Un nuevo esquema de muestreo : selección con probabilidades gradualmente variables sin reemplazamiento *

Transcripción

1 Un nuevo esquema de muestreo : seleccón con probabldades gradualmente varables sn reemplazamento * por J. L. SACHEZ-CRESPO Instltuto aconal de Estadstca Durante 1Qs últmos ventícnco años han aparecdo numerosas aportacones al muestreo sn reemplazamento con prababldades desguales que, a pesar de su utldad en certos casos concretos, no han poddo evtar de un modo general las dfcultades que presenta la aplcacón de este tpo de muestreo. Entre éstas fguran : complcacón en el cálculo de las probabldades o en la seleccón de undades, nestabldad de le, varanza estmada y dstorsón de las proba.bldades orgnales de seleccón. En este artículo se propone un método de muestreo con probabldades varables comprenddo entre los tradconales métodos de seleccón sn y con reemplazamento. Se demuestra que el método de probabldades gradualmente varables produce una gananc.a, en precsón respecto al muestreo con reemplazamento y probabldades varables, sn requerr un aumento de complejdad en su aplcacán. ITRODUCCIO Es ben conocdo que el muestreo con probabldacles guales es, en general, más efcente cuando la seleccón se realza sn reernplazamento. La gananca en precsón, dada por el f actor de correccón 1-( n --1) f( -1), es mportante s la poblacón es pequeña o la fraccón de muestreo grande. Estos casos pueden presentarse en la práctca cuando el muestreo es poletápco estratfcado con undades prmaras grandes. * Este artículo, con el título «A new samplng scheme: sslecton wth graduated varabl 9 probabltes wthout replacement, ha sdo presentado por el autor a la XLI Sesón del Insttuto Internaconal de Estadístca, que tendrá lugar,n ueva Delh en 19??.

2 8 ESTADSTICA ESPAIKOLA Con objeto de mejorar la precsón de los estmadores utlzando la nformacón complementara, Hansen y Hurwtz (1943) ntrodujeron la seleccón con probabldades desguales y reemplazamento utlzando el sguente estmador: X s' r _ Xr rt X HH = 1 I r "'+ p E rs donde Pt es la probabldad asgnada a la undad u y r es una varable polnomal que representa el número de veces que aparece en a rruestra la menconada undad. E[r)=n P V(r)-n P (1--P) Cov(r, r;)_---n P'P; La varanza del estrnador es y su estmador 1 X V {xhh) -=" P p` -- X n t 1 X ' r f (HH) _ `. n'(n--1) ; Pz La seleccón sn reemplazamento y probabldades desguales se debe fundarnentalmente a Horvtz y Thornpson (1952), cuyo estmador para el total es " t e X HT r e1 [ sendo ez una varable bnomal (1, IT.) con E[e] = II V(e} = IIz (1-- II) Cov (e e;) IIt; - IIt II; sendo II la probabldad de que u pertenezca a la muestra y II:; la probabldad de que u y u; pertenezcan a la muestra smultáneamente. La varanza de este estmad r es X, x x V {xt) -,, t IIs (1--r IIz) +.-._.._ (II f -- II :IIt) t IIt, IIt li y su estmador n IIt II; -- ll; / X IHT) - T -T - I1fj 1Lt X ' ;

3 U UEVO :.SQUEA DE UFSTREO: SELECCIO CO PROBABtLIDADES.. 7. SELECCIO CO REEPLAZAIvIIETO, SI REEPLAZAIETO Y CO PROBABILIDADES GRADUALETE VARIABLES Consderernos un esquerna de urna contenendo bolas de colores o clases, sendo el número de bolas pertenecentes a la clase -ésma = La seleccón con reemplazamento y probabldades desguales equvale a reemplazar la bola después de cada ektraccón, con lo que la probabldad que la undad ut tene en cada seleccón permanece constante e gual a p _ con Pt = E1 número de veces, rl, que u puede pertenecer a una muestra de n undades es, 1, 2,..., n, sguendo rz una dstrbucón polnomal. La seleccón sn reemplazamento equvale, en nuestro esquerna de urna, a retrar después de cada extraccón todas las bolas del color de la obtenda. En nuestra propuesta de seleccón con probabldcdes rradualmente varables, no se reemplaza la bola a la urna después de cada extraccón, por lo que la undad ut puede fgurar en la muestra, como máxmo, un número de veces gual al menor de los valores t o n, sguendo (rs) una dstrbucón hpergeométrca generalzada con funcón de cuantía P (r,..., r _ con --n E(r - n P V(rz) - n P (1 -- P -- Cov (r rt) n -1. n. p. pj

