas por tramo para rsolvr cuacions difrcials.

7 .. Propidads d la matriz K y dl vctor f Examinarmos algunas propidads d la matriz d co cints y dl vctor d términos indpndints. Aditividad Esta propidad s driva d la propidad dl cálculo d intgrals, rspcto d su dominio. La xprsión gnral para obtnr l co cint K lm s: K lm W l L(N m ) d (8) Si adoptamos un dominio unidimnsional, [; L] (solo a los ns d aportar mayor claridad) podmos scribir la xprsión antrior como: K lm L W l (x) L(N m (x)) dx (9) x x W l (x) L(N m (x)) dx + W l (x) L(N m (x)) d K lm x x W l (x) L(N m (x)) dx + ::: + xl x M W l (x) L(N m (x)) dx En las xprsions (9) con s dnota la intgración sobr l lmnto ; n l intrior dl lmnto s cumpl (si por jmplo utilizamos (8)) qu N m Nm ntoncs (lo mismo valdría para W l ) Klm Wl (x) L(Nm (x)) d () y como conscuncia K lm Klm () Lo mismo sucd con f l, hacindo las mismas considracions qu para K lm : f l W l p d + W l r d () x x W l (x) p dx + W l (x) p dx + :: + x x W l (x) p d + R f l xl x M W l (x) p dx + W l () r + W l (L) r R W l () r + W l (L) r ()

8 8 fl Wl (x) p d + R () f l fl () dond fl s la componnt dl vctor d términos indpndints para l lmnto [x ; x ]. Para los lmntos qu tngan nodos n l contorno dl dominio, R stará dada por la () (sindo R para los lmntos qu no tngan ningún nodo n ). Esta propidad prmit qu sa posibl obtnr la matriz K y l vctor f para rsolvr l problma n todo l dominio, calculando los co cints d las matrics K y l vctor f d cada lmnto típico y sumar lugo las contribucions d cada uno como stablcn () y (). S dnomina nsambl al procso d sumar las contribucions a K y f d cada lmnto, s abordará con más dtall más adlant. Matriz K s bandada Las funcions d forma N k s d nn d modo tal qu pudn sr pnsadas como qu stán asociadas al nodo k, como s squmatiza n la siguint gura: Figura : Funcions d forma linals n sistma global Entoncs, la función global N m n m y m y nula n l rsto dl dominio. Si l lmnto qu comprnd sta d nido n una dimnsión, podrá compartir su nodo i con l lmnto y su nodo j con llmnto +. D modo qu N i n l dominio d los lmntos y y nula n l rsto dl dominio similarmnt con N j n los lmntos y + y nula n los rstants lmntos. Lo mismo sucd con las drivadas, lo qu produc qu Kij si l lmnto no contin a los nodos i o j. Esto produc una matriz qu tndrá lmntos no nulos n la diagonal principal y crca d lla. Los lmntos no nulos forman una banda, lo qu l da nombr a las matrics con sta caractrística. El ancho qu tnga la banda dpndrá d como s hayan numrado los nodos, por lo cual s db prstar atnción a st st aspcto. Por jmplo, obsrvando la Fig.[], la función N s no nula para los lmntos ( ) y ( ), y nula n los rstants lmntos (subdominios). Matriz K s simétrica Dbido a qu s sta utilizando rsiduos pondrados con funcions d pso d tipo Galrkin, si s intrcambian los indics n las xprsions d los co cints d la matriz d rigidz, s obsrva qu K ij K ji por lo cual la matriz K s simétrica. (La simtría d K dpnd dl oprador difrncial dl cual s ha obtnido la forma débil, s válida para los opradors dnominados autoadjuntos). Esta propidad s muy important n l momnto d d nir l algoritmo a programar. EJEMPLO : S procd a aplicar los pasos numrados para rsolvr l siguint jmplo unidimnsional. + f(x) para x x f(x) x n x n x

