CAPÍTULO 9: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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1 Conjunto de los números complejos CAPÍTULO 9: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS DEL CAPÍTULO PARTE TEÓRICA DEL TEMA: Defncón Suma y producto Partes real e magnara Forma bnómca Potencas de la undad magnara Suma y producto en forma bnómca Complejos conjugados Cocente en forma bnómca Módulo y argumento de un número complejo Interpretacón geométrca Formas trgonométrca y polar Forma exponencal Producto y cocente en forma exponencal Potenca de un número complejo. Fórmula de Movre Raíces de un número complejo Logartmo neperano de un número complejo. 1

2 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A Potencas de base y exponente complejo Fórmulas de Euler. PROBLEMAS RESUELTOS INTRODUCCIÓN En el cuerpo R de los reales hay operacones que no tenen solucón. Por ejemplo, no exste nngún número real que verfque la ecuacón x + 1= 0. Se hace necesaro, entonces, defnr un nuevo conjunto de MATEMÁTICA I

3 Conjunto de los números complejos números y se ntroduce un nuevo elemento, la undad magnara, dando orgen al cuerpo de los números complejos. Construremos el nuevo conjunto defnendo una relacón bnara en R y obtenendo el conjunto cocente. Veremos que exste un somorfsmo entre R y el subconjunto de C formado por los pares ( r, 0), con lo que R quedará ncludo en C. Defnremos analítcamente los conceptos de módulo y argumento y estudaremos las dferentes operacones para las dstntas formas de expresar un número complejo. Haremos una nterpretacón geométrca asgnando a cada complejo un vector defndo por el módulo y el argumento del msmo, comprobando que el módulo y argumento de la suma se corresponden, respectvamente, con los del vector suma representatvo. Asmsmo, destacaremos que el producto de un complejo por otro de módulo 1 y argumento θ equvale a un gro de θ radanes del vector correspondente. Estas propedades hacen de este conjunto y sus operacones una herramenta muy efca en muchos campos. En concreto en Físca y Crcutos eléctrcos las mpedancas de los crcutos de corrente alterna se expresan en forma compleja para facltar la representacón de la dferenca de fase que se presenta entre la ntensdad y la tensón de las dferentes ramas del crcuto, dependendo de los elementos (condensadores, bobnas, resstencas) que contengan. Además, el cálculo con números complejos es de aplcacón drecta en la resolucón de ecuacones, en la determnacón de prmtvas de funcones raconales o en temas más avanados como es el estudo de Varable Compleja que el alumno ha de tratar en otras asgnaturas de Matemátcas.

4 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Plantear la necesdad de amplar sucesvamente los conjuntos numércos de los números naturales, enteros, raconales y reales para defnr el conjunto de los números complejos. Introducr el concepto de undad magnara. Manejar las dstntas formas de escrbr un msmo número complejo con las respectvas conversones de unas en otras. Saber realar las operacones de suma, producto, cocente, potencacón, radcacón y cálculo de logartmos con estos números, no solo para su utlacón en otros temas de matemátcas, sno para su aplcacón drecta en asgnaturas como Físca o Teoría de Crcutos. Saber nterpretar geométrcamente los números complejos y sus operacones. Resaltar el carácter vectoral que se puede asgnar a los números complejos DEFINICIÓN Se defne un número complejo como un par ordenado de números reales. {( ) } C = a, b / a, b R. La relacón de gualdad en este conjunto es tal que = ( a, b ) concdría con ( a b ) =,, s y solo s a1 = a y b1 = b MATEMÁTICA I

5 Conjunto de los números complejos 9.. SUMA Y PRODUCTO Dados los números complejos = ( a, b) y ( c d) 1 =,, se defnen: Suma 1 ( ) ( ) ( ) + = a, b + c, d = a+ c, b+ d 9... Producto 1 ( )( ) ( ) = a, b c, d = ac bd, ad + bc Con estas operacones el conjunto C tene la estructura de cuerpo conmutatvo. 9.. PARTES REAL E IMAGINARIA Entre el conjunto de los números reales R y el subconjunto C de los números complejos, consttudo por los elementos de la forma ( a, 0), se puede establecer un somorfsmo, de manera que al complejo ( a, 0) le hacemos corresponder el número real a. Por otro lado, los complejos de la forma ( 0, b), recben el nombre de magnaros puros. Así, en ( a b) parte magnara. =,, a la componente a se le llama parte real y a b En partcular, al número ( 01, ) se le llama undad magnara y lo representamos por. 5

