FACULTAD DE QUÍMICA Departamento de Matemáticas El Campo C de los Números Complejos

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE QUÍMICA Departamento de Matemátcas El Campo C de los Números Complejos

2 Coautores: César Alejandro Rncón Orta Coordnador (Por orden alfabétco) Alberto Rosas Pére Arturo Zentella Dehesa Carlos Bruno Velarde Veláque Eugeno León Fautsch Tapa Guadalupe Josefna Toledo Macías Susana Yalu Letca Rubín Rvero Publcacón autorada por el Comté Edtoral de la Facultad de Químca DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE QUÍMICA UNAM 00 Cd. Unverstara, D.F. Teléfono ((55) 56 5 Fax ((55)

3 Tabla de contendo Presentacón... El campo C de los números complejos... La nmersón de R en C...0 La Conjugacón... La Norma... La Ecuacón General de Segundo Grado...5 Sstemas de Ecuacones...0 Representacón Geométrca de los Números Complejos... Raíces n-smas de un Número Complejo...0 El Argumento de un Número Complejo... La Funcón Exponencal Compleja... Representacón Geométrca de Algunas Rectas bajo la Transformacón E...7 La Funcón Logartmo...9 Las Funcones Trgonométrcas...

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5 Presentacón De acuerdo con el Programa Edtoral de nuestra facultad, un grupo de profesores del Departamento de Matemátcas nos reunmos para elaborar estas notas con las que tratamos de contrbur a remedar las carencas que en el renglón de materal ddáctco padece la Facultad de Químca de la UNAM. Nuestra ntencón nunca fue la de escrbr un lbro de análss complejo. Smplemente qusmos ayudar a fjar un marco de referenca que estableca la extensón y profunddad con que se pretende cubrr uno de los temas centrales de nuestro programa de álgebra, y con este propósto solamente tratamos los temas báscos ndspensables para el estudo de la teoría de los polnomos y de las ecuacones con una breve amplacón a las funcones trascendentes complejas. Cuando se estudan curvas algebracas, resulta convenente consderarlas nmersas en un campo en el que la nterseccón de cualesquera dos de ellas de grados n y m respectvamente, conste precsamente de n m puntos y esto requere que en este campo, todo polnomo tenga en él un juego completo de raíces. Los campos que tenen la propedad de tener a todas las raíces de sus polnomos, se llaman algebracamente cerrados y el teorema fundamental del álgebra garanta que C tene esta característca. Esto lo converte en un hábtat natural para el estudo de la geometría algebraca y por supuesto de la antes menconada teoría de las ecuacones. El electromagnetsmo y el recente estudo de los conjuntos de Mandelbrot y la clasfcacón de los fractales complejos, muestran otras aplcacones de nuestro campo cuya estructura básca presentamos en estas notas sn otra pretensón que la ya expuesta.

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7 Capítulo El Campo C de los Números Complejos Una característca mportante del conjunt o R de los números reales es que tene una clase postva R, que defne al orden canónco en R que por ser compatble con las operacones tene, entre otras, la propedad de que para toda a dferente de cero, a es un postvo y por lo tanto la ecuacón x 0 no puede tener solucón en R. Como en otros casos construccones de Z y Q se pensó en extender R a un campo más grande, en el que la menconada ecuacón pudera resolverse. Era necesaro construr un campo en el que exstera un número magnaro que satsfcera la ecuacón x 0, que fuera una extensón de R y, por supuesto, que resultara el más económco en el sentdo de la contencón con esas propedades. En la época en que surgó este problema no se conocía el teorema que asegura que para todo campo K y todo polnomo f(x) no constante, con coefcentes en K, exste una extensón

8 de K en la que el polnomo tene al menos una raí, teorema que valda la construccón, que resulta más natural y que la hubera lbrado de las objecones njustfcadas que en su momento se hceron y que se referían al nvento de los números magnaros. Es pertnente observar que en el campo cuya construccón se deseaba, no puede haber una relacón de orden compatble con las operacones, que es la únca que nteresa al álgebra ya que en ese caso, como en el de los reales, los cuadrados tendrían que ser no negatvos. Por esta raón, algunos autores que enfatan la propedad, dcen que C es el desordenado campo de los números complejos, a pesar de que como una consecuenca del axoma de seleccón resulta que en todo conjunto se puede defnr un buen orden. Lo que no puede asegurarse es que ese orden resulte compatble con las operacones. Puestos a estudar ese hpotétco campo en el que fgura esa msterosa, se vo que tenían que estar tambén todas sus potencas (,,...), productos de éstas por números reales y sumas de tales productos, es decr que debían estar consderadas todas las expresones de la forma a a a a a R j n (*) n 0... n j 0,,..., además de sus nversos multplcatvos. Se notó que como: ( ) ( ) ( ) s nes un número natural tal que, q r 0 r < n q r r r ( ) O sea, n n, es,, ó observacón que permte smplfcar las expresones (*) que pueden reducrse a bnomos de la forma a b, ab, R. Ejemplos ( ) ( ) Ejerccos Exprese en la forma a b :

