TEMA VII. VARIABLE ALEATORIA. CLASIFICACIÓN Y CARACTERISTICAS

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1 ESTADÍSTICA I TEMA VII. VARIABLE ALEATORIA. CLASIFICACIÓN Y CARACTERISTICAS VII.1.- Varable aleatora. Clasfcacón. VII Introduccón. VII.1..- Defncón. VII Clasfcacón. VII..- Caracterzacón de una varable aleatora. VII..1.- Funcón de dstrbucón. VII Defncón. VII Propedades. VII...- Varable aleatora dscreta: Funcón de cuantía. VII..3.- Varable aleatora contnua: Funcón de densdad. VII.3.- Un acercamento a la Varable aleatora bdmensonal. Error! Marcador no defndo. VII.4.- Característcas de una varable aleatora. VII El operador esperanza matemátca. VII.4..- Algunos casos de especal relevanca. Meda de una varable aleatora. Varanza de una varable aleatora. VII.5.- La varable aleatora tpfcada. VII.6.- El teorema de Tchebycheff. 99 I

2 Varables aleatoras b-dmensonales VII.1.- Varable aleatora. Clasfcacón. VII Introduccón. El objeto de este tema es defnr el concepto de varable aleatora, y demostrar algunos teoremas característcos que cumplen dchas varables. Una varable aleatora no es más que una transformacón que te permte pasar de estar trabajando en el campo del expermento, a abstraerlo y trabajar en el campo o conjunto de números reales. Veamos un ejemplo. Partamos que estamos trabajando con un expermento que consste en lanzar una moneda dos veces. Los posbles resultados del expermento son: (c,c) (c,+) (+,c) (+,+), y por tanto el espaco muestral asocado vendrá dado por W{(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)} Hasta ahora estamos trabajando con los resultados del expermento. S ahora defnmos una varable como "n de caras que salen al lanzar una moneda al are dos veces", que denotaremos por X, podrán salr 0 caras, 1 cara ó caras. Es una varable por que puede tomar dstntos valores y será aleatora ya que los valores que toma los toma en funcón del azar. Obsérvese que en este momento podemos establecer una relacón entre los posbles resultados del expermento, los cuales defnen W, y el conjunto de valores que puede tomar la varable X. De esta manera establecemos la sguente relacón: Resultado (c,c) de W mplca que X 300 I

3 ESTADÍSTICA I Resultado (c,+) de W mplca que X1 Resultado (+,c) de W mplca que X1 Resultado (c,+) de W mplca que X1 Resultado (+,+) de W mplca que X0 Es decr, que de estar trabajando en el espaco de los resultados del expermento ahora estamos trabajando con los resultados {0,1,}. A la funcón que te permte pasar de los resultados del expermento al conjunto {0,1,} se le denomna varable aleatora. Es una varable aleatora porque puede salr {0,1,} aleatoramente dependendo del resultado del expermento. VII.1..- Defncón. Sea (W,β) un espaco probablzable, en donde β es una σ- álgebra de sucesos. Sea B una σ-álgebra de Borel. Una σ-álgebra de Borel es lo msmo que una σ-álgebra de sucesos pero en donde los elementos no son sucesos de un expermento sno que son subconjuntos de la recta que forman los números reales. Una varable aleatora es una aplcacón X: W--- R de tal forma que a cada elemento de A 0 W, se le hace corresponder un elemento X(A) 0 Β, tal que debe verfcar, que para cualquer I 0 R X -1 (I) β Por tanto lo que hace la varable aleatora es permtrnos pasar de un espaco probablzable (W,β) al espaco probablzable (R,B). 301 I

4 Varables aleatoras b-dmensonales Pasamos ahora a defnr la probabldad en este nuevo espaco {R,B): A β - -- P(A) P [X(A)] Es decr, la probabldad de X es la msma que la probabldad del suceso que ha dado lugar al valor de X desde W. Por lo tanto, a través de la varable aleatora pasamos de un espaco probablístco {W,β,P} a otro {R,B,P'}. Veamos un ejemplo a partr del lanzamento de las dos monedas. En base a los resultados del ejemplo anteror, tenemos: A X(A) (c,c) ---6 (c,+) (+,c) (c,+) en consecuenca, las probabldades vendrán dadas por P(A) P'[X(A)] 1/ /4 P'() 1/4 1/ P'(1) 1/4 1/ /4 P'(0) Por tanto, X Número de caras al lanzar dos monedas al are es una varable aleatora que puede tomar tres valores, {0,1,} sendo la probabldad de que la varable X tome el valor cero gual a la probabldad de que salga el suceso {+,+}, que como ya hemos vsto vale 0.5; la probabldad de que tome el valor 1 la probabldad es 0.5, puesto que para que tome el valor 1 pueden salr los sucesos {c,+} o {+,c} y la probabldad en W de que salga uno u otro es gual a 0.5; y, por últmo, la probabldad 30 I

