CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 2.- VECTORES. pág. 1

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1 CÁLCL ECTRIAL 1. Magntudes escalares y vectorales.. ectores. Componentes vectorales. ectores untaros. Componentes escalares. Módulo de un vector. Cosenos drectores. 3. peracones con vectores Suma. 3.. Dferenca Producto de un escalar por un vector Cocente de un vector por un escalar Producto escalar de dos vectores Producto vectoral de dos vectores Momento de un vector respecto a un punto Dervada de un vector respecto a un escalar. 1.- MAGNITDES ESCALARES ECTRIALES. Se llama magntud físca a toda propedad de los cuerpos que se puede medr, como pueden ser la masa, el volumen, el tempo, la velocdad, etc. Las magntudes físcas pueden ser escalares y vectorales. Magntudes escalares: quedan perfectamente determnadas por un número y una undad. Eemplos: la masa, el volumen, el tempo, la temperatura, etc. Magntudes vectorales: para determnarlas además hay que dar una dreccón y un sentdo. Se representan medante vectores. Eemplos: la velocdad, la fuerza, etc..- ECTRES. n vector es un segmento orentado. B A: orgen, B: extremo A Se representan como AB, o ben como Los elementos de un vector son: rgen: punto de aplcacón (A). Módulo: representa el valor numérco de la magntud, y vene ndcado a escala por la longtud del vector. Es sempre postvo. Se representa como AB,, Dreccón: es la de la recta que contene al vector, llamada recta de apoyo o línea de accón. Sentdo: ndcado por la punta de flecha de su extremo. pág. 1

2 CMPNENTES ECTRIALES DE N ECTR. Para stuar un vector en el espaco es necesaro tomar un sstema de referenca. Tomaremos el formado por los ees cartesanos,,, perpendculares entre sí. Las puntas de flecha ndcan el sentdo que arbtraramente se toma como postvo. Se llaman componentes vectorales o vectores componentes de un vector, a sus proyeccones orentadas sobre los ees de coordenadas.,, son las componentes vectorales del vector = + + ECTRES NITARIS FNDAMENTALES. CMPNENTES ESCALARES. n vector untaro o versor es un vector de módulo la undad. Todo vector se puede poner como = u sendo u un vector untaro con la msma dreccón y sentdo que. Se llaman vectores untaros fundamentales (,, ) a los vectores untaros en las dreccones de los ees coordenados y sentdo postvo. Supongamos un vector de componentes vectorales,, Por lo que : = x., = y., = x. + y. + z. = z. o ben = ( x, y, z ) Los escalares x, y, z se llaman componentes escalares del vector. En valor absoluto concden con el módulo de las componentes vectorales, pero están afectadas de un sgno + o -, según el sentdo de las componentes. pág.

3 Eemplos: A = B = MÓDL DE N ECTR. C d = A B + d A B B C = d + por lo que = + +, de donde: = + + CSENS DIRECTRES. La dreccón y el sentdo de un vector quedan determnados por los cosenos drectores, que son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ees cartesanos: α γ cos α = β x =. cosα como = ; cos β = ; cos γ = + y =. cos β + z =.cos γ, se deduce: =. cos α +. cos β +. cos γ ; = ( cos α + cos β + cos γ ) 1 = cos α + cos β + cos γ pág. 3

4 3. PERACINES CN ECTRES SMA DE ECTRES Gráfcamente: Se puede hallar de dos formas: - Regla del paralelogramo: el vector suma S es la dagonal del paralelogramo formado por los vectores y. S S = + - Regla del polígono: Dados dos vectores y, el vector suma S, es un vector que tene como orgen, el orgen de y como extremo, el extremo de un vector equpolente a (msmo módulo, dreccón paralela y msmo sentdo) con orgen en el extremo de. S S = + Cálculo del módulo: Por el teorema del coseno: S S = +...cos ( π-ϕ ) ϕ y como cos ( π-ϕ ) = - cos ϕ π-ϕ ϕ S = cos ϕ Casos partculares: 1) ectores con la msma dreccón y sentdo: S = ϕ = 0º, cos ϕ = 1 + S = cos ϕ = cosα S S = ( + ) S = + ) ectores con la msma dreccón pero sentdo contraro: ϕ = 180º, cos ϕ = - 1 S = cos ϕ = S S = ( - ) S = - pág. 4

5 3) ectores perpendculares: ϕ = 90º, cos ϕ = 0 S S = cos ϕ = + S = + Analítcamente ( en funcón de las componentes cartesanas ). El vector suma es un vector cuyas componentes son la suma de las componentes. = x. + y. + z., = x. + y. + z. S = + = ( x +x). + (y + y). + ( z + z ). Eemplo: Dados los vectores A = y B = , la suma vectoral S = A + B = ( + 4 ) + (- 3 + ) + (1 + 5 ) = DIFERENCIA DE ECTRES. Gráfcamente: - Para restar dos vectores, se suma al mnuendo el opuesto (msmo módulo, msma dreccón, pero sentdo contraro) del sustraendo. R = - = + (- ) R - - El vector dferenca -, es un vector que tene como orgen, el extremo de (sustraendo) y como extremo, el extremo de (mnuendo). R pág. 5

