PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Media aritmética: μ = x

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1 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b DISTRIBUIONES DISRETAS DE PROBABILIDAD Dstrbucones dscretas son aquellas en las que la varable sólo puede tomar valores aslados. Ejemplo: lanzar una moneda ( valores: cara, cruz); lanzar un dado ( valores:1,, 3, 4, 5 y 6) En las dstrbucones de probabldad dscretas, a cada valor x de la varable, se le asgna la probabldad de obtenerle: Valor varable x 1 x.... x n Probabldad p 1 p.... p n Propedades: ualquera que se a p se verfca que : 0 p 1 p 1 + p p n = 1 PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUIÓN DE PROBABILIDAD DISRETA Meda artmétca: μ = x. p Varanza: σ = x. p - μ Desvacón típca: σ = vaanza Ejerccos 1º.- ompleta la tabla de probabldad sguente y calcula sus parámetros Solucón a) omo p(0) + p(1) + p() + p(3) = 0,1 + 0,3 + p() + 0,1 = 1 deducmos que: p() = 0,5 b) Meda μ = x. p = 1,6 Varanza = x. p - μ = 3, 1,6 = 0,64 x p x. p x.p 0 0, ,3 0,3 0,3? 1,0,0 3 0,1 0,3 0,9 1 1,6 3, Tabla-1 Desv,. Típca = 0, 64 = 0,8 º.- Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases ( 0, 1, ). Escrbe la dstrbucón de probabldad y determna sus parámetros Solucón Sacar dos cartas de la baraja equvale a sacar una carta y después otra x p x.p x.p 0 0, ,185 0,185 0,185 0,007 0,007 0,08 1 0,19 0,13 Tabla

2 sn devolucón. Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b p(0 ases ) = p(no as y no as ) = p( As As ) =. = 0, p(1 as) = p(1ª as y ª no as) + p(1ª no as y ª as) = p( As As ) + p( As As) = = = 0, p(as y as ) = p( As As) =. = = 0, Parámetros De los valores obtendos en tabla- resulta que: Meda μ = x. p = 0,19 Varanza = x. p - μ = 0,13 0,19 = 0,176 Desv,. Típca = 0, 176 = 0,4 º.- Lanzamos tres monedas al are y anotamos el número de caras ( 0, 1,, 3 ). Escrbe la dstrbucón de probabldad sabendo que la probabldad de obtener cara es 0,4 y la de obtener cruz 0,6. Determna sus parámetros Solucón En la tabla -4 se recogen las posbldades: P(cara y cara y cara ) = 0,4. 0,4. 0,4 = 0,064 P( cara y una cruz ) = p(+cc y c+c y cc+) = 0,6.0,4.0,4 + 0,4.0,6.0,4 + 0,4.0,4.0,6 ) = 0,88 P(1 cara y dos cruces) = p(++c y +c+ y c++) = 0,6.0,6.0,4 + 0,6. 0,4. 0,6 + 0,4. 0,6. 0,6 = 0,43 P(0 caras ) = p(cruz y cruz y cruz ) = 0,6.0,6.0,6 = 0,16 Parámetros De los valores obtendos en tabla-4 resulta que: 1ª moneda ª moneda 3ª moneda 0,4 0,4 + 0,6 0,4 + 0,4 0,6 + 0,6 0,4 0, ,6 0,6 + 0,4 0,6 + 0,6 Tabla-3 - -

3 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b Meda μ = x. p = 1, Varanza = x. p - μ =,16 1, = 0,7 Desv,. Típca = σ = 0, 7 = 0,848 x p x.p x.p 0 0, ,43 0,43 0,43 0,88 0,576 1,15 3 0,064 0,19 0, ,,16 Tabla-4 3º.- Recuerda cuáles son las puntuacones de las 8 fchas de un domnó. S en cada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mtades obtenemos las sumas 0, 1,,, 1 con probabldades dstntas. Haz la tabla de dstrbucón de probabldades y calcula μ y σ Solucón Para la mejor comprensón del ejercco construmos la tabla sguente: Tabla-4 La suma de los valores de las 8 fchas se muestran, en color verde, en la tabla-4. En la tabla-5 se recoge la dstrbucón de probabldades de la suma de resultados. Meda μ = x. p = 5,994 x prob p x.p x.p 0 1/8 0, /8 0,036 0,036 0,036 /8 0,071 0,14 0,84 3 /8 0,071 0,13 0, /8 0,107 0,48 1,71 5 3/8 0,107 0,535, /8 0,143 0,858 5, /8 0,107 0,749 5,43 8 3/8 0,107 0,856 6,848 9 /8 0,071 0,639 5, /8 0,071 0,710 7, /8 0,036 0,396 4, /8 0,036 0,43 5,184 8/8 1 5,994 44,976 Tabla-5 Varanza = x. p - μ = 44,976 5,99 = 9,096 Desv,. Típca = σ = 9, 096 = 3,0-3 -

