Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, son números ordenados en filas y columnas.

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Xavier Lozano Toledo
hace 7 años
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MATRICES Las matrces se utlzan en el cálculo numérco, en la resolucón de sstemas de ecuacones lneales, de las ecuacones dferencales y de las dervadas parcales.

1 MATRICES Las matrces se utlzan en el cálculo numérco, en la resolucón de sstemas de ecuacones lneales, de las ecuacones dferencales y de las dervadas parcales. Además de su utldad para el estudo de sstemas de ecuacones lneales, las matrces aparecen de forma natural en geometría, estadístca, economía, nformátca, físca, etc... La utlzacón de matrces (arrays) consttuye actualmente una parte esencal de los lenguajes de programacón, ya que la mayoría de los datos se ntroducen en los ordenadores como tablas organzadas en flas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos. CONCEPTO DE MATRIZ Una matrz es un conjunto de elementos de cualquer naturaleza aunque, en general, son números ordenados en flas y columnas. Se llama matrz de orden "m n" a un conjunto rectangular de elementos a j dspuestos en m flas y en n columnas. El orden de una matrz tambén se denomna dmensón o tamaño, sendo m y n números naturales. Las matrces se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, etc., y los elementos de las msmas con letras mnúsculas y subíndces que ndcan el lugar ocupado: a, b, c, etc., Un elemento genérco que ocupe la fla y la columna j se escrbe a j. S el elemento genérco aparece entre paréntess tambén representa a toda la matrz: A = (a j ) Cuando nos refermos ndstntamente a flas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matrz A m n es m n En matemátcas, tanto las Lstas como las Tablas recben el nombre genérco de matrces. Vectores fla y columna Es convenente consderar a la matrz como un arreglo de vectores más que como un arreglo de elementos. Así podremos usar las propedades ya demostradas de vectores.

2 En una matrz A = (a j ) m n defnmos ( 1 2 n A el vector fla como la matrz de orden 1xn a A a, a,..., a ) y el vector columna como la matrz de mx1 A Hay m vectores fla de dmensón n y n vectores columna de dmensón m En la matrz A 2x3 del ejemplo anteror podemos hablar de 2 vectores fla de dmensón , denotados A 1, A2 y 3 vectores columna de dmensón 2, denotados A, A, A 1 a.. a 2 n MATRICES IGUALES Dos matrces A = (a j ) m n y B = (b j ) p q son guales sí y solo s tenen en los msmos lugares elementos guales, es decr : ALGUNOS TIPOS DE MATRICES Hay algunas matrces que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, etc., recben nombres dferentes: Tpo de matrz RECTANGULAR Defncón Aquella matrz que tene dstnto número de flas que de columnas, sendo su orden m n, Ejemplo TRANSPUESTA OPUESTA Dada una matrz A, se llama transpuesta de A a la matrz que se obtene cambando ordenadamente las flas por las columnas. Se representa por A t ó A T La matrz opuesta de una dada es la que resulta de susttur cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A. t Es decr: A A la columna de la matrz A transpuesta es la fla de la matrz A, para = 1,..,m.

3 NULA CUADRADA SIMÉTRICA S todos sus elementos son cero. Tambén se denomna matrz cero y se denota por 0 m n Aquella matrz que tene gual número de flas que de columnas, m = n, dcéndose que la matrz es de orden n. Dagonal prncpal : son los elementos a 11, a 22,..., a nn Dagonal secundara : son los elementos a j con +j = n+1 Traza de una matrz cuadrada : es la suma de los elementos de la dagonal prncpal tr A. cuadrada que es gual a su traspuesta. A = A t, a j = a j Dagonal prncpal tr A = 19 ANTISIMÉTRICA cuadrada que es gual a la opuesta de su traspuesta. A = -A t, a j = -a j Necesaramente a = DIAGONAL cuadrada que tene todos sus elementos nulos excepto los de la dagonal prncpal ESCALAR cuadrada que tene todos sus elementos nulos excepto los de la dagonal prncpal que son guales