9 ( ) 5. ( 7) 7 Tomando en cuenta lo anteror, procederon a estudar al subconjunto β formado por los elementos del nuevo campo que pueden expresarse como bnomos. Es decr: { a b C; ab, R, } β Como sempre que se defne un conjunto nombrando a sus elementos, es convenente aportar un crtero que permta decdr cuando dos nombres corresponden al msmo ndvduo. Hacemos notar que, puesto que se trata de un campo, a b c d ( a c) ( b d ) a por lo tanto ( ) ( ) y que c d b que es una gualdad en R que mplca que cada cuadrado debe ser necesaramente 0 y por lo tanto una representacón únca. Así por ejemplo s supéramos que v. a c y b d. Es decr que en β cada elemento tene u v, sabríamos que 0 u y Como β es subconjunto de un campo, ( a b) ( c d) ( a c) ( b d ), de donde resulta que la adcón en C de elementos de β, produce un elemento de β (β es cerrado bajo la adcón de C ) y por lo tanto la restrccón de ésta a β β es una operacón bnara en β que, por herenca, resulta asocatva y conmutatva está en β y para cada ( ) ( ) a b β a b, el nverso adtvo de a b, tambén es un elemento de β, luego { β,} es un grupo abelano. Ejemplos ( ) ( ) ( ) ( ). ( 6 ) ( 0 7 ) 6 5

10 Ejerccos Exprese el resultado de las operacones sguentes en la forma. ( 5 7) ( 8 ). ( 5 7) ( 8 ). ( ) ( ). ( 9 ) ( ) 5. ( 5 ) ( 6 ) 6. ( ) ( 6 7 ) 7. ( 9 ) ( ) 8. [( 6) ( 6 5 )] ( ) 9. ( 6 ) [( 8 6) ( 7 ) ] 0. ( ) ( 7 ) ( 7 ) a b. El producto en C de dos elementos de β, está en β. En efecto, ( a b) ( c d) ( ac bd) ( ad bc), y por lo tanto, β tene tambén una multplcacón que por ser la restrccón de la de un campo, es asocatva, conmutatva, tene déntco ( 0 ) y se dstrbuye sobre la suma por ambos lados. Ejemplos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fnalmente, s a b β y es a b 0 0, ( a 0 ó b 0 y por lo tanto a b > 0 ), a b a b a b ( a b) 6

11 a b a b a b a b como puede comprobarse efectuando el producto( ) que β es un campo. por lo que resulta Para ver cómo se obtene el nve rso multplcatvo de x y tal que multplcado por a b nos dé 0, es decr: a b, consderemos un número efectuando la multplcacón: ( x y)( a b) 0 ( ax by) ( ay bx) 0 de donde: Como b 0 regla de Cramer se obtene ax by bx ay 0 a, a 0 ó b 0 y por lo tanto a b > 0, por lo que, aplcando la x 0 a b b a b a a a b y a b a b 0 b a a b b es decr Consderemos el ejemplo sguente: ( a b) a b a b a b comprobamos: Se desea encontrar ( ), que de acuerdo con lo anteror resulta / 5 / 5, y 7

12 ( )( / 5 / 5) ( 9 / 5 6/ 5) ( / 5 / 5) Defnamos el conjugado de un número complejo Así, s a b como a b., su conjugado, y entonces, recordando que la expresón a/ b representa al producto de a por el nverso de b, ( a / b ab dvsón de entre, basta multplcar el cocente resultado deseado. Ejemplo ), encontramos que para efectuar la / por /, con lo que se obtene el Dvdr ( ) entre ( ) / / / / / / En efecto, ( )( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplos. 6 7 multplcamos por ( 6 7)( ) ( )( ) ( ) ( 8 8) ( 6 ) ( 7 5)( 5 7 ) ( 5 7 )( 5 7 ) ( 5 5) ( 5 7) ( ) Ejerccos Exprese en la forma. ( 9 8) ( 7 6). ( 6 ) ( 5) 6 5. ( )( ) a b el resultado de las sguentes operacones: 8

13 6 5. ( )( ) 5. ( 6 )( 5) 6. ( 5 )( 7 ) 7. ( )( 7 5) 8. ( ) [( 7 8 )( 9) ] 5 9. ( ) 0. ( ) 8 9. ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( 7 ) ( 7) 5. ( 8 5 ) ( 5 7 ) 6. ( ) ( 6 0 ) 5 7. ( )( ) ( ) 8. ( 5 6) ( 9 ) ( ) ( ) ( 5 6 )( 5 ). ( 0 )( ) 9 8. ( )( ) ( )( 5). ( 5 )( 7 ) ( 5 )( 6 ) 9