4 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b 4º.- Una urna contene 5 bolas blancas, 3 rojas y verdes. Se hacen dos extraccones sn reemplazamento y se anota el número de bolas rojas extraídas a) Haz la tabla de dstrbucón de probabldad 7 6 x Para 0 bolas rojas p(0) = p(1ªno roja y ª no roja) =. p x.p x.p , = 0,47 1 0,47 0,47 0,47 Para 1 bolas rojas p(1) = p(1ª roja y ª no roja ) + p(1ª no 0,06 0,1 0, roja y ª s roja )=. +. = 0, ,59 0,71 Para bolas rojas p() = p(1ª roja y ª roja) = = 0,06 b) Halla sus parámetros Meda μ = x. p = 0,59 Varanza = x. p - μ = 0,71 0,59 = 0,71 0,35 = 0,36 Desv,. Típca = σ = 0, 36 = 0,6 º.- En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bolas numeradas del 6 al 9. Prob.número P(1)=1/5 Prob.rama =10 5 Se lanza una moneda: s sale cara se saca una bola de A y s sale cruz se saca de B. Se observa el número que tene la bola: a) Haz la tabla de dstrbucón de probabldad Solucón ara P( c) =1/ Urna A P()=1/5 P(3)=1/5 P(4)=1/ = = =10 5 Aunque no lo pda el enuncado, en la tabla de la derecha, se han representado las posbldades que pueden presentarse para realzar el expermento P(5)=1/5 P(6)=1/ = = 4 8 aleatoro descrto en el enuncado del ejercco juntamente con la probabldad de cada una de estas posbldades. ruz P(+) = 1/ Urna B P(7)=1/4 P(8)=1/ = = 4 8 P(9)=1/ =

5 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b a) Tabla de dstrbucón de probabldad b) Representacón gráfca x p x.p x.p 0 0, ,1 0,1 0,1 0,1 0, 0,4 3 0,1 0,3 0,9 4 0,1 0,4 1,6 5 0,1 0,5,5 6 0,15 0,75 4,5 7 0,15 0,875 6,15 8 0, ,15 1,5 11,5 1 5,375 35,375 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Sere1 c) Parámetros c) Meda μ = x. p = 5,375 Varanza = x. p - μ = 35,375 5,375 = 6,48 Desv,. Típca = σ = 6, 48 =,55-5 -

6 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b Dstrbucón Bnomal Supongamos que un expermento aleatoro tene las sguentes característcas: En cada prueba del expermento sólo son posbles dos resultados: el suceso A (éxto) y su contraro A (fracaso). El resultado obtendo en cada prueba es ndependente de los resultados obtendos anterormente. La probabldad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabldad de A es 1- p y la representamos por q. El expermento consta de un número n de pruebas. Todo expermento que tenga estas característcas dremos que sgue el modelo de la dstrbucón Bnomal. A la varable X que expresa el número de éxtos obtendos en cada prueba del expermento, la llamaremos varable aleatora bnomal. La varable bnomal es una varable aleatora dscreta, sólo puede tomar los valores 0, 1,, 3, 4,..., n, suponendo que se han realzado n pruebas. La dstrbucón Bnomal se suele representar por B(n, p) sendo n el número de pruebas y p la probabldad de éxto en cada prueba. La probabldad de obtener k éxtos en n pruebas realzadas vene dada por: P(x = k) = n.p k. q n - k k PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUIÓN BINOMIAL Meda: μ= n. p Desvacón típca: σ = n. p. q Nota: debemos tener presente que una dstrbucón bnomal es una dstrbucón dscreta de probabldad y que como tal puede aplcársele el procedmento descrto en págna 1, pero dadas las característcas especales de la dstrbucón bnomal sus parámetros se determnan más rápdamente por las relacones: μ= n.p, σ = n. p. q, obtenendo, por supuesto, el msmo resultado en ambos procedmentos

