Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

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1 Cálculo y EstadísTICa. Prmer Semestre. EstadísTICa Curso Prmero Graduado en Geomátca y Topografía Escuela Técnca Superor de Ingeneros en Topografía, Geodesa y Cartografía. Unversdad Poltécnca de Madrd Capítulo I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Manuel Barrero Rpoll. Mª Ángeles Castejón Solanas. Mª Lusa Casado Fuente. Lus Sebastán Lorente. Departamento de Ingenería Topográfca y Cartografía Unversdad Poltécnca de Madrd

2 -I

3 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Conceptos generales 5. Tpos de varable estadístca 5.3 Dstrbucón de frecuenca. Sumaro estadístco 6.4 Agrupacón en ntervalos 9.5 Representacones gráfcas.5. Representacón gráfca de varables estadístcas dscretas.5.. Dagrama de barras.5.. Polígono de frecuenca.5..3 Polígono de frecuencas acumuladas.5. Representacón gráfca de varables estadístcas dscretas con valores agrupados en ntervalos.5.. Hstograma de frecuencas.5.. Polígono de frecuencas.5..3 Polígono de frecuencas acumuladas.5.3 Representacón gráfca de varables estadístcas cualtatvas Dagrama de barras.5.3. Dagrama de sectores.6 Los gráfcos en EXCEL 5.7 Parámetros estadístcos. Introduccón 7.8 Meddas de poscón y centralzacón 8.8. Moda.8. Medana.8.3 Cuantles.8.4 Meda artmétca. Propedades.9 Cálculo con EXCEL de los parámetros de poscón y tendenca central de un conjunto de datos ndvdualzados 3 3-I

4 . Meddas de Dspersón 5.. Rango de la varable estadístca.. Rango ntercuartílco..3 Varanza y desvacón típca. Propedades..4 Cuasvaranza o Varanza muestral. Propedades..5 Coefcente de varacón de Pearson. Propedades. Cálculo con EXCEL de los parámetros de dspersón de un conjunto de datos ndvdualzados 8. Momentos 8.. Relacones entre los momentos.. Cálculo con EXCEL de los parámetros estadístcos cuando los datos están agrupados.3 Meddas de forma 9.3. Coefcente de asmetría de Pearson.3. Coefcente de asmetría de Fsher.3.3 Coefcente de apuntamento o curtoss.4 Errores en las observacones 3.4. Valores atípcos. Outlers.4. Gráfcos de caja. Boxplot 4-I

5 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Conceptos generales. La Estadístca es la cenca que trata de la teoría y de la aplcacón de métodos apropados para representar, resumr y analzar datos, así como realzar nferencas o pronóstcos a partr de los msmos. Por su enfoque, se puede clasfcar en Estadístca Descrptva e Inferenca Estadístca. La Estadístca Descrptva tene como objetvo el tratamento numérco y gráfco de los datos procedentes de un colectvo, con objeto de descrbr o resaltar algunas de las propedades de dcho colectvo. El objetvo de la Inferenca Estadístca es el estudo de las técncas que permten la realzacón de pronóstcos sobre la poblacón a partr de una muestra. Para el estudo de la estadístca descrptva, comenzamos abordando los sguentes conceptos: o Poblacón y Muestra. o Varable estadístca. o Frecuencas y dstrbucones estadístcas. o Representacones gráfcas. Poblacón y Muestra o Una poblacón estadístca es un conjunto de elementos del cual nos nteresa estudar alguna característca común. o Una muestra es un subconjunto de la poblacón estadístca. o La característca común que estudamos de una poblacón se denomna varable estadístca. La varable estadístca presentara dversas modaldades que serán los posbles valores que puede tomar la varable. De una poblacón de marcas de coche podemos estudar entre otras las sguentes varables estadístcas: Varable estadístca Carrocería Berlna. Modaldades Todo terreno. Famlar. Potenca en c.v. 65, 83, 9, 5, 3, Varable estadístca Combustble Gasolna 95. Modaldades Gasolna 98. Gasol Anchura del vehículo (mm) 67, 75, 8, Tabla.. Tpos de varable estadístca. Según sea la naturaleza de los valores, la varable estadístca puede clasfcarse en dos grupos: Escuela Técnca Superor de Ingeneros en Topografía Geodesa y Cartografía 5-I

6 Cualtatvas. Cuando los valores que toma la varable no son numércos. o La carrocería de un vehículo (varable estadístca). Berlna, Todo terreno, Famlar (valores o modaldades) Cuanttatvas. Cuando los valores que toma la varable son números reales. o Potenca en c.v. (varable estadístca). 65, 83, 9, 5, 3, (valores o modaldades) Las varables cuanttatvas se clasfcan en dscretas y contnuas. Una varable estadístca cuanttatva es dscreta s sus posbles valores pertenecen a un conjunto numerable. El caso más frecuente es aquél en que los posbles valores son números naturales; por ejemplo, el número de asentos de un coche es una varable estadístca dscreta. Una varable estadístca cuanttatva es contnua s sus posbles valores pertenecen a un conjunto no numerable, en general valores de Ro de un ntervalo de R; por ejemplo, la anchura del vehículo es una varable estadístca contnua.3 Dstrbucón de Frecuenca. Sumaro estadístco. El estudo de las dstrbucones de frecuenca tene como objeto construr tablas vertcales u horzontales que se utlzarán para una mejor presentacón e nterpretacón de los datos obtendos en la muestra. En la prmera columna (fla) se escrben los valores de la varable y en la segunda el número de veces que se repte el valor de la varable. 6-I Se dstnguen cuatro tpos de frecuencas: o Frecuenca absoluta n. o Frecuenca relatva f. o Frecuenca absoluta acumulada N. o Frecuenca relatva acumulada F. Frecuenca absoluta del valor x. Llamamos frecuenca absoluta (n ) del valor x de una varable estadístca X, al número n de veces que se repte el valor x. La suma de todas las frecuencas absolutas, es el número total de elementos que componen la muestra y que representamos por n. n + n n = n = n = La tabla (.3.) formada por los valores de la varable junto con sus respectvas frecuencas absolutas se denomna dstrbucón de frecuencas absolutas. x n x n x n.... x n n Tabla.3.