14 La nmersón de R en C Cada número real a a 0 está en β, así como 0. Obvamente, β es el menor campo en el sentdo de la contencón con esas dos propedades. Luego β C es el campo que se deseaba construr. Con objeto de contestar las objecones que se hceron a la construccón anteror la exstenca de números magnaros Gauss, tomando como base los resultados anterores, propuso el sguente modelo: Sea C {( ab, ) ab, R } Defncones. ( a b) ( c, d) a c, b d, (representacón únca). ( a b) ( c, d ) ( a c, b d ), (la suma dentro del últmo paréntess es la de R. ( a, b) ( c, d ) ( ac bd, ad bc) y con esto se pudo demostrar que { C,,, Θ,e} es un campo, en el cual Θ ( 0,0), ( a,b) ( a, b), e (,0) y s ( a b), es Θ, entonces a b, ( Θ a b 0 ). a b a b En este modelo se acostumbra llamar a la prmera componente de cada pareja la parte real y a la segunda, la magnara Nótese que ambas partes son números reales así s ( a, b) es un complejo, Re f : R C defnda como f ( a) ( a,0). a, Im b y esta costumbre queda justfcada con la nmersón (Recuerde que una nmersón de una estructura en otra es una funcón nyectva que respeta las relacones de ambas. Explíctamente, f debe ser nyectva y ab, R, 0

15 f( a b) f ( a) f ( b) f( ab) f( a) f( b) en donde por supuesto las operacones de la querda de las gualdades son operacones en R y las de la derecha, en C ). En vsta de que las operacones de las parejas adcón y multplcacón se defneron tomando como modelo las de los bnomos, estas nuevas operacones tenen necesaramente {,,,, } las propedades de las anterores y, por lo tanto, {( ab ) ab } como puede comprobarse fáclmente. La nmersón f : C R resulta un campo, R C defnda f ( a) ( a,0) muestra que puede consderarse C como una extensón de campo de R y bautando como ( 0, ) dentfcando a con f ( a) ( a,0), puede verse que : e. ( 0, ) ( 0, ) (, 0). ( a,b ) ( a, 0 ) ( 0,b ) ( a, 0) [ ( b, 0) ( 0, ) ] a b Con lo que se recuperan los bnomos de los que se partó como base en la construccón de Gauss. La construccón del nverso multplcatvo de un complejo ( a,b) no cero, a b a b a b ( ab, ), f : C C, g : C R por medo de las formulas: La Conjugacón f mostró la convenenca de defnr dos funcones (( a,b ) ( a, b) (( a,b) ) a b g la conjugacón el módulo o tamaño S ( a,b), f ( ) ( a, b) (Cuando se dentfcan los complejos como puntos del plano coordenado R, es decr, cuando ( a,b) es el punto de abscsa a y de ordenada b, la conjugacón puede nterpretarse geométrcamente como la reflexón sobre el eje X). La conjugacón tene, entre otras, las propedades que expresa el sguente :

16 Teorema, C,. El conjugado de la suma es la suma de los conjugados.. El conjugado de un producto es el producto de los conjugados.. R Re Im Demostracón Sean ( a,b), ( c,d ) Corolaros. ( a c,b d ) ( a c), ( b d ) ( a, b) ( c, d). ( ac bd,ad bc) ( ac bd, ( ad bd) ) ( a, b)( c, d). R 0 (, 0 ) (,0) b a a. ( a,b) ( a, b) ( a,b) 5. a Re b Im (de ) puesto que la conjugacón es auto-nversa, resulta byectva. (de ) s es 0, ( / ) /. En efecto, ( / ) (( / ) ) ( / ) y por lo tanto / ( / ) (Nótese que 0 0 ). Cuando se nterpreta la conjugacón como una funcón f : C C, el teorema prueba que f es una funcón byectva que va ben con las operacones de C y que deja fjo a R, en el sentdo de la parte del teorema. Teorema S η : C C es un automorfsmo que deja fjo a R, ( η ( a) a a R ), entonces η es la conjugacón o la dentdad en C. Las funcones byectvas que respetan las operacones se llaman ISOMORFISMOS y cuando van de un campo en él msmo, se conocen como AUTOMORFISMOS.

17 Demostracón Sea ( a,b) a b. Entonces η ( ) η( a b ) η( a ) η( b ) η( ) a bη( ) (*) ( a,b R η ( a ) a, η( b ) b ). Además, η ( ) η( ) η ( ) y por lo tanto η ( ) tene que ser una raí cuadrada de, o sea, η ( ) ó η ( ). S η ( ), (*) muestra que η es la dentdad en C y s η ( ), η es la conjugacón. Ejemplos Se desea calcular s : ( ) 0 6 Entonces x y, x y ( ) x ( y) ( )( x y) (x y) y (x y) y 0 6 y 6,x y 0 x, y Comprobacón ( ) ( )( ) Ejerccos Resuelva:. ( ) ( ). ( ) 7 ó, no tene solucón?. (). ( ) (6 ) La Norma S ( ab, ) es un número complejo, se defne su norma como g ( ) ( a b ). (Aquí tambén, s se dentfcan los complejos como puntos del plano, la norma o tamaño de puede nterpretarse como la dstanca eucldana de ( ab, ) al orgen).