9 9 W l ^ x + ^ f(x) A dx S intgra por parts l primr término para obtnr la forma débil dl rsiduo: ^ W l x dx W l x ^ ^ x dx + W l A x x + W l ^ A x x W l x ^ x dx W l ^ A x x + W l ^ A x x + W l^dx W l f(x)dx si W l () W l () rsulta W l x ^ ^ x + W la dx W l f(x)dx Si s subdivid l dominio n subdominios (M ), y las incógnitas srán los parámtros a m m (x m ) como n (8) La aproximación d la función incógnita srá como n Fig. [] y stará dada por: ' ^ X m N m m Dond N m stan d nidas n forma global como n (8) cuya grá ca s similar a Fig.[], si s utiliza Galrkin, las funcions d pso son: W l N l para l ; ; ; (S djan al lctor los cálculos d los co cints d la matriz K y dl vctor f, utilizando las funcions d forma globals d nidas por tramos n (8)).. Dscripción global y local dl lmnto A partir d la propidad d aditividad, podmos obsrvar qu dbmos rptir los mismos cálculos para cada lmnto. Por sto solo dbmos hacr éstos cálculos sobr un lmnto típo al qu dnominarmos lmnto mastro. Para llo, convin introducir l punto d vista dl lmnto (local) como s mustra n la siguint gura:

10 Figura 8: Dscripción global y local d un lmnto En la siguint tabla s numran las caractrísticas dl lmnto dsd una dscripción global y dsd la dscripción local Dscripción global Dscripción local ) Dominio [x i ; x j ] ) Dominio [ ; ] ) Nodos fi; jg ) Nodos f; g ) Grados d librtad fu i ; u j g ) Grados d librtad fu ; u g ) Funcions d forma Ni (x) ; N j (x) ) Funcions d forma Ni () ; N j () ) Función d intrpolación (pruba) ) Función d intrpolación (pruba) ^ a i Ni (x) + a jnj (x) ^ a N () + a N () Para rlacionar los dominios global y local, s utiliza una transformación a n qu s d n como: Es usual adoptar : [x i ; x j ]! [ ; ] tal qu (x i ) y (x j ) () y, ntoncs (x) pud scribirs como: para obtnr los valors d a y b s db rsolvr l siguint sistma: (x) a + bx () con lo cual s obtin qu: a + bx i (8) a + bx j (9) (x) x x i x j x j x i (a)

11 Pro l tamaño dl lmnto s h x j x i ntoncs: (x) x x i x j h () La función invrsa a (x) s obtin dspjando d la antrior la variabl x x () h + x i + x j x () (x j x i ) + (x j + x i ) (a) (b) Si s utiliza sta última xprsión s posibl d nir funcions d pruba (o d forma o d intrpolación) n forma local a partir d las corrspondints funcions globals. Ya s había d nido qu, por jmplo: N i (x) h (x x i ) h N j (x) (x x i) h h x j x i si rmplazamos x () n las xprsions antriors obtnmos: N () ( ) () N () ( + ) Con lo cual s complta l punto d vista local dl lmnto. Utilizando las xprsions () s pud scribir (a) como: x () N ()x i + N ()x j () La () mustra qu la intrpolación dl dominio s la misma qu para la función incógnita. S sinttizan a continuación algunas xprsions qu srán útils para continuar con los cálculos ncsarios. Intgración por parts (torma d Grn): sa la función u y l oprador difrncial dv, d nidas n l dominio cuyo contorno s, ntoncs: udv uv j vdu () Cambio d variabls: sa una función ral intgrabl f d nida n l intrvalo [x ; x ] qu s nota: f : [x ; x ]! R y sa x una función continuamnt difrnciabl qu cumpl con x ( ) x y x ( ) x cuya notación s: ntoncs x : [ ; ]! [x ; x ] x x f (x) dx f (x ()) x () d () Rgla d la cadna: sa una función f intgrabl y difrnciabl (f : [x ; x ]! R) y x una función continuamnt difrnciabl (x : [ ; ]! [x ; x ]), ntoncs: f (x ()) x () f (x ()) x ()