7 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La dstrbucón de frecuencas absolutas de la muestra {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4} es: x 3 4 n 3 4 Tabla.3. La frecuenca absoluta del valor x =3 es n =4. Se ha obtendo cuatro veces el valor tres. Frecuenca relatva del valor x. Llamamos frecuenca relatva (f ) del valor x de una varable estadístca X, al cocente entre la frecuenca absoluta y el número n de elementos que componen la muestra. X n f f = x n f x f La suma de todas las frecuencas relatvas es gual a la undad... n f = = f f = = = n La tabla (.3.3), formada por los valores de la varable junto con sus respectvas frecuencas relatvas, se denomna dstrbucón de frecuencas relatvas. La dstrbucón de frecuencas relatvas de la muestra {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4} es: X 3 4 f Tabla.3.4 La frecuenca relatva del valor x = 3 es f =.4. El valor 3 aparece en la proporcón de 4/ y, por consguente, el 4% de las veces.. x. f Tabla.3.3 X N x N x N.. x N Tabla = n Frecuenca absoluta acumulada N. Lamamos frecuenca absoluta acumulada (N ) del valor x de una varable estadístca X, a la suma de las frecuencas absolutas de los valores nferores o guales a x, por tanto, N = n j y se verfca N j= = n X N Tabla.3.6 La tabla (.3.6) es la dstrbucón de frecuencas absolutas acumuladas de la muestra {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4}. La frecuenca absoluta acumulada del valor x=3 es N =9. Se han obtendo nueve veces valores menores o guales que 3. 7-I

8 Frecuenca relatva acumulada F. Llamamos frecuenca relatva acumulada (F ) del valor x al cocente entre la frecuenca absoluta acumulada N y el nº total de elementos n, así pues N X F F = n y se verfca F =. La tabla (.3.8) es la dstrbucón de frecuencas relatvas acumuladas de la muestra {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4}. X 3 4 F Tabla.3.8 x F x F.. x.. F = Tabla.3.7 La proporcón de valores menores o guales que 3 es.9 y, por tanto, el 9%. X n f N F Tabla.3.9 Tambén es frecuente usar una tabla llamada sumaro estadístco, en la que aparecen los valores de la varable junto con los valores de los dstntos tpos de frecuenca. El sumaro estadístco para la muestra {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4} puede adoptar la forma de la tabla (.3.9). Las dstrbucones y tablas anterores se utlzan cuando se realzan pocas observacones y, por tanto, la varable tene pocos valores dstntos; o, aunque haya un gran número de observacones, exsten pocos valores de la varable dstntos. Cuando los dstntos valores de la varable son muchos, las tablas anterores no son efcaces ya que su comprensón es más dfícl a medda que aumenta el número de valores dstntos de la varable. Es por ello que se debe agrupar la varable en ntervalos adecuadamente elegdos, y en tal caso, se dce que la varable es contnua por ntervalos. Ejemplo.- Los sguentes valores, proceden de un examen realzado a 8 estudantes, y cuyo rango teórco de valores es de a Observamos que hay una gran cantdad de valores dstntos, por ello, agrupamos los datos en ntervalos como se puede observar en la tabla (.3.). De esta forma, la presentacón de los datos y de los gráfcos son más fácles de asmlar. 8-I

9 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Intervalo x n f N F [3.5 4) /8 3 3/8 [4 4.5) /8 /8 [4.5 5) / /8 [5 5.5) / /8 [5.5 6) 5.75 / /8 [6 6.5] /8 8 Sumas 8 Tabla.3..4 Agrupacón en ntervalos. Para elaborar y entender este tpo de agrupacones necestamos prmeramente estudar algunas nuevas defncones y establecer algunos crteros prevos. Intervalo x n [e o - e ) x n [e - e ) x n [e - - e ) x n [e - - e ] x n Tabla.4. Llamamos e < e < e <... < e a los extremos de los ntervalos en los que agrupamos la varable estadístca. Defnmos ampltud del ntervalo a como la dferenca a = e e. El punto medo x de cada ntervalo se denomna e + e centro o marca del ntervalo x =. Defnmos rango o recorrdo de la varable como la dferenca entre el valor máxmo y el valor mínmo de la varable. Desgnamos por (n ) al número de observacones que quedan dentro del ntervalo [ e, e ). La agrupacón de los datos en ntervalos tene la ventaja de smplfcar los cálculos y el nconvenente de la pérdda de nformacón ya que, una vez que los valores son ntroducdos en un msmo ntervalo, perden su valor real y asumen como valor el valor central del ntervalo. Por ello, debemos elegr los ntervalos de forma que se equlbren los aspectos de smplcdad y pérdda de nformacón. Lo cual nos lleva a ntroducr algunas cuestones subjetvas y que a contnuacón exponemos. Realzacón de las agrupacones. Para evtar la pérdda de nformacón es convenente (aunque no necesaro) que se verfquen las reglas sguentes: Los ntervalos deben tener la msma ampltud. La anchura de cada ntervalo se obtendrá redondeando por exceso el cocente que resulte de dvdr el rango de la varable entre el número de ntervalos elegdo. Aunque no exste una regla fja, recomendamos construr un número de ntervalos próxmo a n o al número + 3.3log (n), y nunca más de ntervalos. 9-I