7 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b Ejemplo 1 Lanzamos tres monedas al are y anotamos el número de caras ( 0, 1,, 3 ). Escrbe la dstrbucón de probabldad sabendo que la probabldad de obtener cara es 0,4 y la de obtener cruz 0,6. Determna sus parámetros Solucón En la págna, tratando el problema como una dstrbucón de probabldad dscreta cualquera, hemos obtendo que μ = 1, y que σ = 0,848 Tratemos ahora el problema como una dstrbucón bnomal B (3, 0 4 ). Donde n = 3 (nº de monedas ) y p = 0 4 ( probabldad de sacar cara en cada lanzamento ). Sus parámetros son: μ= n.p = 3. 0,4 = 1, y σ = n. p. q = 3.0,4.0, 6 = 3.0,4.0, 6 = 0, 7 = 0,848 Ejemplo Una máquna fabrca una determnada peza y se sabe que produce un 7 por 1000 de pezas defectuosas. Hallar la probabldad de que al examnar 50 pezas sólo haya una defectuosa. Solucón : Se trata de una dstrbucón bnomal de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabldad p(x=1). n P(x = k ) =.p k. q n k 50 P(x = 1 ) =.0, , = 0,48 k 1 Ejemplo 3 La probabldad de éxto de una determnada vacuna es 0,7. alcula la probabldad de a que una vez admnstrada a 15 pacentes: a) Nnguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contragan la enfermedad Solucón : Se trata de una dstrbucón bnomal de parámetros B(15, 0'7) n a) P(x = k ) =.p k. q n k 15 P(x = 15 ) =.0, ,8 0 = 0,0074 k 15 n b) P(x = k ) =.p k. q n k 15 P(x = 0 ) =.0,7 0. 0,8 15 = 5, k 0-7 -

8 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b n c) P(x = k ) =.p k. q n k 15 P(x = 13 ) =.0, ,8 = 0,11503 k 13 Ejemplo 4 La probabldad de que el carburador de un coche salga de fábrca defectuoso es del 4 por 100. Hallar : a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La desvacón típca. Solucón : Se trata de una dstrbucón bnomal de parámetros B( 1000, 0,04) a) El nº de carburadores que se espera sean defectuosos en un lote de 1000 concde con la meda artmétca μ= n.p ,04 = 40 b) σ = n. p. q = ,04. 0,96 = 38,4 σ = 38, 4 = 6,19 Ejemplo 5 En una famla de tres hjos, cuál es la probabldad de que a lo más sean nñas? Solucón La probabldad de nña es 0 5; el sexo de cada hjo es ndependente del de los demás. Se trata de una dstrbucón Bnomal B(3,0.5) P(x ) = p( x = 0) + p (x = 1) + p(x = ) = = 0, , ,3750 = 0, ,5 0. 0, ,5 1. 0, ,5. 0, Ejemplo 6 Se extraen 4 bolas, con reemplazamento, de una urna que tene 5 blancas y 3 negras. uál es la probabldad de que salgan menos de blancas? Se trata de una dstrbucón bnomal B( 4, 5/8) = B( 4, 0 65 ) La probabldad que necestamos es: 4 P(x<) = p(x=0) +p(x=1) =.0,65 0.0, , ,375 3 = 0, ,1318 = 0,

9 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b.- De un lote con 1000 artículos de los cuales el 10% son defectuosos, se escogen al azar 10. uál es la probabldad de que haya más de defectuosos? Solucón Se trata de una dstrbucón bnomal donde n = 10, p = 0 10 y q = 0 9 Medante el uso de las tablas encontramos que P( X ) = p(x = 0) + p(x=1) + p(x=) = = AJUSTE DE UNA SERIE DE DATOS A UNA DISTRIBUIÓN BINOMIAL: Dsponemos de una sere de k datos que toman los valores 0, 1,...,n. Para saber s estos datos sguen pueden aproxmarse por una dstrbucón bnomal: 1. alculamos la meda de los k datos y la gualamos a la meda teórca de la Bnomal (n, p) x hacendo x = n.p Despejamos de aquí el valor de p para obtener la probabldad teórca: p = n. alculamos los valores teórcos de p (X = k), para k = 0, 1,,,n 3. Multplcamos los valores por n (número de datos observados ) para obtener los valores teórcos de cada posble valor de la varable aleatora en seres de n datos. 4. Para cada valor de k hallamos la dferenca entre el valor empírco y el teórco 5. S la dferenca es "sufcentemente pequeña" aceptamos como buena la aproxmacón Bnomal, s no, la rechazamos. Ejercco 1: Lanzamos 5 chnchetas y observamos el número de ellas que caen con la punta haca arrba. Al repetr la experenca 350 veces obtenemos: nº de puntas haca arrba nº de veces en los 350 lanzamentos Ajustan los resultados a una dstrbucón Bnomal? uál sería el valor de p en caso afrmatvo? Solucón alculamos la meda artmétca de las chnchetas que quedan haca arrba: x. f x = = = = 1 47 N La meda bnomal teórca será: - 9 -

