Sumas de potencias de números naturales y los números de Bernoulli

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1 Sumas de potencas de números naturales y los números de Bernoull Alexey Beshenov (cadadr@gmal.com 4 de Febrero de 07 La suma de n números naturales consecutvos puede ser calculada medante la fórmula n = (n + n = n + n. Probablemente el lector tambén conoce la fórmula para las sumas de cuadrados: n = n (n + (n + 6 = 3 n3 + n + 6 n. es fácl demostrarla por nduccón. Muchos matemátcos trataron de encontrar la fórmula smlar para las sumas de cubos y otras potencas superores. Es un problema muy natural, y la solucón fue descuberta al prncpo del sglo XVIII por el matemátco suzo Jacob Bernoull (64 70 y ndependentemente por el matemátco japonés Sek Takakazu ( Denotemos por S k (n la suma de las k-ésmas potencas de los números naturales hasta n: En partcular, S k (n := k = k + k + + n k. n S 0 (n = n, S (n = n + n, S (n = 3 n3 + n + 6 n. Para obtener las fórmulas para S 3 (n, S 4 (n, S (n, etcétera, recordemos prmero el teorema del bnomo: ( k (x + y k = x k y, 0 k donde ( k = k! (k!! denota un coefcente bnomal, defndo como el número de posbldades de escoger objetos entre un total de k objetos. En PARI/GP, bnomal(k, = ( k. /* vector (n,,expr devuelve un vector con la expresón expr evaluada con =, =,..., =n: */? vector (7,,bnomal (6,- % = [, 6,, 0,, 6, ]

2 En partcular, tenemos (m + k+ m k+ = 0 k ( k + m. La suma de estas dentdades para m =,,..., n nos da ( k + (n + k+ = S (n, 0 k de donde tenemos una expresón de S k (n en térmnos de S 0 (n, S (n,..., S k (n: ( S k (n = k + ( ( k + (n + k+ S (n. 0 k Por nduccón se ve que S k (n es un polnomo en n de grado k +, con coefcente prncpal k+. Para evtar una posble confusón, denotemos la varable por x. El polnomo S k (x Q[x] está determnado por sus valores en x = n N. Por la defncón de S k (n, tenemos S k (n + S k (n = (n + k para n =,, 3,... Para los polnomos, esto nos da la relacón ( S k (x + S k (x = (x + k. En partcular, S k ( S k (0 =, y ya que S k ( =, esto sgnfca que S k (0 = 0; es decr, el térmno constante del polnomo S k (x es nulo (tambén podemos verlo por nduccón de la fórmula (. Usando (, podemos calcular algunos S k (x. Implementemos nuestra fórmula para S k en PARI/GP: S(k = f (k == 0, x, /(k+*((x+^(k+ - - sum (=0, k-, bnomal(k+, * S(;? S(3 % = /4*x^4 + /*x^3 + /4*x^ El lector que conoce un poco de programacón puede notar que el códgo de arrba es muy nefcaz; por ejemplo, para calcular S(0 ya se necesta mucho tempo. He aquí otra versón mucho más rápda: /* La tabla de S (k: */ s_table = []; S (k = { f (k == 0, return (x; } /* Extender la tabla de valores, de ser necesaro: */ f (length(s_table < k, s_table = concat(s_table, vector(k-length(s_table; /* Devolver el valor, s está en la tabla; sno, calcularlo y poner en la tabla: */ f (s_table[k], s_table[k], s_table[k] = /(k+*((x+^(k+ - - sum (=0, k-, bnomal(k+, * S( (Trate de calcular, por ejemplo, S(0 usando ambas versones.

