Tema 10: Variables aleatorias

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1 Análss de Dtos I Esquem del Tem Tem : Vrbles letors. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS FUNCIÓN DE PROBABILIDAD, f(x ) FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x ) CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES DISCRETAS UNA VARIABLE: Vlor Esperdo de, E() Vrnz de, σ () DOS VARIABLES: Funcón de probbldd conjunt, f (x, y j ) Covrnz y correlcón de e Y, σ (Y) y ρ (Y) INDEPENDENCIA. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, f(x ) FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x ) CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES CONTINUAS Vlor Esperdo de Vrnz de Covrnz y correlcón de e Y Bblogrfí: Tem (pág ) Ejerccos recomenddos:, 4, 5, 6, 7, y. Crmen ménez

2 Análss de Dtos I Esquem del Tem. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Un vrble letor es un funcón que soc un número rel y sólo uno, cd suceso elementl del espco muestrl (E ) de un expermento letoro. Se representn mednte letrs myúsculs y pueden tomr N posbles vlores: = { x, x,..., x,..., x N } Ejemplo : Expermento letoro: Lnzr un moned l re dos veces Sucesos elementles: E = {CC, C, C, }. Donde: C (Cr) y (Cruz) Se defne el suceso : Nº de crs Asgncón de números reles: (CC, ); (C, ); (C, ); (, ) L vrble vene defnd por los vlores:,, Por tnto, = {,, } Ls vrbles letors dscrets Se defnen sobre espcos muestrles fntos o nfntos y numerbles FUNCIÓN DE PROBABILIDAD, f (x ) Probbldd de que l vrble tome un vlor concreto: f (x ) = P ( = x ) Donde: Σ f (x ) =. Gráfcmente se represent mednte brrs. Con los dtos del ejemplo :.6.5 f (x ),5,5,5 f (x).4.3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x ) Probbldd de que l vrble tome un vlor u otro nferor: F (x ) = P ( x ) Donde: F(x mín ) = f (x ) F(x máx ) = Gráfcmente result l funcón escler. Contnundo con el ejemplo :.. F (x ),5,75, F (x) Crmen ménez

3 Análss de Dtos I Esquem del Tem CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES DISCRETAS UNA VARIABLE: Vlor esperdo: E () = µ = Σ [x f (x ) ] Vrnz: σ () = [Σ x f (x )] [E()] Propeddes: E () = ; σ () = (donde es un constnte) S Y = +... E(Y) = E() +... σ (Y) = σ () S Y =... E(Y) = E()... σ (Y) = σ () DOS VARIABLES: Cundo trbjmos con dos vrbles dscrets, e Y, se puede defnr l probbldd de que mbs tomen certos vlores (x e y j ) smultánemente. A esto se le denomn: Funcón de probbldd conjunt, f (x, y j ) = P[( = x ) P(Y = y j )] y y y m x f (x, y ) f (x, y ) f (x, y m ) f (x ) x f (x, y ) f (x, y ) f (x, y m ) f (x ) x n f (x n, y ) f (x n, y ) f (x n, y m ) f (x n ) f (y ) f (y ) f (y m ), Y Los índces que reflejn l relcón lnel entre ls vrbles e Y son los sguentes: L Covrnz, ( Y ) = E( Y ) - E( ) E( Y ) σ donde: E( ) = x y Y f ( x, y ) σ ( Y ) L Correlcón, ρ( Y ) = σ ( ) σ ( Y ) Ejemplo : Y 3,7,,8,35 : Recuperrse () o no (),3,5,37,65 Y: Nº sesones de un terp (, y 3),,35,45, σ ( Y ) =,54 - (,65)(, 5) =,78 ; ρ ( Y ) =,78 =,,5875, 75 Propeddes: S T = + Y... E(T) = E() + E(Y)... σ (T) = σ () + σ (Y) + σ (Y) S T = - Y... E(T) = E() - E(Y)... σ (T) = σ () +σ (Y) - σ (Y) S T = + Y + Z... E(T) = E() + E(Y) + E(Z) σ (T) = σ () + σ (Y) + σ (Z) + [σ(y) + σ(z) + σ(yz)] INDEPENDENCIA Dos vrbles letors e Y son ndependentes s pr todo pr de vlores (x, y j ) se cumple: f (x, y j ) = f (x ) f (y j ) S e Y son ndependentes, entonces: f (x y j ) = f (x ) σ (Y) =ρ(y) = Not: Aunque dos sucesos (p.e. x, y 3 ) sen ndependentes, pr que ls vrbles e Y lo sen tenen que serlo todos los restntes sucesos. En el ejemplo, e Y no son ndependentes. Crmen ménez 3 j j j