18 sguente: La funcón dstanca tene, entre otras, las propedades que están enumeradas en el Teorema, C,. ( ). 0; Demostracón. ( ) [( a,b )( a, b )] ( a b ). Obva, ya que el tamaño de es la raí cuadrada de un número no negatvo, y ésta sólo es cero s el radcando ( a b ) lo es.. y como los tamaños son números reales, se Corolaros vale extraer raíces cuadradas. Luego.. Nótese que, y que Re ; Im. ( )( ) Re( ) ( ) que es una desgualdad de número reales no negatvos. Por tanto. ( de ) s En partcular, s t, t R, t ( tt ) ( t ) t t t..

19 Una funcón de R en R con las propedades, y del teorema anteror, se llama una NORMA, y permte defnr la dstanca entre dos puntos de como sgue: R, en este caso dos complejos,, Def:, C, d(,) De la defncón y de las propedades de la norma, se deducen las propedades sguentes que conferen a d la categoría de MÉTRICA. Teorema, y, C,. d (, ) 0 ; d (, ) 0. d(, ) d (, ). d(, ) d(, y) dy (, ) En efecto:. 0; y y y y (De las propedades consgnadas en los corolaros). La Ecuacón General de Segundo Grado Un teorema cuya mportanca le ha valdo el nombre de TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA, cuya demostracón se sale del nvel de estas notas, asegura que C es algebracamente cerrado, es decr que todo polnomo f( x) [ x] C de grado n, tene n raíces ben contadas en C. Sn embargo vale la pena demostrar la exstenca de algunas de éstas. En partcular las raíces cuadradas que deben calcularse cuando se usa la fórmula para resolver la ecuacón general de segundo grado. Veamos: La demostracón de este teorema dentro del análss complejo es tan elegante corta que justfca plenamente que se posponga ésta que a este nvel resulta complcada y larga y que por descansar necesaramente en alguna construccón de R, no puede ser algebraca pura. 5

20 Se desea resolver la ecuacón bx c 0 ax, en donde a,b,c C, a 0. Dvdmos la ecuacón entre a ( a 0 ) y restamos bx c x a a c de cada lado a. Completamos el trnomo cuadrado perfecto por la querda, sumando a cada lado b : x b x b b c a a a a a o sea: b b ac x a a. Suponendo que se puede sacar raí cuadrada a b ac y que la representamos como: b b ac b ac, x ± a a En donde el doble sgno expresa el hecho de que para el caso srve tanto la raí cuadrada de b ac cuya exstenca supusmos, como su nverso.. Fnalmente, ± x b b ac a Queda por justfcar la antes menconada exstenca de las raíces cuadradas de que es lo que afrma el teorema sguente: b ac, Teorema Para cada complejo a b dferente de cero, exsten (exactamente) dos raíces cuadradas complejas, (una nversa adtva de la otra). Demostracón Supongamos que x y es tal que. Entonces ( )( ) x y x y x y xy a b x y a Elevando al cuadrado cada ecuacón y sumando: xy b 6

21 x x y y a x y b ( ) x xy y a b x y a b Entonces x y a b ( ) x y a ( Re ) a b a a b a x y y como a b a, cada una de las expresones de la derecha en estas gualdades tene raíces cuadradas (reales) de donde resulta que a b a a b a x ±, y ± Para selecconar la pareja de raíces que satsface nuestro problema producr una raí cuadrada de debe tenerse en cuenta que como xy b,s b> 0 deben escogerse x e y sgnos guales (ambos postvos o ambos negatvos) y s b < 0, x e y deben tener sgnos dferentes. Ejemplo Se desea encontrar las raíces cuadradas de 5, entonces s x y es una de ellas: Entonces x x y 5 y 5 x 9 x ± y, y ± y como b es menor que cero, x e y deben escogerse con sgnos dferentes. Entonces, son las raíces cuadradas de. 7

22 Ejemplo Se desea obtener las raíces de la sguente ecuacón: Entonces: a, b, c, 0 y por lo tanto, b 9 ac()( ) ; b ac Como se va a requerr obtener Necestamos x y tal que b ac, ( x y) b ac x y 5 x y 5 x ± y 5 ± como xy los sgnos deben escogerse guales. Entonces y Fnalmente, Comprobacón ( sólo se hará para ) ± ( ) ( ) ( ) 6 ( 6 6 ) ( ) 0 Ejemplo b a ac 6 b - c 9 6 debe obtenerse x y 8

23 de manera que x y xy 0, sgnos guales x y x ± 6, y ± raíces 6 e 6 de donde regresando a nuestra ecuacón ( 6 ) ± 6 6 Comprobacón para ( ) Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ojo: Tambén puede comprobarse notando que la suma de las raíces debe ser producto x o sea, r r c bx c r. En efecto, s ( x r )( x r ) x ( r r ) x r r r b r r c Ejercco: Haga esta comprobacón en los ejemplos anterores. Ejerccos Encuentre las raíces cuadradas de: r r b r y r son raíces de x bx c 0 y su, se tene que 9

24 Resuelva las ecuacones sguentes: ( ) 5 0. ( ) ( ) x x 0. ( ) ( 5 ) ( ) ( 5 5) Sstemas de Ecuacones ) Se desea resolver el sstema: ( ) ( ) ( 6 ) Observamos que las ncógntas de las segunda ecuacón son las conjugadas de la prmera, por lo que la conjugamos, con lo que el sstema queda: 0