5 ESTADÍSTICA I de que la varable X tome el valor es la msma que para que salga el suceso {c,c} en W, y vale 0.5. Debemos de resaltar que a partr de ahora nosotros ya podemos estudar varables aleatoras sn tener en cuenta el expermento del cual proceden. Así msmo, es convenente que a partr de este nstante el alumno tenga presente los conceptos estudados en el ámbto de la varable estadístca puesto que ello le permtrá entender más fáclmente lo que es y como se estudan las varables aleatoras. En este sentdo, un buen punto de partda es asmlar el estudo de una varable estadístca junto con su frecuenca relatva (dstrbucón de frecuencas), con el estudo de una varable aleatora con sus probabldades asocadas. Es decr utlzar la defncón frecuencalsta y asocar la frecuenca relatva con la probabldad. Tal y como se hzo al estudar las varables estadístcas, una vez defndas, se clasfcaron las msmas en varables estadístcas dscretas y contnuas. Esto msmo haremos con las varables aleatoras. VII Clasfcacón. Las varables aleatora se pueden clasfcar en: A) Varable aleatora dscreta: Se dce que X es una varable aleatora dscreta cuando el conjunto de todos los valores que puede tomar la varable es fnto o nfnto numerable. Por ejemplo, X "n de caras al lanzar una moneda al are", solo puede tomar valores los valores {0,1}, por tanto, X es una varable aleatora dscreta. B) Varable aleatora contnua: se dce que X es una varable aleatora contnua cuando el conjunto de todos los valores que puede tomar la varable es nfnto. Por ejemplo, X "peso de los alumnos de de empresarales". 303 I

6 Varables aleatoras b-dmensonales VII..- Caracterzacón de una varable aleatora. Cuando se caracterzaron las varables estadístcas se defneron la funcón de dstrbucón y la funcón de cuantía para las varables estadístcas dscretas y la funcón de dstrbucón y la funcón de densdad para las varables estadístcas contnuas. Para la caracterzacón de las varables aleatoras la estructura de trabajo es la msma. La dferenca que nos encontraremos serán báscamente dos: en prmer lugar, en vez de trabajar con frecuencas absolutas o relatvas, trabajaremos con las probabldades; y, en segundo lugar, para el tratamento de las varables aleatoras contnuas, dejaremos de utlzar las marcas de clase y operaremos con las ntegrales. VII..1.- Funcón de dstrbucón. VII Defncón. Sea X una varable aleatora defnda sobre el espaco {R,B,P'} asocado al espaco probablístco {W,β,P}, llamamos funcón de dstrbucón de la varable aleatora X a la funcón: F(x) : R R x R F(x) P[X x] Como se puede observar, a cada X 0 R se le hace corresponder un F(x) que por defncón es gual a la probabldad de que la varable tome un valor menor o gual que el valor observado. La defncón concde exactamente con la realzada para el caso de una varable estadístca susttuyendo la frecuenca relatva por la probabldad. Gráfcamente la funcón de dstrbucón para una varable aleatora dscreta tene la forma escalonada tal y como vmos cuando se estudo la varable estadístca. 304 I

7 ESTADÍSTICA I Volvamos al ejemplo del lanzamento de las dos monedas. En base a los resultados ya alcanzados podemos defnr la funcón de dstrbucón de la varable X número de caras al lanzar dos monedas como: 0 s x < s 0 x < 1 F ( X ) 0.75 s 1 x < 1 s x Gráfcamente sería: 305 I

8 Varables aleatoras b-dmensonales representacón déntca a la realzada para el caso de una varable estadístca dscreta. VII Propedades. Las propedades de la funcón de dstrbucón son las msmas que para el caso de una varable estadístca. 1) 0 # F(x) # 1 Demostracón: Es evdente, pues F(x)P(X#x), y P(X#x) por la defncón de probabldad está defnda entre [0,1]. ) S x 1 < x, entonces F(x 1 ) < F(x ). 3) Lm x F x (x) 1 4) Lm x - F x (x) 0 5) Sean a, b 0 R y a < b; entonces se cumple P(a < X # b) F(b) - F(a) 6) P(X > x) 1 - F(x), para cualquer x 0 R. VII...- Varable aleatora dscreta: Funcón de cuantía. Recordemos que una varable aleatora X es dscreta s el conjunto de todos los valores que puede tomar la varable es fnto o nfnto numerable. Sea X una varable aleatora dscreta que puede tomar k valores. Llamamos funcón de cuantía de la varable 306 I

9 ESTADÍSTICA I aleatora X, y la denotamos por f(x), a la funcón: P( X x ) s f : R R, x R, f ( x) 0 s x x, {1,,.., k} x x, {1,,.., k} Gráfcamente sería: Como se puede ver, sgue concdendo con lo que hemos estudado para el caso de varable estadístca. En consecuenca, las propedades de la funcón de cuantía ya nos son conocdas. 1) f(x) 1 Demostracón: S f(x) ) k r1 f( x )[r 1,,...,k] + r k r1 p[x x r ] +0 1 F( x r ) P[X x] f( xr ) para r 1,,.., r1 f( x r )[r_1,,...,k] 307 I