4 Análss de Dtos I Esquem del Tem EJEMPLO 3 (resuelto) L vrble letor tene l sguente dstrbucón: 3 f (x ),5,4,3,5. Obteng l funcón de dstrbucón pr l vrble. Represente gráfcmente l funcón de probbldd y l funcón de dstrbucón de l vrble 3. Cuál es l probbldd de obtener vlores superores? y menores que 3? y entre y 3 (mbos nclusve)? 4. Obteng el vlor esperdo y l vrnz de l vrble 5. Obteng el vlor esperdo y l vrnz de ls vrbles U = + y W = 3 6. L vrble se mde por segund vez y se obtene l vrble Y: Y 3 f (y ),35,5,3, ) Obteng l dstrbucón conjunt de e Y s se sume que son ndependentes b) Clcule el vlor esperdo y l vrnz pr ls vrbles R = + Y y S = - Y s e Y son ndependentes SOLUCIÓN.. 3 F (x ),5,55,85, f (x) F (x) P ( > ) = P ( ) = F() =,45 (o tmbén f () + f (3) =,45) P ( < 3) = P ( ) = F() =,85 (o tmbén f () + f () + f () =,85) P ( 3) = F(3)- F() =,85 (o tmbén f () + f () + f (3) =,85) 4. E () =,45 σ () =,85 5. E (U) = 3,45 σ (U) =,85; E (W) = 4,35 σ (W) = 7,65 6. ) 3,5,4,5,5,35 Y,38,,75,37,5,45,,9,45,3 3,5,4,3,5,,5,4,3,5, b) E (R) =,6 σ (R) =,87; E (S) =,75 σ (S) = 4,43 Crmen ménez 4

5 Análss de Dtos I Esquem del Tem. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Ls vrbles letors contnus se defnen sobre espcos muestrles nfntos y no numerbles. FUNCIÓN DE DENSIDAD, f (x ) Asoc vlores de l vrble con ordends o lturs de l curv en cd punto. Pr que f (x ) se funcón de densdd de h de cumplrse (*) ). f (x ) ). + = Gráfcmente se represent mednte un curv. Por ejemplo: f (x ) (*) Not: L funcón de densdd f(x ) puede tomr un vlor >. - + FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x ) Funcón que soc cd vlor de l probbldd de que ést dopte como mucho ese vlor x concreto. Donde: x = ). F ( x) Donde: P( b) = b ). F(- ) = 3). F(+ ) = Gráfcmente result l sguente funcón: o ben [F(b) - F()] s b F(x),,9,8,7,6,5,4,3,, - + Crmen ménez 5

6 Análss de Dtos I Esquem del Tem CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES CONTINUAS UNA VARIABLE: Vlor esperdo: E () = + x Vrnz: σ () = [ + x ] [E()] DOS VARIABLES: L Covrnz, σ ( Y ) = E( Y ) - E( ) E( Y ) Donde, E( Y ) = σ ( Y ) L Correlcón, ρ( Y ) = σ ( ) σ ( Y ) x y f ( x, y ) dy En ls vrbles contnus se puede defnr ls propeddes y l condcón de ndependenc, de l msm form que en ls vrbles dscrets El trbjo plcdo con vrbles contnus Consste en hllr probblddes. Ls stucones más comunes son ls tres sguentes: P( ): f (x) F() P( ) = P( ) = F() P( ): f(x) F() P( ) = + P( ) = - F() P( b): F(b) f(x) F() P( b) = b P( b) = F(b) - F() s b > b Crmen ménez 6