ÓPTICA ESTADÍSTICA GRUPO PILOTO CURSO 2006/2007. Solucionario Ejercicio No.3

Transcripción

1 ÓPTICA ESTADÍSTICA GRUPO PILOTO CURSO 6/7 Solucionario Ejrcicio No.3 a Supondrmos qu la propagación n l spacio libr ntr l plano Z= y l plano Z=D s considra n régimn d Frsnl. Supondrmos también qu las funts F 1 y F stán situadas muy próximas al j Z, d forma qu podmos aplicar la aproximación paraxial n la intgral d Huygns-Frsnl. En fcto, rcordmos qu a partir d la intgral d Sommrfld-Rayligh para la difracción, la distribución d la amplitud complja n l plano XY s: ( ( ( ikr 1 xp ψ x, y = ψ x, y cosθ dx dy ( iλ Σ r1 dond r 1 s la distancia dsd l punto funt F 1 hasta l plano XY y cosθ 1 s l ángulo formado ntr la dircción normal (Z y l vctor FR 1 1 y análogamnt para la funt F. El factor cosno s l llamado factor d inclinación. En aproximación paraxial: cosθ 1; = 1,. Ello nos prmit xprsar la amplitud complja difractada n l i i plano XY mdiant la intgral d Frsnl. Dfinimos: 1.- Plano X Y :.- Plano XY: Ants d las rndijas: ψ (, δ(, δ(, F x y = x x y + x + x y ( s s x y A F x y dx dy (, (, + ik ( x x ( y y D + = (3 Aplicando las propidads d la δ-dirac, la c.(3 s: ψ xy = A + (, ik ik ( x xs y ( x xs y D D (4 La onda difractada rprsntada n la c.(4 intracciona con las rndijas. Dfinimos la transmitancia n amplitud asociada a las dos rndijas:

2 x d y x+ d y R( x, y = rct, + rct, a a a a (5 Por tanto, n l plano postrior a las rndijas, la distribución d la amplitud complja srá: ψ ( xy, ψ ( xy, R( xy, + = (6 La onda difractada xprsada n la c.(6 s propaga hasta l plano Z. D nuvo aplicando la intgral d Frsnl: ikz ' ik + ( x α + ( y β z ' ψ ( αβ, = ψ + ( x, y dxdy iλz' (7 Nos intrsa rscribir la c.(7: ikz ' ik ik ik ( α + β + x y [ x y] z' z' + α + β z' ψ ( αβ, ψ + ( x, y dxdy iλz' = (8 D acurdo con las condicions dl xprimnto: aproximación d campo ljano, s dcir: z' a λ >>, podmos suponr ik x + y z ' 1 (9 Por tanto, la c.(8 s xprsa ahora como una intgral d Fraunhofr, y s xprsa matmáticamnt: ikz ' ik ( α + β z ' ψ ( αβ, = TF ψ+ ( x, y iλz' (1 Dond TF rprsnta l oprador Transformada d Fourir. D acurdo con las propidads d la TF: (, = (, (, = (, (, TF ψ+ x y TF ψ x y R x y TF ψ x y TF R x y Dond: rprsnta la opración d convolución. D la c.(11 sgún las propidads d la TF inmdiatamnt podmos formular: (11

3 x d y x+ d y TF R ( x, y = TF rct, + rct, = a a a a πα i d ( α β ( α β πα i d + a sinc a ', a ' + a sinc a ', a ' = (1 ( α β ( πα 4asinc a ', a ' cos ' d α β Dond: α' = ; β' λz' = λz', son frcuncias spacials. Est rsultado nos indica qu la difracción por las rndijas vin afctada d un término d modulación qu dpnd d d, como ra d sprar. Por otra part tnmos qu calcular: TF ψ ( x, y = TF A + (13 Por convnincia podmos rorganizar la opración: ik ik ( x xs y ( x xs y D D ik ik ik ( x + xs + y xxs + xxs D D D TF ψ ( x, y = A TF + = ik ( x + xs + y k D A TF cos xxs = D ik ( x + xs + y k D A TF TF cos xxs D (14 Aplicamos la propidad: TF 1 { cos( πα } ' x = δ ( α ' α ' + δ ( α ' + α ' (15

4 Por tanto: ik ( x + xs + y D ' ' TF ψ ( x, y = TF δ( α' α + δ( α' + α xs con: α ' = λd Para calcular: (16 ik ik ik ( x + xs + y xs ( x + y D D D TF = TF d la transformada d Fourir: harmos uso d la siguint propidad Propidad: { } πξ i x i πα i ' ξ TF = ; ξ = 1 λd (17 ξ Y análogamnt para l término dpndint d y. Sustituyndo: ik xs i πλ i D( α' + β' D ' ' TF ψ ( x, y = A δ( α' α + δ( α' + α λd (18 D nuvo para sguir oprando dbmos aplicar propidads d la convolución. Propidad: Sa f(x una función arbitraria: f ( x δ ( x x f ( x x constant. =, sindo x una Por tanto, sustituyndo n la c.(18: (( ( ( ik xs i i D ' ' ' i D ' ' ' D πλ α α + β πλ α+ α + β TF ψ ( x, y = A + λd (19