6 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. 9.. FORMA BINÓMICA Con lo anteror, ( ) ( 0) ( 0 ) = a, b = a, +, b. Pero, ( 0, b) = ( b, 0)( 01, ) Entonces, ( ) ( 0) ( 0)( 01) = a, b = a, + b,, = a+ b Esta expresón = a+ b, recbe el nombre de forma bnómca del número complejo POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA Con las operacones anterores, (0,1)(0,1) ( 1,0) 1 = = = =. = =. = 1 n En general, quedará k = 1 para n = k = para n = + 1 k = 1 para n = + k = para n = + = k, sendo, 6 MATEMÁTICA I

7 9.6. SUMA Y PRODUCTO EN FORMA BINÓMICA Conjunto de los números complejos La utlacón de la forma bnómca nos permte operar con los complejos como s fueran polnomos Suma 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + = a+ b + c+ d = a+ c + b+ d Producto 1 ( )( ) ( ) ( ) = a + b c + d = ac + ad + bc + bd = ac bd + ad + bc 9.7. COMPLEJOS CONJUGADOS Dado el complejo = a+ b, llamaremos complejo conjugado a = a b. Propedades, C 1 a) 1+ = 1+ b) 1 = COCIENTE EN FORMA BINÓMICA Para dvdr complejos en forma bnómca se multplcan, respectvamente, el numerador y el denomnador por el conjugado del denomnador. 7

8 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. ( a b)( c d) ( )( ) + ac + bd bc ad = = = c+ d c d c + d c + d 9.9. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO Dado = a+ b, se defne el módulo como Propedades a) C 0. = = a + b. = 0, s y solo s = (0,0)., C 1 b) 1 = 1 c) S ( 00, ), 1 = 1 d) ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Dado el número complejo = a+ b, se defne el argumento como aquel ángulo θ, que tomaremos en el ntervalo [ 0, ), tal que, a cosθ =, senθ = b 8 MATEMÁTICA I

9 9.11. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Conjunto de los números complejos Podemos establecer una correspondenca entre el conjunto C de números complejos y el conjunto de puntos del plano R, de tal forma que representando en el eje horontal (eje real) la parte real y en el eje vertcal (eje magnaro), la parte magnara, a cada elemento C le corresponde uno y sólo un punto de afjo del número complejo. R. Este punto recbe el nombre de b E. magnaro = a+ b θ a E. real Fgura 1 9

10 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. Asmsmo, a cada número complejo le corresponde uno y solo un vector de R. Vector que tendrá como orgen el orgen de coordenadas y como extremo el afjo del complejo. Con las operacones suma, ya defnda, y la operacón externa, producto por un escalar pertenecente a un cuerpo K, el conjunto C adopta la estructura de espaco vectoral y podemos establecer un somorfsmo entre C y el espaco vectoral V de los vectores lbres de R, lo cual nos va a permtr trabajar ndstntamente con números complejos ó con vectores, según convenga a nuestras aplcacones. Se observa que = a + b (módulo del vector) b tgθ = ; a = cosθ, b = senθ a 9.1 FORMAS TRIGONOMÉTRICA Y POLAR Susttuyendo en = a+ b las expresones anterores queda, ( θ θ ) = cos + sen (forma trgonométrca) Escrbendo en forma smbólca el complejo como la llamada forma polar ó módulo-argumental. = θ, se obtene 9.1 FORMA EXPONENCIAL Desarrollando en sere las funcones e θ, cosθ y senθ se puede comprobar, 10 MATEMÁTICA I

