Problemas Temas 9-10 Transformadas de Laplace y Fourier

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1 Ingniro Industrial Transformadas Intgrals y Ecuacions n Drivadas Parcials Curso 200/ J.A. Murillo) Problmas Tmas 90 Transformadas d Laplac y Fourir 4. Utiliza la transformada d Laplac para rsolvr los siguints problmas para la cuación d ondas unidimnsional no homogéna n una smirrcta, tnindo n cunta qu s buscan solucions acotadas: u tt t,x) = c 2 u xx t,x) + xsnt), t,x > 0 u0,x) = u t 0,x) = 0, x > 0 4.) ut,0) = snt), t > 0 u tt t,x) = c 2 u xx t,x) + cost + π)snx), t,x > 0 u0,x) = u t 0,x) = 0, x > 0 4.2) ut,0) = φt), t > 0 dond φ : [0,+ [ IR s una función arbitraria qu admit transformada d Laplac. 5. Considrmos la cuación linal dl transport. Una d las cuacions más importants n física d partículas s la d Klin-Gordon, qu n l caso unidimnsional s scrib d la forma: u tt t,x) c 2 u xx t,x) + m 2 ut,x) = 0, t > 0, x IR sindo m,c constants rals. Obtén l valor d la transformada d Fourir d la solución d dicha cuación, s dcir, para las condicions inicials: ût,ξ) = + ut,x) ixξ dx u0,x) = φx), u t 0,x) = 0 dond φ s una función ral d variabl ral d forma qu φ L IR). 2. Utiliza la transformada d Laplac para rsolvr l siguint problma para la cuación linal dl transport con coficints constants: u t t,x) + + x)u x t,x) + ut,x) = 0, t,x > 0 u0,x) = 0, x > 0 t, t < a ut,0) = t > 0 0, t a sindo a > 0 una constant. 3. La cuación unidimnsional dl tlégrafo, qu aparc al studiar la transmisión d sñals a lo largo d un hilo, s d la forma: u tt t,x) = c 2 u xx t,x) βu t t,x) γut,x), t > 0, x IR con c,β,γ 0 constants. Obtén l valor d la transformada d Fourir d la solución d dicha cuación para las condicions inicials dond φ L IR) y β 2 4c 2 γ < 0. u0,x) = φx), u t 0,x) = 0 F) u t t,x) + 2u x t,x) = 0 qu modliza la volución d la concntración d un contaminant n suspnsión n un fluido unidimnsional dispusto a lo largo dl smij ral positivo. S supon qu inicialmnt la concntración s constant igual a cinco unidads, sto s, u0,x) = 5, x 0, y qu no s ralizan nuvas aportacions dsd l orign d la conducción, ut,0) = 0, t 0. Aplica la transformada d Laplac para rsolvr st problma: u t t,x) = 2u x t,x) = 0, t,x > 0 u0,x) = 5, x > 0 ut,0) = 0, t > 0 6. Fijados un instant t 0 0 y un valor dl parámtro 0 < ε < t 0, s considra la función φ t0,ε, dfinida como φ t0,ε : [0,+ [ IR /2ε, si t t0 < ε t φ t0,εt) = 0, n otro caso a) Compruba qu φ t0,ε convrg puntualmnt, cuando ε 0, a la dlta d Dirac cntrada n t 0 : t = t0 δ t0 t) = 0 t t 0 b) Calcula la transformada d Laplac d la función φ t0,ε y compruba qu lim Lφ t ε 0 0,ε)z) = t0z, sirz > 0 D aquí s dduc la rlación Lδ t0 )z) = t0z, Rz > 0. c) Utiliza los rsultados d los apartados antriors para rsolvr l problma: y t) 2yt) = δ π t) y0) = y 0) = 0

