Modelos triangular y parabólico

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1 Modelos trangular y parabólco ClassPad 0 Prof. Jean-Perre Marcallou INTRODUCCIÓN La calculadora CASIO ClassPad 0 dspone de la Aplcacón Prncpal para realzar los cálculos correspondentes a los modelos trangular y parabólco. El materal presentado a contnuacón reposa sobre el Capítulo 5.- Modelacón probablístca: parte I del lbro Probabldad: Elementos para modelar stuacones con ncertdumbre Edgar Elías Osuna (obra actualmente en prensa Edcones IESA). CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS Expermento aleatoro : Es un proceso que genera resultados ben defndos. Espaco descrptvo S: Es el conjunto de todos los resultados posbles de un expermento aleatoro. Evento: Cualquer subconjunto del espaco descrptvo S. Varable aleatora: Es una funcón X(a) que asgna un número real x(a) a cada elemento a de S; es decr, es una funcón que toma valores en un espaco de probabldades S. En general, las varables aleatoras se representan por las últmas letras del alfabeto, en mayúsculas, mentras que las mnúsculas se reservan para el valor que toma la varable aleatora. Clasfcacón Varable aleatora dscreta: Es aquella cuando el conjunto de llegada es fnto o nfnto numerable. Varable aleatora contnua: Es aquella cuando el conjunto de llegada es nfnto no numerable. Recorrdo R X : Es el conjunto de valores reales que puede tomar la funcón X(a). Funcones que defnen el comportamento de una varable aleatora undmensonal dscreta: Funcón de masa de probabldades: Sean x 1, x, x,..., x n los valores que puede tomar la varable aleatora X. Se defne la funcón de probabldad de la varable aleatora X como p( x ) P( X x ) ( 1,,,...,n). Propedades: 1) 0 p(x ) 1 p(x ) 1 ) n 1 ) P(a X b) p( x ) :ax b Funcón de dstrbucón acumulatva: Propedades: F( x ) P( X x ) p( x ) :x x 1) 0 F( x ) 1 para todo x. ) F(x) es no decrecente 1

2 ) lm F( x ) 1 x 4) lm F( x ) 0 x 5) S a b, P(a X b) F(b) F(a) Funcones que defnen el comportamento de una varable aleatora undmensonal dscreta: Funcón de densdad de una varable aleatora contnua: Es una funcón f(x) tal que a) f( x ) 0 b) f( x )dx 1 c) Para a b, P(a X b) f( x )dx Funcón de dstrbucón acumulatva: Propedades: b a x F( x ) P( X x ) f( x )dx 1) df( x) / dx f( x) ) F(x) es no decrecente ) lm F( x ) 1 x 4) lm F( x ) 0 x 5) S a b, P(a X b) F(b) F(a) Esperanza matemátca E(X): La esperanza matemátca de una varable aleatora X se defne como: Varable aleatora dscreta: E( X ) xp( x ) Varable aleatora contnua: E( X ) xf ( x) dx Propedades de la esperanza matemátca: 1) S X C, sendo C una constante, E( X) C ) S C es una constante, E( CX ) CE( X) ) E H ( X) H ( X)... H ( X) E H ( X) E H ( X)... E H ( X ) 1 n 1 4) Para A y B constantes, E( AX B) AE( X) B 5) Desgualdad de Jensen: S H(X) es una funcón convexa y s E(X) exste, E H( X) H E( X) 6) Interpretacón geométrca: E( X ) 1 F( X) dx F( X ) dx 0 0 n

3 Varanza V(X): La varanza de una varable aleatora X, se defne como la esperanza matemátca del cuadrado de su desvacón con respecto a la meda, es decr, Varable aleatora dscreta: V( X) E X E( X) E( X ) E( X) V( X ) x E( X ) p( x) Varable aleatora contnua: Propedades de la varanza: V( X ) x E( X ) f ( x) dx 1) S X C, sendo C una constante, V( X) 0 ) S C es una constante, V( X C) V( X) ) S C es una constante, V( CX ) C V( X) 4) Para A y B constantes, V( AX B) A V( X) Desvacón estándar : La desvacón estándar de una varable aleatora X se defne como la raíz cuadrada de su varanza. Desgualdad de Tchebyshev: S X es una varable aleatora con una dstrbucón cualquera cuya esperanza matemátca y varanza y son fntas, entonces: P X h ( h 0) h Modelos trangular y parabólco: Descrben stuacones en las cuales sabemos que la varable toma valores entre un mínmo y un máxmo conocdos, y que certo valor en ese ntervalo tene mayor probabldad de ocurrenca que los demás (un mínmo, un máxmo y un valor más probable). Modelo trangular: Sea X una varable aleatora contnua con funcón de densdad trangular en la cual el valor mínmo posble es a, el máxmo posble es b y el más probable es c, donde a < c < b. Funcones de densdad de probabldad y de dstrbucón acumulatva de la dstrbucón unforme: Presentaremos a contnuacón los dferentes casos que suelen ocurrr: Caso I: Trángulo cualquera. Caso II: Trángulo sósceles. Caso III: Trángulo rectángulo. Para cada caso se presentan las funcones de densdad de probabldad con sus correspondentes lustracones gráfcas, la esperanza matemátca, la varanza y la funcón de dstrbucón acumulatva.

