1. Variable aleatoria. Clasificación

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1 Tema 7: Varable Aleatora Undmensonal 1. Varable aleatora. Clasfcacón. Caracterzacón de una varable aleatora. Varable Aleatora dscreta. Varable Aleatora contnua 3. Característcas de una varable aleatora. El operador de esperanza matemátca. Varanza de la varable aleatora 4. La varable aleatora tpfcada 5. El teorema de Tchebycheff Tema 7 1

2 7.1. Varable Aleatora. Clasfcacón Varable aleatora: Transformacón que permte pasar de trabajar con un expermento a trabajar con números reales Cómo? Ponendo etquetas a los dstntos sucesos elementales bajo los que se matera un fenómeno estadístco Ejemplo: Expermento: lanzamento de monedas W = cc, c+, + c, ++ P = { } { 1, 1, 1, 1 } Varable Aleatora: Nº de caras al lanzar monedas R P = = 0, 1, { } { 1,, 1 } Clasfcacón: Dscreta Var. Aleat. Contnua Tema 7

3 Tema 7: Varable Aleatora Undmensonal 1. Varable aleatora. Clasfcacón. Caracterzacón n de una varable aleatora. Varable Aleatora dscreta. Varable Aleatora contnua 3. Característcas de una varable aleatora. El operador de esperanza matemátca. Varanza de la varable aleatora 4. La varable aleatora tpfcada 5. El teorema de Tchebycheff Tema 7 3

4 7.. Caracterzacón de una varable aleatora VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Funcón de cuantía: Conjunto formado por los valores posbles de la V.A. y las probabldades asocadas a cada uno de ellos 0 ; s x x x R f(x)= P ( X = x ) ; s x = x Se cumple que: a) f ( x) 0 b) f ( x ) = 1 Tema 7 4

5 Funcón de dstrbucón: Proporcona la probabldad acumulada de los valores de la V.A. nferores o guales al consderado R x ~ F x = P X x = P X = x r = f x r= 1 Propedades: ( ) ( ) ( ) ( ) 1) lm F(x) = 0 x ) lm F(x) = 1 x 3) F(x) es una funcón crecente 4) S x1< x, entonces F(x 1) < F(x ) 5) S a< b, entonces P(a< X b) = F(b)-F(a) 6) P(X > x ) = 1 F(x ) Tema 7 5

6 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Funcón de densdad: Una funcón de probabldad de tpo contnuo vene caracterzada por una funcón f(x), defnda sobre los números reales, denomnada funcón de densdad, tal que: 1) f x 0 x W ( ) ) f x = 1 ( ) Tema 7 6

7 Funcón de dstrbucón: Proporcona la probabldad acumulada de los valores de la V.A. nferores o guales al consderado Propedades: x ~ ( ) x R F(x)= P X x = f ( x) 1) lm F(X) = 0 x ) lm F(X) = 1 x 3) F(X) es crecente 4) S x < x, entonces F(x ) < F(x ) 1 1 Tema 7 7

8 5) S a< b, entonces P(a< X b) = F(b)-F(a) = f( x) 6) P(X < x ) = P(X x ) = F(x ) = f ( x) Relacón entre la funcón de dstrbucón y la de densdad (en V.A. contnuas): F x = f x dx; x R ( ) ( ) d f x = F x dx ( ) ( ) x x b a Tema 7 8

9 Tema 7: Varable Aleatora Undmensonal 1. Varable aleatora. Clasfcacón. Caracterzacón de una varable aleatora. Varable Aleatora dscreta. Varable Aleatora contnua 3. Característcas de una varable aleatora. El operador de esperanza matemátca. Varanza de la varable aleatora 4. La varable aleatora tpfcada 5. El teorema de Tchebycheff Tema 7 9

10 7.3. Característcas de una Varable Aleatora EL OPERADOR ESPERANZA MATEMÁTICA: Es el valor de la dstrbucón que corresponde con su centro de gravedad. Centro de gravedad = meda = valor medo = valor esperado = esperanza matemátca = esperanza Sean X -varable aleatora-; g(x) -funcón de X- y E[g(X)] -esperanza matemátca de g(x)-, la esperanza se calcula: V.A. Dscreta V.A. Contnua E g x = g x P x ( ) ( ) ( ) E g( x) = g( x) f ( x) dx Tema 7 10

11 Propedades del operador Esperanza Matemátca: E g x h x E g x E h x E[ K] ( ) + ( ) = ( ) + [ ( )] = K E K + g( x) = K + E g( x) E K g( x) = K E g( x) E g x g y E g x E g y ( ) + ( ) = ( ) + [ ( )] E g x g y E g x E g y ( ) ( ) = ( ) [ ( )] Tema 7 11

12 EL OPERADOR VARIANZA: Es una medda que nos ndca el grado con que la dstrbucón de probabldad se agrupa en torno a una medda de poscón central (normalmente la esperanza). varanza = desvacón = dspersón = grado de homogenedad Sean X -varable aleatora-; g(x) -funcón de X- y σ[g(x)] - varanza de g(x)-, la varanza se calcula: V.A. Dscreta V.A. Contnua ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) σ g x = g x E g x P g x ( ) ( ( )) σ g ( x) = g ( x) E g ( x) f g x dx Tema 7 1

13 Propedades del operador Varanza: σ [ K X] = K σ x [ K ] σ = 0 [ X Y] σ + = σ + σ x y [ X Y] σ = σ + σ x y Tema 7 13

14 ESTUDIO DE UN CASO ESPECÍFICO: g( x) = X V.A. Dscreta: Meda V.A. Contnua: Meda [ ] ( ) µ = E X = x f x dx Varanza ( ) ( ) σ x E() x f x dx x f() x dx µ = = [ ] ( ) µ = E X = x P x = x E( x) P x = x P x σ µ Varanza ( ) ( ) ( ) - Tema 7 14

15 Tema 7: Varable Aleatora Undmensonal 1. Varable aleatora. Clasfcacón. Caracterzacón de una varable aleatora. Varable Aleatora dscreta. Varable Aleatora contnua 3. Característcas de una varable aleatora. El operador de esperanza matemátca. Varanza de la varable aleatora 4. La varable aleatora tpfcada 5. El teorema de Tchebycheff Tema 7 15

16 7.4. Varable Aleatora Tpfcada Sea X una varable aleatora con meda y desvacón típca σ. Llamamos varable aleatora tpfcada de X a la varable Z: Z = X Hacendo esta transformacón se puede demostrar que la meda de Z es cero y que su varanza es uno. σ µ EZ ( ) = µ z = 0 σ = 1 z µ Tema 7 16

17 Tema 7: Varable Aleatora Undmensonal 1. Varable aleatora. Clasfcacón. Caracterzacón de una varable aleatora. Varable Aleatora dscreta. Varable Aleatora contnua 3. Característcas de una varable aleatora. El operador de esperanza matemátca. Varanza de la varable aleatora 4. La varable aleatora tpfcada 5. El teorema de Tchebycheff Tema 7 17

18 7.5. El Teorema de Tchebycheff Se usa para calcular probabldades máxmas o mínmas cuando sólo conocemos la meda y la varanza de la varable aleatora 1 P( x µ tσ) t > 0 t ( ) σ P x µ K K > 0 K Tema 7 18