25 ( ) ( ) ( ) 6 y procedendo por suma y resta: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 6 Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) y susttuyendo en la prmer ecuacón, ( )( ) ; Comprobamos: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 6 ) Se desea resolver el sstema: 5 Calcúlese: Por lo tanto el sstema tene solucón únca Comprobacón: ( ) ( ) ( ) ( ) 5

26 Ejemplo ) Se desea resolver el sstema: y x y x y x 5 5 Indcaremos las operacones usando: ' R (léase el nuevo renglón ) R R (léase renglón menos renglón ) La matr aumentada es: R R R R R R R R R R R R R R R R R R ' ' ' ' ' ' Comprobamos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejerccos Resuelva:. ( ).. ( ) /

27 5. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6. ( ) ( ) Representacón Geométrca de los Números Complejos Tal como se ha menconado en párrafos anterores, todo número complejo a b puede hacerse corresponder con el punto del plano cuyas coordenadas son a y b. Cuando se usa esta representacón, el eje X se conoce como el eje real y el eje Y es el magnaro. Cada número complejo puede consderarse como la suma P ( ) a,b a b, la pareja ( a,b), el punto del plano, o el vector apoyado en el orgen de extremo P, y s la longtud del segmento OP es r y el ángulo que forma OP con el eje real es θ, el complejo puede expresarse tambén en coordenadas polares ( ),θ r, en donde, por supuesto, a rcosθ y b rsenθ. El cambo nverso rectangulares a polares está dado por las relacones: r a b arctan( b/ a) s a 0 π /s a 0, b> 0 θ π /s a 0, b < 0 no defndo s a b 0 Equvalentemente, se defne el argumento θ de como el ángulo cuyo coseno es a a b y cuyo seno es a b b.

28 θ no está defndo s a b 0, es decr s 0. Puede verse que esta manera de defnr el argumento de, permte la posbldad de que dos ángulos θ y θ sean argumentos de s θ y θ dferen en un múltplo entero de π y sólo entonces (ver ''argumento de un número complejo'' más adelante), observacón que resultará convenente en lo que sgue. Ejemplo Pasar de coordenadas rectangulares a forma polar. (cosθ cosθ y senθ senθ θ θ πkk, Z ). Consdérese el vector (en el plano) de módulo y argumento π /, y calculemos sus formas rectangular y polar. (Se sugere comenar dbujando el vector de que se trate) Im O Re Entonces sus coordenadas rectangulares son y. Por lo tanto su forma rectángula es y su forma polar es cs π / ó cs60. NOTA (csθ cosθ senθ )

29 Ejemplo Calcular las formas rectangular y polar de, s tene módulo y argumento π / (ó 5 ). Im O Re Entonces la forma rectangular es y la forma polar es cs π / Ejemplo Pasar el número a la forma polar. (Tambén se sugere empear con un dbujo) Im O Re Como se puede ver, el tamaño ( ) 6 8 y el argumento π /6 (ó 0 ) y entonces, la forma polar queda 8cs0 8(cos0 sen0 ). 5

30 Ejemplo Pasar el número cs0 a la forma rectangular. Im O Re Entonces, como puede verse, las coordenadas de son (, ) y por lo tanto Ejerccos Calcular las coordenadas de los vectores del plano cuyo módulo es r y cuyo argumento es s :. r, s 5. r, s 0. r, s 90. r, s r, s 5 6. r, s 0 7. r, s 00 Reducr a coordenadas polares:

31 Calcule las potencas sguentes:... ( ) 8 ( ) ( 5 ) Entre las ventajas que tene la representacón geométrca de los números complejos, que permte estudar la geometría del plano a través del álgebra de C, señalamos que tal representacón permte nterpretar la suma de dos complejos y como la dagonal del paralelogramo construdo sobre los sumandos (ver fgura), Im O Re y además permte nterpretar la multplcacón en la forma que expresa el sguente Teorema Sean r (cosθ sen θ ) j, dos números complejos (que por j j j j comoddad denotaremos algunas veces en forma abrevada como Entonces, r csθ. j j j 7

32 rr cs( θ θ ) (Este teorema dce que para multplcar dos complejos, se multplcan sus tamaños y se suman sus argumentos). Demostracón ( r cosθ r sen θ )( r cosθ r sen θ ) [ cosθ cosθ senθ sen θ (senθ cosθ cosθ sen θ )] rr [ ] rr cos( θ θ ) sen( θ θ ) rr cs( θ θ ) Corolaro (Teorema de De Movre) S rcs θ, es un número complejo, entonces n n n Z, r cs( nθ ). Demostracón (Induccón sobre n). La base, n, es obva. Paso nductvo: Τ( k ) Τ( k ). Supóngase que el teorema vale para n k, es decr, k k r cs( kθ ) y aplíquese el teorema. Entonces k k k k r k r r k cs( θ) csθ cs[( ) θ]. Paso nductvo aumentado: Τ ( n) Τ( n) n n n n n r (cosnθ sen nθ) ( ) / n r n n r (cos( nθ) sen( nθ)) ( r n cs( nθ) (Recuerde que cos es una funcón par y sen es una funcón mpar, es decr: cos( α) cos α, sen( α) sen α) 8