12 .. Cálculo d la matriz d co cints o matriz d rigidz La matriz d co cints K lm n l contxto dl método d lmntos nitos s comunmnt dnominada matriz d rigidz dbido a qu st método surgió n l ámbito dl cálculo d structuras dond los co cints rprsntan la rigidz d sa structura asociada un dsplazaminto gnralizado unitario. La xprsión para obtnr la matriz d co cints K lm (), con las Nm (x) d nidas globalmnt por tramos: Klm Wl (x) L(Nm (x)) d pud ahora sr calculada a partir d la visión local dl lmnto utilizando l cambio d variabls y la rgla d la cadna d la siguint manra ( por simplicidad s prsnta para un dominio unidimnsional): K lm h W l (x) L(N m (x))dx Wl (x ()) L(Nm x () (x ())) d (8a) (8b).. Cálculo dl vctor d términos indpndints o vctor d cargas El vctor d términos indpndints f l n l contxto dl método d lmntos nitos s conocido como vctor d cargas ya qu n l cálculo d structuras, sus componnts rprsntan las furzas xtrnas qu actúan sobr la structura. La xprsión para obtnr l vctor f l () fl Wl (x) p d + R Utilizando l cambio d variabls y la rgla d la cadna s pud calcular con la visión local dl lmnto d la siguint manra ( si l dominio s unidimnsional): f l W l (x ()) f (x) dx + R (9) Esta xprsión contin a la función f (x) contínua, admás d la función d pso (qu n l caso d utilizar Glrkin srá N l ). Si s pinsa sistmatizar l cálculo hacindo uso d la dscripción local, tnr una función d nida n forma continua complica l procso. Ahora bin, nada impid qu utilicmos una aproximación paramétrica a f (x). En l caso qu rsult convnint podrian utilizars las mismas fucions d forma y scribir ntoncs: f (x) ' f (x) f (xi ) Ni (x) + f (x j ) Nj (x) () obtnindo una forma discrta también para f (x). Cab aclarar qu s posibl utilizar otro conjunto d funcions d forma para discrtizar f (x) si fura más apropiado. Entoncs: f l W l (x ()) ( NE X f (xi ) Ni (x) + f (x j ) Nj (x) ) dx + R () EJEMPLO : Tomando un problma similar al d nido n l jmplo dl capítulo antrior (n l cual f (x) p):

13 x + + f (x) f (x) x n x x n x para l cual, s habían lgido como funcions d forma N m x m y W l N l y d pso W l () W l () d nidas globalmnt (han sido transcriptas a n d tnr n cunta qu N m () ). Lugo d intgrar por parts, los co cints d la matriz d rigidz y dl vctor d cargas s obtuviron con las siguints xprsions para llos: K lm f l W l x N m x dx + W l N m dx W l f (x) dx + ( W l r) x + N m W l x x La solución aproximada stará dada por: K + f ' ^ N + N + N + N + N dond k son los parámtros incógnitas, qu rprsntan al valor d la función n la coordnada nodal x k como n (). Si ahora subdividimos l dominio n cuatro subdominios d igual longitud (discrtizamos con cuatro lmntos), d modo tal qu l nodo tnga coordnada x y l nodo x como n la gura (h h ) y adoptamos las funcions d forma d nidas por N i (x) h (x x i ) h N j (x) (x x i) h h x j x i y utilizamos stas funcions para calcular las intgrals tndrmos: Klm Nl (x) N m (x) dx + N l (x) N m (x) dx x x h h utilizando l cambio d variabl x () N ()x i + N ()x j y la rgla d la cadna tnmos K lm dond tnmos qu: Nl (x ()) N m (x ()) x () d + N l (x ()) N m (x ()) x () d

14 x () N ()x i + N ()x j N () ( ) dn () d N () dn ( + ) () d K lm dx dx () d d dn () x i d N l () h + x j dn () d x i + x j x j x i Nm () h d + N l () N m () h d Utilizando las mismas considracions para l vctor d cargas: fl f l N m W l f (x) dx + ( W l r) x + W l x x h N l (x) f(x) dx + ( N l (x) ( )) x + N l (x) N m (x) x x En sta xprsión dbmos notar qu l primr término s gnral para todos los lmntos, mintras qu l sgundo solo corrspond al lmnto qu s l único qu comprnd a la coordnada x. Por sta razón n lo qu sigu s considra solo l término con la xprsión intgral al cual cab d nirlo dsd l punto d vista local dl lmnto. El sgundo término s tndrá n cunta ants d procdr a rsolvr l sistma d cuacions. fl Nl (x) f(x) dx con l ; h Dbido a qu sta xprsión intgral admás d la función d pso N l contin a la función f(x), a la cual podmos aproximar n forma global como: X X f(x) ' f (x) f (xi ) Ni (x) + f (x j ) Nj (x) i ; ; ; j ; ; ; si la rmplazamos n la antrior y utilizamos l cambio d variabl