10 Varables aleatoras b-dmensonales Ejemplo: Del conjunto de números {1,,3,4,5,6} se elge un grupo de tres números y se obtene la suma de dchos números, no mportando el orden. El espaco muestral será W{13, 14, 15, 16, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 34, 35, 36, 45, 46, 56, 345, 346, 356, 456}. Defnmos la varable aleatora X "suma de los dígtos de cada número" que genera los números X{15,14,13,1,11,10,9,8,7,6} como úncos valores de la varable aleatora X:"Suma de los números elegdos". Tenemos, pues X(13)6 X(14)7 X(15)X(134)8 X(135)X(34)X(16)9 X(145)X(136)X(35)10 X(146)X(36)X(45)11 X(156)X(46)X(354)1 X(56)X(346)13 X(356)14 X(456)15 La funcón de cuantía puede ser expresada en la tabla: Err or! Marc ador no def ndo. x f(x) 1/0 1/0 /0 3/0 3/0 3/0 3/0 /0 1/0 1/0 Gráfcamente la funcón de cuantía vene dada por 308 I

11 ESTADÍSTICA I La funcón de dstrbucón será: Error! Marcad or no defn do.x F(x) 1/0 /0 4/0 7/0 10/0 13/0 16/0 18/0 19/0 1 Cuya gráfca es 309 I

12 Varables aleatoras b-dmensonales VII..3.- Varable aleatora contnua. Funcón de densdad. Para el caso de la varable aleatora contnua es en donde se producen los cambos más mportantes, no en el contendo, sno en la forma de trabajar ya que se ntroducen las dervadas y las ntegrales. Dremos que una varable aleatora X es contnua, (o absolutamente contnua), s exste una funcón F: R ---> R que verfca: F(x) x f(x)dx; x R - y que cumpla: f(x) d dx F(x) en donde F(x) es la funcón de dstrbucón. En este caso, decmos que f(x) es funcón de densdad de una varable aleatora contnua. Obsérvese, que la funcón de densdad es la dervada de la funcón de dstrbucón. Recordemos que la dervada de una funcón nos da el valor del ncremento de la funcón partdo por el tamaño del ntervalo cuando el ntervalo tende a cero. Es decr, aplcado a la funcón de dstrbucón, nos da la densdad de probabldad. Por tanto, lo msmo conceptualmente que para el caso de varable estadístca, en donde la funcón de densdad era el cocente entre la frecuenca relatva y la ampltud de la clase. - S f(x) es contnua salvo en un número fnto de puntos, entonces dremos que la varable aleatora X es contnua. - S f(x) es contnua en todo R, entonces dremos que la varable aleatora X es absolutamente contnua. Algunas de las propedades que presenta la funcón de densdad son las sguentes: 1) 310 I

13 ESTADÍSTICA I x f(x)dx F(x) - F(- ) - y se cumple que: x - F(x) P(X x) f(x)dx ) P(a < X b) F(b) - F(a) b a f(x)dx Además por ser F(x) contnua sempre, P(Xx)0 y entonces P(a < x < b) P(a < X b) P(a X < b) b a f(t)dt 3ª) P(X<x)P(X#x)F(x) 4ª) P(X$x)P(X>x)1-F(x) Veamos un ejemplo. Tenemos la sguente funcón : f(x) K x defnda entre 0 y 1,ambos nclusve, 0 _ en _ resto Se pde: a) determnar K para que sea funcón de densdad, b) obtener la funcón de dstrbucón. a) Para que sea funcón de densdad: 1 k x 0 dx kx dx [k 3 x 3 ] 1 0 k 3 1 por lo tanto K 3 La funcón de densdad será: 3x f ( x) 0 s resto 0 x 1 La funcón de dstrbucón la determnamos de la forma sguente: 311 I

14 Varables aleatoras b-dmensonales x 3 x 3 3 x dx [ x ] 0 0 x y cumple que d dx F(x) f(x) Por lo lato la funcón de dstrbucón será: 0 3 F ( x) x 1 s s s x 0 0 x 1 x > 1 Problemas. 1.- Sea la sguente funcón de cuantía, donde X es "suma de los dígtos al lanzar dos dados al are": Error! Marcad or no defn do. X P(Xx) 1/36 3 /36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 31 I

15 ESTADÍSTICA I 9 4/ /36 11 /36 1 1/36 Se pde determnar : 1.- es funcón de cuantía?..- Hallar la funcón de dstrbucón. Representarla. 3.- Demostrar que se cumple P(X > x) 1 - F(x), para cualquer x 0 R..- Tenemos la sguente funcón: f(x) K(X + X) defnda entre 0 y 1. - Determnar k para que sea funcón de densdad. - Hallar la funcón de dstrbucón. 3.- La funcón de dstrbucón de una varable aleatora defnda entre 0 y 1 es la sguente: F(X) Se pde determnar la funcón de densdad. 1 X 313 I