33 Ejemplos. Se desea realar la sguente operacón: (cos5 sen5 )5(cos75 sen75 ) 0(cos00 sen00 ) 0cs00. Otro ejemplo podría ser: 5cs0 cs80 60cs0 60cs60 ). Tenemos que resolver: ( ) 5 5 ( ) cs5 cs5(5 ) cs5 5 5 Ahora lo hacemos desarrollando el bnomo: Pasando a forma polar este resultado: 5 5 ( ) yθ 5 5 cs5 En este ejemplo se nota que es mucho más corto sacar potencas de un número complejo en forma polar usando el teorema de De Movre que desarrollando el bnomo en forma rectangular (trate de calcular Ejerccos ( 00 ) en forma rectangular). Realce las operacones ndcadas. En el caso de los ejerccos que están en forma rectangular, prmero habrá que reducrlos a forma polar.. (cos5 sen5 )5(cos75 sen75 ). 8(cos8 sen8 )6(cos sen ). 5(cos0 sen0 )(cos80 sen80 ). ( )( ) 5. ( 6 6 )( 7 7 ) 9

34 6. (cos5 sen5 )(cos70 sen70 )(cos65 sen65 ) Ejerccos Use el teorema de De Movre para elevar a la potenca ndcada. [(cos sen )]. [(cos8 sen8 )] [ (cos5 sen5 )] [(cos0 sen0 )] ( ) 0 ( ) 9 ( ) ( ) [5(cos6 sen6 )] 8 8 [ 7(cos0 sen0 )] [cos( 0 ) sen( 0 )] (cos0 sen0 ) ( ) ( ) Raíces n-smas de un Número Complejo Supóngase que se desea encontrar a todos los complejos tales que ρ csθ, supongamos además que 0 rcsφ es uno de ellos. n, y que Entonces, por el teorema de De Movre, n n θ θ 0 r csnφ ρcs θ, r n ρ (la raí real) y φ Es decr n 0 ρ cs( ) n n. 0

35 Consderando que s θ es un argumento de los números θ πk, k Ζ, tambén lo son, se encuentran las otras n raíces de, sumando a φ, el número π k, k,..., n. n Así por ejemplo s ( cs0) sus raíces cúbcas (que son tres), son: r cs 0 r cs[0 ] cs 0 π π r cs[0 ] cs 0 S por ejemplo 50 r cs 5 r cs0 cs50, sus raíces quntas son: π cs(0 ) cs(0 7 ) cs0 5 r cs[0 (7 )] cs7 r cs[0 (7 )] cs6 r 5 cs[0 (7 )] cs8

36 Justfcamos las afrmacones anterores con el sguente: Teorema Sea ρ csθ un número complejo dferente de cero. Entonces para cada n entero postvo, tene exactamente n raíces n-smas, que están dadas por la fórmula: n ρ csφ k en donde k φ k θ πk, k 0,,..., n n (para fnes práctcos, los ángulos pueden expresarse en grados, y en este caso, φ k θ 60 k, k 0,..., n ) n Demostracón Sea β { } 0,..., n el conjunto formado por los n valores de la fórmula que corresponden a k 0,..., n Entonces. n n θ πk n ( k ) ( ρ) cs( n ) ρcs( θ πk) n j < n. Entonces n ρcsφ n ρ csφ. Supóngase,0 φ y j j y por lo tanto φ j dferen, necesaramente, en un múltplo entero de π es decr θ π θ π j j j φ φj πk π por lo tanto k n n n n que dce que n dvde a j pero 0 j n j 0, j., que debe ser entero, lo

37 En resumen, j j y por contrapuesta, j j. Luego la cardnaldad n de β es n y dado que la ecuacón x 0 no puede tener más de n raíces en C, β consta de todas las raíces n-smas de. Ejerccos Obtenga las raíces que se ndcan.. Raíces cúbcas de 8(cos7 sen7 ). Raíces cúbcas de 6(cos7 sen7 ). Raíces cuadradas de ( ). Raíces cúbcas de ( ) 5. Raíces cuadradas de ( ) 6. Raíces cúbcas de 7. Raíces cúbcas de 8 8. Raíces cúbcas de 9. Raíces cúbcas de 0. Raíces cúbcas de ( ). Raíces cuartas de 6 ( ). Raíces quntas de. Raíces sextas de 7. Raíces quntas de 6 ( ) El Argumento de un Número Complejo Cuando se camban las coordenadas polares a rectangulares en un complejo, (, r θ ) últmas quedan ben determnadas por las expresones x rcosθ y y rsenθ éstas pero el cambo nverso-rectangulares a polares (en el que s ( xy, ),r resulta ser r ( x y ), sólo defne a y x θ módulo π. Es decr: S θ satsface sen θ, cos θ,( r 0, por supuesto), entonces r r φ satsfará las msmas relacones s y sólo s φ θ πk, es decr s y solamente s θ y φ

