PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE AÑOS EXÁMENES PROPUESTOS Y RESUELTOS DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES CONVOCATORIAS DE --- F Jménez Gómez

2 Este cuaderno ddáctco es de dfusón gratuta El autor permte la reproduccón no comercal de este teto El autor Depósto Legal: GR 9-

3 Índce Presentacón Eamen propuesto en : Enuncado Eamen propuesto en : Solucón 8 Eamen propuesto en : Enuncado 7 Eamen propuesto en : Solucón 9 Eamen propuesto en : Enuncado Eamen propuesto en : Solucón 7 Eamen propuesto en : Enuncado Eamen propuesto en : Solucón Tabla de la Funcón de Dstrbucón Normal (,

4 Presentacón: Desde el año 99 se vene realzando un eamen común en todas las Unversdades de Andalucía para el acceso a éstas de los alumnos maores de años que queren optar por esta opcón De acuerdo con la normatva vgente, a partr de de enero de, el alumno elge entre cnco vías, según la ttulacón a la que desea acceder después de haber superado la prueba, pues cada una de estas vías está vnculada a unas determnadas ttulacones En concreto: Vía A: Artes Humandades Vía B: Cencas Vía C: Cencas de la Salud Vía D: Cencas Socales Jurídcas Vía E: Ingenería Arqutectura En la vía D está ncluda como matera de eamen, en la fase específca, Matemátcas Aplcadas a las Cencas Socales En este manual están contendos los eámenes de esta matera propuestos en los años a, ambos nclusve, con sus correspondentes solucones En cada eamen, al alumno se le proponen ejerccos de los que deberá elegr, para resolver, de ellos Este teto es una contnuacón de dos anterores: el que en edtó la edtoral Proecto Sur de Edcones, que contenía los eámenes propuestos desde 99 hasta del edtado en por la Unversdad de Cádz, que contenía los propuestos desde a 9 El autor, como en los tetos precedentes, pretende que esta recoplacón pueda ser de utldad para preparadores alumnos que opten al acceso a las Unversdades de Andalucía por esta opcón En la resolucón de estos ejerccos se utlzan procedmentos que, obvamente, no tenen por qué ser úncos Francsco Jménez Gómez Ponente de Matemátcas Aplcadas a las Cencas Socales Unversdad de Granada Granada, mao de

5 ENUNCIADOS Y RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EN LAS CONVOCATORIAS DE,,, Francsco Jménez Gómez

6 ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN EN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO a ( puntos Raconalce smplfque la fraccón 8 8 b ( puntos Determne los coefcentes de la ecuacón a b para que sus solucones sean los valores EJERCICIO a ( puntos En una progresón artmétca de térmnos el prmero es el décmo Halle su razón la suma de sus prmeros térmnos b ( puntos Un banco concedó a una empresa un préstamo, a un nterés compuesto del % durante años al cabo de ese tempo el nterés acumulado es de 8 euros Qué captal prestó el banco a esa empresa? EJERCICIO a ( puntos Represente la gráfca de la funcón b ( puntos Represente gráfcamente la funcón c ( puntos Calcule la dervada de la funcón EJERCICIO a ( puntos Dada la funcón f ( estude s tene asíntotas vertcales u horzontales represente las que estan Determne tambén las regones de crecmento decrecmento de esta funcón b ( puntos Se lanzan smultáneamente dos dados cuas caras están numeradas del al Cuál es la probabldad de que la suma de las caras sea?

7 EJERCICIO Una cooperatva acetera quere realzar un estudo sobre la nfluenca de las campañas publctaras en sus cfras de ventas Para ello dspone del gasto destnado a publcdad del volumen de ventas en los últmos años (ambos en mles de euros: X : gasto en publcdad 8 9 Y : ventas 9 8 a ( puntos Obtenga la ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X Cuál será el volumen de ventas s la nversón en publcdad ascendera a 8 mles de euros? b ( puntos Calcule el coefcente de correlacón lneal e nterprete su valor EJERCICIO a ( puntos En una cudad se sabe que el % de las personas son mujeres el % son mujeres maores de edad Asmsmo, el % de las personas de esa cudad son hombres maores de edad Se elge al azar una persona resulta ser maor de edad, cuál es la probabldad de que esta persona sea, además, mujer? b ( puntos En un colego se estuda la dstrbucón de la nota de Matemátcas de sus estudantes, resultando ser una Normal de meda 7 desvacón típca Se elge al azar un estudante de ese colego, cuál será la probabldad de que su nota en esta asgnatura sea maor que 7? 7