4 0 para x a ( x a) para a x c ( b a)( c a) f( x) ( b x) para c x b ( b a)( b c) 0 para x b f( x ) h b a 0 a c b x E( X ) a b c (b c ) (b a)(c a) V( X ) 18 0 para x a ( x a) para a x c ( b a)( c a) F( x) P( X x) ( b x) 1 para c x b ( b a )( b c ) 1 para x b P( X x) 1 P( X x) 1 F( x ) 0 para x a 4( x a) a b para a x ( b a) f( x) 4( b x) a b para x b ( b a) 0 para x b f( x ) h b a 0 a c b x EX ( ) a b ( ) V( X ) b a 4 0 para x a ( x a) a b para a x ( ) b a F( x) P( X x) ( b x) a b 1 para x b ( b a) 1 para x b P( X x) 1 P( X x) 1 F( x ) 4

5 f( x ) 0 para x a ( b x) f ( x) para a x b ( b a) 0 para x b h b a 0 a b x a b b a E( X ) a 0 para x a ( b x) F( x) P( X x) 1 para a x b ( b a) 1 para x b ( ) V( X ) b a 18 P( X x) 1 P( X x) 1 F( x ) f( x ) 0 para x a ( x a) f ( x) para a x b ( b a) 0 para x b h b a 0 a b x a b ( b a) E( X) a 0 para x a ( x a) F( x) P( X x) para a x b ( b a) 1 para x b ( ) V( X ) b a 18 P( X x) 1 P( X x) 1 F( x ) 5

6 Modelo parabólco smétrco: Sea X una varable aleatora contnua con funcón de densdad en forma de parábola smétrca, en la cual el valor mínmo posble es a, el valor máxmo posble es b, y el más probable es el punto medo del ntervalo (a,b), m = (a+b)/ 0 para x a 6( x ( a b) x ab) f ( x) para a x b ( b a) 0 para x b f( x ) h ( b a) o 0 para x a x 6mx m 1h f ( x) para m h x m h 4h 0 para x b 0 a m b x m h m m + h a b E( X ) m 0 para x a (b a x)( x a) F( x) P( X x) para a x b ( b a) 1 para x b (b c ) V( X ) 0 P( X x) 1 P( X x) 1 F( x ) Aplcacones de los modelos trangular y parabólco: Estos modelos consttuyen una buena aproxmacón para modelar varables aleatoras de las cuales conocemos el rango fnto de valores entre los cuales puede varar (mínmo y máxmo), así como su valor más probable. Su utlzacón es frecuente en la smulacón probablístca Nos permte estmar las duracones de las actvdades de un proyecto usando las tres estmacones: optmsta, muy pesmsta, y pesmsta. Ley del estadístco nconscente: Sea Y H( X) una funcón cualquera de la varable aleatora X; sea f( x) la funcón de densdad de X (o px ( ) su funcón de masa de probabldades s X es dscreta). La esperanza matemátca de Y es: EY ( ) H( x) f ( x) dx cuando x es contnua H( x ) p( x ) cuando x es dscreta Lo cual sgnfca que no se necesta encontrar la dstrbucón de probabldades de Y a fn de evaluar E(Y); es sufcente conocer la dstrbucón de X. 6

7 Teorema del límte central: Sean X 1, X, X,..., X n varables aleatoras ndependentes e déntcamente dstrbudas, con cualquer dstrbucón para la cual exsten E( X ) y V( X ). Sea la suma Sn X1 X X... Xn. Entonces: Sn n lm P z (z) para z, donde denota la funcón de dstrbucón acumulatva de una normal n n estándar. S queremos una nterpretacón ntutva del teorema, podríamos decr que, cuando n, la dstrbucón S n tende a una normal de parámetros (n ; n ) El promedo X ( X1 X... X n ) / n tendrá una dstrbucón aproxmadamente normal cuando n es grande, o una dstrbucón que tende a normal cuando n. Sus parámetros son E( X ) ; V( X ) y su X X n x 1 n funcón de densdad es f X ( x ) e para z n CALCULADORA: APLICACIÓN PRINCIPAL 1. Cómo acceder, lmpar y confgurar la Aplcacón Prncpal? (1) Presone la tecla [ON/OFF] y toque del panel de conos para mostrar las dferentes Aplcacones. () Utlce la barra (botón) de desplazamento e dentfque la Aplcacón Prncpal. () Toque y se actva la pantalla de la Aplcacón Prncpal donde aparecen: Barra de menús: Barra de herramentas: Barra de estado: (4) Toque en la barra de menús [Edt] / [Borrar todo] / [Acep.] con la fnaldad de lmpar el área de trabajo de la Aplcacón Prncpal y aparece la pantalla ncal de dcha Aplcacón. 7