38 dferen en un múltplo entero de π. Para evtar la ambgüedad que esta stuacón ocasona, se convene en defnr θ Arg como el únco real con las propedades: x rcos θ, y rsen θ, π < θ π ( 0) Se sabe (Teorema de De Movre) que para multplcar complejos, se multplcan (en R ) sus tamaños y se suman sus argumentos'', pero para ser congruentes con la convencón anteror, a esta suma se le debe aplcar una correccón para el caso de que no caga dentro del rango acordado ( ππ, ]. De modo que s : r cs θ (Arg θ ) j,, Se tene que : j j j j j Arg( ) θ θ πc ( ), en donde : Así por ejemplo s ; s θ θ π c(, ) 0 s π < θ θ π s θ θ > π cs π, c (, ) ( )( ) cs(π π) cs0 La Funcón Exponencal Compleja Una observacón mportante: Sea Z: [ ab, ] C la descrpcón de una trayectora en R. Entonces, Zt () xt () y() t muestra que tanto la parte real como la magnara de Z son funcones que dependen de t, y entonces, la dervada de Z con respecto a t, debe defnrse como : Z x () t y () t Así por ejemplo s Zt () cost sen t, ( que cuando la varable t se nterpreta como el tempo'' descrbe una rotacón alrededor del orgen con rado uno), la velocdad del movmento la dervada de Z con respecto a t es Z () t sent cost, y del msmo modo, la aceleracón resulta: Z () t cost sent Se desea extender exp: R R a E : C C de manera que se conserven las propedades báscas de la exponencal. Explíctamente se desea que E tenga las propedades sguentes:

39 a) E( x) exp( x) x R b), C, E( ) EE ( ) ( ) c) E ( ) E( ) En vsta de esto, s x y, con xy R,, debe suceder que x E () Ex ( y) ExEy ( ) ( ) eey ( ) y por lo tanto, nuestro problema encontrar la forma correcta de defnr E () se reduce a decdr la manera en que debe nterpretarse Ey ( ) que obvamente es un complejo cuyas partes real e magnara dependen de y. Es decr Ey ( ) U( y) V( y) y se debe encontrar qué funcones U y V resultan adecuadas para nuestro propósto ( consegur que E tenga propedades deseadas a), b) y c) ) Entonces. Ey ( ) U( y) V( y) por defncón. Dervando en el supuesto de que E satsface c),. E ( y) E( y) U ( y) V ( y) en donde U yv son dervadas con respecto a su varable y. Dervando una ve más:. E ( y) Ey ( ) U ( y) V ( y) U( y) V( y) resultado que muestra que tanto U como V son funcones que satsfacen la ecuacón f f 0 Hacendo y 0 en () y en (), se obtene:. U(0) V(0) U(0) ; V(0) 0 5. U (0) V (0) U (0) 0; V (0) Los resultados anterores muestran que tanto U como V deben ser las solucones a los problemas de valores ncales sguentes: y U: y y 0, y(0), y (0) 0 V : y y 0, y(0) 0, y (0) 5

40 y como las solucones a tales problemas son úncas, U debe ser la funcón coseno y V la funcón seno. Luego: Teorema. La funcón E : Demostracón de las propedades: a) Ex ( ) exp( x) x R ( ) x x Ex y e (cosy sen y) e cs y C C así defnda tene las propedades a), b) y c) R, x 0, E () exp( x)cs(0) cs(0) E () Ex ( ) exp( x) E ( ) EE ( ) ( ) b) j xj yj j, ( x x ) y ( y ) E ( ) exp( x x )cs( y y ) e e cs( y y ) ( e cs y )( e cs y ) x x x x E ( ) E ( ) c) E ( ) E ( ) t () xt () y() t E ( ) e x (cos y sen y) x x E ( ) xe (cosy sen y) ye ( sen y cos y) ( sen y sen y) x E () e (cosy sen y)( x y ) E () Teorema. La funcón exponencal es peródca, y cada período es de la forma: π k, k Z Demostracón Sea un período de E, luego C, E( ) E( ). Hacendo 0, x E ( ) y s x y, E ( ) e csy x 0, y sen 0, y cos entonces y π k, k Z. 6

41 Una consecuenca de la demostracón es que E( ) π k, k Z. Representacón Geométrca de Algunas Rectas bajo la Transformacón E Sea T : C C la transformacón: T() E (). Obsérvese que el orgen de C, va a dar al punto (,0). A medda que la varable recorre el eje x alejándose del orgen en el sentdo postvo, aumenta exponencalmente, pero y se mantene gual a cero, luego la magen de [ 0, )es [, ) mentras que E(,0) es (0,). De la msma manera puede analarse la magen bajo la transformacón E de cualquer recta horontal ( y cte). Se encuentra que la magen de la semrrecta cuyos puntos tenen abcsa postva, es la parte que queda afuera del círculo untaro, del rayo que parte del orgen y cuyo argumento es la y de la recta. La semrrecta de puntos con x negatva tene por magen la porcón del rayo que queda dentro del círculo, ( E( ) 0 C. x e Nótese que como ( E( ) E( ), C, y por lo tanto, C, e 0, el orgen del plano C no es magen de nngún complejo bajo la transformacón ''exponencal''. Las rectas vertcales x cte (tamaño fjo y argumento de a ), van a dar a crcunferencas de rado x e y las rectas que parten del orgen se ''retratan'' como esprales que ''arrancan'' de (,0). (Las mágenes van aumentando tanto de tamaño como de argumento, a medda que la varable se va alejando del orgen). 7