10 Para que los gráfcos y tablas sean más fácles de comprender, es convenente tomar ntervalos de forma que las ampltudes sean múltplos o submúltplos de 5 o de. Los ntervalos deben solaparse sn ambgüedad. El crtero que seguremos será tomar ntervalos de la forma [a, b), o ben, añadmos en los extremos un decmal más que los utlzados por los valores de la muestra. Los ntervalos deben ser homogéneos, es decr, no deben exstr ntervalos con más del 3% n menos del 5% del total de datos. Es mportante que no exstan ntervalos con frecuenca cero. En el ejemplo del examen realzado a los 8 estudantes, los valores máxmo y mínmo son 6.3 y 3.6 respectvamente, así pues, el rango de la varable es: r = =.7 Deseamos ntervalos con ampltudes múltplos o submúltplos de 5 y extremos de fácl lectura, para ello, s redondeamos el rango a 3 y tomamos e =3.5 con 6 ntervalos, obtenemos ntervalos de ampltud.5. Así pues, tomamos como extremo nferor del prmer ntervalo 3.5, y el valor 6.5 como extremo superor del últmo ntervalo (rango 3). Observen que de esta forma la ampltud de cada ntervalo es.5, los ntervalos son homogéneos, no exsten ntervalos de frecuenca cero y las notas superores e nferores a 5 quedan separadas. Intervalo x n f N F [3.5 4) /8 3 3/8 [4 4.5) /8 /8 [4.5 5) / /8 [5 5.5) / /8 [5.5 6) 5.75 / /8 [6 6.5] /8 8 Sumas 8 Tabla.4. Procedendo de esta forma hemos obtendo el sumaro estadístco de la tabla (.4.)..5 Representacones gráfcas. Una buena representacón gráfca, junto con las tablas de frecuencas anterormente ctadas, permten captar rápdamente las característcas de la muestra así como resumr y analzar los datos. De las muchas formas de representacón gráfca que exsten, estudaremos algunas de las más utlzadas y cómo se realzan con EXCEL. Según sean los datos, las gráfcas se pueden clasfcar en: De Caracteres Cuanttatvos. Varables estadístcas dscretas. -I

11 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Dagrama de barras. Polígonos de frecuencas. Polígonos de frecuencas acumuladas. Varables estadístcas dscretas con frecuencas agrupadas en ntervalos. Hstogramas. Polígonos de frecuencas. Polígonos de frecuencas acumuladas. De Caracteres Cualtatvos. Dagrama de barras. Dagrama de sectores. Pctogramas..5. Representacones gráfcas de las varables estadístcas dscretas.5.. Dagrama de barras. Para la construccón de este gráfco se parte de un sstema de ejes coordenados: en el eje horzontal se representan los valores de la varable X y en el eje vertcal los valores de las frecuencas absolutas n (o relatvas f ). Este gráfco se puede realzar medante barras horzontales o vertcales (columnas). La longtud de cada una de las barras representa la frecuenca absoluta o frecuenca relatva de cada valor. Ejemplo. La tabla (.5.) representa la puntuacón obtenda en un test de preguntas realzado a 45 alumnos. Puntuacón Nº de alumnos Tabla.5. En el gráfco (.5.) representamos el dagrama de columnas (barras vertcales) correspondente al test realzado por los 45 alumnos del ejemplo. Dagrama de barras de frecuencas absolutas n Gráfco.5. En caso de utlzarse para comparar muestras dstntas de una msma varable, se debe tener precaucón, ya que, en este caso, debemos usar frecuencas relatvas para elmnar la nfluenca vsual que ejerce el tamaño de cada una de las muestras..5.. Polígono de frecuencas. Su construccón se realza representando en un sstema de ejes coordenados los puntos (x,n ) o (x,f ), dependendo de que se quera representar el polígono de frecuencas absolutas o el polígono de frecuencas relatvas, unéndose a contnuacón dchos puntos medante una polgonal. -I

12 Polígono de frecuencas absolutas n Gráfco.5. El gráfco (.5.) representa el polígono de frecuencas absolutas de los resultados del test del ejemplo de la págna Polígono de frecuencas acumuladas. Se realza de forma análoga al polígono de frecuencas, pero utlzando los puntos (x, N ) o (x, F ), según se quera representar el polígono de frecuencas absolutas acumuladas o de frecuencas relatvas acumuladas. A contnuacón se unen de forma escalonada los puntos representados. La tabla (.5.) y el gráfco (.5.3) representan la dstrbucón de frecuencas absolutas acumuladas y el polígono de frecuencas absolutas acumuladas del resultado del test del ejemplo de la págna. Puntuacón N Tabla Polígono de frecuencas absolutas acumuladas N Gráfco Representacones gráfcas de varables estadístcas dscretas con valores agrupados en ntervalos.5.. Hstograma de frecuencas. Se utlza para representar datos que han sdo agrupados en ntervalos. Se construye de forma análoga al dagrama de barras pero levantando para cada ntervalo un rectángulo. En este gráfco los rectángulos tenen que solaparse (varable agrupada en ntervalos) y el área de cada rectángulo será proporconal a la frecuenca (n o f ) del ntervalo. S los ntervalos son de gual ampltud, la altura h de cada rectángulo será gual a la frecuenca (n o f ) ya que el área solo dependerá de la altura. -I

13 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Hstograma del ejemplo (Notas de examen realzado por 8 estudantes) Gráfco.5.4 S algún ntervalo es de dstnta ampltud, el cálculo de su altura (h ) se efectuará hallando el cocente n f h ó h, donde a a a representa la ampltud del ntervalo..5.. Polígono de frecuencas. En este gráfco representamos los puntos medos (x, n ) o (x, f ) de cada ntervalo y a contnuacón se unen los puntos medante una polgonal Polígono de frecuencas de datos agrupados en ntervalos. Ejemplo. (Notas de examen realzado por 8 estudantes) Gráfco.5.5 La polgonal debe comenzar y acabar cortando al eje de la varable en los puntos medos de los que serían un ntervalo anteror al prmero y otro posteror al últmo (varable agrupada en ntervalos). De esta forma el área encerrada por el polígono será n o, según que utlcemos n o f Polígono de frecuencas acumuladas. Se trata de poder observar la acumulacón de frecuencas hasta un valor determnado de la varable; por ello, es muy útl para calcular Polígono de frecuencas acumuladas del ejemplo. (Notas de examen realzado por 8 estudantes ) Q Q Gráfco.5.6 percentles de una forma gráfca. El gráfco se obtene al unr medante una polgonal los puntos (e, N ) o (e, F ). Al ser un gráfco de datos agrupados en ntervalos, el polígono sempre empeza en (e, ) y acaba en (e, n) ó (e,). Escuela Técnca Superor de Ingeneros en Topografía Geodesa y Cartografía 3-I