11 θ θ e = cos + sen θ Susttuyendo en la forma trgonómetrca se puede escrbr ( θ θ) = cos + sen = e θ (forma exponencal) Conjunto de los números complejos 9.1 PRODUCTO Y COCIENTE EN FUNCIÓN DE LOS MÓDULOS Y ARGUMENTOS 1 Sean, = e θ y = e θ Producto 1 1 ( + ) 1 = e θ θ Los módulos se multplcan y los argumentos se suman Cocente e = 1 1 ( θ θ ) 1 Los módulos se dvden y los argumentos se restan POTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO. FÓRMULA DE MOIVRE. Sea = e θ n = n θ n nθ = e e En forma trgonométrca quedaría ( θ θ ) n n cos n sen n = + (Fórmula de Movre) 11

12 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS. Sea que, = θ. Su ra n-ésma será otro número complejo r, r = r α, tal n n = r r = De esta gualdad, r n =, n = + α θ k Es decr, r = n, θ + k α = n En prncpo, k puede adoptar los valores 0,± 1,±,±,..., pero solo se obtenen argumentos α dstntos para n valores. Tomaremos k = 01,,,,..., n 1. Para otros valores de k se repetrían valores de raíces ya obtendos. Los afjos de las n-raíces estarían sobre una crcunferenca de rado n y el ángulo comprenddo entre cada par de vectores correspondentes a sendas raíces consecutvas, todos guales, valdrá θ. n 9.17 LOGARITMO NEPERIANO DE UN NÚMERO COMPLEJO. Sea = e θ Notemos que fgurando θ en el exponente, podríamos pensar, para generalar, susttur θ por θ + k, ya que cosθ = cos ( θ + k) y ( ) senθ = sen θ + k, pero, ( ) ( θ + ) θ θ θ e = e e = e cos k + sen k = e k k 1 MATEMÁTICA I

13 Conjunto de los números complejos Es decr, que mentras fgure en el exponente no se están restrngendo solucones por escrbr θ en lugar θ + k. Pero, al aplcar logartmos el exponente pasaría como factor y pondríamos: ( θ+ k) ( θ ) ln = ln + ln e = ln + + k Para k = 0,± 1,±,±... ( + k ) e θ =. Exstrían nfntas solucones para el logartmo, todas con la msma parte real. Aquel complejo que se obtene para el valor de k/ θ + k, recbe el nombre de valor prncpal del logartmo. Los afjos de los correspondentes logartmos estarían sobre una recta vertcal POTENCIAS DE BASE Y EXPONENTe COMPLEJO. Supongamos que sendo 1 y números complejos, queramos efectuar la operacón. 1 1 Sea =, aplcando logartmos neperanos ( θ ) ln = ln 1 = ln k = e ( θ ) ln k 9.19 FÓRMULAS DE EULER. Aprovechando las gualdades que se obtenen de los correspondentes desarrollos en sere: = + θ = θ θ θ e cosθ sen θ e cos sen 1

14 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. Sumando: e cosθ = θ + e θ Restando: e senθ = θ e θ θ θ e e θ e 1 Dvdendo ambas: tgθ = = θ θ θ e + e e + 1 ( ) PROBLEMAS 1.- Expresar en las formas trgonométrca y exponencal los complejos a) 1 = b) = + c) = d) = SOLUCIÓN: a) 1 =. 1 MATEMÁTICA I

15 Conjunto de los números complejos E. magnaro θ 1 α E. real 1 Fgura En valor absoluto tgα = = 1, es decr, 7 θ1 = = rad, o ben, en sentdo negatvo, θ 1 = 1 = + = Forma trgonométrca: = cos + sen Forma exponencal: 7 1 = e = e α = rad con lo que b) = + 15

16 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. tgθ = 1 ; = + = 0 θ = arctg = = 1 5 rad E. magnaro θ E. real Fgura Forma trgonométrca: = cos + sen Forma exponencal: e = 16 MATEMÁTICA I

17 c) = Conjunto de los números complejos De la fgura, o tgα = 1 ; α = 5 = rad θ = + α = = Forma trgonométrca: 5 5 = cos + sen 5 E. magnaro α θ Eje real Fgura 17