42 8

43 La Funcón Logartmo Con el deseo de defnr la funcón nversa de la exponencal, el logartmo complejo observamos x x que s x y, E ( ) e cs y, (por supuesto, E ( ) e, Arg E ( ) y). Por lo tanto debe defnrse: L ( ) n Arg Nótese que s x, x R, L ( ) nx 0 nx, es decr, L es una extensón den. S x, L ( ) nx π. Nótese tambén que sendo la exponencal una funcón peródca, debe escogerse una banda del plano de anchoπ para selecconar en ella los argumentos de los logartmos complejos. En efecto, s escogemos la regón {( xy, ) C π < y π} defnda en ella, la ''mapea'' byectvamente en todo el plano menos el orgen. Otra ve: S se defne D { x y π < y π}, entonces, la funcón exponencal C, E : D C {0} es byectva y su nversa es L: C {0} D. x x x En efecto, D, x y, E () e csy ; Le ( cs y) ne y x y. Y s x y es un complejo no cero de tamaño r y de argumento θ ( x rcosθ, y rsenθ ) entonces L ( ) ln r θ, y por lo tanto, x y. ln r EL ( ( )) e csθ rcosθ r sen θ Obsérvese que la funcón L : C {0} D está ben defnda (en el sentdo de que 0, L( ) D ya que, según convnmos, el argumento de L ( ) debe satsfacer π < Arg π Ejemplo L () ln Arg ln ( π /) ( π /) Ejemplo L( ) ln Arg( ) ln π π 9

44 Teorema r cs θ, r csθ, L ( ) L ( ) L ( ) πc(, ) S Entonces Demostracón L ( ) Lrr ( cs( θ θ π c (, ))) ( nrr ) ( θ θ πc (, )) nr θ nr θ πc(, ) L ( ) L ( ) π c(, ) Defncón S es 0, C, EL ( ( )). En el caso de que x R, y R y Ex ( ) EyL ( ( x)) Eynx ( ) exp( ynx ) por lo que, como puede verse, la defncón anteror extende a la que se tenía parar Teorema Nota de E ( ( )).,, aplcando la funcón L, se ve que L ( ) L( ) 0, C,. ( ). S y son dstntos de cero, C, ( ) E( π c ( )) : Demostracón. E L EL L (( ) ( )) ( ( ) ( )) EL ( ( )) EL ( ( )). ( ) EL ( ( )) 0

45 E ( L ( )) ( ) EL ( ( )). EL [ ( ( ) L ( ) πc( ))] E[ L( ) L( ) π c( )] E( L( )) E( L( )) E( π c( )) Ejemplos E( π c ( )). ( ) E(/ L( )) E(/ π ) e π cos π / sen π / En la enseñana del álgebra elemental se asegura que para obtener la raí cuadrada de un número negatvo, se deberá tomar la correspondente a su valor absoluto multplcada por. Así por ejemplo se dce que y se justfca escrbendo: ( ). Note que en el paso ntermedo ( ) no se tomó en cuenta la correccón multplcar por E ( πc(,)) que en este caso es cero ya que la suma de los argumentos de los factores no excede π, y así, el resultado es correcto, aunque el procedmento no. S lo fuera, entonces valdría la conocda paradoja sguente: ( )( ).? La falaca aparece cuando se susttuye ( )( ) por ( ) ( ) ya que aquí la correccón no es cero. En efecto, Arg( ) π y por lo tanto Arg( ) Arg( ) π, suma que excede el rango que se escogó y que oblga en este caso a aplcar la correccón, es decr debe multplcarse el lado derecho de la gualdad por E( π c(, )) E( π) cs( π).

46 Ahora s: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Las Funcones Trgonométrcas Recordando que para todo número real, e θ θ θ cosθ sen θ, e cosθ sen θ, se ve que entonces, e senθ e θ θ e θ e cosθ ; θ θ θ e e e senθ y que por lo tanto, cosθ e e e e convene defnr para cada, C,cos,sen. Con este acuerdo, las nuevas funcones que extenden a las correspondentes cos y sen de varable real adqueren, entre otras, las sguentes propedades: Teorema, C,. sen cos. (sen ) cos θ e θ ;.. 5. (cos ) sen cos( ) coscossensen sen( ) sen cos cossen Demostracón En efecto:. sen cos e e e e e e e e por lo tanto: e e e e sen cos.. e e e ( e ) e e (sen ) cos e e e ( e ) ( e e ) (cos ) sen

47 . ( e e )( e e ) e e e e coscos ( ) ( ) ( ) ( ) ( e e )( e e ) e e e e sensen ()() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e coscos sensen cos( ) 5. ( e e )( e e ) e e e e sencos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e e )( e e ) e e e e cossen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e sencos cossen sen( )