3 S 0 (x = x, S (x = x + x, S (x = 3 x3 + x + 6 x, S 3 (x = 4 x4 + x3 + 4 x, S 4 (x = x + x4 + 3 x3 30 x, S (x = 6 x6 + x + x4 x, S 6 (x = 7 x7 + x6 + x 6 x3 + 4 x, S 7 (x = 8 x8 + x7 + 7 x6 7 4 x4 + x, S 8 (x = 9 x9 + x8 + 3 x7 7 x + 9 x3 30 x, S 9 (x = 0 x0 + x x8 7 0 x6 + x4 3 0 x, S 0 (x = x + x0 + 6 x9 x 7 + x x x. Las expresones de arrba, tambén hasta S 0 (n, aparecen en la págna 97 del lbro de Bernoull Ars conjectand, publcado póstumamente en 73. Luego Bernoull escrbe que, usando sus fórmulas, calculó en un sem-cuarto de hora la suma = S 0 (000 = Con ayuda de una computadora, se puede verfcar que el resultado es correcto!? { local(x; x = 000; eval (S(0 } % = ? sum (=,000,^0 % = Defncón. El k-ésmo número de Bernoull B k es el coefcente de x en el polnomo S k (x. En otras palabras, B k := S k (0. Euler leyó Ars Conjectand y estudó los números B k, llamándolos los números de Bernoull, en el capítulo II. de su lbro Insttutones calcul dfferentals cum eus usu n analys fntorum ac doctrna sererum. Varas dentdades para B k que aparecen en nuestro curso fueron descubertas por Euler. Por ejemplo, la dervada de ( nos da S k (x = k + ( ( k + (k + (x + k 0 k 3 S (x,

4 y para x = 0 tenemos Proposcón. Para todo k 0 se tene B k = S k (0 = k + 0 k ( k + Esto nos da una defncón recursva de los B k : 0 k B = k +. ( k + B. B 0 =, B 0 + B =, B B + 3 B = 3, B B + 6 B + 4 B 3 = 4,. A partr de estas dentdades se pueden calcular sucesvamente B, B, B 3, B 4,... /* La tabla de B (k: */ b_table = []; B (k = { f (k == 0, return (; } f (length(b_table < k, b_table = concat(b_table, vector(k-length(b_table; f (b_table[k], b_table[k], b_table[k] = - /(k+*sum (=0, k-, bnomal(k+,*b (? polcoeff (S(0,,n? B(0 Luego los prmeros números de Bernoull son k : B k : (Bernoull y Euler no usaban la notacón B k, sno que escrbían A = 6, B = 30, C = 4, D = etcétera. La dervada de ( es S k (x + S k (x = k (x + k, y la suma de estas dentdades para x = 0,,,..., n nos da S k (n S k (0 = k S k(n. 30, 4

5 Entonces, los polnomos S k (x satsfacen la dentdad S k (x = k S k(x + B k. Esto, junto con S (x = x, defne completamente a todos los S k (x (el térmno constante es nulo. Ejercco. Demuestre la dentdad S k (n = k + 0 k ( k + Indcacón: s p(x Q[x] es un polnomo de grado d, entonces p(x = donde p ( (x es la -ésma dervada terada de p(x: p ( (0 x,! 0 d B n k+. p (0 (x := p(x, p ( (x := p (x, p ( (x := p (x, p (3 (x := p (x,... Revsemos nuestra tabla de los prmeros números de Bernoull. Se observan dos patrones: B k = 0 para k 3 mpar. Esto va a ser evdente más adelante a partr de otra representacón de B k medante una funcón generatrz par. B k = 0 para k par, y los sgnos se alternan. Es posble demostrar esto drectamente de modo combnatoro o a partr de la fórmula con la funcón zeta de Remann ( k+ k B k (k! πk = ζ(k := > 0. n nk En cuanto a los valores de B k, no se nota nngún patrón evdente. Por ejemplo, en B = el numerador 69 es un número prmo que aparentemente no tene nada que ver con. Sn embargo, s factorzamos los denomnadores de B k, se revelan números prmos relaconados con k de alguna manera: k : B k : El lector puede formular su propa conjetura sobre los denomnadores; más adelante vamos a ver la respuesta en el teorema de Clausen von Staudt. Por supuesto, PARI/GP ya sabe calcular los números de Bernoull. La funcón bernfrac(k devuelve B k :? bernfrac( % = -/? bernfrac(0 Atencón: PARI/GP (y tambén muchos lbros de texto usa otra defncón de B k según la cual B = (note el sgno. Para k >, los B k de PARI/GP son los msmos que los nuestros. La funcón bernreal(k calcula el valor aproxmado de B k :? bernreal(4 % =