18 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. Forma exponencal : 5 e = d) = rad θ =, o ben, = Forma trgonométrca: θ = = cos + sen Forma exponencal = e = e rad 18 MATEMÁTICA I

19 .- Expresar en forma bnómca = 5. Conjunto de los números complejos SOLUCIÓN: = 5( cos + sen ) = 5 + = +.- Hallar el conjugado de 1+ =. 1 SOLUCIÓN: Prmero debemos escrbr el complejo en forma bnómca. Para ello efectuamos el cocente. Multplcando numerador y denomnador por el conjugado del denomnador: ( + )( + ) ( 1 )( 1+ ) 1 ( ) = = 1+ 1 = = El conjugado sería: 1 = 5 5, susttuyendo = 1, resulta: = 1..- Efectuar ( ) 8 SOLUCIÓN: Se podría desarrollar por el bnomo de Newton pero es mucho más cómodo expresar el complejo de la base en forma polar. 19

20 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. 1 = ; arg ( 1 ) = Rad Así, = 8 ( ) 8 0 = = = 16 = Hallar las raíces cúbcas de ( ) = +. SOLUCIÓN: Hallaremos el módulo y el argumento de tgα = 1 = ; 0 o 5 α = = rad θ = = rad = = + 1= Así, + = y utlando la expresón vsta en la ntroduccón teórca, 5 α k =, sendo α = 6 para k = 0,, 1. S el argumento lo expresásemos en grados, o o k 150 = α, sendo α = para k = 0,, 1 Con esta últma expresón, o 0 MATEMÁTICA I

21 Para k = 0 ; r cos sen o o 1 = = o + Conjunto de los números complejos Para k = 1; γ o o = = cos170 sen o + Para k = ; o o o o 70 r = = = cos + sen = o = cos70 sen70 o 6.- Hallar L( ) +. SOLUCIÓN: + = + = 6 ( ) arg + = Con esto, ( ) L L 6 + = + + k El valor prncpal se obtendrá para aquel valor de k que verfque + k. En este caso se cumple para k = 0. Así, valor prncpal: ( ) L + = L Hallar los valores de la potenca ( 1 ) +. 1

22 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. SOLUCIÓN: Sea A= ( 1+ ) Aplcando logartmos neperanos, LA = L( 1+ ) Calculamos L( 1+ ) 1+ = ; arg ( 1+ ) = L( 1 ) L + = + + k Susttuyendo: LA L = + + k = L + k k L k l + + ( + ) A= e = e e Identfcando este resultado con la forma exponencal = e θ A = e + k L Arg A = L = rad Hacer notar que exsten nfntos complejos que son resultado de esta potenca, todos con el msmo argumento. 8.- Calcular los valores de (1 ). SOLUCIÓN: Sea (1 A = ), aplcando logartmos neperanos, MATEMÁTICA I

23 LA = L ( ) 1 Conjunto de los números complejos = 8 ; arg ( ) = Con esto, ( ) ( )( ) L 8+ + k L 8 k LA = = = L 8 + k + L 8 + k = = 1+ L 8 k + L 8 + k = + L 8 k + L 8 + k A= e e con lo que, A = e L arg A = 8 + k L 8 + k + L 9.- Hallar el argumento de un complejo de la forma ( ) 9 1 tenga módulo 1. + que

24 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. SOLUCIÓN: Ya hemos vsto en anterores ejerccos que las potencas de base y exponentes complejos dan lugar a nfntas solucones (según los valores de k ). En este caso, tomaremos el valor de k que haga que su módulo sea la undad. ( ) 9 + L 1 A= + 9 LA = + L L 1+ ( ) L( 1 ) L + = + + k Susttuyendo, 9 LA = + L L k + + = 9 9 L L k L = + + k L L + k L + + k A= e e ; A = e 9 L L + k Para que A = 1, tene que ser 9 L L + k = L k = 0, k = 0, k = 1 Es decr, para k = 1 el módulo del complejo dado vale 1 y el argumento peddo será ( ) L 9 9 θ = L + + = + MATEMÁTICA I

