OCW-V.Muto Técnicas iterativas para resolver sistemas lineales Cap. XVII CAPITULO XVII. TECNICAS ITERATIVAS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES

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1 CAPITULO XVII. TECNICAS ITERATIVAS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES. INTRODUCCION Y METODO Una técnca teratva para resolver un sstema lneal A x = b de n n empeza con una aproxmacón ncal x (0) a la solucón x, y genera una sucesón de vectores { } k=0 que converge a x. La mayoría de estas técncas teratvas nvolucran un proceso que converte el sstema A x = b en un sstema equvalente de la forma x = T x + c para alguna matrz T de n n y un vector c. Ya selecconado el vector ncal x (0) la sucesón de vectores de solucón aproxmada se genera calculando = T x (k ) + c (XV II.) para cada k =, 2, 3,.... Este tpo de procedmento nos recuerda a la teracón del punto fo estudada en la tercera parte. Las técncas teratvas se emplean raras veces para resolver sstemas lneales de dmensón pequeña ya que el tempo requerdo para lograr una precsón sufcente excede al de las técncas drectas como el método de elmnacón Gaussana. Sn embargo, para sstemas grandes con un gran porcentae de ceros, estas técncas son efcentes en térmnos de almacenamento en la computadora y del tempo requerdo. Los sstemas de este tpo surgen frecuentemente en la solucón numérca de problemas de valores en la frontera y de ecuacones dferencales parcales. Eemplo. El sstema lneal A x = b dado por E : 0 x x x 3 = 6, E 2 : x + x 2 x x 4 = 25, E 3 : 2 x x x 3 x 4 =, E 4 : 3 x 2 x x 4 = 5, tene por solucón a x = (, 2,, ) t. Para convertr A x = b a la forma x = T x + c, resolvemos la ecuacón E para cada =, 2, 3, 4, obtenendo: x = 0 x 2 5 x , x 2 = x + x 3 3 x , x 3 = 5 x + 0 x x 4 0, x 4 = 3 8 x x En este eemplo, T = y c =

2 Como una aproxmacón ncal tomemos a x (0) = (0, 0, 0, 0) t y generemos x () medante: x () = 0 x(0) 2 5 x(0) = , x () 2 = x(0) + x(0) 3 3 x(0) = , x () 3 = 5 x(0) + 0 x(0) x(0) 4 0 =.000, x () 4 = 3 8 x(0) x(0) = Las teracones adconales = (, x(k) 2, x(k) 3, x(k) 4 )t, se generan de manera smlar y se presentan en la tabla sguente. Tabla k La decsón de parar después de dez teracones está basada en el hecho de que x (0) x (9) x (0) = < 0 3. En realdad, x (0) x = El método del eemplo se llama método teratvo de Jacob. Este consste en resolver la ésma ecuacón de A x = b para x para obtener, sempre y cuando a 0, que x = ( a x a ) + b a para =, 2,..., n (XV II.2) y generar cada de las componentes de x (k ) para k con = a [ ( a x (k ) ) + b ] para =, 2,..., n. (XV II.3) El método puede escrbrse en la forma = T x (k ) + c dvdendo a A en su parte dagonal y no-dagonal. Para ver esto, sean D la matrz dagonal cuya dagonal es la 230

