COLEGIO INGLÉS MEDIDAS DE DISPERSIÓN

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1 COLEGIO IGLÉS DEPARTAMETO IVEL: CUARTO MEDIO PSU. UIDAD: ESTADISTICA 3 PROFESOR: ATALIA MORALES A. ROLADO SAEZ M. MIGUEL GUTIÉRREZ S. JAVIER FRIGERIO B. MEDIDAS DE DISPERSIÓ Las meddas de dspersón dan una dea de cuanto se alejan los datos respecto de las meddas de tendenca central. Rango( R ): El rango se suele defnr como la dferenca entre los dos valores extremos que toma la varable. Es la medda de dspersón más senclla y tambén, por tanto, la que proporcona menos nformacón. Además, esta nformacón puede ser errónea, pues el hecho de que no nfluyan más de dos valores del total de la sere puede provocar una deformacón de la realdad. Ejemplo: Dados los sguentes datos Cuál es el rango? Solucón: R = Valor máxmo Valor mínmo = 10 = 8 Desvacón Meda (DM): En teoría, la desvacón puede referrse a cada una de las meddas de tendenca central: meda, medana o moda; pero el nterés se suele centrar en la medda de la desvacón con respecto a la meda, que llamaremos desvacón meda. Desvacón Meda Para datos sn tabular Para datos tabulados(ntervalo) Formula D. M x x D. M f x x donde X = Varable = Total de datos x = Meda X = Varable = Total de datos f = Frecuenca del ntervalo x = Meda 1

2 Ejemplo 1: Dados los sguentes datos Cuál es la desvacón meda? Para ello debemos encontrar prmero el valor de la meda artmétca: Luego debemos aplcar la formula: x x Por lo tanto: 10 5, 5, 55, 35, 4 5, 6 5 y la suma de estos valores se dvden por el total: 6 Ejemplo : La sguente tabla representa las edades de un grupo de personas: Su desvacón meda es? Edad Frecuenca absoluta 10, , 6,8 4 Prmero debemos obtener la marca de clase, es decr: Edad Frecuenca Marca absoluta clase 10, , 6 19, Ahora obtenemos la meda artmétca : X 18, 6 y ahora aplcamos la formula 15 para datos tabulados de la desvacón meda: f x x 5 (13 18,6) 6 (19 18,6) 4 (5 18,6) 8,4 5,6 D. M 3,

3 Desvacón Típca (estándar)( ): Es sn duda la medda de dspersón más mportante, ya que además srve como medda preva al cálculo de otros valores estadístcos. La desvacón típca se defne como la raíz cuadrada de la meda de los cuadrados de las desvacones con respecto a la meda de la dstrbucón. Es decr, ndca la dspersón de los datos de una muestra o poblacón con respecto a su valor central. Mentras menor sea su valor, mas homogénea es la muestra. Desvacón Estándar o típca Para datos sn tabular Para datos tabulados(ntervalo) Formula ( x x) f ( x x) donde X = Varable = Total de datos x = Meda = Sumatora X = Varable = Total de datos f = Frecuenca del ntervalo x = Meda = Sumatora. Ejemplo 1: Hallar la desvacón típca de la sere: 5, 8, 10, 1, 16. Solucón: Prmero tabulamos los datos para hacerlo en forma más smple x x x x x 5 5, 7,04 8, 4, , 0,04 1 1,8 3,4 16 5,8 33,64 Luego hallamos x = 10, y fnalmente S 13,76 3, 71 3

4 Ejemplo : La sguente tabla representa las edades de un grupo de personas: Hallar la desvacón estándar: Edad Frecuenca absoluta 10, , 6,8 4 Solucón: Prmero completamos la tabla con los datos que requere la formula: Como ya calculamos en el ejemplo de desvacón meda, la meda artmétca es 18,6. Luego tenemos entonces: Edad Frecuenca Marca de x x absoluta clase , , ,96 f ( x x) 13 31, , , ,648 9, Varanza ( ): Mde la dstanca exstente entre los valores de la sere y la meda artmétca. La varanza sempre será mayor que cero, mentras mas se aproxma a cero, más concentrados están los datos alrededor de la meda artmétca, mentras mayor sea la varanza más dspersos están los datos. Varanza Formula donde Para datos sn tabular ( x x ) X = Varable = Total de datos x = Meda = Sumatora Para datos tabulados(ntervalo) f ( x x) X = Varable = Total de datos f = Frecuenca del ntervalo x = Meda = Sumatora Ejemplo: Respecto del ejemplo anteror, la varanza sería 95, 648 4