25 Conjunto de los números complejos Resolver la ecuacón e = 1. SOLUCIÓN: Aplcando logartmos neperanos + = L( 1 ), ( ) + = L 1, = L( ) L( 1 ) L = + + k Susttuyendo, 1 1 ( + k ) + ( L 1 ) ( ) ( ) = = ( L 1) + ( + k ) L k + k L 1 = + ( L 1) + ( + k) ( L 1) + ( + k ) 11.- La suma de dos números complejos es +, el cocente es un número magnaro puro y la parte real de uno de ellos es. Hallar dchos números complejos. SOLUCIÓN: Sean 1 = a+ by = c+ d Imponendo las condcones del enuncado: + = ( + ) + ( + ) = + ( 1 ) 1 a c b d 5

26 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. 1 a+ b = = k c+ d ( ) y, por ejemplo, tomaremos la parte real de, a =. Susttuyendo este valor en ( 1 ) e dentfcando: + c= b+ d = De aquí, c = 1 y d = b Susttuyendo en ( ): ( + b) 1 ( b) ( ) ( ) ( ) ( ) + b + b b + b = = + = k 1+ ( b ) 1+ b 1 b 1+ b 1+ b La parte real ha de ser cero, + b b ( b) 1+ De aquí b = 1± = + b b = 0 0 Para b= 1+, d = 1 = 1 Para b= 1, d = 1+ Así, hay dos parejas de solucones: ( ) = + 1+ y = = = + + y 1.- Hallar el valor prncpal de 1+ = L 1. 6 MATEMÁTICA I

27 SOLUCIÓN: ( 1+ )( 1+ ) ( )( ) 1+ = = = Conjunto de los números complejos Así, = L Como = 1 y L L1 = + + k L = Susttuyendo, = = arg =, queda,, con lo que el valor prncpal ( k = 0 ), será, 1.- Calcular los valores de en la ecuacón sen =. SOLUCIÓN: Con las fórmulas de Euler, quedaría e e = Operando, e e = + 1 Multplcando por ( ) e 1+ e = 0 e y ordenando, 7

28 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. ( ) ( ) 1+ ± ± 8+ 6 e = = () 1 Calculemos = 10 arg ( 8+ 6) = arctg = α (1 o cuadrante) Con la expresón vsta en la ntroduccón teórca, r α + k + = para { 01} 1 = 10α r = 10 ( α+ ) En forma bnómca: α α r1 = 10 cos + sen sendo, tgα = k =,.Susttuyendo los valores de k: Pero, 1 1+ α + cosα 1+ tg α cos = = = α α 10 y, entonces, sen = 1 cos = 10 Susttuyendo, r1 10 = + = Sabemos que las raíces cuadradas de un número complejo son complejos opuestos ya que sus argumentos dferen en radanes. Así, la otra ra será r =. Susttuyendo en ( 1 ), para r 1 = + 8 MATEMÁTICA I

29 Conjunto de los números complejos ( 1+ ) ± ( + ) = ( ) e para r = ( 1+ ) ± ( ) = ( ) e Por supuesto, basta con tomar ( ) ó ( ) y operar con las dos solucones correspondentes ya que las otras dos concdrían, respectvamente, con estas. Por ejemplo, de ( ): ( 1+ ) + ( + ) e = = 1+ y Por un lado, e = 1+ ; L( 1 ) L = + = + + k ( ) L + + k = = + k L Por otro lado, ( + ) ( + ) e = = + e 1 1 = +, = L + = L + + k 1 = + k L = + k + L 1.- Obtener las raíces de la ecuacón 5 x x x x x + + = 0. 9

30 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. SOLUCIÓN: Las posbles raíces enteras serían { ± 1,± }. Sólo admte la raí x =. Factorando, ( )( ) 5 x x + x x + x = x x + x + 1 = 0 Las restantes raíces las obtendremos resolvendo la ecuacón bcuadrada x + x + 1= 0. Hacendo x = t : t + t+ 1= 0 ; 1± 1± 1 t = = = ± 1 Para t = + ; Pero, 1 x = = y 1 arg + = x ( + k ) Así, 1 1 Para k = 0, = =, para k = { 01, } 1 x = 1 = 1 cos + sen = + La otra solucón de la raí cuadrada sería el complejo opuesto 1. De todas formas, vamos a obtenerla. 1 Para k = 1, x = 1 = 1 cos sen + = 0 MATEMÁTICA I

