Resolución de sistemas lineales por métodos directos

Transcripción

1 Resolucón de sstemas lneales por métodos drectos Descomposcón LU S la matr del sstema Ax = b se expresa como producto de una matr trangular nferor, L, de una superor, U, la resolucón del msmo se reduce a hallar las solucones de los sstemas L = b Ux =. Veamos un eemplo. La matr A = 1, 2, <, 2, 9, 7<, 1,, 2<<; es el producto de las matrces L = 1, 0, 0<, 2, 1, 0<, 1, 2, <<; U = 1, 2, <, 0, 5, 1<, 0, 0, 1<<; Entonces, la solucón del sstema que tene a A como matr de coefcentes b = 10, 9, 2<; como vector de térmnos ndependentes se resuelve en dos etapas: prmero un sstema trangular nferor luego uno superor. S A es una matr, Dmensons[A] produce una lsta de dos componentes: la prmera poscón es el número de flas de A la segunda el de columnas. S A es una matr cuadrada, el orden de la msma aparece como prmera componente (o segunda) de dcha lsta. n = Dmensons@ADP1T; = Table@0,, n<d; bp1t P1T = LP1, 1T ; ForA = 2, n, ++, PT = bpt =1 1 LP, T PT LP, T x = Table@0,, n<d; PnT xpnt = UPn, nt ; ForA = n 1, 1,, xpt = PT n =+1 UP, T xpt UP, T x , 7 10, 15 2 = Es fácl, rápdo, verfcar la correccón de la solucón:

2 A.x == b True ü Casos usuales El problema es, evdentemente, hallar la descomposcón LU de la matr. ü Factoracón de Doolttle La dagonal de la matr L es untara. Veamos un eemplo. A = 60, 30, 20<, 30, 20, 15<, 20, 15, 12<<; n = Dmensons@ADP1T; U = Table@0,, n<,, n<d; L = Table@0,, n<,, n<d; For@ = 1, n, ++, LP, T = 1D; UP1, 1T = AP1, 1T; For@ = 2, n, ++, UP1, T = AP1, TD; AP, 1T ForA = 2, n, ++, LP, 1T = UP1, 1T ForA = 2, n 1, ++, UP, T = AP, T LP, rt UPr, T; ForA = + 1, n, ++, UP, T = AP, T LP, rt UPr, T ForA = + 1, n, ++, LP, T = AP, T LP, rt UPr, T E UP, T n 1 UPn, nt = APn, nt LPn, rt UPr, nt; MatrxForm@LD MatrxForm@UD Es nmedato comprobar que la factoracón es correcta, pues

3 L.U == A True Comentemos el códgo. En la prmera línea se defne una varable que corresponde al orden de la matr; a contnuacón, se ncalan las matrces L U que, al fnal, serán las matrces de la factoracón de Doolttle; en la prmera etapa del método, se determna el prmer elemento de la dagonal de U, luego, los elementos de la prmera columna de L bao la dagonal, los restantes elementos de la prmera fla de U. Segudamente, se establece un bucle para calcular desde el segundo elemento de la dagonal de U hasta el penúltmo: calculado uno de ellos, se determnan los restantes de la correspondente columna de L de la correspondente fla de U. Por últmo, se calcula el últmo elemento de la dagonal de U. ü Factoracón de Crout La dagonal de la matr U es untara. Se trata de forma análoga a la factoracón de Crout. ü Factoracón de Choles La matr A que se pretende factorar debe ser smétrca defnda postva. La factoracón de A debe ser de la forma A = LL T. Veamos un eemplo A = 2., 1., 0., 0.<, 1., 2., 1., 0.<, 0., 1., 2., 1.<, 0., 0., 1., 2.<<; MatrxForm@AD Es smétrca. Además, las submatrces dagonales prncpales tenen determnantes postvos: n = Dmensons@ADP1T; detprncpales = Table@Det@Table@Table@AP, T,, <D,, <DD,, n<d Por tanto, es defnda postva. Es aplcable el método de Choles. L = Table@0,, n<,, n<d; LP1, 1T = è!!!!!!!!!!!!!!!! AP1, 1T ; ForA = 2, n, ++, LP, 1T = ForA = 2, n 1, ++, AP, 1T LP1, 1T LP, T = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% AP, T LP, %%%%%%%%%%%%%%% rt 2 ; ForA = + 1, n, ++, LP, T = AP, T LP, rt LP, rt E LP, T LPn, nt = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% n 1 APn, nt LPn, %%%%%%%%%%%%%%% rt 2 ; MatrxForm@LD Es nmedato ver que la factoracón es correcta, pues L.Transpose@LD == A

4 Se puede modfcar el procedmento anteror para, como es lógco, no tener necesdad de estudar prevamente s la matr es defnda postva o no. Aprovechamos la factoracón para resolver el sstema Ax = b, donde b = 1, 2, 3, <; Su solucón se calcula de la sguente manera: U = Transpose@LD; = Table@0,, n<d; bp1t P1T = LP1, 1T ; ForA = 2, n, ++, PT = bpt =1 1 LP, T PT LP, T x = Table@0.,, n<d; PnT xpnt = UPn, nt ; ForA = n 1, 1,, xpt = PT n =+1 UP, T xpt UP, T N@x, 10D Podemos comprobarlo: A.N@xD == b Eerccos 1.- Halle la descomposcón LU correspondente a Crout de la matr A 1 = 117 ÅÅÅ - ÅÅÅ ) Apoándose en la descomposcón anteror, resuelva el sstema A 1 x = b 1, donde. b 1 = H2, -6, 1, 9L T. ) Utlce, asmsmo, los comandos LnearSolve e Inverse para resolver el msmo sstema. 3.- Obtenga la descomposcón de Doolttle de A 1, apoándose en ella, vuelva a obtener la solucón del sstema A 1 x = b 1..- Estude s la matr

5 A 2 = es defnda postva Apoándose en el eercco, resuelva el sstema A 2 x = b 2, donde b 2 = H2, 6, 1, 9L T. 6.- Aproveche la estructura trdagonal dagonalmente domnante de la matr A 3 = para hallar la correspondente descomposcón de Doolttle con el programa del eercco 1, aplíquela para resolver el sstema A 3 x = b 3, sendo b 3 = H2, -6, 2.5,, LT.