14 .5.3 Representacones gráfcas de varables estadístcas cualtatvas. Exste una gran multtud de gráfcos para representar los datos de una muestra o poblacón de una varable estadístca cualtatva. Nosotros solo mostramos algunos de ellos, y para lustrar las gráfcas explcadas en este epígrafe utlzaremos el sguente ejemplo. Ejemplo 3.- Se pregunta a un grupo de hombres y 5 mujeres sobre sus preferencas de vehículos, sendo éstas las modaldades sguentes: BERLINA, 4X4, DEPORTIVO y MONOVOLUMEN. Los resultados obtendos se reflejan clasfcados por sexo en la sguente tabla: HOMBRES MUJERES Total MODALIDADES n f n f BERLINA DEPORTIVO X MONOVOLUMEN Tabla Dagramas de barras. Para las varables cualtatvas se pueden emplear los dagramas de barras horzontales o en columnas. Ambos conssten en representar las frecuencas medante rectángulos horzontales o vertcales, cuyas longtudes sean guales a la frecuenca absoluta de cada modaldad cualtatva. Dagrama de barras. Mujeres Dagrama de barras. Hombres Berlna Deportvo 4X4 Monovolumen Berlna Deportvo 4X4 Monovolumen Ejemplo 3 Gráfco.5.7 Ejemplo 3 En el caso en que se desee comparar dferentes conjuntos con dferente número de elementos, debemos utlzar la frecuenca relatva para evtar falsear la longtud de las barras. Dagrama de barras. Ejemplo 3,7,6,5,4,3,, Berlna Deportvo 4X4 Monovolumen Gráfco I Hombres Mujeres Así en el ejemplo anteror para comparar las preferencas entre los hombres y las mujeres, debemos utlzar las frecuencas relatvas f como en el gráfco (.5.8).

15 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.5.3. Dagrama de sectores. La dea de este gráfco es semejante a la del dagrama de rectángulos; se camba la longtud de cada rectángulo por la ampltud en los ángulos o en el área de los sectores en que se dvde el círculo. 35% Dagrama de sectores Ejemplo 3 (Hombres) Dagrama de sectores Ejemplo 3 (Mujeres) Berlna Deportvo 4X4 Monovolumen Berlna Deportvo 4X4 Monovolumen 5% 4% % 5% % 6% 6% Gráfco.5.9 Es la representacón en la que el círculo aparece dvddo en sectores, de forma que los ángulos, y por tanto las áreas respectvas, sean proporconales a las frecuencas Pctogramas. La dea de este gráfco es semejante a la del dagrama de rectángulos; la varable se representa por un dbujo de tamaño proporconal a la frecuenca del valor de varable Cartogramas. Son representacones sobre mapas de la varable en estudo. Usualmente los dstntos valores de la varable se representan con colores dstntos o dstnta ntensdad; como ejemplo podemos observar el cartograma elaborado por el Insttuto de Estadístca de la Comundad de Madrd. Consejería de Economía y Consumo sobre la renta per cápta del año 4 en la Comundad de Madrd. 5-I

16 .6 Los gráfcos en EXCEL. En el gráfco (.6.) se representan algunos de los elementos más mportantes de un gráfco de EXCEL. Una vez realzado el gráfco, s pulsamos con el botón secundaro del ratón en estas zonas podremos modfcar el gráfco. Área del gráfco Dagrama de barras Título Eje de valores Líneas de dvsón A B Área de trazado Leyenda Seres de datos Gráfco.6. Rótulos de datos Para realzar con Excel los gráfcos anterormente estudados, selecconamos prmeramente los valores de la varable (modaldades) y sus frecuencas, y a contnuacón selecconamos en el menú Insertar y de él, el botón De este modo aparece una pantalla como la que se muestra en la fgura.6.. Fgura.6. Pulsando la pestaña Aceptar, aparece el gráfco en la msma hoja como el de la fgura I

17 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Observemos que, encma de la pestaña Dseño, aparece otra nueva una pestaña con el nombre de Herramentas de gráfcos y que, pulsando en ella, aparece una nueva barra (fgura.6.3) que permte realzar cambos en el gráfco. Fgura.6.3 Tambén n podemos realzar cambos en el gráfco pulsando el botón secundaro del ratón; en este caso,, según la poscón del puntero se obtenen unas opcones de cambo u otras..7 Parámetros Estadístcos. Introduccón Los parámetros estadístcos son certos valores representatvos de un conjunto de datos, en el sentdo de condensar en ellos la nformacón contenda en dcho conjunto. Estos parámetros estadístcos nos proporconarán nformacón acerca de la stuacón, dspersón y forma de los datos. En este curso estudamos las sguentes meddas o parámetros: Meddas de poscón y de centralzacón. Tenen por objeto dar una dea del valor o valores de la varable, alrededor de los cuales se agrupa una cantdad de datos. Por su mportanca estudaremos los sguentes: Moda. Meda. Medana. Cuantles. 7-I

18 Cuartles. Decles. Percentles. Meddas de dspersón. Estas meddas determnan lo agrupada o dspersa que está la poblacón y por ello nos dan una dea de la mayor o menor concentracón de los valores de la varable alrededor de certo valor. Por su mportanca estudaremos las sguentes: Rango ntercuartílco. Varanza de la poblacón y de la muestra. Desvacón típca de la poblacón y de la muestra. Coefcente de varacón. Momentos no centrados. Momentos centrados. Meddas de forma. Tratan de dentfcar certas dferencas en la forma de la dstrbucón con respecto a un modelo determnado. Coefcentes de Asmetría. Coefcente de Curtoss..8 Meddas de poscón y centralzacón.8. Moda M. La moda de un conjunto de datos es el valor de la varable que tene máxma frecuenca absoluta n, o relatva f. Puede ser calculada tanto para varables cualtatvas como para varables cuanttatvas. La moda puede no ser únca, o ncluso no exstr cuando todos los valores de la varable tenen la msma frecuenca. Cálculo de la moda. S la varable no está agrupada en ntervalos, se observa drectamente el valor de la varable que tene mayor frecuenca absoluta o relatva. Hallar la moda de los conjuntos de datos A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4 }, B = {,,,,,, 3, 4, 4, 4, 4 } y C = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. - En A la moda M es 3, por ser el valor más frecuente n=4. - En B exsten dos valores modales M = y 4, la frecuenca absoluta en ambos es n=4. - En C no exste moda ya que todos los valores tenen gual frecuenca. S la varable está agrupada en ntervalos, se defne el ntervalo modal como el ntervalo que tene mayor frecuenca, y adoptamos como moda M el punto medo del ntervalo modal. 8-I