3 msma que la dagonal de A, L la parte trangular estrctamente nferor de A, y U la parte trangular estrctamente superor de A. Con esta notacón, se separa en A = a a 2... a n a 2 a a 2n a n a n2... a nn = a a n... a n,n 0 = D L U. a a a nn + 0 a 2... a n a n,n = La ecuacón A x = b ó (D L U) x = b se transforma entonces en D x = (L+U) x+b, y fnalmente x = D (L + U) x + D b. (XV II.4) Esto da lugar a la forma matrcal de la técnca teratva de Jacob: = D (L + U) x (k ) + D b, k =, 2,.... (XV II.5) En la práctca, la ecuacón (XV II.3) es la que se usa para los cálculos, reservando a la ecuacón (XV II.5) para propóstos teórcos. 2. LOS ALGORITMOS DE JACOBI Y DE GAUSS-SEIDEL Para resumr el método teratvo de Jacob, presentamos el sguente algortmo: Algortmo teratvo de Jacob. ================================================== Para resolver el sstema lneal A x = b con una aproxmacón ncal dada x (0). Entrada: número de ncógntas y de ecuacones n; las componentes de la matrz A = (a ) donde, n; las componentes b, con n, del térmno no homogéneo b; las componentes XO, con n, de la aproxmacón ncal XO = x (0) ; la toleranca TOL; el número máxmo de teracones N 0. Salda: solucón aproxmada x, x 2,..., x n ó mensae de que el número de teracones fue exceddo. Paso : Tomar k =. Paso 2: Mentras que k N 0 segur los pasos 3 6. Paso 3: Para =, 2,..., n tomar x = a [ (a XO ) + b ]. Paso 4: S x XO < T OL entonces SALIDA (x, x 2,..., x n ); (procedmento completado satsfactoramente) PARAR. 23

4 Paso 5: Tomar k = k +. Paso 6: Para =, 2,..., n tomar XO = x. Paso 7: SALIDA (número máxmo de teracones exceddo); (procedmento completado sn éxto) PARAR. ================================================== El paso 3 del algortmo requere que a 0 para cada =, 2,..., n. S éste no es el caso, se puede realzar un reordenamento de las ecuacones para que nngún a = 0, a menos que el sstema sea sngular. Se sugere que las ecuacones sean arregladas de tal manera que a sea lo más grande posble para acelerar la convergenca. En el paso 4, el crtero de paro ha sdo x XO < T OL; otro crtero de paro es terar hasta que x (k ) sea menor que alguna toleranca predetermnada ε > 0. Para este propósto, se puede usar cualquer norma convenente; la que más se usa es la norma l. Un análss de la ecuacón (XV II.3) sugere una posble meora en el algortmo teratvo de Jacob. Para calcular, se usan las componentes de x (k ). Como para >,, x(k) 2,..., x(k) ya han sdo calculadas y supuestamente son meores aproxmacones a la solucón real x, x 2,..., x que, x(k) 2,..., x(k), parece razonable calcular x(k) usando los valores calculados más recentemente; es decr, = [ (a ) a =+ para cada =, 2,..., n en vez de la ecuacón (XV II.3). Eemplo 2. El sstema lneal A x = b dado por (a x (k ) ) + b ], (XV II.6) E : 0 x x x 3 = 6, E 2 : x + x 2 x x 4 = 25, E 3 : 2 x x x 3 x 4 =, E 4 : 3 x 2 x x 4 = 5, fue resuelto en el eemplo con el método teratvo de Jacob. Incorporando la ecuacón (XV II.6) en el algortmo teratvo de Jacob, se obtenen las ecuacones que se usarán para cada k =, 2,...: = 0 x(k ) 2 5 x(k ) , 2 = x(k) + x(k ) 3 3 x(k ) , 3 = 5 x(k) + 0 x(k) x(k ) 4 0, 4 = 3 8 x(k) x(k)

5 Tomando x (0) = (0, 0, 0, 0) t, generamos los vectores terados de la tabla 2. Ya que Tabla 2 k x (5) x (4) x (4) = = 4 0 4, se acepta x (5) como una aproxmacón razonable a la solucón. Es nteresante notar que el método de Jacob en el eemplo requere el doble de teracones para la msma precsón. La técnca presentada en el eemplo 2 se llama método teratvo de Gauss-Sedel. Para escrbr este método en la forma matrcal (XV II.) se multplcan ambos lados de la ecuacón (XV II.6) por a y se recolectan todos los k ésmos térmnos terados para dar a + a a = a,+ x (k ) +... a n x (k ) n + b, para cada =, 2,..., n. Escrbendo las n ecuacones tenemos: a = a 2 x (k ) 2 a 3 x (k ) 3... a n x (k ) n + b, a 2 + a 22 2 = a 23 x (k ) 3... a 2n x (k ) n + b 2, a n + a n a nn n = b n, y se sgue que, en forma matrcal, el método de Gauss-Sedel puede ser representado como (D L) = U x (k ) + b, ó = (D L) U x (k ) + (D L) b. (XV II.7) Para que la matrz trangular nferor (D L) sea no sngular, es necesaro y sufcente que a 0 para cada =, 2,..., n. Para resumr el método teratvo de Gauss-Sedel, presentamos el sguente algortmo: Algortmo teratvo de Gauss-Sedel. ===================================================== Para resolver el sstema lneal A x = b con una aproxmacón ncal dada x (0). Entrada: número de ncógntas y de ecuacones n; las componentes de la matrz A = (a ) donde, n; las componentes b, con n, del térmno no homogéneo b; las 233