5 Nos convin oprar n la c.(19 para facilitar un rsultado más simplificado. πλ i D( α' + β' TF ψ ( x, y = Ai cos ( πxsα' ( Dond obsrvamos qu obtnmos, obviando constants, un término d fas cuadrática originado por la propagación d la prturbación mrgnt d las funts (spctro angular afctado por un término d modulación originado por la iluminación con dos funts sparadas una distancia x s. Hmos llgado a la c.( para hacr una intrprtación, sin mbargo a fctos d cálculo s prfribl utilizar la c.(19. Sustituimos las cs.(1 y (19 n la c.(11, y tnindo n cunta la propidad distributiva d la convolución: ( α', β' cos ( πα' (( ( TF x y ia a sinc a a d = ( ik xs i D ' ' ' i D ' ' ' D πλ α α + β πλ α+ α + β ψ + (, = 4 + ia 4a ik x D s (( ' ' ' πλ i D α α + β sinc( aα', aβ' cos ( πα' d πλ i D( ( α' + α' + β' + sinc a a d ( α', β' cos ( πα' (1 La c.(1 rprsnta una opración d convolución muy complja y dbn d buscars métodos aproximados para su cálculo. Esta aproximación s posibl pusto qu stamos trabajando n aproximación paraxial. En s caso los términos d fas cuadráticos s pudn hacr tndr a una δ-dirac. Es lo mismo qu admitir qu una Gaussiana tin toda su nrgía concntrada alrddor dl orign. D forma gnral: ik σ x z 1 x π δ πλ i σ λ z, σ dond σ s una constant. En nustro caso s pud comprobar qu σ = D z '. Y fctivamnt la condición n l límit s l régimn n campo ljano. Salvo factors constants, aplicando las propidads d la δ-dirac n la convolución obtndrmos una distribución d intnsidad: Volvindo a la c.(1 podmos formular:

6 ( x, y ψ ( α', β' TF ψ+ = = ik xs ' i ( ' ' D πλ i Dα πλα + β = Ai 4a cos πα ' α ' sinc aα ', aβ ' cos πα ' d ( ( ( Si aplicamos la aproximación sobr l término d fas cuadrático, salvo factors constants: ik ψ α β δ α β πα α α β πα xs D πλ i Dα ( ', ' = Ai 4 a ' ( ', ' cos( ' ' sinc( a ', a ' cos ( ' d ( (3 Cuya rprsntación intgral s: + ( ', ' = (, cos( ' ( ( ', ( ' cos ( ( ' ψ α β C δ u v πuα sinc a α u a β v π α u d dudv ik xs D C = Ai 4a πλ i Dα' Por las propidads d la dlta-dirac n la intgración: (4 Propidad: + ( u f ( ' u du = f ( ' δ α α ( ', ' ( cos( ' ( ( ' cos ( ( ' ( ( ( ' ψ α β = C δu πuα sinc a α u π α u d du δv sinc a β v dv = ( α', β' cos ( π α' =Csinc a a d + + Sustituyndo la c.(5 n la c.(1: (5 ikz ' ik ( z ' ψ ( αβ, = C α + β sinc a α,a β cos πd α iλz' λz' λz' λz' (6

7 Por tanto, la distribución d la intnsidad n l plano d obsrvación s: C α β α = = λ z' λz' λz' λz' I( αβ, sinc a,a cos πd C α β α = sinc a,a 1 cos d π λ z' λz' λz' + λz' (7 Cuya rprsntación normalizada al valor máximo d la función s: 1 Inorm (, sinc a α,a β 1 cos d α αβ = π λz' λz' + λz' (8 Qu s l rsultado final hay qu quríamos llgar (véas Figura 1. b Si hacmos un studio comparativo con la formula gnral para la ly gnral d intrfrncias: ( r ( α = ' γ 1 α cos πd λz ( α = ' γ1 α xp πd λz (9 Es inmdiato comprobar qu l grado d cohrncia spacial s: Y l factor visibilidad s la unidad. γ 1 ( = 1 (3 c Es vidnt qu la aproximación paraxial sólo s válida cuando las funts puntuals stán muy próximas. D forma gnral s stima qu l rango d valors d los ángulos θ 1 y θ staría comprndido ntr y π/1 radians. Con los datos numéricos qu s nos dan sin más qu hacr una comprobación por trigonomtría s compruba qu la aproximación paraxial s válida.

8 Figura 1.- Distribución d la intnsidad n l plano d obsrvación d acurdo con la cuación (8. S han introducido los datos numéricos dados n la scción c. Nóts qu la nrgía stá prácticamnt cntrada n l orign como ra d sprar al habr ralizado la aproximación paraxial. El trazo discontinuo mustra l comportaminto numérico d sinc (aα. La rprsntación d la fig. 1 corrspondint a la solución dada n la c.(8 corrspond al comportaminto n l límit dl xprimnto d difracción. En st límit l sistma no rsulv las dos funts puntuals (sparadas 1 mm qu s comportan como una sólo funt virtual. Para studiar l fcto d la sparación d las funts, podmos incluir un factor d forma adicional n la c.(8 como una función sinc dsplazada qu afcta al factor d forma ntr corchts. El rsultado s pud obsrvar n la figura. S obsrva como ahora aparcn dos contribucions n la difracción, cada una d llas asociada a cada funt virtual, rspctivamnt. En la stimación s ha comprobado qu si las rndijas stán sparadas mm. con los datos dados, l sistma tampoco rsulv las dos funts virtuals. S rquir una sparación ntr funts d al mnos 3 mm. para qu s aprci l fcto d cada funt por sparado.

9 Distribución intnsidad difractada (unidads arbitrarias α (m Figura.- Distribución d la intnsidad difractada para las dos funts virtuals rsultas por l sistma. En st caso la sparación ntr funts s d 3 mm. S han tnido n cunta los otros datos numéricos dados n l nunciado.