Prueba de Inferencia Estadística y Contraste de Hipótesis. 8 de octubre de 2012 GRUPO A

Transcripción

1 Prueba de Inferenca Estadístca y Contraste de Hpótess 8 de octubre de 01 GRUPO A 1.- Se ha observado un ángulo cnco veces, obtenéndose los sguentes valores: Se pde: 65º5 ; 65º33 ; 65º3 ; 65º8 ; 65º7 a) Intervalo de confanza del 95% para la meda del ángulo observado. b) Cuál será el número de observacones necesara para que el error sea nferor a 1 mnuto con un nvel de sgnfcacón de 0,05? c) Intervalo de confanza del 99% para la varanza obtenda. d) S la varable medda del ángulo es normal aceptamos una desvacón típca de nferor a mnutos a un nvel de sgnfcacón 0.01? Escrbr la regón crítca. (6 puntos) - Un jugador afrma que los dos dados que utlza no están trucados. Para comprobar esta afrmacón, se lanzan los dos dados 360 veces y se anota la suma de los resultados. Dchas sumas se muestran en la sguente tabla, junto con su probabldad correspondente (para facltar la comparacón). Suma FRECUENCIA PROBABILIDAD OBSERVADA 11 1/ / / / / / / / / / /36 Para poder decdr s los dados están trucados o no, realzar un contraste Deberíamos jugar con estos dados? (3 puntos) Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 1

2 Prueba de Inferenca Estadístca y Contraste de Hpótess 8 de octubre de 01 GRUPO B 1.- Al calcular cnco veces la dstanca entre dos puntos, obtenemos los sguentes valores: Se pde: 170,13m; 170,1m; 170,m; 170,65m; 170,4 a) Intervalo de confanza del 80% para la meda. b) Cuál será el número de observacones necesara para que el error sea nferor a 0,1 m con un nvel de sgnfcacón de 0,? c) Intervalo de confanza del 90% para la varanza obtenda. d) S la varable medda de la dstanca es normal aceptamos una desvacón típca nferor a 0,1 m con un nvel de sgnfcacón 0,1? Escrbr la regón crítca. (6 puntos).- Durante 50 días se ha observado la varable número daro de cancelacones de cuentas en una sucursal bancara anotándose la sguente tabla de frecuencas: Nº cancelacones Frecuencas observadas n Sumas 50 Contrastar el hecho de que la dstrbucón es de Posson de parámetro λ=1. (3 puntos) Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

3 Prueba de Inferenca Estadístca y Contraste de Hpótess Solucones 1.- Se ha observado un ángulo cnco veces, obtenéndose los sguentes valores: Se pde: 65º5 ; 65º33 ; 65º3 ; 65º8 ; 65º7 a) Intervalo de confanza del 95% para la meda del ángulo observado. b) Cuál será el número de observacones necesara para que el error sea nferor a 1 mnuto con un nvel de sgnfcacón de 0,05? c) Intervalo de confanza del 99% para la varanza obtenda. d) S la varable medda del ángulo es normal aceptamos una desvacón típca de nferor a mnutos a un nvel de sgnfcacón 0.01? Escrbr la regón crítca. Solucón: a) Datos: n 5;X 65º 9' ; S 11,5 S 3, ; 0,05 Tenemos una muestra de tamaño pequeñoy varanza desconocda: S S I Xt /,Xt/ n n y en la dstrbucón de Student Buscaremos un valor / b) P t t t 1t, t tal que / n1 / 0,05 3, , I º 9', , 65º 9', º4.79', 65º 33.1' / / S S 11,5 t n t,77 88, n 1 Son necesaras 89 observacones c) (n 1).S (n 1).S P 1 k k1 Buscaremos los valores de k 1 y k tales que: k 1 =0, y k = 14, P 4 k , obtenemos P k Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3

