TRABAJO Nº 5 PSU MATEMÁTICA 2017 NÚMEROS COMPLEJOS Nombre:. Fecha:..

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1 GUÍA DE TRABAJO Nº 5 PSU MATEMÁTICA 07 NÚMEROS COMPLEJOS Nombre:. Fecha:.. CONTENIDOS Números complejos, problemas que permten resolver. Undad magnara. Operatora con números complejos. Propedades de los complejos. Elevacón a potenca con exponente raconal de números complejos. Números magnaros Al resolver la ecuacón x 0, el valor de x resulta: x, llamada undadd magnara, tal que. Ejemplo = = 6. 0, 04 = = = : 96 44

2 Potencas de Analzar el sguente desarrollo y sacar conclusones: Ejemplos: Calcula el valor de las sguentes potencas de, reduce al máxmo tu resultado Números complejos Un número complejo z, es un número de la forma z = a + b, donde a, b R, con la undad magnara. Donde a se denomna la parte real,re(z), y b la parte magnara, Im(z) del complejo z. Ejemplos Determna la parte real y la parte magnara de los sguentes complejos. z 5 ; Re(z)= Im(z) =. z Re(z)= Im(z) =. z 5 6 Re(z)= Im(z) = 4. z4 Re(z)= Im(z) =

3 Igualdad de números complejos Dos complejos z = a + b y z = c + d son guales s a = c y b = d, es decr Re(z ) = Re(z ) y Im(z ) = Im(z ). Ejemplos Determnar los valores de x e y para que se cumpla la gualdad. x = 5 - y x 5y x y x y 4 4. Representacón gráfca de un complejo El complejo z = a + b, se puede escrbr como par ordenado z = (a, b). En un gráfco, plano de Argands queda representado como:

4 Ejemplos Escrbe los sguentes complejos en forma de par ordenado y representa gráfcamente:. z z = (, ). z 6 z = (, ). z 4 6 z = (, ) 4. z4 4 6 z 4 = (, ) 5. z5 5 7 z 5 = (, ) Completa el sguente cuadro Bnomo Par ordenado (9, ) (0, ) (-5, 7) (0, 9) 4

5 Módulo y conjugado de un número complejo El módulo del complejo z = a + b se denota por z y es gual a: z a b. El conjugado del complejo z = a + b, se denota por z a b Gráfcamente se puede representar Ejemplos Dado los sguentes complejos determnar su conjugado y su módulo.. z (, 4) z z. z z z. z ( 9,7) z z 4. z 6 8 z 4 z Para qué valores de b el número complejo z = 5 + b tene módulo gual a? 5

6 Operatora con números complejos Sean z a b y z c d dos números complejos. Entonces z z a c b d a c b d, z z ac bd ad bc ac bd, ad bc ac bd bc ad ac bd bc ad z : z, c d c d c d c d Ejemplos z, ; z 0, ; z, calcular: Dado los complejos. z z =. z z =. z z = 4. z : z = Potencas y raíces de números complejos El ángulo que forma el vector determnado por el complejo z con el eje real se llama argumento de z. De esta forma se puede expresar z en su forma polar r : z a b donde z a b y tg b a Además, como a r cos y b r sen Por lo tanto el complejo en su forma trgonométrca queda z a b cos sen 6

7 A partr de la forma trgonométrca de un complejos se pueden demostrar las sguentes operatoras: Multplcacón de complejos S z = a + b = ρ cos θ + sen θ y z = c + d = ρ cos θ + sen θ, entonces z z ρ ρ cos θ + sen θ donde z y z Dvsón de complejos S z = a + b = ρ cos θ + sen θ y z : z ρ : ρ cos θ + sen θ z = c + d = ρ cos θ + sen θ, entonces Potencas de z, fórmula de De Movre cos n n n z a b r n sen n Raíces de z= a + b Las raíces n ésmas de z = a + b son: n k 60 k 60 zk r cos sen n n con k= 0,,,,, n- Ejemplos. Expresa z = + en forma polar y trgonométrca. S z,, calcular z 5 7

8 . Determna las raíces cúbcas de z = Expresa en forma polar z = 6 5. Expresa en forma polar z 6. Determnar las raíces cuadradas de z = 7. Determnar las raíces cuadradas de z 7 8