6 componentes XO, con n, de la aproxmacón ncal XO = x (0) ; la toleranca TOL; el número máxmo de teracones N 0. Salda: solucón aproxmada x, x 2,..., x n ó mensae de que el número de teracones fue exceddo. Paso : Tomar k =. Paso 2: Mentras que k N 0 segur los pasos 3 6. Paso 3: Para =, 2,..., n tomar x = [ (a x ) a =+ (a XO ) + b ]. Paso 4: S x XO < T OL entonces SALIDA (x, x 2,..., x n ); (procedmento completado satsfactoramente) PARAR. Paso 5: Tomar k = k +. Paso 6: Para =, 2,..., n tomar XO = x. Paso 7: SALIDA (número máxmo de teracones exceddo); (procedmento completado sn éxto) PARAR. ================================================== Los resultados de los eemplos y 2 parecen mplcar que el método de Gauss-Sedel es superor al método de Jacob. Este es generalmente certo, pero no sempre. En realdad, hay sstemas lneales para los cuales el método de Jacob converge y el método de Gauss-Sedel no, y vceversa. 3. CONVERGENCIA DE LOS PROCESOS ITERATIVOS Para estudar la convergenca de las técncas generales de teracón, consderamos la fórmula (XV II.) = T x (k ) + c para cada k =, 2,..., donde x (0) es arbtraro. Este estudo requerrá del sguente lema: Lema XVII. S el rado espectral ρ(t ) satsface que ρ(t ) <, ó s la norma de la matrz T satsface que T <, entonces (I T ) exste y (I T ) = I + T + T Teorema XVII.2 Para cualquer x (0) R n, la sucesón { } k=0 defnda por (XV II.) = T x (k ) + c para cada k y c 0, converge a la solucón únca de x = T x+c s y sólo s ρ(t ) <. 234

7 Demostracón: de la ecuacón (XV II.), se tene que = T x (k ) + c = = T (T x (k 2) + c) + c = = T 2 x (k 2) + (T + I) c =... = T k x (0) + (T k T + I) c. Suponendo que ρ(t ) <, podemos usar el Teorema XIII.5 y el Lema XVII. para obtener lm k x(k) = lm T k x (0) ( k + lm T ) c k k =0 = 0 x (0) + (I T ) c = (I T ) c. De (XV II.) x = lm k x(k) = (I T ) c será la solucón únca de x = T x + c. Para probar el recíproco, sea { } k=0 convergente a x para cualquer x(0). De la ecuacón (XV II.) sgue que x = T x + c, así que para cada k, x = T (x x (k ) ) =... = T k (x x (0) ). Por lo tanto, para cualquer vector x (0), lm T k (x x (0) ) = lm x k k x(k) = 0. Consecuentemente, s z es un vector arbtraro y x (0) = x z, entonces lm T k z = lm T k [x (x z)] = 0, k k lo cual, por el Teorema XIII.5, mplca que ρ(t ) <. c.q.d. Un Teorema parecdo nos dará condcones de sufcenca para la convergenca de los procesos de teracón usando las normas en lugar del rado espectral. Teorema XVII.3 S T <, para cualquer norma matrcal natural, entonces la sucesón defnda en la ecuacón (XV II.), { } k=0, converge para cualquer x(0) R n, a un vector x R n, y se satsfacen las sguentes cotas de error: x T k x (0) x, (XV II.8) y x T k T x() x (0). (XV II.9) 235