5 PROPIEDADES DE LA DESVIACIO ESTADAR Y LA VARIAZA Ambas meddas son sempre un número no negatvo. S cada dato se aumenta o dsmnuye en una constante(k), la desvacón estándar y la varanza orgnales no camban. S cada dato de un conjunto de datos se multplca por una constante(k), entonces las nuevas y, son: k y k respectvamente. Ejerccos, para aprender las propedades: 1. La desvacón estándar es un número real postvo o cero.. La dferenca entre un dato y el promedo de la muestra puede ser negatva. 3. El rango es una medda de dspersón. 4. S la varanza es gual a la desvacón estándar, entonces son solo ambas guales a Al sumar a todos los valores de una varable un valor constante, la varanza no camba. 6. La varanza es la raíz cuadrada de la desvacón estándar. 7. El rango puede ser negatvo. 8. La desvacón estándar es un ndcador de cuanto tenden a alejarse los datos del Promedo. 9. El rango es menor que la varanza. 10. S todos los datos de una varable son guales a 1, entonces el rango correspondente a la varable es 1. Solucones: 1.V.V 3.V 4.F 5. V 6.F 7.F 8.V 9.F 10.F COEFICIETE DE VARIACIO (C.V): Corresponde a la razón exstente entre la desvacón estándar y la meda y se calcula como: C. V x Esta comparacón no tene undad de medda, se puede escrbr en porcentaje lo que representa el grado de varabldad de la desvacón estándar. 5

6 1. De acuerdo a la sguente tabla, Cuál(es) de las sguentes proposcones es(son) verdadera(s) I) A+B = 3 II) La desvacón estándar es III) La varanza es. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III x x x 4 B A 8 4. Al analzar los puntajes de los 4 controles realzados por Francsco y José, se obtuveron los sguentes resultados: Francsco José Promedo Desvacón estándar 54,47 168,74 De acuerdo con esta nformacón, Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) sempre verdadera(s)? I) Francsco tene puntajes más cercano a su promedo. II) Ambos han obtendo los msmo puntajes en los controles III) Exste un error en el cálculo de las desvacones estándar de José o Francsco, porque ambos tenen el msmo promedo A)Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III 3. Con respecto a la tabla de frecuencas, Cuál(es) de las sguentes proposcones es(son) verdadera(s) I) El promedo es 6 II) El total de datos es 5 III) La desvacón estándar es 6, 4 A)Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III Edad en años de nños

7 4. En una muestra de 10 datos se obtene una desvacón estándar gual a 1,5. S a cada elemento de la muestra se agregan 10 undades, entonces la nueva desvacón estándar y la nueva varanza son respectvamente: A) 1,5 y,5 B) 1,5 y 1, C) 1,5 y,5 D) 11,5 y 1,5 E).A 5. S se tenen cuatro números X, Y, Z, W cuya varanza es P, entonces la varanza de KX, KY, KZ, KW, con K numero natural es: A) KP B) K P C) K P D) KP E).A 6. La desvacón meda entre los números: 10, 15, 1, 8, 5 es: A. 1 B.,8 C. 3,3 D. 9, E El rango de los sguentes puntajes: 1, 15, 3, 18, 3, 48, 9 es: A. 0 B. 3 C. 4 D. 39 E..A 8. El rango en el conjunto de datos: , es: A.1 B.0 C.1 D. E.3 9. S se tene un conjunto de 4 números enteros cuya desvacón estándar es p. S a cada valor se agregan 3 undades. Entonces, la nueva desvacón estándar es? A. p+3 B. 4p C. p D. p+1 E. 1p 7

8 10. En una famla las edades de sus hjos son: 3, 4, 7, 9 y 1 años. Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s)? I) S todos aumentan un año, entonces la meda sera 5 undades mayor II) La muestra es amodal III) La desvacón estándar es 10, 8 I B. Solo III C. Solo I y II D. Solo I y III E. Solo II y III 11. Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s)? I) La varanza puede ser gual a la desvacón estándar II) S sumamos a todos los valores de la varable una constante, la varanza no camba III) La varanza es la raíz cuadrada de la desvacón estándar B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. I, II y III 1. Sea una desvacón estándar w, tal que 0 < w < 1, Cuál (es) de las sguentes afrmacones son sempre verdadera(s)? I) La varanza es mayor que la desvacón estándar II) La meda artmétca es cero III) La medana es cero B. Solo II C. Solo II y III D. I, II y III E.. A 13. Las temperaturas mínmas regstradas durante la últma semana en certa cudad son: -5,, 0, -3, -, 1, y 0 C, entonces el rango de estos valores es? A. 7 B. 6 C. 5 D. -5 E. -7 8