16 Varables aleatoras b-dmensonales VII.3.- Un acercamento a la varable aleatora bdmensonal. 314 I

17 ESTADÍSTICA I VII Varable aleatora b-dmensonal. A veces, el estudo de una sola varable aleatora es nsufcente para el objetvo que nos hemos propuesto, y se hace necesaro estudar conjuntamente más de una varable aleatora. En este caso, estaremos trabajando con dos, tres o n varables o caracteres cuanttatvos, de la msma manera que lo hcmos para el caso de varables estadístcas. Por ejemplo, s queremos estudar la relacón exstente entre la temperatura y la cantdad de agua de lluva, vemos que el suceso un día extraído al azar do como resultado una temperatura de 35 grados y una cantdad de lluva obtenda de 0 ltros no puede expresarse medante un únco número, puesto que conjuntamente nos nteresan dos característcas, y el resultado son dos números. Es decr, es un elemento del espaco bdmensonal. Por tanto, en este caso es necesaro consderar dos varables aleatoras, una para la temperatura y otra para la cantdad de lluva, que generarán un espaco de probabldad en R. El ejemplo lo podemos generalzar sn nnguna dfcultad a el espaco R n. Un repaso al tema III permtrá al alumno tener una dea más clara de las varables b-dmensonales. Defncón. Para expresar correctamente certos sucesos relaconados con expermentos aleatoros como subconjuntos de los números reales, es necesaro recurrr a aplcacones que transformen los resultados de un espaco muestral ω en puntos del espaco R, es decr, es necesaro utlzar varables aleatoras con componentes, que tambén pueden denomnarse vectores aleatoros. 315 I

18 Varables aleatoras b-dmensonales Formalcemos el concepto de varable aleatora bdmensonal. S X e Y son varables aleatoras en R sobre el par {ω,ß}, entonces Z(X,Y) es una varable aleatora en R sobre el par {ω,ß}. Es decr, sea (ω,ß) un espaco probablzable y sean X e Y dos varables aleatoras tales que: X: ω 6 R Y: ω 6 R A 0 ω 6 X(A) 0 R C 0 ω 6 Y(C) 0 R entonces: Z(X,Y): ω 6 R (A,C) 0 ω 6 Z(A,C)[X(A),Y(C)] 0 R 316 I

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20 Varable aleatora un-dmensonal Clasfcacón. Al gual que para las varables aleatoras undmensonales, para las b-dmensonales tenemos tambén que dstngur entre: A.- Varables aleatoras b-dmensonales dscretas: (X,Y) es una varable aleatora b-dmensonal dscreta s los valores posbles de (X,Y) son fntos o nfntos numerables. Es decr, los valores posbles de (X,Y) se pueden representar como (X,Y j ), tal que {1,,...,k}, j{1,,...,p}. B.- Varables aleatoras b-dmensonales contnuas: (X,Y) es una varable aleatora b-dmensonal contnua s puede tomar todos los valores posbles dentro de un par de valores dado. VII.3..- Caracterzacón de una varable aleatora bdmensonal. Supongamos que queremos estudar un expermento aleatoro medante una varable aleatora b-dmensonal Z(X,Y). S lo que pretendemos es estudar las probabldades de los sucesos en funcón de sólo una de las varables aleatoras: (por ejemplo X > a ó a < Y # b), nos bastaría con conocer las funcones de dstrbucón de las varables aleatoras X e Y de la forma ya vsta en el tema anteror. Pero s lo que pretendemos es tener en cuenta la nteraccón entre las dos componentes del vector aleatoro; es decr, entre X e Y, será necesaro dsponer de una funcón conjunta de ambas varables aleatoras. 84

21 ESTADÍSTICA Funcón de dstrbucón. Dada una varable aleatora bdmensonal (X,Y), llamaremos funcón de dstrbucón de dcha varable a la funcón defnda en R que toma valores en R defnda como: F(x,y)P(X # x,y # y) Como se puede observar, la funcón de dstrbucón bdmensonal nos da la probabldad de que la varable tome un valor gual o nferor al par (x,y), en donde x e y son dos valores de X e Y respectvamente. Varable aleatora dscreta: Funcón de cuantía. Sean X,Y dos varables aleatoras. Se defne la funcón de probabldad conjunta o funcón de cuantía conjunta como una aplcacón de R en R tal que a cada uno de los resultados posbles (x,y) 0 R se le asoca un número p j, tal que: p j P(X x ;Y y j ) Es decr: p j : R 6 R (x,y) 0 R 6 p j P(X x ;Y y j ) 0 R A partr de esta funcón de probabldad obtenemos una tabla de doble entrada formada por todos los pares de valores que toma la varable junto con su probabldad asocada: Error! Marcado y 1 y y 3... y p p(x ) 85