8 Demostracón: comenzando con un vector arbtraro x (0), formaremos una secuenca de aproxmacones x () = T x (0) + c, x (2) = T x () + c, = T x (k ) + c, de donde = T k x (0) + (T k T + I) c. Como para T < tenemos T k 0 cuando k, se deduce que lm T k = 0 y lm (I + T + T T k ) = k k Y por tanto, pasando al límte cuando k, tenemos x = lm k x(k) = (I T ) c. T k = (I T ). Esto prueba la convergenca del proceso teratvo. Además, tenemos (I T ) x = c ó x = T x + c, lo cual quere decr que el vector x en el límte es una solucón del sstema. Como la matrz (I T ) no es sngular, la solucón x es únca. Hemos así demostrado la prmera parte del Teorema. Demostramos ahora la cota de error (XV II.8). Supongamos que x (k+p) y son dos aproxmacones de la solucón del sstema lneal x = T x+c; de la ecuacón (XV II.), tenemos: x (k+p) = T x (k+p ) T x (k ) = T (x (k+p ) x (k ) ) =... k=0 = T k (x (p) x (0) ) T k x (p) x (0). Ahora pasando al límte cuando p, obtenemos lm p x(k+p) lm T p k x (p) x (0) = T k lm p x(p) x (0) y entonces x T k x x (0), que es la cota de error (XV II.8) Fnalmente demostramos la cota de error (XV II.9). Como antes, supongamos que x (k+p) y son dos aproxmacones de la solucón del sstema lneal x = T x + c. Tenemos x (k+p) x (k+) + x (k+2) x (k+) x (k+p) x (k+p ). 236

9 Por lo vsto antes: x (m+) x (m) T x (m) x (m ) T m k x (k+), para m > k. Entonces tenemos: x (p+k) x (k+) + T x (k+) T p x (k+) T x(k+) T T x(k) x (k )... T k T x() x (0), de donde se deduce la cota de error (XV II.9). c.q.d. Notése que s en partcular elegmos x (0) = c, entonces x () = T c + c y y la cota (XV II.9) nos da: x () x (0) = T c T c, x T k+ T c. (XV II.9 ) Eemplo 3. Demostrar que el proceso de teracón de Jacob es convergente para el sstema lneal sguente: E : 0 x x x 3 3 x 4 = 0, E 2 : x + 0 x 2 x x 4 = 5, E 3 : 2 x + 3 x x 3 x 4 = 0, E 4 : 3 x + 2 x 2 + x x 4 = 5. Cuántas teracones han de efectuarse para hallar las raíces del sstema con un error menor de 0 4? Reducendo el sstema a la forma especal para la teracón de Jacob, tenemos x = 0. x x x 4, x 2 = 0. x + 0. x x , x 3 = 0. x 0.5 x x 4 0.5, x 4 = 0.5 x 0. x x Entonces la matrz del sstema es: T =

10 Utlzando, por eemplo, la norma l, tenemos: T = max{0.35, 0.35, 0.35, 0.55} = 0.55 <. En consecuenca el proceso de teracón para el sstema dado es convergente. S consderamos como aproxmacón ncal de la raíz x el vector x (0) = c = (0.0, 0.5, 0.5, 0.75) t, entonces c = =.75. Sea ahora k el número de teracones requerdas para consegur la exacttud especfcada. Utlzando la fórmula (XV II.9 ), tenemos: x T k+ c = 0.55k+.75 T 0.45 < 0 4. De aquí, o sea 0.55 k+ < (k + ) log < log 0 45 log y consecuentemente (k + ) < = k + > = k > 6.7. Podemos tomar k = 7. Notése que la estmacón teórca del número de teracones necesaras para asegurar la exacttud especfcada es excesvamente alto. A menudo se obtene la exacttud deseada en un número menor de teracones. Para aplcar los resultados de arrba a las técncas teratvas de Jacob o Gauss- Sedel, necestamos escrbr las matrces de teracón del método de Jacob, T J, dadas en (XV II.5) y del método de Gauss-Sedel, T GS, dadas en (XV II.7), como T J = D (L + U) y T GS = (D L) U. De ser ρ(t J ) ó ρ(t GS ) menores que uno, es claro que la sucesón { } k=0 converge a la solucón x de A x = b. Por eemplo, el esquema de Jacob (ver ecuacón (XV II.5)) tene: = D (L + U) x (k ) + D b, y s { } k=0 converge a x, entonces x = D (L + U) x + D b. 238

