3. VARIABLES ALEATORIAS.

Transcripción

1 3. VARIABLES ALEATORIAS. Una varable aleatora es una varable que toma valores numércos determnados por el resultado de un epermento aleatoro (no hay que confundr la varable aleatora con sus posbles valores) como por ejemplo el número de caras al lanzar veces una moneda (valores: 0,, ), el número de de llamadas que recbe un teléfono en una hora, el tempo que esperan los clentes para pagar en un supermercado, etc. Las varables aleatoras se clasfcan en dscretas o contnuas: Dscretas: el conjunto de posbles valores es numerable, es decr, el resultado del epermento aleatoro es un conjunto fnto. Contnuas: el conjunto de posbles valores es no numerable, es decr, el resultado del epermento aleatoro es un conjunto nfnto. Por ejemplo el número de págnas de un lbro es una varable aleatora dscreta, el tempo que tarda en fundrse una bomblla es una varable aleatora contnua, el número de preguntas en una clase de una hora es una varable aleatora dscreta, la cantdad de agua consumda en un mes es una varable aleatora contnua. 3.. DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Sea una varable aleatora dscreta. Su dstrbucón vene dada por los valores que puede tomar,,, 3,,, y las probabldades de que aparezcan p, p, p 3,, p. Estas cantdades p = P{ = } recben el nombre de funcón de probabldad o funcón de densdad (masa). Por ejemplo sea la varable aleatora = número de caras al lanzar tres veces una moneda. Los posbles valores de la varable aleatora son 0,, y 3. El espaco muestral o conjunto solucón sería, en donde S es caer sello y C es caer cara: E = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS} Los posbles valores de la varable aleatora serían: Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {SSS} Toma valor cuando ocurre el suceso {SSC, SCS, CSS} Toma valor cuando {CCS, CSC, SCC} Toma valor 3 cuando {CCC} Con base en lo anteror, se puede defnr la funcón de probabldad de la varable aleatora de la sguente manera: p0 = P{ = 0} = / 8 = 0, 5 p = P{ = } = 3 / 8 = 0, p = P{ = } = 3 / 8 = 0, p3 = P{ = 3} = / 8 = 0, 5

2 La gráfca de la funcón de probabldad de la varable aleatora sería: Con base en lo anteror se podrían responder preguntas como: Cuál será la probabldad, denotada por P, de que salgan al menos dos caras?, cuya respuesta se puede encontrar medante la sguente epresón: P{ } = P{ = 0} + P{ = } + P{ = } = 0, 5 + 0, + 0, = 0, 875 Cuál sería la probabldad, denotada por P, de que el número de caras esté entre y?, cuya respuesta se puede encontrar medante la sguente epresón: P{ } = P{ = } + P{ = } = 0, + 0, = 0, 75 En general la probabldad de que una varable aleatora tome un valor entre dos cantdades a y b sería: P{ a b} = P{ = a} + P{ = a + } P{ = b } + P{ = b} b = P{ = } = a Toda funcón de probabldad debe las sguentes dos condcones (en donde P es la notacón para la probabldad y p es la notacón para su valor): p = P{ = } 0 p = P{ = } = La funcón de dstrbucón probabldad acumulada representa en cada punto 0 la probabldad de que la varable tome un valor menor o gual que dcho punto, es decr, P{ 0 }.

3 Por ejemplo, para la varable aleatora defnda por el número de caras que se obtenen al lanzar tres veces una moneda, la funcón de dstrbucón de probabldad acumulada se podría calcular de la sguente manera: P{ 0} = P{ = 0} = 0, 5 P{ } = P{ = 0} + P{ = } = 0, 5 + 0, = 0, 5 P{ } = P{ = 0} + P{ = } + P{ = } = 0, 5 + 0, = 0, 875 P{ 3} = P{ = 0} + P{ = } + P{ = } + P{ = 3} = 0, , 5 = La gráfca de la funcón de dstrbucón de probabldad acumulada de la varable sería la sguente: Lo anteror es váldo para varables aleatoras dscretas, para una varable aleatora contnua, su dstrbucón de probabldad tene muchos valores y su probabldad asocada es práctcamente nula, es decr, la funcón de dstrbucón es contnua. En este caso se usa en concepto de funcón de densdad de probabldad que ndca la densdad o concentracón de probabldad en cada ntervalo de clase de un hstograma, es decr, ndca las probabldades por áreas en el hstograma y sus valores más altos corresponden a ntervalos en los cuales es más probable que aparezcan resultados del epermento aleatoro. 3.. MEDIA O VALOR ESPERADO (ESPERANZA) DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. La meda o esperanza de una varable aleatora dscreta, se denota por E() y por m, y está dado por la sguente epresón, en donde es el valor de la varable aleatora y p su valor de probabldad asocado: E( ) = m = p + p p = p Por ejemplo, sea la varable aleatora el resultado de lanzar un dado (=resultado de lanzar un dado.). La dstrbucón de probabldad de está dada por: 3