19 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA En la dstrbucón de frecuencas de las notas del test del ejemplo, observamos que el ntervalo [5 5.5) es el ntervalo modal y su punto medo x = 5.5 es el valor que adoptamos como moda. Intervalo x n f [3.5 4) /8 La moda tene la ventaja de ser fácl su cálculo, pero tene el nconvenente de que dos muestras con datos muy parecdos pueden tener modas muy dstntas. [4 4.5) [4.5 5) [5 5.5) [5.5 6) /8 6/8 8/8 /8 Es mportante observar que al agrupar en ntervalos perdemos nformacón acerca del auténtco valor modal. [6 6.5] Sumas /8 Tabla Medana M. Se defne como el valor central de los valores de la varable una vez que éstos han sdo ordenados en sentdo crecente. Por tanto, la medana M es un valor de la varable tal que el 5% de los datos son nferores y el otro 5% de los datos son superores. Cálculo de la medana. En prmer lugar ordenamos los datos de menor a mayor; S los datos no están agrupados en ntervalos, pueden darse dos casos, que n sea entero o que no lo sea. S n no es un número entero, la medana M es el valor de la varable que ocupa la poscón: parte entera del número n +. S n es un número entero, la medana se calcula hallando el valor central de los valores de la varable que ocupan las poscones: parte entera de los números n y n +. En el conjunto de datos A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4} observamos que los datos están ordenados y n=, por tanto, la medana es M=.5 que corresponde al punto medo de los valores de la varable que ocupan las poscones n 5 = (x=) y n 6 + = (x=3). En el conjunto de datos B = {,,,,,, 3, 4, 4, 4, 4} observamos que el número de datos es mpar y están ordenados. La medana es el valor de la varable que ocupa el lugar parte entera de n + = 6, y por tanto, la medana es M=. S los datos están agrupados en ntervalos, el cálculo se realza de forma semejante a como se realza para datos no agrupados; la dferenca estrba en que, en vez de hallar el punto medo, calculamos su valor por nterpolacón lneal. 9-I

20 S n está en el ntervalo [e -, e ), se tene: N n/ N - h n n - N n e - e = a - - h M = e - + h. e - M Gráfco.8. e La nterpolacón lneal anteror puede resumrse n N en la formula: M = e + n a Para calcular la medana de datos agrupados en ntervalos procedemos de la sguente forma: se localza el prmer ntervalo cuya frecuenca acumulada supere la mtad de las observacones, esto es, 8/=4; esta frecuenca acumulada está en el ntervalo [5 5.5) que denomnamos ntervalo medano, por ser aquél que contene a la Intervalo [3.5 4) x 3.75 n 3 N 3 medana. El valor de la medana lo obtenemos aplcando la fórmula anteror: [4 4.5) [4.5 5) [5 5.5) [5.5 6) [6 6.5] Sumas 8 Tabla.8. ( ) M = 5+ = La generalzacón del concepto de la medana da lugar a nuevas meddas de poscón que llamaremos cuantles..8.3 Cuantles. Son meddas de poscón o de orden. En general dvden en dos partes a los datos colocados en orden crecente y tambén determnan la poscón de cada uno de los datos. Los cuantles más usados son los cuartles, decles y percentles. Los cuartles dvden los datos ordenados de la poblacón en cuartas partes. Exsten tres cuartles Q, Q y Q 3. El prmer cuartl (Q ) es un valor de la poblacón tal que el 5% de los datos son menores y el 75% son mayores que él. El segundo cuartl se denomna medana (Q =M). En el tercer cuartl (Q 3 ) el 75% de los datos toman valores menores y el 5% mayores. Exsten 9 decles y dvden a la poblacón en dez partes guales. Se llama decl de orden α (D α ), al valor de la varable que dvde a la poblacón en dos partes de tal forma que α del total de los datos tomen valores nferores a D α y α del total de datos tomen valores superores, con α N y < α <. -I

21 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Exsten 99 percentles y dvden a la poblacón en cen partes guales. Se llama percentl de orden α (P α ) al valor de la varable que dvde a la poblacón en dos partes de α tal forma que el del total de los datos tomen valores nferores a P α y α del total tomen valores mayores, sendo α N y < α <. El cálculo de los cuantles se realza de forma análoga al cálculo de la medana. En el conjunto de datos A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4}, los datos están ordenados y 3 n no es 4 un número entero; por tanto, el tercer cuartl es Q 3 =3, ya que es el valor de la varable que ocupa el lugar: parte entera de 3 n 4 +. El decl sexto es el valor D 6 =3, que corresponde al valor medo de los valores de la varable que ocupan las poscones 6 n = 6 (x=3) y 6 n 7 + = (x=3). El percentl 4 concde con el decl 4 y es el valor medo de los valores que ocupan los lugares 4 n 4 = y 4 n 5 + =, así pues P 4=. En el caso de que los datos estén agrupados en ntervalos, el cálculo se realza de forma semejante a como se realza para la medana, pero todo referdo al ntervalo que contenga el valor de las frecuencas α α α n, n y n, según sea el cuantl a calcular. 4 Por ejemplo, para el cálculo del percentl 8, localzamos el ntervalo donde se encuentra P 8, y calculamos su valor por nterpolacón lneal. N S α n está en el ntervalo [e -, e ); 8n/ N - e - h P 8 e n n e e = a α n N h α P = e + h. Gráfco.8. por tanto, la nterpolacón lneal anteror se puede resumr en la formula: P α α n N a = e +. n -I

