Ejemplo: Consumo - Ingreso. Ingreso. Consumo. Población 60 familias

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1 Ejemplo: Consumo - Ingreso Ingreso Consumo Poblacón 60 famlas

2 ( YX ) P = x [ YX ] E = x

3 Línea de regresón poblaconal Meda Condconal [ X = 200] EY o o o o [ X = 200] EY 80 o o o 60 o Ingres o A medda que el ngreso aumenta el consumo promedo aumenta X EY [ X]

4 Ejemplos: Muestras aleatoras Consumo Ingreso

5 Aproxmacones a la funcón de regresón poblaconal SRF2 SRF L 260

6 Algunas deas báscas ˆ ˆ ˆ Y =β 0+ βx Gastos en Consumo u { } e [ YX = x ] =β 0+ βx E Ingreso

7 Como surge la dstrbucón? Ingreso Meda Condconal Ingreso Gastos en Consumo Gastos en Consumo

8 Consumo Ingreso ( Y X ) f = x

9 Funcones de regresón poblaconal y muestral yˆ FRM: =β ˆ + β X ˆ 0 yˆ 2 2 =β ˆ + β X 2 ˆ 0 FRP: [ yx] =β + X E 0 β

10 Suma de resduales al cuadrado MCO ḙ ḙ 3 ḙ 4 ḙ 2 e ˆ + e + e + L+ e Tan pequeña como sea posble ˆ2 ˆ3 ˆT y yˆ = eˆ

11 Propedad de Insesgamento

12 Coefcente: 2 R ḙ = Debdo a lo resdual FRM: Total Debdo a la regresón

13 Repaso logartmo natural: La dferenca de logartmos multplcada por 00 se utlza para aproxmar cambos porcentuales x,x 0 Valores postvos ln ( x ) ( x ) ln 0 ( x x ) x0 ln x ( x ) ln( x ) = ( ) ln 0 ln( x) ( )% 00 x x 0 = x x 0 Ejemplo x0 = 40, x = 4 ( x) ln % = ( x x ) 0 = x 0 ( 4) ln( 40) 2.5% = = X = 2.5

14 Log-Ln ln ( y) = ββ + β 0 x ln ( y ) = x 00x ln ( y ) = ( 00x ) ( y) % ( β 00xβ ) x x Ln-Log y= β + β ln 0 y= β ln ( x) β 00 ( x) y= 00x ln( x) ( y) ( β /00) x% Log-Log Cambo% y elastcdad = Cambo% x y y = x x y x = x y lny= β + β lnx y= β2 x y x x y y x = β 2 2

15 Log-Log Cantdad demandada y β β = x 2 Cantdad demandada lny= lnβ β2 lnx Preco Preco concde con el concepto de elastcdad de y con respecto a β 2 x Cambo porcentual en y produce un cambo porcentual en x

16 Resumen: Modelo Varable dependente Varable ndependente Interpretacón Nvel-Nvel y x y = β x β Nvel - Log y Ln(x) y= x% 00 Log - Nvel Ln(y) x y% = ( 00β) x Log - Log Ln(y) Ln(x) y % = β x %

17 Ejemplos:. ln ( salaro t) = β 0+ βeducacón+ e salaro exp( ) 0 t t = β0 + βeducacón β > ( salaros %) ( 00β ) educacón ( salaros t) = educacónt ln + 2. año de aumento en la educacón produce un 8.3% de ncremento en el nvel salaral ( salaro t) = β 0 + β ln( ventast) + et ln ln ( salaros ) = ln( ventas ) t t Un aumento de % en las ventas ncrementa en 0.257% el salaro

18 3. Horas t = β 0 + β ln( salarot) + et ( ) Horast = lnsalaro t % de ncremento en el salaro aumentará las horas en.45 (cas meda hora)

19 Tema: Varables Aleatoras Contnuas y Dscretas La prmera preocupacón, en muchas de las aplcacones de la teoría de probabldad, está asocada con los valores numércos asgnados a los resultados del expermento en estudo. Ejemplo: Tomar aleatoramente una galleta con troctos de chocolate y determnar: X : su peso X2 : su contendo calórco X3 : El número de troctos de chocolates X4 : s la galleta está partda 2 s la galleta está completa Cada varable X, X2, X3 y X4 son varables aleatoras dado que su valor es desconocdo hasta que el expermento es llevado a cabo. Una varable aleatora es una funcón de valor real que asgna un número a cada elemento del espaco muestral. La varable aleatora X4 es una varable aletora dscreta dado que solo puede tomar dos valores. Las varables aleatora X2 y X3 pueden tomar cualquer valor real postvo y por consguente son varables aleatoras contnuas. Defncón: Una varable aleatora se defne como dscreta s su conjunto de valores posbles es fnto o nfnto contable. Una varable aleatora se defne como contnua s puede tomar todos los valores en los reales o en un ntervalo real.