11 Esto mplca que D x = (L + U) x + b y (D L U) x = b. Ya que D L U = A, luego x satsface A x = b. De manera parecda se procede con el esquema de Gauss-Sedel dado por la ecuacón (XV II.7). Podemos dar ahora condcones de sufcenca fácles de verfcar para la convergenca de los métodos de Jacob y de Gauss-Sedel. Teorema XVII.4 S A es una matrz estrctamente domnante dagonalmente, entonces, para cualquer eleccón de x (0) R n ambos métodos, el de Jacob o el de Gauss-Sedel, dan lugar a sucesones { } k=0 que convergen a la solucón de A x = b. La relacón entre la rapdez de convergenca y el rado espectral de la matrz de teracón T se puede ver de la desgualdad (XV II.8). Como (XV II.8) se satsface para cualquer norma matrcal natural se sgue, de la afrmacón que sguó al Teorema XIII.4, que x ρ(t ) k x (0) x. (XV II.0) Supongamos que ρ(t ) < y que se va a usar x (0) = 0 en una técnca teratva para aproxmar x con un error relatvo máxmo de 0 t. Por la estmacón (XV II.0), el error relatvo después de k teracones es aproxmadamente ρ(t ) k, así que se espera una precsón de 0 t s ρ(t ) k 0 t, esto es, s k t log 0 ρ(t ). Por lo tanto, es deseable escoger la técnca teratva con el menor ρ(t ) < para el sstema partcular A x = b. En general no se conoce cuál de las dos técncas, la de Jacob o la de Gauss-Sedel, debe usarse. Sn embargo, en un caso especal, sí se conoce la respuesta. Teorema XVII.5 (Sten-Rosenberg) S a 0 para cada y a > 0 para cada =, 2,..., n, entonces se satsface una y solamente una de las sguentes afrmacones: a) 0 < ρ(t GS ) < ρ(t J ) < ; b) < ρ(t J ) < ρ(t GS ); c) ρ(t GS ) = ρ(t J ) = 0; d) ρ(t J ) = ρ(t GS ) = ; Para el caso especal descrto en el Teorema XVII.5, vemos que cuando un método converge, entonces ambos convergen, sendo el método de Gauss-Sedel más rápdo que el método de Jacob. 239

12 4. LOS METODOS DE RELAJACION Como la razón de convergenca de un procedmento depende del rado espectral de la matrz asocada con el método, una manera de selecconar un procedmento que nos lleve a una convergenca acelerada consste en escoger un método cuya matrz asocada tenga un rado espectral mínmo. Estos procedmentos nos llevan a los métodos de relaacón. Pero antes de formular la teoría de los métodos de relaacón, veamos las deas fundamentales de la forma más smple. Supongamos que se dspone de un sstema de ecuacones lneales E : a x + a 2 x a n x n = b, E 2 : a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2, E n : a n x + a n2 x a nn x n = b n. (XV II.) Transformaremos este sstema de la manera sguente: pondremos los térmnos constantes a la zquerda y dvdremos la prmera ecuacón por a, la segunda por a 22, etc. Obtendremos entonces un sstema que está lsto para la relaacón: E : x + b 2 x b n x n + c = 0, E 2 : b 2 x x b 2n x n + c 2 = 0, E n : b n x + b n2 x x n + c n = 0, (XV II.2) donde b = a a ( ) y c = b a. (XV II.3) Supongamos que x (0) = (x (0),..., x(0) n ) es la aproxmacón ncal a la solucón del sstema dado. Susttuyendo estos valores en el sstema tendremos los restos R (0) = c x (0) + = R (0) k = c k x (0) k + k b x (0) = x () x (0), b k x (0) = x () k x (0) k, n R n (0) = c n x (0) n + b n x (0) = x () n x (0) n. (XV II.4) S damos un ncremento δx (0) s a una de las ncógntas x (0) s, el resto correspondente R s (0) quederá dsmnudo en δx (0) s y todos los otros restos R (0) ( s) quedarán aumentados en 240