9 Ejerccos seleccón múltple. S a, b R y a b, entonces a y b son respectvamente: A) y B) y C) - y D) - y - E) y -. Cuál es el resultado de? A) B) - C) D) E). S a y b, entonces el valor de a b es gual a: A) -9 B) 9 C) -9 D) 9 E) 7 4. S k R y z k 6 8k 6 es un complejo, cuál debe ser el valor de k para que la parte real de z sea cero? A) - B) - C) D) E) 0 9

10 5. S z p q q y 8 valores de p y q para que z z. z p p q, entonces cual deben ser los A) p ; q B) p ; q C) p 4 ; q D) p ; q E) p ; q 4 6. Cuál(es) es (son) el (los) valor (es) de x en la ecuacón x + a = 7, s a = -6? A), B) 4, -4 C) D) 4 E) 7. Cuál de los sguentes números complejos tene como parte real un número raconal y como parte magnara un número negatvo? A) 4 B) 4 5 C) 5 5 D) 7 7 E) 4 8. Cuál(es) de las sguentes expresones es(son) verdadera(s) I. z z II. z z III. z z C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 0

11 9. Cuál(es) de las proposcones no es(son) sempre verdadera(s)? I. z z II. z z, entonces z z. III. S z z entonces z z. C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 0. S a b 5, entonces a + b es gual a: A) 5 B) 5 C) D) - 5 E) Al resolver 5, resulta gual a: A) 9 + B) C) + D) 9 E) 8 +. Al resolver, resulta: A) -5 B) C) -5 D) -5 + E)

12 . = A) B) - C) D) - E) + 4. El conjugado de, es: A) + B) C) - + D) E) 5. Qué expresones(s) es(son) gual(es) al número? I. I 87 II. C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III III. 6. Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s)? I. El módulo de un número complejo es gual al módulo de su nverso adtvo. II. El producto entre un número complejo y su nverso adtvo es un número complejo III. Al multplcar un número complejo por su conjugado se obtene un número real. C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

13 7. El número 7 z representado en forma trgonométrca es: 6 A) cos 00º sen00º B) cos 0º sen0º C) cos 0º sen0º D) cos 00º sen00º E) cos 0º sen0º 8. De los sguentes números, cuál(es) es(son) raíz cuarta de cos 5º sen5º? I. 8 cos,75º sen,75º II. 8 cos 00,75º sen 00,75º III. 8 cos 0,75º sen 0,75º C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 9. Cuál(es) de los sguentes números complejos tene(n) como raíces cuadradas a 6 90º y 6 70º? I. 6 II. - 6 III. 6 C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 0. La expresón p q es un número magnaro s: I. p q II. P = q III. p < q C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

14 . Cuál (es) de las sguentes afrmacones es (son) verdadera(s)? I. II III. = - C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III. Al calcular se obtene: A) - B) C) 0 D) E) +. S z = 5 5, entonces es falso que: A) Re(z) = 5 B) Im(z) = -5 C) (m(z)) = 5 D) Im(z) = - Re(z) E) Re(z) = z S a, b R y ( a) +( + b) = - + 5, entonces a y b son respectvamente: A) 6 y B) y -5 C) - y -5 D) - y E) 5 y - 4

15 5. Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s) respecto al gráfco? z z I. II. z z III. z z4 C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 6. Cuál es el módulo del complejo z,? A) B) C) D) 0 9 E) 4 7. S z y z 5, cuál(es) de las sguentes afrmacones es (son) falsa(s)? I. z z II. z z 4 III. z z 0 C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III 5

16 8. El resultado de es: A) B) 0 C) + D) E) Otro valor 9. S z 9 y z 5, entonces z z es: A) 5 B) C) D) 5 9 E) El producto de ( + 6) y el conjugado de ( + ) es: A) B) 5 C) 6 6 D) E) + 9. Al calcular se obtene: A) 0 4 B) 5 C) 4 D) E)

17 . S z = a + b es un complejo, entonces cuál(es) de las sguentes proposcones es(son) falsa(s)? I. z z es un número real II. z z z Re() z Im() z III. z a b z a b I I C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III. El número 5 cos 0º sen 0º escrto en forma bnomal es: A) B) C) 5 5 D) 5 5 E) 5 4. S z, entonces z es gual a: A) B) 5 C) 9 D) E) 7

18 5. S z, cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s)? cos 45º 45º 0 cos 900º sen 900º I. z sen 0 II. z 6 cos5º 5º III. z sen C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Respuestas seleccón múltple E A D 4B 5A 6A 7D 8E 9D 0B C C A 4A 5E 6E 7B 8D 9B 0C B C B 4C 5D 6B 7D 8C 9A 0E D E D 4D 5E 8