9 14. Los cursos P y Q en el últmo control obtuveron el promedo y desvacón estándar ndcadas en la tabla. Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s)? I) El curso Q es más homogéneo II) El curso P tene mayor varanza III) El curso Q presenta mayor varacón en los puntajes B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. Solo II y III Curso Promedo D. Estándar P 4,6 1 Q 5,3 0,8 15. S todos los datos de una muestra se multplcan por 4, cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s)? I) El promedo se cuadruplca II) La desvacón típca se cuadruplca III) La varanza se duplca B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. I, II y III 16. En una muestra de 10 datos se obtene una desvacón estándar gual a 1,5. S cada elemento de la muestra se multplca por, entonces la nueva desvacón estándar y la nueva varanza son, respectvamente: Desv Est Varanza A. 9 3 B. 3,5 C. 1,5 9 D. 3 9 E. 3 4,5 17. Una prueba consta de 40 preguntas y fue respondda por 70 alumnos obtenéndose un promedo de 30 respuestas correctas con varanza gual a 9. S el puntaje de esta prueba se calcula medante la formula: Puntaje = 4 número de repuestas correctas + 64 Cuál es la desvacón estándar para el puntaje? A. 6 B. 10 C. 1 D. 36 E

10 18. Se puede determnar el valor de la desvacón estándar de una muestra, s se sabe que: (1) La muestra no tene moda () Todos los datos tenen la msma frecuenca A. (1) por s sola B. () por s sola C. Ambas juntas, (1) y () D. Cada una por s sola, (1) o () E. Se requere nformacón adconal 19. De acuerdo a los 100 datos de la tabla adjunta, cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s) (Demre 014) I) El prmer cuartl se ubca en el ntervalo: 45, 50 II) El ntervalo donde se ubca el percentl 50 concde con el ntervalo modal III) La cantdad de datos que se encuentra en el cuarto ntervalo corresponde a un 10% del total de datos. A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Intervalo Frecuenca 40, , , , , , Cuál(es) de las sguentes afrmacones es (son) verdadera (s) con respecto a los datos presentados en la tabla adjunta?(demre 015) I) El ntervalo modal de las estatura de los hombres y el de las estaturas de Las mujeres es el msmo II) La medana de las estaturas de las mujeres está en el ntervalo : 1,56 1,60. III) El promedo y la medana de las estaturas de los hombres se encuentra en el msmo ntervalo. ESTATURA (en metros) Género 1,51 1,55 1,56 1,60 1,61 1,65 1,66 1,70 Hombre Mujeres A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 10

11 1. S el promedo de dos números es 5 y su desvacón estándar es 1, entonces, Cuáles son los números? A. 3 y 7 B. 4 y 6 C. 5 y 5 D. 1 y 9 E. y 8. Cuál de las sguentes afrmacones es verdadera? A. El rango es el mayor de los datos del conjunto B. La desvacón estándar es gual al cuadrado de la varanza C. S la desvacón estándar es gual a cero, entonces sgnfca que la meda de los datos es cero D. S todos los datos de un conjunto son guales, entonces el rango y la varanza tenen el msmo valor E. La varanza y la desvacón estándar sempre son guales. 3. Cuál es la desvacón estándar de los datos 10, 11, 14, 8 y 1? A. 0 B. C. 4 D. 11 E En la sguente tabla se regstró la cantdad de años de trabajo de un grupo de personas en una empresa. cuál es la desvacón meda de los datos? A. 3,07 B. 7, C. 0 D. 6,8 E. 153,6 Años F.absoluta 0, 4 9 4, 8 5 8,1 10 1, ,0 5. En la sguente tabla se muestran los metros alcanzados por un grupo de competdores en el lanzamento de la bala. Cuál es el valor aproxmado, en metros, de la varanza? A. 0,7 B. 1,6 C. 9,1 D. 10,8 E. 17,6 Metros f 7, 8 8, 9 5 9, , ,1 1 11

