I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

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Eva María Medina Cuenca
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1 I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. La MEDIA ARITMETICA o PROMEDIO o smplmnt LA MEDIA Es la mdda d tndnca cntral más utlzada, la cual s rprsnta mdant l símbolo X y corrspond al promdo d todos los valors d la mustra, y s dfn como l cocnt ntr la suma d todos los datos y l númro total d datos. S los datos son no agrupados, para ncontrar la mda X, s suman todos los valors d la x x... x 1 n varabl y s dvdn n l númro total d datos (N) X N Ejmplos: a) Al fnal d cada ms, un fabrcant d varos mrcados d vntas md la fcaca d sus 15 vnddors a crédto, xprsando sus malas acrncas como porcntaj d vntas; obtn n un ms: 8,0; 9,4; 11,0; 10,9; 9,9; 9,8; 10,0; 4,; 9,5; 9,8; 10,1; 9,0; 8,8; 7,5 y 8,0%, rspctvamnt. Hallar la mala fcaca promdo dl grupo. 8,0 9,4 11,0 10,9 9,9 9,8 10,0 4, 9,5 9,8 10,1 9,0 8,8 7,5 8,0 X 9,06 15 Por lo tanto, la mala fcaca promdo dl grupo d vnddors s aproxmadamnt dl 9% b) El ntrnador d baloncsto tn un qupo d 5 studants conformado así: Mgul tn 17 años, Pdro 16, Albrto 0, Gonzalo 19 y Camlo 3. l ntrnador ncsta conocr la dad promdo dl qupo. X Por lo tanto, la dad promdo dl qupo s d 19 años. S los datos son agrupados, para calcular la mda X s utlza la fórmula: X rcurd qu f = a la frcunca absoluta y X = marca d clas o punto mdo. Ejmplos: a) En la sgunt tabla s mustra la cantdad d tmpo ddcada por 40 prsonas a studar n casa. Tmpo n mnutos L L X f F s [15, 5) [5, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) (65, 75] X f N * X ; ,75 En promdo, las prsonas ncustadas ddcan 44,75 mnutos daros a studar n casa.

2 b) El profsor d socals publcó las notas d los 30 studants dl curso octavo d la sgunt manra: Intrvalos Marcas d Frcuncas Frcuncas Frcuncas clas absolutas acumuladas rlatvas Notas Notas N d studants N d studants % d studants L L s X f,0,4, 7 7 3,3,5,9, ,7 3,0 3,4 3, 6 1 0,0 3,5 3,9 3, ,7 4,0 4,4 4, , ,0 Sgún los datos rprsntados n la tabla antror hall l promdo dl grupo. Los studants aprobaron la matra? 7, 8,7 6 3, 5 3,7 4 4, X 30 F h X 15,4 1,6 19, 18,5 16, ,5 30 3,05 En promdo, los studants obtuvron 3,05 n la calfcacón d socals. Por lo tanto, aprobaron la matra.. MODA La moda s l valor con una mayor frcunca absoluta n una dstrbucón d datos. S rprsnta por M o S pud hallar la moda para varabls cualtatvas y cuanttatvas. Moda d datos no agrupados: La moda s l valor qu tn mayor frcunca absoluta. Hallar la moda d la dstrbucón:, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M o = 4 S n un grupo hay dos o varas puntuacons con la msma frcunca y sa frcunca s la máxma, la dstrbucón s bmodal o multmodal, s dcr, tn varas modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M o = 1, 5, 9 Cuando todas las puntuacons d un grupo tnn la msma frcunca, no hay moda.,, 3, 3, 6, 6, 9, 9 S dos puntuacons adyacnts tnn la frcunca máxma, la moda s l promdo d las dos puntuacons adyacnts Ejmplo: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4 Moda d datos agrupados: Para obtnr la moda n datos agrupados s usa la sgunt fórmula: D 1 M L Dond: L o 1 D D 1 = Límt nfror d la clas modal. 1 D 1 = s l dlta (dfrnca) d frcunca absoluta modal y la frcunca absoluta prmodal. D = s l dlta (dfrnca) d frcunca absoluta modal y la frcunca absoluta postmodal. = ampltud dl ntrvalo.