15 f l f i f j h N l (x ()) f (xi ) Ni (x ()) + f (x j ) Nj (x ()) x () d Ni () f (x i ) Ni () + f (x j ) Nj () h d para l i Nj () f (x i ) Ni () + f (x j ) Nj () h d para l j Para l lmnto gnérico: xplícitamnt: K K f K K f N () N () N () h d + h d + N () h d + h d + K K K K K f f f N () N () h d ( ) h ( ) d h N () N () h d ( ) h ( + ) d h N () [f (x i ) N () + f (x j ) N ()] h d ( ) f ( ) + f ( + ) h d f h + f N () N () N () h d + h d + N () h d + h d + N () N () h d ( + ) h ( ) d h N () N () h d ( + ) h ( + ) d h N () [f (x i ) N () + f (x j ) N ()] h d ( + ) f ( ) + f ( + ) h d f h + f

16 K h f h f + f f + f Para, h, f f(), f f(),, K 8 f Para, h, f f(), f f(),, K 8 f Para, h, f f(), f f(),, K 8 f Para, h, f f(), f f(),, K 8 f Dbido a la propidad d aditividad d las matrics K y dl vctor f, tndrmos qu K K f f + K + K + K + f + f + f K + f Dbmos tnr n cunta qu l sistma a rsolvr tin incógnitas f ; ; ; ; g por lo cual la matriz global K tndrá dimnsión x, l vctor global f tndrá componnts. Entoncs, l lmnto contribuy a la matriz global y vctor d términos indpndints con: K 8 l lmnto con: K 8 l lmnto con: K 8 y l lmnto con: f f f

17 K 8 Sumando obtnmos: f K 8 () f () Al procdiminto qu s basa n la propidad d aditividad y nos prmit ncontrar K, f, s lo dnomina nsambl. Obsrvacions: ) La matriz K obtnida por la propidad d aditividad, tal como stá scrita hasta l momnto s una matriz singular, lo cual dic ntr otras cosas qu no tin invrsa. ) Dado qu hmos utilizado la dscripción local para ncontrar las K y f, y qu s habian quitado d sus xprsions los términos qu las modi can y qu provinn d las condicions d contorno, ntoncs aun no s han tnido n cunta las condicions d bord. Condición sncial: stablc qu n x. Para hacrla cumplir strictamnt ntoncs la función N i dl lmnto db sr cro, lo cual anula las intgrals qu d nn los coh cints d la primr cuacion dl sistma d nido por las matrics contradas (K K ). (Tnr prsnt qu stamos intgrando l rsiduo), admás qu multiplica a los co cints K i por. Como conscuncia l sistma s rduc n una cuación (n st caso la primra) y n una incógnita ( )qu no s tal por la condición d contorno n x. Condición natural: stablc qu x n x. Lugo d intgrar por parts y lgir W l () W l () dió lugar a qu aparcira l trcr término n f l por lo qu la primr cuacion dl sistma N l (x ) N m (x ) x pro, W l (x ), ntoncs podmos ncontrar una aproximación a: () x 8 El sgundo término n la xprsión d f l modi ca l término indpndint asociado a la última cuación dl sistma, ya qu stablc qu: ( N l (x) ( )) x Tnindo n cunta nustra aproximación, N l (x ) N (x ), por lo tanto: f + ( ) ( ) 9 Con stas considracions, l sistma a rsolvr srá:

18 8 8 Obsrvs qu si no s tin la condición n x (condición sncial), la matriz K sguiría sindo singular (d alli su nombr), n cuyo caso xistirían in niatas solucions qu difrirán n un valor constant (compatibl indtrminado). El sistma d d cuatro cuacions con cuatro incógnitas pud ahora rsolvrs para obtnr: Para scribir la solución aproximada, podmos ncontrar Nm (x) qu por la () srán: h x i Ni (x) x N j (x) x h x i Ni (x) x N j (x) x h x i Ni (x) x N j (x) x h x i Ni (x) x N j (x) x ntoncs: 8 Nj >< (x) + Nj (x) x ^ >: 9 N i (x) + N j (x) x N i (x) + N j (x) x N i (x) + N j (x) x 9 > >;