12 6. Los Promedos correspondentes al prmer semestre obtendos por los estudantes del 4 A y el 4 B son los sguentes: 4 A 5,3 6,1 5, 5,6 6,0 5,8 5, 5,7 6,1 4,3 5,4 4,8 5,7 6,0 5,0 6,3 5,9 5,6 6,0 5,5 4,8 6, 6,6 5,3 5,5 4,5 4 B 4, 5, 5,6 4,3 5,7 5,5 5,9 4,5 4,7 6,3 6,0 5,6 6,5 5,6 4,8 6, 5,9 5,3 5,9 5,1 6,6 5,8 4,6 6,0 Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s)? I) La meda de los promedos del 4 A es mayor que la del 4 B II) El rango de los promedos del 4 B es,4 III) La moda de los promedos en ambos cursos es la msma B. Solo III C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III 7. Constanza extrae al azar cnco cartas en un juego en que cada una esta enumerada y obtene los sguentes puntajes: 1, 5, 7, 8 y 9. Cual es la desvacón estándar, en puntos, de los puntajes obtendos? A. B. C. 4 D. 8 E El coefcente de varacón del ejercco anteror es: A. B. 3 C. D. 3 E..A 1

13 9. Cuál de las sguentes proposcones es verdadera? A. Una desvacón estándar gual a cero sgnfca que la meda artmétca de los datos es cero B. La medana de un conjunto de datos no puede tener el msmo valor que el mayor de los datos C. S todos los datos de un conjunto son guales, entonces el rango y la desvacón estándar tenen el msmo valor D. En cualquer dstrbucón el promedo de las dferencas de los datos respecto de la medana es cero E. S los datos de un conjunto son: c, c-a, c +a, entonces su desvacón es 30. Son parámetros de dspersón: A. La meda, el rango y la varanza B. La meda, la moda y la medana C. La desvacón estándar, la varanza y el rango D. La desvacón típca, la medana y la varanza E. La desvacón meda, la medana y la meda. 31. Los sguentes datos tenen la msma meda. Cuál tene mayor dspersón? A B C D E. S tenen la msma meda tenen la msma dspersón 3. Los puntajes de Sandra en una competenca son: 4, 9, 5, 4 y 8. S su meda es 6, entonces su desvacón estándar(típca) es, aproxmadamente, gual a: A. 1,30 B. 1,40 C.,10 D. 3,80 E. 3, S un grupo A tene meda 18,5 y su desvacón estándar 1,7, y otro B tene meda 5,5 y desvacón típca,1, entonces es correcto afrmar que: A. El grupo B presenta mayor varabldad en los datos B. El grupo A presenta mayor varabldad en los datos C. Al tener medas dstntas, la desvacón típca no es sufcente para comparar la varabldad de los dos grupos D. Los grupos tene la msma varabldad E..A 34. S a todos los datos de un conjunto se les suma, entonces su desvacón estándar : A. Se mantene constante B. Aumenta en C. Aumenta o dsmnuye según lo que le ocurra al rango D. Dsmnuye E. o se puede determnar sn conocer la desvacón típca orgnal. a 13

14 35. Las edades de los ntegrantes de un Centro de Alumnos son: 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años. Según esto Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) verdadera(s)? I) El rango es años II) El promedo es 15 años III) La desvacón estándar es B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. Solo II y III Según los valores de la tabla: 1 4 Cuál es la desvacón estándar? A B C D E La varanza de tres números enteros postvos : p, q y r es. S cada uno de estos números se multplca por 3, cuál(es) de las sguentes proposcones es(son) verdadera(s)? I) La nueva varanza es 9 II) La nueva desvacón estándar es 3 III) La meda de p, q y r queda multplcada por 3 B. Solo III C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III 14

15 38. S todos los números de una poblacón son guales, y además: : desvacón estándar, : varanza, x :meda Med : medana Cuál(es) de las sguentes afrmacones es(son) sempre verdadera(s)? I) II) x Med III) x B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III 39. Cuál de las sguentes afrmacones es FALSA? A. Al sumar a cada térmno de una muestra un msmo valor, la varanza se mantene B. S a cada térmno de una muestra se le suma 3, el rango aumenta 6 undades C. S a una muestra se agregan 3 térmnos que son guales a la meda de la muestra, la desvacón estándar vara D. S cada térmno de una muestra se dvde por, entonces la medana se reducrá a la mtad E. S una muestra tene sus datos guales, entonces la desvacón estándar es cero. 40. Para cuál (es) de los sguentes casos sempre se verfca que la desvacón estándar de la muestra es gual a cero? I) La muestra tene dos datos numércos II) La muestra tene solo un dato numérco III) La muestra tene 10 datos numércos exactamente guales B. Solo II C. Solo III D. Solo II y III E. I, II y III SOLUCIOES 1.D.A 3.E 4.C 5.C 6.B 7.D 8.E 9.C 10.E 11.D 1.E 13.A 14.C 15.C 16.D 17.C 18.E 19.E 0.E 1.B.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.C 30.C 31.B 3.C 33. B 34.A 35.D 36.A 37.C 38.C 39.B 40.D 15