13 b s δx (0) s. De este modo, para hacer que desaparezca el resto sguente R () dar a x () s un ncremento δx () s = R s (0) y tendremos es sufcente R () s = 0 y R () = R (0) + b s δx (0) s para s. (XV II.5) Así el método de relaacón, en su forma más smple, consste en reducr el resto numércamente más elevado a cero, en cada etapa, cambando el valor del componente apropado de la aproxmacón. El proceso acaba cuando todos los restos del últmo sstema transformado son guales a cero con la exacttud requerda. Eemplo 4. Vamos a resolver el sstema lneal A x = b dado por E : 0 x 2 x 2 2 x 3 = 6, E 2 : x + 0 x 2 2 x 3 = 7, E 3 : x x x 3 = 8, con el método de relaacón y artmétca de dos dígtos. Reduzcamos el sstema a una forma convenente para la relaacón: E : x x x = 0, E 2 : 0. x x x = 0, E 3 : 0. x + 0. x 2 x = 0. Elgendo los valores x (0) = x (0) 2 = x (0) 3 = 0 como aproxmacones ncales de las raíces, obtenemos los restos: R (0) = 0.60, R (0) 2 = 0.70, R (0) 3 = Sendo R (0) 3 = 0.80 el resto más grande, consderamos de donde obtendremos los restos Establezcamos ahora δx (0) 3 = 0.80 R () = R (0) = = 0.76, R () 2 = R (0) = = 0.86, R () 3 = R (0) = = 0.0. δx () 2 = 0.86 y así sucesvamente. Los resultados de los cálculos se dan en la tabla 3. Sumando todos los ncrementos δ ( =, 2, 3; k = 0,,...), tendremos los valores de las raíces: x = = =.0, x 2 = =.006 =.0, x 3 = = =.0. 24

14 En este caso el sstema se ha resuelto exactamente. Tabla 3 k x R x 2 R 2 x 3 R Vamos ahora a descrbr los métodos de relaacón. Antes de descrbr un procedmento para selecconar tales métodos, necestamos ntroducr una manera nueva de medr la cantdad por la cual una aproxmacón a la solucón de un sstema lneal dfere de la solucón real del sstema. El método hace uso del denomnado vector resdual. Defncón. S x R n es una aproxmacón a la solucón del sstema lneal defndo por A x = b, el vector resdual de x con respecto a este sstema se defne como r = b A x. En procedmentos como los métodos de Jacob o de Gauss-Sedel se asoca un vector resdual con cada cálculo de una componente aproxmada del vector solucón. El obetvo del método consste en generar una sucesón de aproxmacones que hagan que los vectores resduales asocados converan a cero. Supongamos que tomamos r (k) = (r (k), r(k) 2,..., r(k) n )t 242

15 para denotar al vector resdual para el método de Gauss-Sedel correspondente al vector solucón aproxmado (, x(k) 2,..., x(k), x(k ),..., x (k ) n ) t. La m ésma componente de r (k) es r (k) m = b m a m = a m x (k ) (XV II.6) ó r (k) m = b m a m =+ a m x (k ) a m x (k ) para cada m =, 2,..., n. En partcular, la ésma componente de r (k) es r (k) = b a =+ a x (k ) a x (k ) ; así que a x (k ) + r (k) = b a =+ a x (k ). (XV II.7) Recuérdese, sn embargo, que en el método de Gauss-Sedel se escoge como = (a ) n =+ (a x (k ) ) + b a, (XV II.6) así que la ecuacón (XV II.7) puede escrbrse como a x (k ) + r (k) = a ó = x (k ) + r(k). (XV II.8) a Podemos dervar otra conexón entre los vectores resduales y la técnca de Gauss- Sedel. De (XV II.6), la ésma componente de r (k) + es r (k),+ = b a = b a =+ =+ a x (k ) a x (k ) a. (XV II.9) La ecuacón (XV II.6) mplca que r (k),+ = 0. Entonces, en certo sentdo, la técnca de Gauss-Sedel está deada para requerr que la ésma componente de r (k) + sea cero. 243