22 Varable aleatora un-dmensonal X 1 p 11 p 1 p p 1p p(x 1 ) X p 1 p p 3... p p p(x ) X 3 p 31 p 3 p p 3p p(x 3 ) X k p k1 p k p k3... p kp p(x k ) p(y j ) p(y 1 ) p(y ) p(y 3 )... p(y p ) El alumno debe repasar el tema III y comparar la tabla de doble entrada de las varables estadístcas dscretas y la tabla anteror. Como podrá dase cuenta, la funcón que la frecuenca relatva conjunta desempeña en las varables estadístcas b-dmensonales, lo desempeñan las las probabldades conjuntas en las varables aleatoras. Varable aleatora contnua: Funcón de densdad. Llamaremos funcón de densdad de una varable aleatora contnua, y la denotaremos por f(x,y) a aquella funcón que cumple F(x, y) x y - - f(x, y)dxdy donde F(x, y) es la funcón de dstrbucón b dmensona l Es decr, f(x,y): R 6 R (x,y) 0 R 6 f(x,y) 0 R y, por tanto, f(x,y) es la dervada con respecto a x e y de 86

23 ESTADÍSTICA la funcón de dstrbucón. F(x, y) x y f(x, y) VII Dstrbucones margnales y condconadas. A partr de una varable aleatora b-dmensonal puede nteresarnos estudar cada una de las característcas que la componen por separado. Es decr, conocendo la dstrbucón conjunta de la varable (X,Y) conocer las dstrbucones un-dmensonales de X e Y por separado. Dstrbucones margnales. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Sea (X,Y) una varable aleatora b-dmensonal dscreta, con dstrbucón de probabldad dada por la sguente tabla b-dmensonal: Error! y 1 y y 3... y p p(x ) Marcado x 1 p 11 p 1 p p 1p p(x 1 ) x p 1 p p 3... p p p(x ) x 3 p 31 p 3 p p 3p p(x 3 )

24 Varable aleatora un-dmensonal x k p k1 p k p k3... p kp p(x k ) p(y j ) p(y 1 ) p(y ) p(y 3 )... p(y p ) Llamaremos dstrbucón margnal de X a aquella varable aleatora un-dmensonal que tene las msmas modaldades que X con unas probabldades dadas por p j1 p( x ) pj 1,,...,k Llamaremos dstrbucón margnal de Y a aquella varable aleatora un-dmensonal que tene las msmas modaldades de Y con unas probabldades dadas por k j 1 p( y ) pj j1,,...,p A partr de la nformacón anteror, es nmedato calcular la funcón de cuantía de las dstrbucones margnales, puesto que son un-dmensonales, así como las respectvas funcones de dstrbucón de las dstrbucones margnales. Funcón de dstrbucón de la margnal de X F 1 (x) P(X x;y < ) x x p( x Funcón de dstrbucón de la margnal de Y F (y) P(X < ;Y y) y j y p( y j ) ) VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Llamaremos varable aleatora margnal de X a aquella varable aleatora cuya funcón de densdad se obtene como 88

25 ESTADÍSTICA f 1(x) - f(x, y)dy De gual manera, llamaremos varable aleatora margnal de Y a aquella varable cuya funcón de densdad se obtene como (y) f - f(x, y)dx De forma smlar podemos defnr las varables aleatoras margnales medante el uso de las funcones de dstrbucón. Llamaremos varable aleatora margnal de X a aquella cuya funcón de dstrbucón se obtene como x x F 1(x) f(x, y)dxdy f 1 (x)dx O, para Y, y y F (y) f(x, y)dxdy f (y)dy Dstrbucones condconadas VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Sea (X,Y) una varable aleatora bdmensonal dscreta con dstrbucón de probabldad p j ( 1,,...,k)(j1,,...,p) y con dstrbucones margnales: 89

26 Varable aleatora un-dmensonal p( x ) p j1 p j p( y j ) p k 1 j La probabldad condconada del valor Xx al valor de Yy j se defne como: P( x / y j ) P(X x /Y y j ) P(X x P(Y ;Y y y j ) j ) p j p( y j ) De forma smlar, la probabldad condconada del valor Yy j al valor de Xx se defne como: P( y j / x ) P(Y y j /X x ) P(X x ;Y y P(X x ) j ) p j p( x ) De las anterores expresones podemos obtener las sguentes dstrbucones: X p(x /y j ) x 1 p(x 1 /y j ) x. p(x /y j )..... x p(x /y j ) 90

27 ESTADÍSTICA x k p(x k /y j ) Σ 1 k 1 p( x / y j ) 1 Y p(y j /x ) Y 1 p(y 1 /x ) Y. p(y /x )..... Y j. p(y j /x )..... Y p p(y p /x ) Σ 1 p j1 p( y / x ) 1 j En térmnos de funcones de dstrbucón podemos expresar F(x/y) x x p( x como la funcón de dstrbucón de la varable aleatora de X condconada por el valor y j de Y. Y / y j ) 91

