Métodos específicos de generación de diversas distribuciones discretas

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1 Tema 3 Métodos específcos de generacón de dversas dstrbucones dscretas 3.1. Dstrbucón de Bernoull Sea X B(p). La funcón de probabldad puntual de X es: P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 p Utlzando el método de la transformada nversa, se pueden generar valores de X medante el sguente esquema: 1. Generar un número aleatoro u 2. S u p, hacer X = 1. En caso contraro, tomar X = 0. 43

2 44 Tema 3. Métodos específcos de generacón de dversas dstrbucones dscretas 3.2. Dstrbucón bnomal Sea X B(n, p). La funcón de probabldad puntual de X es: ( ) n P (X = x) = p x (1 p) n x x Puesto que una varable B(n, p) es la repetcón de n expermentos de Bernoull de probabldad de éxto p, podemos generar valores de esta dstrbucón del sguente modo: 1. Hacer x = 0, = S n r al paso 3. En caso contraro r al paso 5 3. Generar un número aleatoro u. S u p, hacer x = x Hacer = + 1. Ir al paso x es el valor generado de la varable X Igualmente, puesto que una varable B(n, p) es la suma de n varables aleatoras ndependentes B(p), se podrían generar n valores ndependentes de una dstrbucón B(p), y posterormente sumar tales valores. En cualquer caso, el método anteror requere la generacón de n números aleatoros y n comparacones. Por ello, en general, es más efcente la aplcacón del método de nversón de la funcón de dstrbucón tenendo en cuenta la sguente relacón recursva que verfca la funcón puntual de probabldad de un varable B(n, p): P (X = + 1) = El esquema de generacón sería el sguente: (n )p P (X = ). ( + 1)(1 p)

3 3.3. Dstrbucón de Posson Generar un número aleatoro u. 2. Hacer x = 0, P = F = (1 p) n. 3. S u < F, r al paso Hacer P = (n )p P, F = F + p, x = x + 1. Ir al paso 3. (x+1)(1 p) 5. x es el valor generado de X. Con el esquema anteror es necesaro generar un únco número aleatoro y el número de comparacones es uno más que el valor generado de X. Así pues, en promedo se realzan 1 + np comparacones Dstrbucón de Posson Sea X Po(λ). La funcón de probabldad puntual de X es: P (X = x) = λx x! e λ, x 0 La dstrbucón de Posson está relaconada con la dstrbucón exponencal, de modo que el número de veces que ocurre un determnado suceso en un ntervalo de tempo de longtud undad sgue una dstrbucón de Posson de parámetro λ s y sólo s los tempos entre sucesos son ndependentes y se dstrbuyen según una dstrbucón Exp(λ). Hacendo uso de esta propedad, podemos generar valores de una dstrbucón Po(λ) medante el sguente esquema: 1. Hacer x = 0, h = Generar un valor y de una dstrbucón exponencal de parámetro λ. Hacer h = h + y. S h > 1 r al paso 4.

4 46 Tema 3. Métodos específcos de generacón de dversas dstrbucones dscretas 3. Hacer x = x + 1 e r al paso x es el valor generado de la dstrbucón Po(λ). Como aplcacón del método de nversón de la funcón de dstrbucón, se vo que se pueden generar valores de una dstrbucón Y Exp(λ) medante la expresón Y = 1 λ ln U. En el esquema anteror se cuentan los sucesos que ocurren hasta que Y > 1. Se puede smplfcar este esquema tenendo en cuenta que: Y > 1 1 ln U > 1 ln U < λ U < e λ e λ U < 1 λ De este modo, el algortmo quedaría 1. Hacer x = 0, h = e λ. 2. Generar un número aleatoro u U(0, 1). Hacer h = h u. S h < 1 r al paso Hacer x = x + 1 e r al paso x es el valor generado de la dstrbucón Po(λ). Al gual que con la dstrbucón exponencal, podemos aplcar el método de nversón de la funcón de dstrbucón tenendo en cuenta la sguente relacón recursva que verfca la funcón puntual de probabldad de un varable Po(λ): P (X = + 1) = El esquema de generacón sería el sguente: λ P (X = ) Generar un número aleatoro u.