2 7. Dado l siguint problma para la cuación d ondas: u tt t,x) = c 2 u xx t,x), t > 0, x IR S pid: u0,x) = fx), u t 0,x) = 0, x IR a) Utiliza la transformada d Fourir para probar qu la solución dl problma transformado s ût,ξ) = fξ)cosctξ) b) Usa las propidads d la transformada invrsa d Fourir para obtnr la solución dl problma antrior. 8. Sabindo qu δt) s la dlta d Dirac n l punto cro, utiliza la transformada d Laplac para rsolvr l problma di t t) + 6it) + 5 is)ds = δt) dt 0 i0) = 0 qu corrspond l modlo matmático d un circuito d tipo RCL, dond L = milihnrios, R = 6 ohmios y C = /5 microfaradios, sindo it) la intnsidad dl circuito n cada instant t > Considrmos l problma d dtrminar las vibracions transvrsals d una viga lástica d longitud potncialmnt infinita, formulado como: u tt t,x) + u xxxx t,x) = 0, t > 0, x IR ) u0,x) = fx), u t 0,x) = 0, x IR S pid: a) Dmustra la igualdad: ût,ξ) = fξ)cost 2 ξ) b) Sabindo qu la transformada invrsa d cost 2 ξ) s igual a la función ) cos x 2 4t π 4 2t calcula la solución dl problma ). 0. Utiliza la transformada d Laplac para rsolvr l siguint problms d condición inicial y d contorno n l orign para la cuación linal dl transport: u t t,x) + + x)u x t,x) + ut,x) = 0, t,x > 0 u0,x) = 0, x > 0 ut,0) = φt), t > 0 sindo a > 0 una constant y t, t < a φt) = a, t a. Considrmos un problma unidimnsional d transmisión d calor por conducción n una barra aislada n los xtrmos, d forma qu la tmpratura inicial s constant y durant un priodo d timpo actúa una funt d calor: u t t,x) = c 2 u xx t,x) + βx [0,T] t), t > 0, 0 < x < u0,x) = u 0, 0 < x < ) u x t,0) = u x t,) = 0, t > 0 sindo β,u 0 IR, T > 0 constants y, 0 t T X [0,T] t) = 0, t > T la función caractrística dl intrvalo [0,T]. a) Utiliza la transformada d Laplac para ncontrar la solución d ). Qué pasará con la tmpratura d la barra cuando pas mucho timpo t )? b) Rsulv ahora l caso n qu la tmpratura inicial no s constant, u0,x) = cosπx) y studia l comportaminto asintótico dl sistma, s dcir, cuál s l valor d la solución n cada 0 < x < cuando t. 2. Dado l siguint problma para la cuación d ondas sobr la smirrcta [0,+ [: y tt t,x) = c 2 y xx t,x) + X [0,T] t)cos ωx), t > 0, x > 0 y0,x) = y t 0,x) = 0, x > 0 ) yt,0) = ϕt), t > 0 con c,ω,t > 0 constants, X [0,T] la función caractrística dl intrvalo [0,T],, 0 t T X [0,T] t) = 0, t > T y ϕ : [0,+ [ IR una función arbitraria, utiliza la transformada d Laplac para ncontrar la solución acotada d ). 3. Utiliza la transformada d Laplac para obtnr la solución acotada d la siguint cuación d ondas n una smirrcta: y tt t,x) = c 2 y xx t,x) + δt 2)cosπx), t,x > 0 yt,0) = sn + t), t > 0 y0,x) = y t 0,x) = 0, x > 0 sindo δ la función impulso d Dirac. 4. La volución d la tmpratura n una barra unidimnsional d longitud unidad aislada n los xtrmos y sobr la qu actúa durant un cirto priodo d timpo una funt d calor s dscrib matmáticamnt mdiant l siguint problma suponindo qu solamnt s transmit calor por difusión): u t t,x) = c 2 u xx t,x) + αx [T,T2]t), t > 0, 0 < x < u0,x) = cosπx), 0 < x < ) u x t,0) = u x t,) = 0, t > 0