28 Varable aleatora un-dmensonal F(y/x) y y j p( y j / x ) como la funcón de dstrbucón de la varable aleatora Y condconada por el valor x de X. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Llamaremos dstrbucón condconada de X condconada por Y a aquella varable aleatora cuya funcón de densdad se obtene de la sguente manera df(x/y) f(x/y) dx f(x, y) f (y) en donde f(x,y) es la funcón de densdad conjunta y f (y) es la funcón de densdad de la margnal de Y. De gual forma podemos defnr la dstrbucón de Y condconada por X. df(y/x) f(y/x) dy f(x, y) f (x) 1 En térmnos de la funcón de dstrbucón, la dstrbucón condconada de X condconada por Y se obtene como F(x/y) P(X x/y F(x, y) y) F (y) Y para la condconada de Y condconada por X, 9

29 ESTADÍSTICA F(y/x) P(Y y/x F(x, y) x) F (x) 1 Con las dstrbucones margnales y condconadas se trabaja de déntca forma que con las varables aleatoras un-dmensonales, ya que, de hecho, son un-dmensonales. VII Dependenca e ndependenca estadístca. Sea (X,Y) una varable aleatora con funcón de dstrbucón F(x,y), sendo F 1 (x) y F (y) las funcones de dstrbucón margnales de X e Y, respectvamente, decmos que X e Y son varables aleatoras ndependentes s y sólo s: o tambén: F(x, y) F 1(x)* F (y) (x, y) R 1.-Varables aleatoras dscretas: p P(X x ;Y y ) p( x )* p( y j j j.-varables aleatoras contnuas: f(x, y) f (x)* f (y) 1 (x, y) R Por otra parte, s dos varables son ndependentes, se cumple: Para varables aleatoras dscretas *.- p(x /y j ) p(x ) *.- p(y j /x ) p(y j ) ) ( x,y j ) Para varables aleatoras contnuas: *.- f(x/y) f 1 (x) *.- f(y/x) f (y) Para ambas: 93

30 Varable aleatora un-dmensonal *.- F(x/y) F 1 (x) *.- F(y/x) F (y) EJEMPLO: Dada la sguente dstrbucón de probabldad de la varable aleatora b-dmensonal (X,Y), estudar la exstenca de dependenca o no entre dchas varables. Error! Marcador no defndo. X / Y 1 4/1 /1 8 1/1 1/1 10 1/1 3/1 RESOLUCION DISTRIBUCION MARGINAL DE X X p(x ) en donde (1) 6/1 () 8 /1 (3) 10 4/1 Σ 1 (1) P(,1) + P(,) 4/1 + /1 6/1 () P(8,1) + P(8,) 1/1 + 1/1 /1 (3) P(10,1)+ P(10,) 1/1 + 3/1 4/1 94

31 ESTADÍSTICA DISTRIBUCION MARGINAL DE Y Y p(y j ) en donde (1) 1 6/1 () 6/1 Σ 1 (1)P(,1) + P(8,1) + P(10,1)4/1 + 1/1 + 1/1 6/1 ()P(,) + P(8,) + P(10,)/1 + 1/1 + 3/1 6/1 CONDICION DE INDEPENDENCIA: P(X x ;Y y j ) P(X x )* P(Y y j ), j que es lo msmo que decr : p j p( x )* p( y j ) Es decr, p( x )* p( y p ) * p1 p( x1)* p( y ) * Por tanto, las varables X e Y no son ndependentes. 95

32 Varable aleatora un-dmensonal 96

33 ESTADÍSTICA VII. 4.- CARACTERÍSTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA I VI El operador esperanza matemátca. Propedades. VI Concepto, defncón y propedades. Para varables aleatoras, los térmnos "valor esperado", "meda", "valor medo" o "esperanza" tenen el msmo sgnfcado. Para entender este concepto basta con magnar un cuerpo suspenddo de una varlla; la esperanza no es más que aquel valor de la dstrbucón que correspondería al punto en el que la varlla quedaría equlbrada; es decr, su "centro de gravedad". Cuando se habla de "valor medo" de una varable aleatora se suele utlzar el térmno de "esperanza" debdo al carácter de aleatoredad que encerra. Defnamos formalmente el concepto de esperanza matemátca. Dada una varable aleatora X y una funcón g de dcha varable aleatora, se defne la esperanza matemátca y se representa por E[g(X)], como: Para varables aleatoras dscretas: E[g(X)] g( x )p( x ) g( x )P(X x ) en donde p(x ) es la probabldad de que la varable X tome el valor x, es decr, la funcón de cuantía. Para varables aleatoras contnuas: E[g(X)] - g(x)f(x)dx en donde f(x) es la funcón de densdad de la varable X. PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA: 1.- Dada una varable aleatora X, sendo g 1 (X) y g (X) dos funcones de X tales que exsten sus esperanzas matemátcas 97