6 En funcón de las componentes cartesanas: El vector dferenca es un vector cuyas componentes son la dferenca de las componentes. = x. + y. + z., = x. + y. + z. Eemplo: R = - = ( x -x). + (y - y). + ( z - z ). Dados los vectores A = y B = , la dferenca R = A - B = ( - 4 ) + (- 3 - ) + (1-5 ) = PRDCT DE N ESCALAR PR N ECTR. El producto de un escalar, q, por un vector, es otro vector que tene: - Módulo: el producto del q por el modulo del vector. - Dreccón: la dreccón de. - Sentdo: el de s q es +, y sentdo contraro a s q es 3 - En funcón de las componentes cartesanas: = x. + y. + z. q. = (q.x). + (q. y). + (q. z). Eemplo: = 3 + -, 3 = , - = Esta operacón permte ustfcar la expresón: = x., = y., = u, y por tanto: = z CCIENTE DE N ECTR PR N ESCALAR. El cocente de un vector entre el escalar q, equvale al producto del vector por el nverso del escalar: 1 = q q pág. 6

7 Es, por tanto, otro vector que tene: - Módulo: el modulo del vector dvddo por el q - Dreccón: la dreccón de. - Sentdo: el de s q es +, y sentdo contraro a s q es 3 En funcón de las componentes cartesanas: = x. + y. + z., x y z = q q q q Eemplo: = 6 + -, = / ; 3 = - - /3 + 1/ PRDCT ESCALAR DE DS ECTRES. Dados dos vectores A y B, se llama producto escalar entre ellos, al escalar que se obtene multplcando el módulo de A por el módulo de B y por el coseno del ángulo que forman entre ellos: α B A A. B = A. B. cos α En funcón de las componentes cartesanas: A = Ax. + Ay. + Az., B = Bx. + By. + Bz. A. B = (Ax. Bx). + (Ax. By). + (Ax.Bz). + (Ay. Bx). + (Ay. By). + (Ay. Bz). + (Az. Bx). + (Az. By). + (Az. Bz). como: A. B = Ax. Bx + Ay. By + Az. Bz pág. 7

8 Eemplo: Dados los vectores A = y B = A. B = (. 4 ) + ( -3. ) + ( 1. 5 ) = = PRDCT ECTRIAL DE DS ECTRES. Dados dos vectores A y B, el producto vectoral A B es un vector que tene: - Módulo: el producto del módulo de A por el módulo de B y por el seno del ángulo que forman entre ellos: A B = A. B. sen α - Dreccón: perpendcular al plano determnado por A y B - Sentdo: se puede deducr de dos formas: 1) por la regla del sacacorchos: el sentdo vene ndcado por el sentdo de avance de un sacacorchos que grase para r del prmer vector al segundo vector por el camno más corto. ) por la regla de la mano derecha: cogendo con la mano derecha la dreccón del vector producto vectoral, de tal forma que los dedos ndquen el sentdo de paso del prmer vector al segundo vector por el camno más corto, el pulgar extenddo ndca el sentdo del vector producto vectoral. A B B α A En funcón de las componentes cartesanas: A = Ax. + Ay. + Az., B = Bx. + By. + Bz. A B = (Ax. Bx) + (Ax. By) + (Ax. Bz) +... como: A B = (Ay. Bz Az. By) + + ( Az. Bx Ax. Bz) + + (Ax. By Ay. Bx) pág. 8

9 Expresón que se corresponde con el desarrollo del determnante: Ay Az Ax Az Ax Ay Ax Ay Az = Bx By Bz - + By Bz Bx Bz Bx By Eemplo: Dados los vectores A (1,, 4) y A B. B (, -1, 3). Halla el producto vectoral tlzando la anteror expresón: A B = ( (-1)) + ( ) + ( 1. (-1). ) = o ben como desarrollo del determnante: = MMENT DE N ECTR RESPECT A N PNT. Se llama momento de un vector respecto a un punto : M = r sendo r (vector de poscón) un vector que tene como orgen el punto, y como extremo, el orgen de. M d r α π α α pág. 9