4 $ ESTADISTICA PSPA2OLA 2. ATEIIETO DE LAS PROBABILIDADES ORIGIALES DE SELECCIO E EL CIESTREO GRADUAL.a, probabldad que la undad u tene en las dstntas seleccones, es gual a su probabldad en la prmera seleccón. En efecto, la probabldad de obtener u en la prmera seleccón es y en la segunda P (u ; 1.') = ` - P P(u; 2.a -- Pu; 2.a/u; l.a} -}- P(u; 2.a/uf _; 1.) - y así sucesvamente. t { - 3! -1 +j`, - s -1 } t (--1) s t-- (s --1) - t ( -- ) ( -1) t (--1) (-1) r P 3. ESTIADOR PROPUESTO Sguendo nuestro esquema de seleccón con probabldades gradualmente varables, un estmador nsesgado para el total es _ = x r np 1 _ ya que en la dstrfbucón hpergeométrca generalzada E(r) n P. La varanza de x es r 1 V(r}+, X pa t Ps - n X `"Xa--Xx t pt -

5 ' U UEVO +SQUEA DE UESTREO: SELECCIO CO PROBABILIDADES n 1 n r X` p - X, - n 1 X -,. P -1 n = P V c _ -n V (x ( - 1 \ H) [11 4. ESTIACIO DE LA VARIAZA De las ecuacones -n 1 V(X)- ' ''P y la dentdad algebraca _ 1 5 X z V (X xh) - -- P n p -- X a X ` 3 r X._ ' Pt Id - n (X - x), se deduce I ' X :,' ; " X ' E ' --) j_e ' ` --X rz -n E[x-Xz- P / pt, n ~' V(XHx)-nV(x) n'!n V(x)-nV(X) por lo tanto -1 -n V(x) ;n n(n--1) V(.x) -n -n ' Xt --X I --n P n (n --1) [21 es un estmador nsesgado de V(x). Puede observarse que -- n (X Et)

6 1Q ESTADISTICA LSPAÑOLA 5. EXTESIC) AL UEST'REC BIETAPICO Como en el caso de una etapa, las n undades (guales o dstntas) quedan deterrnnadas por Ia seleccón, con probabldades gradualmente varables, de n bolas a partr de las contendas en la urna. Supongamos que representa 1 número de undades de segunda etapa en la poblac n y que las undades prmaras se selecconan con probabldades proporconales a su tamafo expresado en undades seeundaras. Es decr, Ps - ` con PL ' 1 t En la segunda etapa se elgen m undades sn reemplazamento y de forma nclependente dentro de las n undades prmaras de la muestra. Un estmador nsesgado del total X es n X -- 17't n P donde na x - + xt 1 En efecto:, X `, X r E x" ) -,E n' t EĴ x`,e ` _ E z..._,.x t = X n P t n P{ rl P Para obtener su varanza, representaremos por los subíndces 1 y 2, respectvamente, la varacán entre las undades prmaras y dentro de un conjunto fjo de n undades prmaras V (,x} = E1 ( + 1 E,r X Para la prmera componente tendremos z V Í% \' ' 1 ( t ' n P,, --r n PL ---mt Sl 1 t m 1 1 { 1 S ` ' 1 -- T?'L S 2 E,,, _ E.._._... t y '' m..._ l.., - 1. >..._ c ) _ n p ' ` ;' " P m

7 U UEVO SQUEA DE UFSTRFA: SELECCIO CO PROBABILIDADFS y para la segunda componente de donde E., _ " ) - ' X n P -n VI E: (X) - v X ) - - ' V trr) 1 V X ") = -n m S!z.. _ 1 ' V xh) + [311 n ~ Pt ` m expresón que sólo dfere de la correspondente al muestreo con reemplazamento en el factor de correccón que afecta al prmer sumando. Podemos afrmar que g" HH correspondendo el sgno gual, al caso n= COCLUSIOES Las fórmulas [ 1 l y[ 3l nos permten afrmar que con el procedmento propuesto exste una gananca en precsón respecto a 1 estmadar en el muestreo con reemplazamento y probabldades varables. E1 factor de correccón en el estmador nsesgado de la varanza es --n E1 cálculo del estmador no requere más complej dad que el usual en el muestreo con reemplazamento y probabldades varables. Las probabldades no sufren dstorsón en las sucesvas seleccones. La seleccón con probabldades gradualmente varables no ntroduce complcacón alguna en la práctca. Así, por ejemplo, al aplcar el método de Lahr en vez de elegr la undad ut cuando j G z, la elegríamos cuando j - z, sendo z el número de veces que ya fgura en la muestra.

8 12 ESTADISTICA ESPAÑOLA R ÉSUÉ (Jn expose une méthode de sondage avec probabltés varables comprs entre les méthodes tradtonnelles de trage avec ou sans remse dans 1'urne. Dans cet artcle on démontre que la méthode avec probabltés graduellement varables condut un gan dans la précson, par rapport au trage avec remse et probabltés varables, du méme ordre que celu obtenu en comparant le trage avec ou sans remse dans le cas de probabltés égales, et son applcaton ne suppose pas une plus grande complexté.