34 Varable aleatora un-dmensonal E[g 1 (X)] y E[g (X)], entonces tambén exste la esperanza de la suma de ambas funcones y vale: E[ g1 (X) + g(x)] E[ g1(x)] + E[ g(x)].-sea K una constante, su esperanza matemátca es la propa constante: E[K] K 3.- Dada una varable aleatora X sendo g(x) una funcón de X y K una constante, se verfca: E[K + g(x)] K + E[g(X)] 4.- Dada una varable aleatora X sendo g(x) una funcón de X y K una constante, se verfca: E[K * g(x)] K * E[g(X)] 5.- S X e Y son dos varables aleatoras, se cumple: E[g(X)+g(Y)] E[g(X)] + E[g(Y)] 6.- S X e Y son ndependentes, se verfca: E[g(X)*g(Y)] E[g(X)] * E[g(Y)] VII Algunos casos de especal relevanca. 1.- Meda de una varable aleatora. Llamaremos meda de una varable aleatora X, y la denotaremos por µ, a la esperanza de la funcón g(x)x. Por tanto, la meda de una varable aleatora no es más que el centro de gravedad de la propa varable. La meda para el caso de que X sea una varable dscreta vene dada por 98

35 ESTADÍSTICA p( x µ E[X] x ) Para el caso contnuo la expresón se concretza en: µ E[X] - xf(x)dx Ejemplo. Dada la varable aleatora X y su dstrbucón de probabldad, hallar la esperanza matemátca: Error! Marcad or no defn do.x P(x ) 3/1 1/1 1/1 /1 1/1 3/1 1/1 RESOLUCION: E[X] * 1+* +4* +6 * p( x )x 1 +8* * * Ejemplo. Dada una varable aleatora contnua cuya funcón de densdad vene dada por: 0 x < 0 f(x) 1/x 0 # x # 99

36 Varable aleatora un-dmensonal 0 x > Calcular la esperanza matemátca. RESOLUCION: µ E[X] - xf(x)dx 0 x*( x )dx 0 ( x )dx [ x ] Varanza de una varable aleatora. Propedades. Llamaremos varanza de una varable aleatora X a la esperanza de la funcón g(x)[x-e(x)]. A la varanza de una varable la denotaremos por σ, y su expresón es la sguente: Para varables aleatoras dscretas, σ p( x )[ x - E(X) ] p( x ) x - [E(X) ]. en donde p(x ) es la funcón de cuantía de la varable X. Como se puede observar, no exste dferenca con el caso de las varables estadístcas dscretas. Para varables aleatoras contnuas, 300

37 ESTADÍSTICA σ - [x - E(X) ] f(x)dx - x f(x)dx - [E(X) ] en donde f(x) es la funcón de densdad de la varable X. En ambos casos, dscreto y contnuo, defnmos la desvacón típca como la raíz cuadrada postva de la varanza. Esto es, Para el caso dscreto σ + σ + ( x - µ ) p( x ) Para el caso contnuo, σ + σ + (x -µ - ) f(x)dx PROPIEDADES DE LA VARIANZA: 1.- Sea X una varable aleatora y K una constante: σ (K * X) K σ x..- Sea K una constante: σ (K) S X e Y son varables aleatoras ndependentes: σ (X +Y) σ X + σ Y 4.- S X e Y son varables aleatoras ndependentes: 301

38 Varable aleatora un-dmensonal σ (X -Y) σ X + σ Y Ejemplo. Calcular la varanza de la sguente dstrbucón: x p(x ) RESOLUCION: Σ 1 Error! Marcad or no defn p(x ) x p(x ) x -E(X) [x -E(X)] [x -E(X)] p(x ) do.x σ 0.50 Ejemplo. Dada la varable aleatora X con funcón de densdad: 0 x < 0 30

39 ESTADÍSTICA f(x) 1/10 0 # x # 10 0 x > 10 calcular la varanza. RESOLUCION: σ - x f(x)dx - [E(X) ] [E(X)] - xf(x)dx 10 0 x* 1 10 dx [ x 0 ] σ x * 1 dx -( [ x ) 30 ] VII.5.- La varable aleatora tpfcada. Sea X una varable aleatora con meda µ y desvacón típca σ, llamaremos varable aleatora tpfcada de X a la varable Z defnda como: Z X - µ σ Podemos demostrar que la meda de Z es ceor y su varanza 1. "La meda de la varable tpfcada Z es gual a cero" Demostracón: 303

40 Varable aleatora un-dmensonal X - µ E[X - µ ] µ Z E[Z] E[ ] σ σ E[X] - µ E[ σ ] E[X] - E[ µ ] µ - µ 0 σ σ "La varanza de la varable tpfcada Z es gual a uno" Demostracón: σ Z E[Z -µ Z ] E[ Z X - µ ] E[ ] σ E[X - µ ] σ σ σ 1 Ejemplo. Dada la sguente funcón de densdad de la varable aleatora contnua X: /9 x x ε (0,3) f(x) 0 restantes valores Calcular la varable tpfcada de X. RESOLUCION: Z X - µ σ A.-Cálculo de µ: µ E[X] - f(x)xdx 3 0 x* 9 xdx x dx [ * 9 3 x 3 ] 3 0 *