16 Reducr una coordenada del vector resdual a cero, sn embargo, no es necesaramente la manera más efcente de reducr la norma del vector r (k) +. En realdad, modfcando el procedmento de Gauss-Sedel en la forma de la ecuacón (XV II.8) a: = x (k ) + ω r(k) a (XV II.20) para certas eleccones de ω postvo nos llevará a una convergenca sgnfcatvamente más rápda. Los métodos que emplean la ecuacón (XV II.20) se conocen como métodos de relaacón. Para 0 < ω <, los procedmentos se llaman métodos de sub-relaacón y se pueden emplear para obtener la convergenca de algunos sstemas que no son convergentes por el método de Gauss-Sedel. Para ω >, los procedmentos se llaman métodos de sobre-relaacón y se pueden usar para acelerar la convergenca de sstemas que son convergentes por el método de Gauss-Sedel. Estos métodos se abrevan frecuentemente como SOR (de Successve Over-Relaxaton) y son partcularmente útles para resolver los sstemas lneales que aparecen en la solucón numérca de certas ecuacones dferencales parcales. Antes de lustrar las ventaas del método SOR notamos que usando la ecuacón (XV II.7), la ecuacón (XV II.20) se puede reformular para propóstos de cómputo como = ( ω) x (k ) + ω [b a a =+ ] a x (k ). (XV II.2) Para determnar la forma matrcal del método SOR reescrbmos (XV II.2) como a + ω a = ( ω) a x (k ) ω =+ a x (k ) + ω b así que ó (D ω L) = [( ω) D + ω U] x (k ) + ω b = (D ω L) [( ω) D + ω U] x (k ) + ω (D ω L) b. Algortmo teratvo Successve Over-Relaxaton (SOR). ================================================== Para resolver el sstema lneal A x = b dados el parámetro ω y una aproxmacón ncal x (0). Entrada: número de ncógntas y de ecuacones n; las componentes de la matrz A = (a ) donde, n; las componentes b, con n, del térmno no homogéneo b; las componentes XO, con n, de la aproxmacón ncal XO = x (0) ; el parámetro ω; la toleranca TOL; el número máxmo de teracones N 0. Salda: solucón aproxmada x, x 2,..., x n ó mensae de que el número de teracones fue exceddo. 244

17 Paso : Tomar k =. Paso 2: Mentras que k N 0 segur los pasos 3 6. Paso 3: Para =, 2,..., n tomar x = ( ω) XO + ω [ (a x ) a =+ (a XO ) + b ]. Paso 4: S x XO < T OL entonces SALIDA (x, x 2,..., x n ); (procedmento completado satsfactoramente) PARAR. Paso 5: Tomar k = k +. Paso 6: Para =, 2,..., n tomar XO = x. Paso 7: SALIDA (número máxmo de teracones exceddo); (procedmento completado sn éxto) PARAR. ================================================== Eemplo 5. El sstema lneal A x = b dado por E : 4 x + 3 x 2 = 24, E 2 : 3 x + 4 x 2 x 3 = 30, E 3 : x x 3 = 24, tene por solucón x = (3, 4, 5) t. Se usarán los métodos de Gauss-Sedel y el SOR con ω =.25 para resolver este sstema usando x (0) = (,, ) t para ambos métodos. Las ecuacones para el método de Gauss-Sedel son = 0.75 x (k ) 2 + 6, 2 = x (k ) , 3 = , para cada k =, 2,..., y las ecuacones para el método SOR con ω =.25 son = 0.25 x (k ) x (k ) , 2 = x (k ) x (k ) , 3 = x (k ) Las prmeras sete teracones de cada método se muestran en las tablas 4 y 5. Para obtener una precsón de sete lugares decmales el método de Gauss-Sedel requere de 34 teracones en contra de las 4 que se necestan en el método de sobrerelaacón con ω =.25. Tabla 4 k