10 El vector momento, por tanto, es un vector que tene: - Módulo: el producto del módulo de r por el módulo de y por el seno del ángulo que forman entre ellos: M = r.. sen α ; como r. sen α = d, sendo d la dstanca del punto a la línea de accón de, tambén se puede calcular: M = d. es decr, el vector se puede deslzar a lo largo de su línea de accón, sn que se modfque su momento. - Dreccón: perpendcular al plano determnado por r y. - Sentdo: se traslada paralelamente hasta el punto, para que ambos vectores tengan orgen común y a contnuacón se aplca la regla del sacacorchos o la regla de la mano derecha: el sentdo vene ndcado por el sentdo de avance de un sacacorchos que grase para r de r a por el camno más corto DERIADA DE N ECTR RESPECT A N ESCALAR. Algunas magntudes vectorales, como la velocdad, varían en funcón de un escalar, como el tempo: = f(t). Se defne la dervada de respecto a t, como: = lm t 0 t d = d t La dervada de un vector respecto a un escalar t, es la suma de las dervadas de sus componentes: = x. + y. + z. d d x d y d z = d t d t d t d t d d t = 0 ( f ± g ) f f.g = f ± g = g g f.g d t = 1 ( f. g ) d t = f.g + f.g ( f ) = f f n d t d t n 1 = n.t (. f ) =. f pág. 10

11 PRBLEMAS 1.- Dado un vector a (3,4,-), obtén su módulo y su dreccón según los ees, y Sol: 9, cosα = 0,55, cos β = 0,74, cosγ = 0, 37.- Dados los vectores a (3,-1,-), b (0,3,-1), c (-5,3,-8), realza las operacones: a + b - c ; a - b + c ; a + b Sol: (8,-1,5), (-,-1,-9), (3,5,-4) r r r r 3.- Dado el vector v = se pde: a) n vector untaro en su msma dreccón. b) El ángulo que forma con el ee. c) Demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos drectores vale la undad Sol: u =,,, cos β = 0,655, β = 49º Dados los vectores a (3,3,1) y b (0,1,-), calcula el vector suma y el ángulo que forma dcho vector con el vector a. Sol: S = (3,4,-l), α =5,9 5.- Calcula un vector untaro perpendcular a los vectores a y b del eercco anteror Sol: u =,, Suponendo dos vectores a y b, cuyos módulos son 7 y 8 y que el ángulo que forman es de 30, calcula el módulo del vector producto vectoral e ndca el ángulo que formaría dcho vector con cada uno de los vectores. Sol: 8, 90 con cada uno. 7.- Dado el vector a = (-1,,4) halla el producto escalar de dcho vector por su vector untaro. Sol: Sean dos vectores cualesquera a y b. Cuánto valdría el producto a a b? Sol: Cero 9.- El vector v (,1,0) tene su punto de aplcacón en A (3,0,-l). Halla: a) El momento de v respecto al orgen de coordenadas. b) El momento respecto al punto B (3,-,-l) Sol: a) (1,-,3), b) (0,0,-4) 10.- Dado el vector v = x + y donde x = m. sen wt e y = m. cos wt, encontrar su dervada y comprobar que el vector dervada es perpendcular al vector v. Sol: El producto escalar es cero pág. 11

12 PRBLEMAS CMPLEMENTARIS 1.- S dos vectores son perpendculares su producto escalar es máxmo?. En qué casos lo será?..- En qué caso el producto vectoral de dos vectores es cero?. 3.- En qué caso el módulo de la suma de dos vectores tene un valor máxmo?. 4.- En el caso de tener dos vectores de gual dreccón y sentdo contraro, deduce gráfcamente s el módulo de la suma es mayor que el módulo de la dferenca. r r r r 5.- Dado el vector A = determna 3/ A r Sol: (3,9,-6) r r r r 6.- Determna el ángulo que forma el vector B = con el ee. Sol: 64,9º 7.- Halla un vector untaro perpendcular a los vectores A r (1,,3) y B r (-1,0,) r 4 r 5 r r Sol: u = Dados A r (5,3,4) y B r r r r = 6 +, calcula: a) Su producto escalar. b) El ángulo que forman. c) Los cosenos drectores del vector B r. Sol: a) 35 ; b) 39,37º ; c) 0,94, -0,16, 0,31 r r r r 9.- Dados los vectores A = y B r (3,4,0), calcula A r B r y B r A r Sol: (-8,6,1), (8,-6,-1) 10.- Cuál debe ser el valor de m para que el vector A r (1,m,) forma un ángulo de 60º con el ee?. Sol: 11 ± 11.- n vector A r tene de componentes (1,,3). tro vector B r tene de módulo 3 y su prmera componente (B x ) vale 1. Determna B r para que sea perpendcular a A r. Sol: (1,1,-1) o (1, -17/13, 7/13). 1.- Sendo los vectores A r (A x,5,3) y B r (B x,1,0) y sabendo que A r - B r r r = y que el módulo de su suma vale 9. Determna el valor de A x y B x. Sol: ± 3 pág. 1

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