( ) MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO ( mas ) y Y. N n. S y. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO ( mas )

Transcripción

1 MUETREO ALEATORIO IMPLE I Este esquema de muestreo es el más usado cuando se tene un marco de muestreo que especfque la manera de dentfcar cada undad en la poblacón. Además no se tene conocmento a pror sobre los posbles valores de Y n otras medcones asocadas a Y. En este caso cada undad se extrae con gual probabldad, por etapas, sn reemplazo, hasta tener las n undades de la muestra. MUETREO ALEATORIO IMPLE I En la prmera extraccón, la probabldad de que n se seleccone una de las n undades es. En la segunda extraccón la probabldad de que se seleccone una de las restantes n- undades es: n así sucesvamente. En la seleccón k, la probabldad de una undad l es n k. k MUETREO ALEATORIO IMPLE I Para estmar promedo de la muestra: Y = Y / se obtene el = n Y / n = = (5.) = ( ) Este es un estmador nsesgado ( E promedo de los posbles valores muchas muestras es Y ). = Y, el al tomar MUETREO ALEATORIO IMPLE I La varanza de es: n V( ) = E( Y) = n donde = ( Y Y) = ótese que s es nfnto, V( ) =, n es el resultado que se obtene para poblacones nfntas.

2 MUETREO ALEATORIO IMPLE I n es la fraccón de muestreo o proporcón de la poblacón que se muestrea, n es el factor de correccón por fntud (fcf). e puede demostrar que con este proceso de seleccón, la probabldad de que cualquer undad u esté en la muestra es n π = la de que ambas una u una u j estén en la muestra es nn ( ) π j = ( ) MUETREO ALEATORIO IMPLE I Para estmar el total tenemos: Además s Y = Y = θ ~[ θ,v( θ)] Y = Y = Y, entonces: [ ] P θ.96 V( θ) θ θ.96 V( θ) = 0.95 MUETREO ALEATORIO IMPLE I no conocemos V ( θ ) tenemos que estmarla: [ ] P θ.96 V( θ) θ θ.96 V( θ) = 0.95 En el caso partcular del mas tenemos: ( n θ = Y, θ = V θ) = V ( ) = n MUETREO ALEATORIO IMPLE I En el caso partcular del mas tenemos: ( n, ) ( ) θ = Y θ = V θ = V = n n n P.96 - Y.96 - = 0.95 n n P Y < = 0.95 = error absoluto.

3 MUETREO ALEATORIO IMPLE I Despejando n de (.96) =.96 V( ) n = = ( ).96 se tene: MUETREO ALEATORIO IMPLE I Recordemos que: ( ( )) ( ) σ E E = E Y = = ( Y Y) = σ, = ( ) ( Y Y) 5. El valor de ó σ se estma con una prueba ploto o ben se advna usando tablas (ver Tabla ), el conocmento prevo sobre la poblacón. se consdera que no se ajusta a la dstrbucón normal, se usa el crtero de fjar la magntud de la varanza o del coefcente de varacón de. e determna n para que produzca un coefcente de varacón dado (CV 0 ) usando estmacones gruesas de de. Así n [ V( ) ] CV0 = = E( ) Y Despejando n, se obtene: n = ( CV0 ) Y n

4 5. n es "grande se espera que el teorema Central del Límte dé una buena aproxmacón de la dstrbucón de. Así: ( ) ~ Y,V P z V Y z V = s α =.95 α ( ) α ( ) α n n P.96 ( ) Y.96 ( ) = 0.95 n n Entonces Y [ ] V( ) se dstrbue aproxmadamente como una normal estandarzada (meda cero varanza uno), donde n V ( ) = n se desea un tamaño de muestra tal que el error de estmacón sea nferor a con una probabldad de -α, esto es: [ ] P Y < = α, V dvendo entre ( ) = z α V( ) Y P < = α [ V( )] [ V( )]

5 De las tablas de la normal estándar, Z~(0,), se obtene un valor z α/ tal que [ ] P Z < z α = α / (z α/ es el valor de Z obtendo en las tablas que deja un área de α/ a la derecha de él). Como Y V ( ) z V Y ( ) ~ (0,), hacemos que sea un valor arbtraro de Z que: = = ( ) n n α / V (a) De aquí (a) se despeja n: z n = = z s α= 0.05 entonces: α / α / (.96) n = zα / e puede usar n ' = como una prmera aproxmacón luego corregr usando n' n = n' no se puede suponer normaldad de la dstrbucón del estmador, se recurre a la desgualdad de Tchebcheff.

6 Desgualdad de Tchebcheff ea U una varable aleatora con cualquer dstrbucón EU ( ) = µ, VU ( ) = σ P U µ U σu P U µ U σu U U PU [ σ U µ U U σu] P V( ) Y V( ) = =.75 = 3 =.889 = 4.4 =.95 = 4.4 V( ) n=. (4.4) (5.4a) En las expresones anterores, s tanto como se expresan en por cento de la meda, ' = 00, CV = 00 la expresón (5.4) se transforma a: zα /( CV ) n = = ( ') ( ') Z ( CV) α /. no se supone normaldad para la dstrbucón de con confanza del 95%, por la desgualdad de Tchebcheff, entonces (5.4a) se transforma a: (4.4)( CV ) n = = ( ) ( ) (4.4) ( CV )

7 Estmacón de Proporcones Y(u ) es una medda o ndcador de la presenca o ausenca de una característca en la undad u con valor s la característca está presente 0 s no es así. En este caso Y = P = proporcón de undades en la poblacón que tenen la característca Y Y = = P. p= Estmacón de Proporcones que es la proporcón de undades en la muestra con la característca. El valor de en térmnos de P resulta: ( Y Y) Y = = ( ) P P = P ( P ), σ = P ( P ) Estmacón de Proporcones n ( ) con estmador np ( = s = = P). n n Con este nuevo valor la expresón (5.3) resulta: ( P) P n = = (5.5) P ( ) P( CV ) CV 0 0 P Para usar esta expresón, se estma a pror o con una prueba ploto el valor de P se fja el CV o que se desea. Estmacón de Proporcones utlzamos la desgualdad de Tchebcheff tenemos: (4.4) P ( P ) n = = (4.4) P( P) (4.4) 5 n = 4 =

8 Estmacón de Proporcones Estmacón de Proporcones ótese que s P está cercano a cero, el valor de n aumenta. Esto ndca que para estmar la proporcón de undades con una característca rara se requeren muchas undades en la muestra. Esto es lo contraro de lo que sucede s se usa la aproxmacón a la normal, en cuo caso se usa la expresón (5.4) con P Y = ( P) zα n = =. z α Estmacón de Proporcones Estmacón de Proporcones se quere conocer P, las Y son 0 ó. = P( P) = P( P) zα /P( P) n = α =.05 z α =.96 =, además como la varanza de P es máxma cuando P = 0.5, se usa P(-P)=(.5)(.5)=0.5 como margen de segurdad (.5) n = =

9 Estmacón de Proporcones Entonces se debe dar que np>5 n(-p)>5 para que se tenga buena cercanía a la normaldad. Al varar se tenen los sguentes tamaños de muestra: n.00,000, ,000.0,500.05,600.3, Estmacón de Proporcones Además, s P~ ( P, V( P)) entonces se debe reportar el resultado de la estmacón de P con un ntervalo de confanza aproxmado dado por: P p.96 V( p) P p.96 V( p).95, n p( p) V( p ) = n ( )