22 El cálculo de algunos cuantles del ejemplo es: ( n 4 = ).5 Q = = ( n 6 4 = ) Q = 5+ = ( n 48 = 48 36).5 D6 = ( n 76 = 76 76).5 P95 = 6 + = 6. 4 Intervalo x n N [3.5 4) [4 4.5) [4.5 5) [5 5.5) [5.5 6) [6 6.5] Sumas 8 Tabla Meda artmétca X. Propedades. Posblemente es el parámetro estadístco más conocdo y utlzado. Se representa por X y se defne como la suma de todos los valores del conjunto de datos dvdda por el número de datos; por tanto: x n n x Tabla.8.4 n x + n x n x X = n = nx n = = fx. = La meda del conjunto de datos A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4} es X =.3, ya que: X = = 3 =.3 Intervalo x n n La meda del ejemplo de la tabla (.8.5) es x [3.5 4) [4 4.5) [4.5 5) [5 5.5) [5.5 6) [6 6.5] Sumas Tabla.8.5 El cálculo de la meda tambén puede realzarse en forma de tabla añadendo una nueva columna con los valores n x. Cuando las observacones han sdo agrupadas en ntervalos, el cálculo se realza de la msma forma, pero utlzando el valor central del ntervalo como valor de todas las observacones que han sdo adjudcadas a dcho ntervalo X = = = I

23 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Propedades. Solo es aplcable para varables estadístcas cuanttatvas.. No depende del orden en el que estén colocados los datos. 3. Es más representatva cuanto mayor sea la concentracón de los valores alrededor suyo y más smétrca sea la dstrbucón. 4. Es muy sensble a la presenca de datos extremos. 5. La meda de las desvacones a la meda es cero. ( ) n = n = n x X = n x X = 6. S se multplcan todos los valores de la varable estadístca X por una constante a, la meda queda multplcada por la constante a. n = n = ax = an x = a n x = ax 7. S se suma una constante b a los n valores de la varable, la meda queda aumentada en dcho valor b. ( ) n = n n = b + X = n b + x = bn + n x = b + X.9 Cálculo con EXCEL de los parámetros de poscón y tendenca central de un conjunto de datos ndvdualzados A contnuacón exponemos un procedmento para calcular estos parámetros utlzando las correspondentes funcones específcas de EXCEL. =MODA(número;[número]; ) Calcula la moda del rango de datos. =MEDIANA(número;[número]; ) Calcula la medana del rango de datos. =CUARTIL(matrz;cuartl) Calcula el valor de uno de los cuartles. Matrz es el rango de los datos y cuartl son los valores,, 3, para calcular Q, Q =M y Q 3, respectvamente. =cuartl(matrz;3), calcula el tercer cuartl del rango de los datos. =PERCENTIL(matrz;) Calcula el percentl, donde es un número entre y. =percentl(matrz;.3) calcula el P 3 que concde con D 3. =PROMEDIO(número;[número]; ) Calcula la meda del rango de datos. 3-I

24 Como ejemplo, usaremos los conjuntos de datos A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4}, B = {,,,,,, 3, 4, 4, 4, 4} y C = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Escrbmos en sucesvas casllas las fórmulas de los parámetros que deseamos calcular, por ejemplo, para el cálculo del cuartl tercero; en la celda 7,B hemos escrto: =cuartl(b:b;3). Además, podemos añadr unos rótulos útles, como se muestra en el gráfco.9.. Notemos que algunos parámetros calculados por EXCEL no concden con algunas de las defncones dadas. Fgura.9. Por ejemplo, la moda del conjunto B nos ndca sólo un valor modal en vez de dos; en el conjunto C la moda es ndcada con #N/A, es decr, no exste valor modal. El prmer y tercer cuartl de los conjuntos de datos A y B son dstntos de los que obtendríamos nosotros. La dferenca es debda a que se utlzan crteros dstntos. Cuando el percentl buscado es un valor exacto de la sere de datos, nosotros tomamos como valor del percentl el punto medo de los valores α que ocupan los lugares n 4 α y n +, mentras que 4 EXCEL nterpola entre dchos valores. 4-I

25 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Meddas de Dspersón Como djmos anterormente, la meda es más representatva cuanto mayor sea la concentracón de los valores alrededor suyo; por ello, uno de los objetvos de las meddas de dspersón es el estudo de dferentes parámetros que nos ndquen el grado de alejamento de los datos respecto de algún parámetro central... Rango o recorrdo de la varable estadístca (Re). Se defne como la dferenca entre el máxmo y el mínmo valor de la varable. Es una medda muy senclla de calcular, pero, poco robusta, pues solo tene en cuenta los valores extremos. Para los datos del conjunto A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4}, Re=x max -x mn =4-=3. Para evtar la nfluenca en el rango de los datos con valores extremos, suele ser frecuente utlzar el rango ntercuartílco... Rango o recorrdo ntercuartílco (IQR). La dferenca entre el tercer y el prmer cuartl se denomna recorrdo o rango ntercuartílco y se representa por IQR. Es fácl observar que el rango ntercuartílco contene el 5% de las observacones centrales. IQR = Q3 Q Su cálculo es muy sencllo, y es una medda muy robusta en el sentdo de no estar nfluencada por la presenca de valores extremos. Del ejemplo, sabemos que Q 3 =5.43 y Q =4.69, por tanto, IQR= Varanza (σ ) y desvacón típca (σ) poblaconales. Propedades. Al gual que la meda en las meddas de poscón, la varanza es la medda de dspersón más utlzada. Ambas suelen formar parte de muchas defncones y estudos estadístcos. La varanza mde la dspersón de los valores de la varable respecto de la meda. Cuanto mayor sea la varanza, menos representatva es la meda. Se defne la varanza poblaconal, o smplemente varanza (σ ), de un conjunto de datos, como la meda de los cuadrados de las dferencas a la meda. ( ) σ = n x X n = Se defne desvacón típca ( σ ) de la poblacón, como la raíz cuadrada de la varanza. σ = ( ) = n x X n 5-I