3 El ntrvalo modal s l d mayor frcunca absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados ants d dfnr la moda, s ha d dfnr l ntrvalo modal. La moda, cuando los datos stán agrupados, s un punto qu dvd al ntrvalo modal n dos parts d la forma p y c-p, sndo c la ampltud dl ntrvalo, qu vrfqun qu: Sndo la frcunca absoluta dl ntrvalo modal las frcuncas absolutas d los ntrvalos antror y postror, rspctvamnt, al ntrvalo modal. Ejmplos: a) Calcular la moda d una dstrbucón stadístca qu vn dada por la sgunt tabla dl pso d 100 prsonas d un grupo unvrstaro: P s o n K g r f X F [ 60, 63) 5 61,5 5 [ 63, 66) 18 64,5 3 [ 66, 69) 4 67,5 65 FILA MODAL [ 69, 7) 7 70,5 9 [ 7, 75) 8 73,5 100 M o , La moda n l pso d las prsonas ncustadas s 67,84 klogramos. b) En la sgunt tabla s mustra la cantdad d tmpo ddcada por 40 prsonas a studar n casa. FILA MODAL Tmpo n mnutos L L s X f F [15, 5) [5, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) (65, 75] M o La moda n las prsonas ncustadas s 40 mnutos daros ddcan a studar n casa.

4 3. MEDIANA La mdana s l valor d la varabl qu dja l msmo númro d datos ants y dspués qu él, una vz ordnados stos. D acurdo con sta dfncón l conjunto d datos mnors o guals qu la mdana rprsntarán l 50% d los datos, y los qu san mayors qu la mdana rprsntarán l otro 50% dl total d datos d la mustra. La mdana concd con l prcntl 50, con l sgundo cuartl y con l qunto dcl. Exstn dos stratgas para calcular la mdana: consdrando los datos n forma ndvdual, sn agruparlos, o bn utlzando los datos agrupados n ntrvalos d clas. D sta manra: Datos sn agrupar San x, x, x,... x 1 3 n los datos d una mustra ordnada n ordn crcnt y dsgnando la mdana como M, s dstngu dos casos: a) S n s mpar, la mdana s l valor qu ocupa la poscón n 1 una vz qu los datos han sdo ordnados (n ordn crcnt o dcrcnt), porqu ést s l valor cntral. Es dcr: M = x n 1. Ejmplo, s s tnn 5 datos, qu ordnados son: x 1 = 3, x = 6, x 3 = 7, x 4 = 8, x 5 = 9 El valor cntral s l trcro: x 5 1 = x 3 = 7. Est valor, qu s la mdana d s conjunto d datos, dja dos datos por dbajo (x 1, x ) y otros dos por ncma d él (x 4, x 5 ). b) S n s par, la mdana s la mda artmétca d las dos obsrvacons cntrals. Cuando n s n n par, los dos datos qu stán n l cntro d la mustra ocupan las poscons y + 1. Es x n x n 1 dcr: M Ejmplo, s s tnn 6 datos, qu ordnados son: x 1 = 3, x = 6, x 3 = 7, x 4 = 8, x 5 = 9, x 6 = 10 => Hay dos valors qu stán por dbajo dl x x 7 y otros dos qu 6 3 qudan por ncma dl sgunt dato x x x 8. Por tanto, la mdana d st grupo x x d datos s la mda artmétca d stos dos datos: M 7, 5. Datos agrupados n Al tratar con datos agrupados, s concd con l valor d una frcunca acumulada, l valor d la mdana concdrá con la abscsa corrspondnt. S no concd con l valor d nnguna abscsa, s calcula a través d smjanza d trángulos n l hstograma o polígono d frcuncas acumuladas, utlzando la sgunt quvalnca a: M n F L Dond: 1 f

5 L 1 = Límt nfror d la clas modal. frcunca acumulada ants d la fla modal. ampltud dl ntrvalo. n = mtad d los datos mustrados. F = s la f = frcunca absoluta d la fla modal = Ejmplos para datos sn agrupar: 1. Hallar la mdana d las sgunts srs d númros: a) 3, 5,, 6, 5, 9, 5,, 8. Ordnando los datos,, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9. M = b) 3, 5,, 6, 5, 9, 5,, 8, 6. Ordnando los datos,, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9. M 5 c) 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 1, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 0, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 Ordnando los datos 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 1, 13, 13, 14, 16, 16, 17, , 18, 0 M 10 Ejmplos para datos agrupados:. Hallar la mdana d la dstrbucón stadístca qu vn dada por la sgunt tabla: Tmpo [10, 15) [15, 0) [0, 5) [5, 30) [30, 35) n 1 S halla la mtad d los datos =10,5 s pud trabajar n dcmals o n fraccons. M f , Rta. La mdana d los datos d la dstrbucón s 1,78 3. Calcular la mdana d las alturas d los jugadors d un qupo d baloncsto, qu vnn dadas por la tabla: Altura n m [1,70 1,75) [1,75 1,80) [1,80 1,85) [1,85 1,90) [1,90 195) [1,95,00) Nº d jugadors M , ,35 9,95 1,85 0,05 1,85 0,05 1,85 0,05 1, Rta. La mdana d las staturas d los jugadors s d 1,87 mtros

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