4 p = P{ = } = / p = P{ = } = /... p = P{ = } = / Con base en lo anteror, el valor esperado de está dado por: m = p = = , 5 Para una varable aleatora contnua, el concepto de meda o esperanza de una varable es equvalente pero su cálculo, dada su varabldad contnúa, requere emplear el concepto de ntegral. La meda de una varable aleatora puede nterpretarse como el valor esperado o medo que toma dcha varable o como el valor central de dcha dstrbucón y posee las sguentes propedades: S e y son dos varables aleatoras se cumple que: m + y = m + my S a y b son constantes se cumple que: ma + b = am + b Stuacón problémca. Una compañía ha venddo 05 tquetes para un avón de 00 plazas. Sea la varable aleatora que epresa el número de vajeros que va al aeropuerto para vajar en el avón. Su dstrbucón es: p 0,05 0,09 0,5 0,0 0,3 0,7 0,09 0,0 Hallar la probabldad de que todos los vajeros que van al aeropuerto tengan plaza. P{ 00} = P{ = 98} + P{ = 99} + P{ = 00} = = 0, , , 5 = 0, 9 Obtener la probabldad de que se quede sn tquete alguno de los vajeros que va al aeropuerto. P{ > 00} = P{ = 0} + P{ = 0} P{ = 05} = = 0, + 0, 3 + 0, 7 + 0, , 0 = 0, 7 P{ > 00} = P{ 00} = 0, 9 = 0, 7 Calcular el número esperado de vajeros que acude al aeropuerto. 4

5 m = p = 98 0, , , , , , , , 0 = = 0, 44 Cuál es la probabldad de que la prmera persona de la lsta de espera tenga sto en el vuelo? P{ 99} = P{ = 98} + P{ = 99} = 0, , 09 = 0, DESVIACIÓN TÍPICA O DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA. La desvacón estándar de una varable aleatora es una medda de dspersón de la dstrbucón alrededor de una medda de tendenca central que en general es la meda. Los valores pequeños ndcan concentracón de la dstrbucón alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a dstrbucones más dspersas. El concepto de desvacón típca es equvalente en varables aleatoras dscretas y contnuas, aunque en estas últmas su cálculo requere del uso del concepto de ntegral. S es una varable aleatora dscreta su desvacón típca se denota por σ o por DT(), medante la sguente epresón en la cual son los valores de la varable aleatora, m es su valor esperado o meda y p es el valor de la probabldad de cada valor : σ ( ) ( ) = DT = m p = p m A partr de la desvacón estándar es posble calcular la varanza, denotada por σ o por V() de una varable aleatora medante la sguente epresón: σ ( ) ( ) = V = m p = p m = m m La varanza tene las sguentes propedades: S a y b son constantes se cumple que: σ σ aσ a+ b = a+ b = a σ S e y son dos varables aleatoras ndependentes se cumple que: σ + y = σ + σ y y σ + y = σ + σ y 5

6 Stuacón problémca. Se lanza tres veces una moneda. Sea la varable aleatora que epresa el número de caras en los tres lanzamentos. Hallar y representar la funcón de probabldad de. El espaco muestral E es el sguente: E = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS} = 0 {SSS} p0 = P{ = 0} = / 8 = 0, 5 = {SSC, SCS, CSS} p = P{ = } = 3 / 8 = 0, = {CCS, CSC, SCC} p = P{ = } = 3 / 8 = 0, = 3 {CCC} p3 = P{ = 3} = / 8 = 0, 5 Calcular el número esperado de caras al lanzar la moneda. Era prevsble el resultado? m = p = 0 0, 5 + 0, + 0, + 3 0, 5 = 5, Sí, ya que en cada lanzamento P(C) = / y al lanzar tres veces se tene que 3 / = 5,. Hallar la desvacón estándar de. σ ( m ) p o ben: = = σ p m ( 0 5, ) 0, 5 + ( 5, ) 0, = 0, 8 + ( 5, ) 0, + ( 3 5, ) 0, 5 ( ) = = 0 0, , 5 5, = 0, 8 La desvacón estándar es una medda de dspersón que depende de las undades de medda de la varable, en consecuenca es usual calcular el coefcente de varacón, CV ; para evtar dcha dependenca que puede afectar la nterpretacón de la desvacón estándar; su calculo se realza medante la sguente epresón: CV = σ m

7 Stuacón problémca 3. Sea una varable aleatora que epresa el número de personas que habtan en una vvenda elegda al azar. La dstrbucón de probabldad de es la sguente: ó + p 0,30 0,3 0,77 0,55 0,07 0,04 0,05 0,00 Comprobar que los datos anterores son una dstrbucón de probabldad. Todas las p son mayores o guales que cero y además se cumple que: 8 p =, +, +, , = Hallar la probabldad de que el número de personas que vven en un hogar sea menor o gual que cuatro. ( 4) ( ) ( ) ( 3) ( 4) P = P = + P = + P = + P = = = 0, 3 + 0, 3 + 0, , 55 = 0, 884 Calcular la probabldad de que al menos dos personas vvan en una vvenda. ( ) ( ) ( 3)...` ( 8) P = P = + P = + + P = = P( < ) = 0, 3 = 0, 77 Obtener el número medo de personas que habtan en una vvenda. m = 0, 3 + 0, , , , 0 =, 89 7