3 con c > 0, 0 < T < T 2 y α IR constants, dond ut,x) indica la tmpratura dl punto x n l instant t y, T t T 2 X [T,T2]t) = 0, n otro caso s la función caractrística dl intrvalo tmporal [T,T 2 ] durant l cual actúa sobr la barra una funt d calor d intnsidad α. a) Suponindo qu T 2 <, utiliza la transformada d Laplac para ncontrar la solución d ). b) Ptos.) Encuntra la solución d ) para T 2 =. c) Dtrmina l stado asintótico dl sistma, s dcir, l valor d la tmpratura n cada punto cuando t + para la solución obtnida n cada uno d los antriors apartados. Obsrvas alguna difrncia? Puds darl una intrprtación física? Solución: Aplicando la transformada d Laplac sobr la variabl tmporal t s dfin la siguint función transformada Por otra part, Ux,z) = Lu,x))z) = Lu t,x))z) = u0,x) + zux,z), + 0 ut,x) tz dt Lu xx,x))z) = 2 U x 2 x,z) d dond, aplicando la transformada d Laplac sobr la cuación dl calor, tnindo n cunta su linalidad, s obtin la cuación transformada u0,x) + zux,z) = c 2 2 U x 2 x,z) + α T z T2z) z sobr l dominio compljo C + = z C : Rz) > 0. Tnindo n cunta la condición inicial dl problma original s rcrib la cuación transformada 2 U x 2 x,z) = z c 2 Ux,z) + α T z T2z) c 2 cosπx) z c 2 PT ) como una cuación difrncial linal d ordn dos rspcto d la variabl spacial x) con coficints constants y complta. Para obtnr su solución gnral s calcula n primr lugar la solución gnral d la cuación homogéna asociada, qu claramnt s d la forma A x z/c + B x z/c con A, B constants. Sguidamnt s obtin, usando l método d los cficints indtrminados, una solución paticular d l cuación complta ϕx) = cosπx) T l z T2z) ) con lo qu la solución gnral d PT ) srá Ux,z) = A x z/c + B x z/c + cosπx) T l z T2z) ) Para dtrmina l valor d las constants s usan las condicions d contorno n l problma original ), qu proporcionan las siguints igualdads para cada z C + : 0 = Lu x,0))z) = U z x 0,z) = A B) A B = 0 c y 0 = Lu x,))z) = U z x,z) = A ) z/c B z/c A z/c B z/c = 0 c El dtrminant dl sistma linal srá, z/c + z/c 0 para cada z C +, por lo qu la solución única srá A = B = 0. Es dcir, la solución dl problma transformado srá Ux,z) = cos πx) T z T2z) ) Para dtrminar la solución dl problma original basta con calcular la transformada invrsa d la función antrior, s dcir, ut,x) = L cos πx) T z T2z) ) t) = cos πx) L )t) L T z )t) + αl T 2z ) t) ) ) = cos πx) L z )t) L 2 t) + αl T t) T 2 usando la linalidad d L y la propidad d traslación. Finalmnt, tnindo n cunta qu ) L z + c 2 π 2 t) = c2 π 2 t L )t) = t podmos scribir la solución dl problma original cuando T 2 < + : c2 π 2t cosπx), t < T, 0 < x < ut,x) = c2 π 2t cosπx) α t T ), T t < T 2, 0 < x < c2 π 2t cosπx) + α T T 2 ), t T 2, 0 < x < Sol: ) Si la funt d calor actúa indfinidamnt, T 2 = +, s vidnt qu l problma transformado PT ) srá d la forma 2 U x 2 x,z) = z c 2 U x,z) + α Tz c 2 cosπx) z c 2 PT ) y, siguindo l mismo procdiminto d rsolución, s obtin qu su solución gnral s d la forma U x,z) = A x z/c + B x z/c + cosπx) Tz

4 Finalmnt, usando las condicions d contorno dl problma original, s obtin la solución dl problma transformado para T 2 = + : U x,z) = cos πx) Tz ) d dond, usando la transformada invrsa d Laplac, s obtin la solución dl problma ) para T 2 = + : u t,x) = c 2 π 2t cosπx), t < T, 0 < x < c2 π 2t cosπx) α t T ), t T, 0 < x < Sol: ) Figura 2: Evolución d la tmpratura cuando α = 0 En cuanto al comportaminto asintótico, d Sol: ) s vidnt qu para cada x [0,], s tin qu lim t + ut,x) = α T T 2 ) s dcir, la tmpratura dl sistma