Estadísticos muéstrales

Transcripción

1 Estadístcos muéstrales

2 Una empresa dedcada al transporte y dstrbucón de mercancías, tene una plantlla de 50 trabajadores. Durante el últmo año se ha observado que 5 trabajadores han faltado un solo día al trabajo, 0 trabajadores han faltado dos días y 5 trabajadores han faltado tres días. S se toma una muestra aleatora, con reemplazamento, de tamaño dos (, ) del total de la plantlla, obtener:. La dstrbucón de probabldad del número de días que ha faltado al trabajo un empleado, su meda y su varanza.. Dstrbucón de probabldad del estadístco meda muestral. 3. La dstrbucón de probabldad del estadístco varanza muestral. 4. La meda y varanza del estadístco meda muestral. 5. La probabldad de que el estadístco meda muestral, sea menor que. 6. La meda y varanza del estadístco varanza muestral. 7. La probabldad de que el estadístco varanza muestral, sea menor o gual que 0.5.

3 : Número de días que ha faltado un empleado elegdo aleatoramente de la plantlla total. 50 trabajadores. 5 han faltado día 0 han faltado días 5 han faltado 3 días. x =x ) =)=) 5/ =)=) 0/ =3)=3) 5/50 0. N N Han faltado 5 una vez, 0 dos veces y 5 tres veces, por lo que el total de faltas es N N 50 N x x Var( x) E ) E( x) x x )

4 Debdo a ello y σ serán consderadas como la meda y la varanza poblaconal, respectvamente. Selecconamos una muestra aleatora, con reemplazamento, de tamaño dos (, ) : : Varable aleatora correspondente al número de días que falta el prmer trabajador selecconado. : Varable aleatora correspondente al número de días que falta el segundo trabajador selecconado. Ambas varables aleatoras y tenen la msma dstrbucón de probabldad que la de la varable aleatora, correspondente a la poblacón. Pero como nos nteresa obtener la dstrbucón de probabldad de estadístco meda muestral ocupamos la fórmula: Para tener las dstrbucones de probabldad de los estadístcos y S muestral necestaremos tener los dferentes valores que puede tomar y sus probabldades. Para ello empezaremos obtenendo las posbles muestras, con reemplazamento, de tamaño dos.

5 Para obtener las probabldades correspondentes a los dferentes valores muestrales, tendremos en cuenta que las varables y son ndependentes, pues el muestreo hzo con reemplazamento., ) ) ) ).5) ).5) 3) (, j ) =( + j )/ s, ), (+)/ , (+)/ ,3 (+3)/ , (+)/ , (+)/ ,3 (+3)/ , (3+)/ , (3+)/ ,3 (3+3)/ La nformacón que nos proporcona la tabla la utlzamos para obtener la dstrbucón de probabldad del estadístco meda muestral. Valor del estadístco =x)

6 s n ( x x) Luego la dstrbucón de probabldad del estadístco varanza muestral S está dada por Valor del estadístco s s ) Para el cálculo de la meda y varanza del estadístco meda muestral tendremos en cuenta su dstrbucón de probabldad dada. E.6 x P x x x () 0.5 (.5) 0.50 () 0.6 (.5) 0.08 (3) 0.0 E E x.6 x ) 0.0

7 Al consderar la dstrbucón de probabldad del estadístco meda muestral podemos calcular ) ) ) Al consderar la dstrbucón de probabldad del estadístco meda muestral S podemos calcular S s E s s S s Var (0.48).00. S E S ES s PS S s ) 0.0

8 Basándonos en la dstrbucón de probabldad del estadístco varanza muestral S se tene que S 0.5) S ) S 0.5) Con este ejemplo, queda de manfesto que ncluso para muestras de tamaño pequeño y estadístcos con pocos valores se hace pesado la obtencón de la dstrbucón de probabldad de los estadístcos muestrales.

9 En el Ejemplo anteror hemos obtendo: - La meda,, y varanza σ, poblaconal. - Los estadístcos meda y varanza S muestral. - La meda y varanza de los estadístcos meda muestral, y varanza muestral S para una muestra de tamaño n =.

10 E E. Es decr, que la meda del estadístco meda muestral es gual a la meda de la poblacón. E S Var. Es decr, que la meda del estadístco varanza muestral es gual a la varanza de la poblacón. Var Var 3. Es decr, que la varanza del estadístco meda muestral es gual a la varanza de la poblacón dvdda por el tamaño de la muestra, n. Estos resultados no sólo se verfcan para este ejemplo sno que se verfcan en general, como veremos en los sguentes teoremas.

11 S (,..., n) es una muestra aleatora smple de tamaño n procedente de una poblacón, descrta por la varable aleatora, con meda E[] = y varanza Var() = σ, entonces la esperanza de la meda muestral es gual a la meda de la poblacón, y la varanza de la meda muestral es gual a la varanza poblaconal, σ, dvdda por n. E y Var n