8 (5) Toque en la barra de menús, segudamente [Formato básco] y realce la sguente confguracón. (6) Toque el botón de flecha haca abajo de Formato número, y luego toque Fjo 4 en la lsta desplegable que aparece con la fnaldad de presentar los resultados numércos con 4 cfras decmales. (7) Toque el cuadro de marcacón de Cálculo decmal para actvarlo y luego toque, s es necesaro, los restantes cuadros de marcacón actvados para desactvarlos. (8) Toque [Def.] para valdar la confguracón, y se regresa a la ventana ncal de la Aplcacón Prncpal. Ejemplo 5..1 Un vendedor es contratado por una empresa con la sguente remuneracón: Bs más 10% de lo que venda en el mes. Supongamos que lo que vende en el mes es una cantdad aleatora sobre la cual se sabe (por nformacón hstórca) que nunca es menor que Bs n mayor que Bs Se sabe, asmsmo, que cas sempre la cantdad vendda está cerca de los Bs , y rara vez cerca de Bs El vendedor tene compromsos fnanceros para los que necesta ngresos del orden de Bs al mes, por lo que qusera tener una estmacón de la probabldad de que en un mes recba menos de esa cantdad. Con la nformacón anteror, cuál sería para Ud. Una razonable estmacón de esa probabldad? Solucón analítca: En prmer lugar plantearemos una aproxmacón (aunque gruesa) a la descrpcón del comportamento aleatoro de su ngreso mensual. Plantearemos una dstrbucón trangular, como en la fgura sguente: f( x ) x en mllones de Bs. 8

9 Utlzando la formulacón para trángulos rectángulos, podemos escrbr para la funcón de densdad de la venta mensual X: 0 para x ( b x) (5 x) f ( x) para x 5 ( b a) 9 0 para x 5 Sea Y el ngreso mensual del vendedor. TenemosY 0, 0,1X. 0, 6 0, (5 x) (5 x) P( Y 0, 6) P(0, 0,1X 0, 6) P X ( ) 0,1 P X dx 9 9 (5 ) (5 ) Se verfca tambén que ( ) 1 ( b x) (5 ) PX 1 ( ba) (5 ) 9 9 Solucón calculadora: En este Procedmento se muestra el uso del teclado D del teclado vrtual de la Aplcacón Prncpal para evaluar una ntegral defnda en vsta de que se tene la ventaja de regstrar el ntegrando, el dferencal, y los límtes nferor y superor de ntegracón de la msma manera que se escrbe la ntegral defnda con lápz y papel. PROCEDIMIENTO: APLICACIÓN PRINCIPAL (1) Presone la tecla [ON/OFF] y toque del panel de conos para mostrar las dferentes Aplcacones. () Utlce la barra (botón) de desplazamento e dentfque la Aplcacón Prncpal. () Toque y se actva la pantalla de la Aplcacón Prncpal. (4) Toque en la barra de menús [Edt] / [Borrar todo] / [Acep.] con la fnaldad de lmpar el área de trabajo de la Aplcacón Prncpal y aparece la pantalla ncal de dcha Aplcacón. (5) Presone el teclado vrtual, toque y se actva el teclado plantlla, luego toque e dentfque el símbolo. (6) Toque para ntroducrlo en la pantalla. 9

10 (7) Regstre en el recuadro claro nferor el valor, y luego regstre en el recuadro claro superor el valor 5. (8) Toque, dentfque el símbolo y luego toque para ntroducrlo en la pantalla. (9) Regstre en el recuadro oscuro el numerador (5 x). (10) Regstre en el recuadro claro el denomnador 9. (11) Regstre en el recuadro claro del dferencal la varable x. (1) Toque [Ejec] y verfca que 5 PX ( ) Una empresa que funcona con tres tpos de máquna sabe que X = Número de horas que la máquna A está parada debdo a una avería sgue una dstrbucón trangular de parámetros (1,,6), que Y = Número de horas que la máquna B está parada debdo a una avería sgue una dstrbucón trangular de parámetros (,4,5), y Z = Número de horas que la máquna C está parada debdo a una avería sgue una dstrbucón trangular de parámetros (,5,6). a) Calcule el número medo de horas en las que no funcona la empresa y su desvacón estándar. Suponga que el costo asocado en mles de bolívares de la máquna A es es C (Y ) 6Y 1 y de la C es C (Z ) 1Z 5. 1 C ( X ) 5 X 10X, de la máquna B b) Determne el costo medo total..- En un proyecto se sabe que el camno crítco está formado por 100 actvdades, tal que la duracón de cada una de ellas es aleatora y sgue una dstrbucón trangular con tempo optmsta, pesmsta 1 y habtual 5. Calcule: a) La duracón meda del proyecto. b) La desvacón estándar de la duracón meda del proyecto. c) La probabldad de que el proyecto se termne antes de 50 días. 10

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