18 Tabla 5 k Un problema que se presenta al usar el método SOR, es cómo escoger el valor apropado de ω. Aún cuando no se conoce una respuesta completa a esta pregunta para un sstema lneal general n n, los sguentes resultados pueden usarse en certas stuacones. Teorema XVII.6 (Kahan) S a 0 para cada =, 2,..., n, entonces ρ(t ω ) ω. Esto mplca que ρ(t ω ) < sólo s 0 < ω < 2, donde T ω = (D ω L) [( ω) D + ω U] es la matrz de teracón del método SOR. Teorema XVII.7 (Ostrowsk-Rech) S A es una matrz postva defnda y 0 < ω < 2, entonces el método SOR converge para cualquer eleccón de la aproxmacón ncal x (0) del vector solucón. Teorema XVII.8 S A es una matrz postva defnda y trdagonal, entonces ρ(t GS ) = [ρ(t J )] 2 <, la eleccón óptma de ω para el método SOR es ω = 2 +, (XV II.22) [ρ(t J )] 2 y con este valor de ω, ρ(t ω ) = ω. Eemplo 6. En el eemplo 5 la matrz A estaba dada por A = Esta matrz es postva defnda y trdagonal, así que se aplca el Teorema XVII.8. Como T J = D (L + U) = = / / = 0 0 /4 0 0 = ,

19 tenemos que con lo que Por lo tanto, λ T J λi = 0.75 λ 0.25, λ det(t J λi) = λ(λ ). ρ(t J ) = y la ecuacón (XV II.22) nos da ω = 2 + ρ(t GS ) = 2 + [ρ(t J )] = Esto explca la rápda convergenca obtenda usando ω =.25 en el eemplo ELECCION DEL METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES Cuando el sstema lneal es lo sufcentemente pequeño para que sea fáclmente acomodado en la memora prncpal de un ordenador, es en general más efcaz usar una técnca drecta que mnmce el efecto del error de redondeo. Específcamente, es adecuado el algortmo de elmnacón Gaussana con pvoteo escalado de columna. Los sstemas lneales grandes cuyos coefcentes son entradas báscamente de ceros y que aparecen en patrones regulares se pueden resolver generalmente de una manera efcente usando un procedmento teratvo como el dscutdo en este capítulo. Los sstemas de este tpo aparecen naturalmente, por eemplo, cuando se usan técncas de dferencas fntas para resolver problemas de valor en la frontera, una aplcacón común en la solucón numérca de ecuacones dferencales parcales. 247

20 EJERCICIOS.. Encontrar las dos prmeras teracones del método de Jacob, del método de Gauss-Sedel y del método SOR para los sguentes sstemas lneales, usando x (0) = 0. a) 2 x x 2 + x 3 =, 3 x + 3 x x 3 = 0, 3 x + 3 x x 3 = 4. b) 2 x x 3 = 0, x x 2 x 3 = 0.375, x x x 3 = 0. c) 0 x x 2 = 9, x + 0 x 2 2 x 3 = 7, 2 x x 3 = 6. d) 2 x = 3, x +.5 x 2 = 4.5, 3 x x 3 = 6.6, 2 x 2 x 2 + x 3 + x 4 = 0.8. e) 2 x x x 3 =, 3 x 2 x x 4 =, 0 x x x 3 = 6, x + x 2 x x 4 = 25. f) 0 x x x 3 = 6, x + x 2 x x 4 = 25, 2 x x x 3 =, 3 x 2 x x 4 =. g) 4 x 2 x 2 = 0, 2 x + 5 x 2 x 3 = 2, x x x 4 = 3, 2 x x 4 = Aplcar, s es posble, los algortmos teratvos de Jacob, de Gauss-Sedel y el algortmo SOR, con ω =.2, para resolver los sstemas lneales del eercco. Usar T OL = 0 2 y el número máxmo de teracones N =