4 IDENTIDAD TRIANGULAR ORTOGONAL NORMAL REGULAR, INVERTIBLE O NO SINGULAR cuadrada que tene todos sus elementos nulos excepto los de la dagonal prncpal que son guales a 1. Tambén se denomna matrz undad. cuadrada que tene todos los elementos por encma (por debajo) de la dagonal prncpal nulos. Una matrz ortogonal es necesaramente cuadrada e nvertble y A -1 = A T La nversa de una matrz ortogonal es una matrz ortogonal. El producto de dos matrces ortogonales es una matrz ortogonal. El determnante de una matrz ortogonal vale +1 ó -1. Una matrz es normal s conmuta con su traspuesta. Las matrces smétrcas, antsmétrcas u ortogonales son necesaramente normales. Decmos que una matrz cuadrada A es nvertble s tene nversa, A -1, que verfca: A A -1 = A -1 A = I Para establecer las reglas que rgen el cálculo con matrces se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordnara, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrces.

5 OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES La suma de dos matrces A = (a j ) m n y B = (b j ) p q de la msma dmensón, m = p y n = q es otra matrz C = A+B de orden mxn tal que C = A + B, = 1,..,m Es una ley de composcón nterna con las sguentes PROPIEDADES : Asocatva: A+(B+C) = (A+B)+C Conmutatva : A+B = B+A Elem. neutro : ( matrz cero 0 m n ), 0+A = A+0 = A Elem. smétrco : ( matrz opuesta -A ), A + (-A) = (-A) + A = 0 La suma y dferenca de dos matrces NO está defnda s sus dmensones son dstntas!! PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Para multplcar un escalar por una matrz se multplca el escalar por todos los elementos de la matrz, obtenéndose otra matrz del msmo orden. Es decr, Anxm A A 1,..., n Es una ley de composcón externa con las sguentes PROPIEDADES:

PRODUCTO DE MATRICES Dadas dos matrces A = (a j ) m n y B = (b j ) p q donde n = p, es decr, el número de columnas de la prmera matrz A es gual al número de flas de la matrz B, se defne el producto A

6 PRODUCTO DE MATRICES Dadas dos matrces A = (a j ) m n y B = (b j ) p q donde n = p, es decr, el número de columnas de la prmera matrz A es gual al número de flas de la matrz B, se defne el producto A B de la sguente forma: El elemento que ocupa el lugar (, j) en la matrz producto se obtene como el producto escalar del vector fla de la matrz A por el vector columna j de la matrz B. j A. B) A. B. Cada elemento de la matrz producto es una sumatora de productos. j Aunque parezca extraño, esta operacón aparece en muchísmas stuacones, por ejemplo: Supongamos que un fabrcante tene peddos para 5 casas estlo rústco, 7 estlo moderno y 12 estlo colonal. Sus peddos pueden representarse por el vector fla Q (5 7 12). Además, supongamos que las materas prmas que se utlzan en cada tpo de casa son acero, madera, vdro, ladrllos y mano de obra, requerdas por cada undad de casa según la sguente tabla: acero madera vdro ladrllos m. obra 5 R sendo la fla 1 los requermentos de la casa estlo rústco, la fla 2 los de la casa estlo moderno y la 3, los de la de estlo colonal. S el contratsta desea conocer la cantdad de cada matera prma necesara para satsfacer todos sus peddos, tal nformacón vene dada por Q.R Q. R (5 7 12) Supongamos que conocemos el costo untaro de las materas prmas: el acero cuesta $1500 por undad, la madera $800 por undad, y vdro, ladrllos y mano de obra cuestan

7 $500, $100 y $1000 por undad respectvamente. Estos datos pueden expresarse en un vector columna C C Entonces, el costo de cada tpo de casa es: R.C Y el costo para satsfacer todos los peddos será: Q.( RC) (5 7 12) Compruebe que llega al msmo resultado operando de esta manera: (Q.R).C. Y tambén, operando con las matrces transpuestas: C t.(q.r) t = C t.r t.q t Veamos otro ejemplo de multplcacón de matrces: 1 A B A. B B. A En este ejemplo observamos que el producto de matrces es no conmutatvo. Es más, puede suceder que el producto A.B esté defndo y que B.A no lo esté. PROPIEDADES: 1) Asocatva 2) DstrbutvaI ( A B). C AC. B. C DstrbutvaII A.( B C) A. B AC. 3) Extractva A.( B. C) ( A. B). C A.( B) ( A). B A. B

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