31 Para el otro valor, Pero, 1 t =, 1 x = Conjunto de los números complejos 1 1 = y 1 arg = = Así, x 1 1 ( + k ) = =, para { 01} Para k = 0 k =,. 1 x = 1 = 1 cos + sen = Para k = 1, se obtendría, 1 x = + Las solucones son entonces, 1 1 x1 =, x, = ±, x, 5 = ± n 15.- Expresar en forma bnómca ( 1 ) ( 1 ) SOLUCIÓN: + +. Para desarrollar las potencas expresamos los complejos en forma exponencal. 1+ =, arg ( 1+ ) = e Así, 1+ = n 1

32 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. 1 =, arg ( 1 ) = Así, 1 = e Susttuyendo, n n n n n n n n n n n ( 1+ ) + ( 1 ) = e + e = e + e = e + e Recordando las fórmulas de Euler, e cosθ = θ + e En este caso, θ n n n n e + e cos = Despejando y susttuyendo, n ( ) ( ) n = n n n+ 1 n cos = cos 16.- Hallar el lugar geométrco del afjo de a R. a+ =, sabendo que 1 + a + SOLUCIÓN: Sea = x+ y. Susttuyendo, a+ x+ y = 1 + a + Operaremos para despejar a e mponer la condcón que es real, MATEMÁTICA I

33 x + ax + x + y + ay + y = a + ( 1) a x + y = x x y + y ( 1 ) ( y x) + ( 1 x y) ( x 1 y) ( )( ) Conjunto de los números complejos y x+ x y a = = = x 1+ y x 1+ y x 1 y ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) y x x 1 + y 1 x y 1 x y x 1 y x y = + x 1 + y x 1 + y S a es real, su parte magnara ha de ser nula, ( )( ) ( ) 1 x y x 1 y x y = 0 Operando, x y x y + + 1= x + y x y+ = 0 El lugar geométrco es, pues, una crcunferenca de centro 1, y rado Demostrar que s los vértces de un trángulo equlátero son los afjos de los números 1,, se verfca, + + = SOLUCIÓN: Recordando la nterpretacón vectoral de los números complejos (ver fgura) y llamando 1, y, respectvamente, a los complejos (vectores), representatvos de los vértces, los lados correspondentes, con

34 Guerra, N.; Lópe, B.; Quntana, M.P.; Suáre, A. los sentdos que se ndcan, vendrán representados por ( ),( ) y ( ). 1 1 Por otro lado, sabemos que multplcar un complejo por otro de módulo 1 y argumento α, equvale geométrcamente a grar el vector representante del prmero un ángulo α. Así, 1 ( ) 1= 1 e = e Dvdendo ambas expresones, 1 = 1 1 Operando, + + = Fgura 5 MATEMÁTICA I

35 Conjunto de los números complejos Bblografía FERNÁNDEZ VIÑA, J. A. (1986). Análss Matemátco I. Madrd. Tecnos S.A. GARCÍA, A.; GARCÍA, F.; GUTIÉRREZ, A.; LÓPEZ, A.; RODRÍGUEZ, G. y DE LA VILLA, A. (1996). Cálculo I. Madrd. Unversdad Pontfca de Comllas. GRANERO, F. (1995). Cálculo Infntesmal. Madrd. McGraw-Hll. GRANERO, F. (1991). Ejerccos y Problemas de Cálculo. Tomo I. Albacete. Tébar Flores. LOSADA, R.. (1978). Análss Matemátco. Madrd. Prámde S.A. MARTÍNEZ SALAS, J. L. (1975). Elementos de Matemátcas. Valladold. R.A.E.C. (1971). Problemas de Cálculo Infntesmal. Madrd. R.A.E.C. Madrd. TÉBAR, E. (1977). Problemas de Cálculo Infntesmal. Albacete. Tébar Flores. 5

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