5 3.4. Dstrbucón geométrca Hacer x = 0, P = F = e λ. 3. S u < F, r al paso Hacer P = λ P, F = F + p, x = x + 1. Ir al paso 3. x+1 5. x es el valor generado de X. En el esquema anteror es necesaro la generacón de un únco número aleatoro y, en promedo, serán necesaras 1 + λ comparacones. Ejemplo 3.1. Generacón de valores de Po(λ) por medo del método de composcón Dstrbucón geométrca Sea X G(p). X representa el número de ntentos necesaros para alcanzar el prmer éxto en las realzacones ndependentes sucesvas de un expermento de Bernoull de probabldad de éxto p. Su funcón puntual de probabldad vene dada por: La funcón de dstrbucón de X es: x F (x) = P (X x) = P (X = j) = j=1 P (X = x) = (1 p) x 1 p, x 1 x j=1 (1 p) j 1 p = (1 p)x 1 (1 p) 1 p = 1 (1 p)x, x 1 Podemos utlzar el método de la transformada nversa para generar valores de la dstrbucón geométrca del sguente modo. Dado un número aleatoro u, asgnamos a X el valor x s y sólo s F (x 1) x < F (x). F (x 1) u < F (x) 1 (1 p) x 1 x < 1 (1 p) x (1 p) x 1 1 u > (1 p) x (x 1) ln(1 p) ln(1 u) > x ln(1 p) x 1 [ ] ln(1 u) x = 1 + ln(1 p) ln(1 u) ln(1 p) < x

6 48 Tema 3. Métodos específcos de generacón de dversas dstrbucones dscretas Obsérvese que s u es una realzacón de una varable aleatora U(0, 1), entonces 1 u tambén lo es. Por lo tanto, el algortmo queda: 1. Generar un número aleatoro u [ 2. El valor generado de X es 1 + ln u ln(1 p) ]. Otra posbldad para generar valores de una dstrbucón geométrca es utlzar la propa defncón de la msma. 1. Hacer x = Generar un número aleatoro u. S u p r al paso 4. En caso contraro r al paso Hacer x = x + 1. Ir al paso x es el valor generado de la varable aleatora X Dstrbucón bnomal negatva Sea X BN (n, p). X representa el número de ntentos necesaros para alcanzar el n-ésmo éxto en las realzacones ndependentes sucesvas de un expermento de Bernoull de probabldad de éxto p. Su funcón puntual de probabldad vene dada por: P (X = x) = ( ) x 1 p n (1 p) x n, x = n, n + 1,... n 1 Es fácl demostrar que una varable BN (n, p) se puede expresar como la suma de n varables ndependentes G(p). Por lo tanto, el algortmo se podría esquematzar del sguente modo:

7 3.6. Dstrbucón hpergeométrca Generar x 1, x 2,..., x n valores ndependentes de una dstrbucón G(p) 2. Tomar x = n =1 x como valor generado de X 3.6. Dstrbucón hpergeométrca En una urna hay N undades de las cuales D son defectuosas y C = N D son correctas. Se extraen al azar n undades sn reemplazamento. Sea X: número de undades defectuosas extraídas. Entonces, X HG(N, D, n). Su funcón puntual de probabldad es: ( D C ) P (X = x) = x)( n x ( N, máx{0, n C} x mín{d, n}. n) Medante el sguente esquema se puede generar valores de la dstrbucón hpergeométrca: 1. Hacer x = 0, D = d,c = C = N D, = 1 2. S n, r al paso 3. En caso contraro, r al paso Generar un número aleatoro u. S u d, r al paso 4. En caso contraro, r al N paso Hacer x = x + 1, d = d 1, N = N 1, = + 1. Ir al paso Hacer c = c 1, N = N 1, = + 1. Ir la paso x es el valor generado de X.

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