tind a stabilizars n l valor constant igual a α T T 2 ). D hcho, si obsrvamos la solución Sol: ), s obsrva qu la volución d la tmpratura n l intrvalo tmporal [0,T [ s la misma qu n l caso homogéno α = 0). A partir d s instant, n l priodo [T,T 2 [ la volución d la tmpratura s v modificada por l fcto dl término funt, stabilizándos a partir dl instant T 2 n qu dja d producirs sta aportación y volucionando hacia la tmpratura d quilibrio. En las siguints gráficas s mustra la volución d la tmpratura n l caso homogéno, α = 0, dond la solución s c2 π 2t cosπx), tomando c = 0.3: 0. t = 0 t = t = t =.5 t = 2 t = 2.5 Figura : Caso α = 0 S obsrva qu la tmpratura tind a stabilizars n cro, lo qu s aprcia mjor combinando n una misma gráfica los prfils d tmpratura. Todas las gráficas qu s incluyn han sido ralizadas con l programa Mathmatica c y xportadas n formato PostScript ncapsulado.ps) A continuación vmos las mismas gráficas para l caso d un término funt d intnsidad α = qu actúa durant un priodo d timpo finito T =, T 2 = 2: 0. t = 0 t = t = t =.5 t = 2 t = 2.5 Figura 3: Caso α =, T =, T 2 = 2 S obsrva claramnt qu las trs primras gráficas, corrspondints al priodo n qu la tmpratura voluciona librmnt, son iguals a las d la Figura, mintras qu n l instant n qu mpiza a actuar l término funt, T =, cominza a cambiar l prfil d la volución d la tmpratura. En st caso, como s ha calculado antriormnt, s obsrva qu una vz dja d actuar l término funt la tmpratura s stabiliza n l valor αt T 2 ) =, lo qu s aprcia mjor n la siguint Figura 4 n la qu s combinan las gráficas d la figura antrior. Finalmnt, n l caso n qu la funt d calor actúa indfinidamnt, T 2 = +, d Sol: ) s tin qu, α > 0 lim t + u t,x) = +, α < 0 para cada x [0,]. En particular, cuando pasa mucho timpo, t >> 0, s tin qu c2 π 2t 0, lugo u t,x) αt t). Es dcir, la tmpratura s vulv aproximadamnt

5 Figura 4: Funt d calor actuando un priodo finito d timpo Figura 6: Funt d calor actuando un priodo infinito d timpo constant n toda la barra y va tndindo a infinito con l timpo, lo qu coincid con l rsultado qu intuitivamnt uno spra obtnr. En la siguint figura s mustran los prfils d tmpratura corrspondints a st caso: Para trminar s mustran las gráficas d la volución d la tmpratura n l priodo d timpo [0,0] n trs puntos significativos d la barra, los xtrmos y l punto mdio. En llas s obsrva claramnt l distinto comportaminto asintótico d las solucions n cada uno d los casos, rprsntados n rojo caso homogéno, α = 0), morado término funt α = actuando un intrvalo finito d timpo, T =, T 2 = 2) y vrd término funt actuando indfinidamnt, T =, T 2 = + ) t = 0 t = t = x = 0 x = x = Figura 7: Evolución d la tmpratura n distintos puntos t =.5 t = 2 t = 2.5 Figura 5: Caso α =, T =, T 2 = + qu admás aparcn combinados n la Figura 6. También la distribución d tmpraturas d la barra n los instants t = 0 y t = 20 sigindo l mismo código d colors. Prstar atnción a la scala dl j vrtical dond s obsrva qu las ĺınas n rojo y morado stán stabilizadas, mintras qu la azul s dsplaza hacia abajo al aumntar l timpo t = 0 t = 20 Figura 8: Tmpratura d la barra n timpos grands