41 ESTADÍSTICA B.-Cálculo de σ: σ X E[X - E(X) ] E[X - ] - (X - ) f(x)dx 3 0 (x - ) * 9 xdx ( x +4-4X)xdx ( +4x - 4 )dx [ x 0 x x [ x ] x ] 0-4[ ] [ * - 4* ] σ X + σ X C.- X tpfcada: Z X - µ σ x σ * z + µ 0.71Z S x 0; Z _ S x 3; Z Por tanto: valores /9[0.71*z+] z 0 (-.8,1.41) f(z) 0 restantes 305

42 Varable aleatora un-dmensonal VII.6.- TEOREMA DE TCHEBYCHEFF. El teorema de Tchebycheff se usa para el cálculo de probabldades máxmas o mínmas cuando úncamente conocemos la meda y la varanza de la varable aleatora sobre la cual queremos calcular probabldades. Sea X una varable aleatora con esperanza y varanza fntas, entonces: 1 t >0 _ P( X - µ tσ ) t expresón que es equvalente a: K >0 _ P( X - µ K) σ X K s hacemos tomar a k el valor tσ y que nos dce que la probabldad de que la dferenca, en valor absoluto, entre el valor que toma una varable y su valor esperado sea mayor o gual que un certo valor K es menor o gual que el cocente entre la varanza de la varable y el cuadrado del valor de K. Demostracón: Para una varable aleatora X, contnua, tenemos: σ E(x - µ ) (x - µ ) - f(x)dx s dvdmos esta ntegral en la suma de 3: 1. - Desde - hasta. - µ - tσ Desde µ - tσ hasta µ + tσ 3. - Desde µ +tσ hasta 306

43 ESTADÍSTICA tenemos: σ µ -tσ - (x -µ ) f(x)dx + + µ +tσ µ -tσ (x - µ ) f(x)dx + + µ +tσ (x - µ ) f(x)dx Como lo que necestamos para la demostracón es que haya una desgualdad del tpo mayor o gual reemplazamos las ntegrales 1 y 3 por cantdades más pequeñas. En la prmera de las ntegrales, s t > 0 entonces: x µ - tσ y esto mplca que: x - µ -tσ s multplcamos por (-1) la anteror expresón: -(x - µ ) > tσ y s elevamos al cuadrado en ambos membros: (x - µ ) > t σ En la tercera ntegral: x µ + tσ lo que mplca que: x - µ tσ y por tanto: 307

44 Varable aleatora un-dmensonal µ ) (x - t σ y susttuyendo dcho valor en las ntegrales tenemos: σ µ -tσ - t σ f(x)dx + + µ +tσ µ -tσ (x - µ ) f(x)dx+ + µ +t σ t σ f(x)dx Pero s la σ es mayor o gual que la suma de 3 térmnos postvos, tambén será mayor o gual que la suma del prmero y el tercero, por lo que, elmnando la segunda ntegral y expresando la prmera y tercera en térmnos de probabldad llegamos a: σ [t σ P[x ( µ - tσ )] + +t σ P[x ( µ +tσ )]] t σ P( x - µ tσ ) que es lo msmo que decr: t σ P( X - µ tσ ) σ _ 1 _ P( x - µ tσ ) t expresón que como decíamos, es equvalente a: 308

45 ESTADÍSTICA X P( X - µ K) σ K (para k tσ ) Ejemplo. En una sucursal de la hamburguesería " Mc Pato S.A." se estma que, por térmno medo, los fnes de semana los clentes solctan unas 500 hamburguesas del tpo "Bg Pato" con una desvacón típca de 35. Mr Glto, dueño de la sucursal, pretende conocer la probabldad de que, en un fn de semana, los clentes le solcten por lo menos 550 hamburguesas del tpo menconado. A.- Qué le aconsejaría usted hacer, sabendo que no se conoce la dstrbucón de probabldad de la demanda de hamburguesas? RESOLUCION La respuesta adecuada sería la de que no es posble conocer esa probabldad, pero lo que sí es posble es obtener la probabldad máxma de que eso ocurrera. E(X)500 ; σ X 35 P(X 550) P(X ) P( X ) σ X 35 K B.- El señor Glto, satsfecho con su respuesta, le pregunta Cuántos panes de bombón deberé comprar para el fn de semana para poder satsfacer a los clentes con una probabldad de al menos el 75%? RESOLUCION: Lo que nos pden es: 309

46 Varable aleatora un-dmensonal P(X K) P(X P(X K) K) 0.75 P(X < K) P( X < K) σ X 1- K Por tanto, habrá que buscar el valor de K que cumpla: - σ K _ K X 1 K 70 Deberá comprar, como mínmo, 570 panes para obtener el 75% de probabldad de satsfacer a sus clentes. 310