10 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b μ = n.p = x = 1 47 de donde 5.p =1 47 p = 0,94 y q =1-0,94 = 0,706 Veamos s los valores obtendos se adaptan a la dstrbucón B(5 ; 0 94) B( 5 ; 0 3 ) alculamos los valores teórcos que corresponderían a esta dstrbucón 5 P(x=0) = 0,3 0.0,7 5 = 0,1681 Elementos prevstos = P(x=1) = P(x= ) = P(x=3) = P(x=4) = P(x=5) = 5 0,3 1.0,7 4 = 0,360 Elementos prevstos ,360 = ,3.0,7 3 = 0,3087 Elementos prevstos ,3087 = ,3 3.0,7 = 0,133 Elementos prevstos ,133= ,3 4.0,7 5 = 0,084 Elementos prevstos ,084 = ,3 5.0,7 0 = 0,004 Elementos prevstos ,004 = En la tabla sguente se han colocado en la fla los valores reales obtendos y en la fla 3 los valores teórcos. nº de puntas haca arrba nº de veces en los 350 lanzamentos valores reales obtendos nº de veces en los 350 lanzamentos valores teórcos obtendos De la comparacón de ambas seres de resultados, podemos pensar que la aproxmacón, medante una dstrbucón bnomal, es aceptable. El procedmento matemátco para decdr sobre el grado de aceptabldad cae fuera de los contendos matemátcos a mpartr en el bachllerato

11 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b Ejercco omprueba ahora s se ajusta a una dstrbucón bnomal el número de D's defectuosos encontrados en cajas de 3 undades al abrr 100 de dchas cajas: nº de D's defectuosos nº de veces Solucón alculamos la meda artmétca del nº de D s defectuosos x = x. f N = = = 0, La meda bnomal teórca μ = n.p = x = 0,45 de donde 3.p = 0,45 p = 0,15 y q =1-0,15 = 0,85 alculamos los valores teórcos de la dstrbucón B(3, 0 15) 3 P(x=0) = 0,15 0.0,85 3 = 0,614 Elementos prevstos = 61 0 P(x=1) = P(x=) = P(x=3) = 3 0,15 1.0,85 = 0,35 Elementos prevstos = ,15.0,85 1 = 0,057 Elementos prevstos = 6 3 0,94 3.0,706 0 = 0,05 Elementos prevstos = 3 3 nº de D's defectuosos nº de veces Valores teórcos Se puede estmar que la dferenca entre los valores teórcos y los reales es bastante acusada como para que, la sere de datos hallados, se pueda aproxmar por una dstrbucón bnomal

12 Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b APROXIMAIÓN, DE UNA DISTRIBUIÓN BINOMIAL, A LA NORMAL. Una dstrbucón bnomal B(n,p) se parece a una normal tanto más cuanto mayor es el producto np (o nq s q<p, sendo q=1-p). uando np y nq superan 5, la aproxmacón es cas perfecta En estas condcones: B( n, p) N( np, n. p. q ) = N ( μ, σ ) Podemos emplear la normal para calcular probabldades en el caso de una dstrbucón bnomal, aunque hemos de tener en cuenta que la bnomal es dscreta y la normal contnua, por lo que es necesaro ntroducr un ajuste en el cálculo. Así: P(X k) = p(x k+ 0,5) P(X < k) = p(x k - 0,5) p(x=k ) = p(k-0,5 x k+0,5 ) Ejemplo 1 El 35% de una poblacón está afectado por la grpe. Se elgen 30 personas al azar. alcula la probabldad de que: a) Haya exactamente 10 enfermos Del enuncado deducmos que: n = 30 y que p = 35 % = 0 35 y q = 65 % = 0 65 n.p = = 10,5 > 5 y n.q = = 19 5 superan el valor de 5, por lo que la dstrbucón B(30 ; 0 35) se puede aproxmar por N( , ) = N( 10 5 ; 6) P(x=10) = P( x' ,5) = P(9,5 x' 10,5) = p( k μ k μ z ) = σ σ p( z ) = p( < z < 0) = p(z< 0) p( z < ) = 6 6 = Φ(0) - [1 - Φ(0 3846)] = = b) Haya más de 5 y menos de 1 enfermos P(5<X<1) = P( x' < 1 0 5) = P(5,5< x' < 11,5) = p( < z < ) = 6 6 p(- 1 9 < z < 0 38) = p(z< 0 38) p( z <- 1 9 ) = Φ(0 38) - [1 - Φ(1 9 )] = =

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