26 Calcular la varanza y la desvacón típca de los datos {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4}. Por ser la meda X =.3, la varanza es y la desvacón típca Propedades de la varanza 6-I 3(.3) + (.3) + 4(3.3) + (4.3) σ = =. I. La varanza es sempre postva. σ =. =.5 II. S se multplcan todos los valores de la varable por una constante a, la varanza queda multplcada por la constante a. S y = ax entonces: III. ( ) ( ) σ = = = σ y n y Y a n x X a x n = n =. S sumamos una constante b a los valores de la varable, la varanza no camba. S y = b + x entonces: ( ) ( ) ( ) σ = = + + = = σ y n y Y n (b x ) (b X) n x X x n = n = n = IV. La varanza es la meda de los cuadrados de la varable, menos el cuadrado de la meda de la varable. ( ) ( ) σ = n x X = n x n x X + n X = x n = n = n = V. La prncpal ventaja de la desvacón típca frente a la varanza es que la prmera se mde en las msmas undades que los datos...4 Cuasvaranza o Varanza muestral (S ). Propedades. Se defne varanza muestral o Cuasvaranza (S ) como la cantdad ( ) S = n x X n = Este parámetro tene gran mportanca en nferenca estadístca, ya que se utlza con más frecuenca que la varanza. La raíz cuadrada de la cuasvaranza se denomna desvacón típca muestral o cuasdesvacón típca (S). S = ( ) = n x X n n x X

27 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La cuasvaranza y desvacón típca muestral del conjunto {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4} son 3(.3) + (.3) + 4(3.3) + (4.3) S = =. y S =..6 9 Propedades I. Cuanto mayor sea el número n de datos, más se aproxman S a σ y S a σ. n II. S = σ n y n S = σ. n..5 Coefcente de varacón de Pearson (CV). Propedades. En la propedad II de la varanza, se observa que ésta es afectada por los cambos de escala y, por tanto, no es útl para comparar dspersones entre varable estadístcas con dstntas undades. Por ello, para comparar la dspersón entre muestras o poblacones, se utlza el coefcente de varacón de Pearson. Se defne el coefcente de varacón de Pearson (CV) como el cocente entre la desvacón típca y el valor absoluto de la meda. Generalmente se expresa en porcentajes. σ CV = %. X Algunas de sus propedades son: Es ndependente de las undades que se utlcen. Nos permte comparar la dspersón de dos dstrbucones con medas o con undades dferentes. Tene el nconvenente de no estar defndo para dstrbucones con meda cero. Además, cuando la meda se aproxma a cero el coefcente de varacón tende a nfnto. Ejemplo. Calcular los parámetros anterores para los valores de la evaluacón de los estudantes recogdos en el ejemplo () y agrupados en la tabla (..5). ntervalo x n n x ( ) n x X [3.5 4) [4 4.5) [4.5 5) [5 5.5) [5.5 6) [6 6.5] Sumas Tabla..5 Para calcular la varanza debemos hallar el valor de σ = n ( ) n x X. Para ello, añadmos dos nuevas columnas, la prmera para el cálculo de la meda y la segunda para el cálculo de la suma de los cuadrados de las dferencas a la. meda. n ( x X) 7-I

28 X = σ = S = S = I Fgura...38 σ = CV =.95% Cálculo con Excel de los parámetros de dspersón de un conjunto de datos ndvdualzados EXCEL dspone de algunas funcones específcas para el cálculo de los parámetros de dspersón: =VARP(número;[número]; ). Calcula la varanza del conjunto de datos. =DESVESTP(número;[número]; ). Calcula la desvacón típca del conjunto de datos. =VAR(número;[número]; ). Calcula la cuasvaranza de los datos. =DESVEST(número;[número]; ). Calcula la desvacón típca muestral. Como ejemplo, usaremos el conjuntos de datos A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4}. Escrbmos en sucesvas casllas las fórmulas de los parámetros que deseamos calcular; por ejemplo, para el cálculo de la cuasvaranza en la celda (4,C) hemos escrto: =VAR(A3:A).. Momentos Los momentos son meddas de dspersón sobre un determnado valor. En general, se defne el momento de orden r respecto del valor c como Según el valor que tome c, se dstnguen dos casos mportantes: S c=, entonces los momentos de orden r se denomnan momentos no centrales o respecto del orgen y se denotan por m (c) = n x c r n = m r r = nx n = ( ) r

29 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Se observa que: o El momento de orden respecto del orgen sempre es la undad (m =). =. o El momento de orden respecto del orgen concde con la meda ( m X) S c = X, entonces los momentos de orden r se denomnan momentos centrales o respecto de la meda y se denotan por Es mportante notar que: ( ) µ = n x X r r n = o El momento de orden respecto de la meda sempre es la undad, (µ =). o El momento de orden respecto de la meda sempre es cero, (µ =). o El momento de orden respecto de la meda sempre concde con la varanza, (µ =σ ).... Relacones entre los momentos µ =m -m. µ 3 =m 3-3m m +m 3. µ 4 =m 4-4m 3 m +6m m -3m 4. Ejemplo. Para el conjunto de datos A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4}, los momentos centrales y no centrales son: m = = = A. m = = µ = m m = = = σ µ 3 = m3 3mm + m = 3 + = m m = = = = µ 4 = m4 4m3m + 6mm 3m = =.79.3 Meddas de forma Además de la tendenca central y de la dspersón, se puede tratar de caracterzar la forma de una dstrbucón medante índces que determnen la asmetría y el apuntamento de la dstrbucón. Asmetría. Una dstrbucón de frecuencas es smétrca s su correspondente gráfco es smétrco respecto a un eje vertcal. 9-I

30 S la dstrbucón es smétrca, la medana y la meda concden. M = X S la dstrbucón es smétrca y unmodal, la medana, meda y moda concden. M = X = M o Una dstrbucón con asmetría por la derecha o postva, quere decr que la gráfca de frecuencas descende más lentamente por la derecha que por la zquerda. En este caso se verfca que Mo M X. Una dstrbucón asmétrca por la zquerda o negatva, quere decr que la gráfca de frecuencas descende más lentamente por la zquerda que por la derecha. En este caso se verfca que X M M o..3. Coefcente de Asmetría de Pearson. Propedades. Se defne como el cocente A s X M = σ o. Mde la asmetría respecto de la moda. S A s = es smétrca respecto de la moda. X = M. S A s > es asmétrca a la derecha de la moda. X > M. S A s < es asmétrca a la zquerda de la moda. X < M. S la moda no es únca, no está defndo. El coefcente de asmetría de Pearson del conjunto de datos A = {,,,,, 3, 3, 3, 3, 4} es: A s = = <..3. Coefcente de Asmetría de Fsher. El coefcente de asmetría de Fsher, se defne como el cocente 3-I g n ( ) 3 n x X = = 3 σ