20 Nota Resumendo, una varable aleatora se construye al atrbur un número (postvo, negatvo o cero) a cada uno de los sucesos aleatoros que forman el espaco muestral de un expermento aleatoro. La probabldad de cada valor de la varable es la probabldad conjunta de los sucesos que dan lugar a ese valor. Es decr, defnmos una varable aleatora como una aplcacón del espaco muestral sobre el conjunto de los números reales R. Ω Nota 2 Según la ampltud del campo de varacón de la funcón podemos dstngur : varables aleatoras dscretas y varables aleatoras contnuas. De la msma forma que en estadístca descrptva, una varable aleatora es dscreta s toma valores en un conjunto fnto o nfnto numerable. Y una varable aleatora es contnua s puede tomar valores en un conjunto nfnto no numerable. Como ejemplo típco de varable aleatora dscreta tenemos la dstrbucón Bnomal, y como ejemplo típco de varable aleatora contnua vamos a ver ahora la dstrbucón normal.

21 Dstrbucón de Probabldad de una Varable Aleatora Dscreta Para una varable aleatora dscreta X, la funcón de densdad de probabldad se defne como la funcón f x, tal que, para cualquer número real, que es un valor que X puede tomar, ( ) ( x) P( X x) = 0 f( x) f = x f( x) = 0 S es un valor que X no puede tomar S la secuenca x, x,l 2 ncluye todos los valores que X puede tomar Ejemplo: Lanzar una moneda dos veces Ω= {( ss )(, sc)(, cs)(, cc) } x = f ( ) x = X : Número de caras abtendas Funcón de densdad de probabldad: x f( x) f f f ( 0 ) = P( X = 0) ( ) = P( X =) ( 2 ) = P( X = 2)

22 f ( x) /2 Funcón de probabldad /4 0 2 Un concepto relaconado con la funcón de densdad de probabldad es la funcón de dstrbucón o funcón de dstrbucón acumulada: ( x) = P( X x) < x< F, Ejemplo: Lanzar una moneda cuatro veces x f ( x) F( x) X: Número de caras obtendas 0 /6 0 para 4/6 /6 para 2 6/6 5/6 para 3 4/6 /6 para 4 /6 5/6 para para x < 0 0 x< x < 2 x < 3 x < x

23 F( x) 5/6 /6 5/6 / F (.5) = P( X 2.5) 2 = Propedades: F F a, f 6 ( ) = 0 ( ) = b R, a< b F( a) F( b) ( x ) = F( x ) F( x )

24 Parámetros de la Dstrbucón X una varable aleatora dscreta con funcón de probabldad f( x) Valor esperado de X E E E E E = ( X) x f( ) = µ x ( a) a ( ax) = ae( X) ( X + Y) = E( X) + EY ( ) ( a+ bx + cy) = a+ be( X) + cey ( ) = a constante a, b y c constantes Varanza de X var( X) E( X µ ) = E 2 2 [ ] = ( x µ ) f( x ) = 2 2 ( X ) µ ( X + Y) = Var( X) + var( Y) 2cov( X, Y) var + 2 = σ

25 Dstrbucones de Bernoull y Bnomal y ~ p q = = Dstrbucón de Bernoull prob( y = ) ( P) = prob( y = 0) = L,,n Suceso A Suceso B y y La funcón de densdad de probabldad ( ) ( ) E [ y ] VAR = P ( y ) = P( P) f y = P P El expermento aleatoro tene las sguentes característcas: En cada prueba del expermento sólo son posbles dos resultados: el suceso A (éxto) y su contraro B (fracaso). El resultado obtendo en cada prueba es ndependente de los resultados obtendos anterormente. La probabldad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabldad de B es - p y la representamos por q.

26 El expermento consta de un número n de pruebas. Cada una de ellas puede verse como una varable aleatora Con dstrbucón de probabldad Bernoull A la varable X que expresa el número de éxtos obtendos en los n expermentos o resultados de las n varables aleatoras de Bernoull, la llamaremos varable aleatora bnomal. La varable bnomal es una varable aleatora dscreta, sólo puede tomar los valores 0,, 2, 3, 4,..., n suponendo que se han realzado n pruebas. Como hay que consderar todas las maneras posbles de obtener k-éxtos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combnacones (número combnatoro n sobre k). La dstrbucón Bnomal se suele representar por B(n,p) sendo n y p los parámetros de dcha dstrbucón.

27 Funcón de Probabldad de la v.a. Bnomal Funcón de probabldad de la dstrbucón Bnomal Verfcándose: 0 p Parámetros de la Dstrbucón Bnomal

28 Funcón de Dstrbucón Acumulada de la varable aleatora Bnomal sendo k el mayor número entero menor o gual a x. Esta funcón de dstrbucón proporcona, para cada número real x, la probabldad de que la varable X tome valores menores o guales que x. Sea X una varable aleatora dscreta correspondente a una dstrbucón bnomal.

29 Ejemplo Una máquna fabrca una determnada peza y se sabe que produce un 7 por 000 de pezas defectuosas. Hallar la probabldad de que al examnar 50 pezas sólo haya una defectuosa. Solucón : Se trata de una dstrbucón bnomal de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabldad p(x=). Ejemplo 2 La probabldad de éxto de una determnada vacuna es 0,72. Calcula la probabldad de a que una vez admnstrada a 5 pacentes: a) Nnguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contragan la enfermedad Solucón : Se trata de una dstrbucón bnomal de parámetros B(5, 0'72)

30 Ejemplo 3 La probabldad de que el carburador de un coche salga de fábrca defectuoso es del 4 por 00. Hallar : a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 000 b) La varanza y la desvacón típca. Solucón :

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