4 Prueba de Inferenca Estadístca y Contraste de Hpótess 411,5 411,5 14, , P 0,99 3,10,3 d) H 0 :. H 1 : S 11,5 Sabemos que n1 n1 (51) 11,5 P n1 para n-1=4 y 0,010,01 13,8. La regón crítca es (13.8, ). Por tanto 11,5<13,8 se acepta la hpótess nula, la desvacón típca es nferor a - Un jugador afrma que los dos dados que utlza no están trucados. Para comprobar esta afrmacón, se lanzan los dos dados 360 veces y se anota la suma de los resultados. Dchas sumas se muestran en la sguente tabla, junto con su probabldad correspondente (para facltar la comparacón). Suma FRECUENCIA PROBABILIDAD OBSERVADA 11 1/ / / / / / / / / / /36 Para poder decdr s los dados están trucados o no, realzar un contraste con un nvel de sgnfcacón Deberíamos jugar con estos dados? SOLUCIÓN: SUMA n P np n -np (n -np ) (n -np ) /np 11 1/ / / / / / / / / / / / / Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4

5 Prueba de Inferenca Estadístca y Contraste de Hpótess 11 n np D.01. Cuando la dstrbucón está determnada no hay parámetros que 1 np estmar y por tanto utlzamos ; sendo p valor P(.01) y por tanto próxmo a 1 y se acepta la hpótess nula los dados no están trucados. Podemos jugar con estos dados. 10 Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 5

6 Prueba de Inferenca Estadístca y Contraste de Hpótess 8 de octubre de 01 GRUPO B 1.- Al calcular cnco veces la dstanca entre dos puntos, obtenemos los sguentes valores: Se pde: 170,13m; 170,1m; 170,m; 170,65m; 170,4m a) Intervalo de confanza del 80% para la meda. b) Cuál será el número de medcones necesara para que el error sea nferor a 0,1 m con un nvel de sgnfcacón de 0,? c) Intervalo de confanza del 90% para la varanza obtenda. d) S la varable medda de la dstanca es normal aceptamos una desvacón típca nferor a 0,1 m con un nvel de sgnfcacón 0,1? Escrbr la regón crítca. Solucón: a) Datos: n 5;X 170,3; S 0,05095 S 0,57107; 0, Tenemos una muestra de tamaño pequeñoy varanza desconocda: S S I Xt /,Xt/ n n y en la dstrbucón de Student Buscaremos un valor / b) P t t t 1t 1, t tal que / n1 / 0, 0, , I0, 170,3 1,533067,170,3 1, , / / S S 0,05095 t n t 1,53 11, n 0,1 Son necesaras 1 medcones c) (n 1).S (n 1).S P 1 k k1 Buscaremos los valores de k 1 y k tales que: 4 P 4 k1 0.05, obtenemos P k 0.95 Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 6

7 Prueba de Inferenca Estadístca y Contraste de Hpótess k 1 = 0, y k = 9, , , , , P 0,9 0,015 0,87 d) H 0 : 0,01. H 1 : 0,01 S 0,05095 Sabemos que n 1 n1 (5 1) 0,38 0,1 P n1 para n-1=4 y 0,10,1 7, La regón crítca es ( , ). Por tanto 7.8<0,38 se rechaza la hpótess nula, la desvacón típca no es nferor a 0,1.- Durante 50 días se ha observado la varable número daro de cancelacones de cuentas en una sucursal bancara anotándose la sguente tabla de frecuencas: Nº Frecuencas cancelac observadas n ones Sumas 50 Contrastar el hecho de que la dstrbucón es de Posson de parámetro λ=1. Solucón: En el caso de la dstrbucón de Posson la meda concde con la varanza que es el valor del parámetro de la dstrbucón. Para esta muestra utlzaremos 1 y calculamos las probabldades tenendo en cuenta las frecuencas esperadas np 5. Nº Frecuencas Frecuencas Frecuencas n np cancelac observadas n p esperadas esperadas con np ones np np , , , , , , , , , , ,106 0, , , Sumas , Utlzando el contraste de la bondad de ajuste de la dstrbucón kh1 de Pearson con k-h-1 = = 1 grados de lbertad y observando el valor del estadístco 3 n np D 1, Buscamos el p-valor P 1 D P 1 1, ,175 1 np Para cualquer nvel de sgnfcacón 0, 175=p se acepta la hpótess y consderamos que la dstrbucón es de Posson. Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 7