31 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Es un coefcente admensonal y mde la asmetría respecto de la meda. S g = la dstrbucón es smétrca o no sesgada. S g < la dstrbucón es asmétrca o sesgada a la zquerda y X Me Mo. S g > la dstrbucón es asmétrca o sesgada a la derecha y Mo Me X..3.3 Coefcente de apuntamento o curtoss g. El coefcente de apuntamento de Fsher se defne e nterpreta como sgue: ( ) 4 n x X = g = 3. 4 n σ S la dstrbucón estudada tene por meda X y desvacón típca muestral S, entonces: S g >, la dstrbucón es más apuntada que la normal N ( X,S ). S g <, la dstrbucón es menos apuntada que la normal N ( X,S ). El apuntamento como medda de forma es relatva. Su defncón se hace por comparacón con la dstrbucón normal de la msma meda y varanza. Es mayor cuanto mayor sea la concentracón de los valores alrededor de la meda..3.. Cálculo con EXCEL de los parámetros estadístcos cuando los datos están agrupados en ntervalos. Es frecuente que no dspongamos de los datos de forma ndvdualzada sno que se presenten agrupados en ntervalos. Veamos un procedmento para el cálculo de los parámetros estadístcos usando los momentos. Para ello, empleamos el ejemplo de la evaluacón de los estudantes, en el que los datos se han agrupado en ntervalos como fgura en la tabla.3.. Intervalo x n [3.5 4) [4 4.5) [4.5 5) [5 5.5) [5.5 6) 5.75 [6 6.5] Sumas 8.3. Calcularemos la meda, la varanza y los momentos centrados de orden 3 y 4. Para ello, añadmos en la tabla anteror, 4 nuevas columnas, correspondentes a los valores de n para el cálculo de la meda, n (x X x ) 3 4 para el cálculo de la varanza y n (x X y n(x X para los momentos g y g. ) ) 3-I

32 EXCEL dspone de dos funcones específcas para el cálculo de los parámetros de forma, pero nosotros no las utlzaremos, ya que Excel calcula los estmadores de forma para la poblacón; por ello, efectuaremos el cálculo de las meddas de forma utlzando la tabla de cálculos que hemos empleado para hallar los momentos. 3-I Fgura Errores en las observacones. Uno de los objetvos prncpales de la Estadístca es el de obtener nformacones útles a partr de los datos dsponbles. Por ello, es muy mportante que los datos que utlcemos sean fables (no contengan errores) y, por tanto, en todo tratamento estadístco es convenente efectuar un proceso de depuracón y estudo de los datos..4. Valores atípcos o Outlers. Los valores atípcos o erróneos, por ser nusualmente grandes o pequeños, en general son atrbubles a una de las sguentes causas: El valor se observa y se regstra o ntroduce en el ordenador ncorrectamente. El valor provene de una poblacón dstnta. El valor es correcto, pero representa un suceso poco común. El problema que se nos presenta es decdr s un determnado dato, con un valor poco común, puede ser utlzado, o por el contraro lo hemos de rechazar. La respuesta no es fácl, ya que s rechazamos datos de forma nadecuada, podemos perder nformacón valosa y, por el contraro, s los aceptamos, puede varar los resultados de forma que nuestras conclusones sean erróneas. En la actualdad exste gran multtud de procedmentos que nos facltan el tomar una decsón sobre la depuracón de datos. Consderamos que el estudo detallado de estos procedmentos queda fuera del ámbto de esta asgnatura y solo haremos una breve descrpcón de uno de ellos

33 I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.4. Gráfcos de caja. Boxplot. Los hstogramas y los polígonos de frecuenca proporconan mpresones vsuales acerca de un conjunto de datos. Las cantdades numércas, tales como la meda o varanza, proporconan nformacón acerca de alguna característca partcular de los datos. Los gráfcos de caja son unas representacones gráfcas que descrben smultáneamente varas característcas mportantes de un conjunto de datos, como son el centro, la dspersón y la asmetría, pero tambén permten dentfcar observacones que caen nusualmente lejos del grueso de los datos, los puntos atípcos, (Outlers). Para la construccón de este gráfco, se calcula prevamente la meda X, la medana M, los cuartles Q y Q 3, así como los valores LI y LS que denomnaremos barreras o bgotes: LI=max( x mn, Q -.5(Q 3 Q )) LS=mn ( x max, Q 3 +.5(Q 3 - Q )). Donde x mn y x max son los valores máxmo y mínmo del conjunto de datos. Una vez calculados los valores anterores, procedemos de la sguente forma. Dbujamos una caja cuyos lados vertcales corresponden a los valores de Q y Q 3, trazamos una línea vertcal en el valor de la medana, y dos pequeñas líneas vertcales (barreras) para los valores de LI y LS. A contnuacón, trazamos un segmento a cada lado de la caja hasta las barreras y por últmo colocamos el valor de la meda y de los posbles puntos atípcos. El resultado de este gráfco se muestra en el gráfco.4. Todo dato que esté fuera del ntervalo [LI, LS] será consderado como posble dato atípco, anómalo o Outler y corresponde a un dato que debería ser estudado. En este gráfco hemos de observar que LS es menor que algunas observacones; estas observacones corresponden a puntos atípcos. La meda es mayor que la medana y, por tanto, es asmétrca haca la derecha.,6,4,,8,6,4, Gráfco I

34 Ejemplo. En el conjunto de datos, 3.39, 3.45, 3.47, 3.47, 3.5, 3.5, 3.58, el valor de la medana es M=3.47, la meda 3.48, el prmer cuartl Q =3.45, el tercer cuartl Q 3 =3.5 y los valores de los datos máxmo y mínmo son respectvamente 3.39 y 3.58.,6,4,,8,6,4, 3,35 3,4 3,45 3,5 3,55 3,6 Gráfco.4. Los valores de las barreras son: por tanto por tanto LI=x mn =3.39. LS= Q -.5(Q 3 -Q )=3.375, Q 3 +.5(Q 3 -Q )=3.575, En consecuenca, el dato 3.58 es un valor atípco y se representa como el gráfco I

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