8 RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE EJERCICIO a ( puntos Raconalce smplfque la fraccón 8 8 Multplcando el numerador el denomnador de la fraccón anteror por el conjugado del denomnador obtenemos: b ( puntos Determne los coefcentes de la ecuacón a b para que sus solucones sean los valores Como son solucones de la ecuacón dada han de satsfacerla, es decr que al susttur por por la gualdad debe cumplrse; por tanto: Operando, queda a b a b 7 a b a b se trata de un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas Restando ambas ecuacones: a a a b 7 a 8 EJERCICIO a ( puntos En una progresón artmétca de térmnos el prmero es el décmo Halle su razón la suma de sus prmeros térmnos Sabemos que en una progresón artmétca se cumplen las sguentes gualdades: a n a ( n d S n a a 8 n n

9 donde d es la dferenca, o razón de la progresón Partcularzando las epresones anterores a nuestro caso, tendríamos: a a ( d 9d 9d 7 d S a a Calculemos a : a a ( d 9 7 S a a 7 b ( puntos Un banco concedó a una empresa un préstamo, a un nterés compuesto del % durante años al cabo de ese tempo el nterés acumulado es de 8 euros Qué captal prestó el banco a esa empresa? La fórmula del nterés compuesto cuando el tempo, n, vene epresado en años es: C n r C n 7 sendo r el tanto por cento anual, rédto, al que se concede el préstamo Desconocemos el captal prestado C, pero sabemos que el captal fnal, C n, la cantdad a devolver al banco, es la suma del captal prestado más los ntereses devengados, es decr C C 8 Susttuendo en la fórmula general: C 8 C C 8 C C C 8 878C C 8 878C 8 C En consecuenca, el préstamo ascendía a euros 9

10 EJERCICIO a ( puntos Represente la gráfca de la funcón La funcón anteror corresponde, gráfcamente, a una recta Para representarla es sufcente conocer dos puntos de ella, en partcular los puntos donde corta a los ejes de coordenadas; éstos se obtenen así: ; es decr, el punto (,, punto donde la recta corta al eje de ordenadas, es un punto de la recta ; es decr, el punto (,, punto donde la recta corta al eje de abscsas, es un punto de la recta La representacón gráfca sería: = -+ b ( puntos Represente gráfcamente la funcón Efectuando las operacones ndcadas en la epresón anteror quedaría: La funcón anteror, polnómca de grado, corresponde gráfcamente a una parábola Para representarla es sufcente conocer el vértce los puntos donde corta a los ejes de coordenadas Cálculo del vértce: Al ser el coefcente de negatvo, ndca que la parábola es cóncava, el vértce está haca arrba, es un mámo La abscsa del vértce se obtene dervando e gualando a : Para calcular la ordenada del vértce susttumos este valor de,, en la funcón obtenemos Es decr, el vértce de la parábola, mámo de la funcón, es el punto de coordenadas,

11 Corte al eje de ordenadas: Corta al eje de ordenadas en el punto (,, orgen de coordenadas Corte al eje de abscsas: Corta al eje de abscsas en los puntos (, (, Con los datos obtendos es nmedato dbujar la gráfca: c ( puntos Calcule la dervada de la funcón Ha que tener en cuenta que se trata de dervar una suma en la que el prmer sumando es una raíz cuadrada el segundo es un cocente; por tanto ó, ó,

12 EJERCICIO a ( puntos Dada la funcón f ( estude s tene asíntotas vertcales u horzontales represente las que estan Determne tambén las regones de crecmento decrecmento de esta funcón Epresemos la funcón anteror como una funcón raconal, efectuando, para ello, la dferenca f ( Las asíntotas vertcales son rectas con ecuacón de la forma k, sendo k un valor tal que lm f ( En nuestro caso esta condcón se cumple cuando k, por tanto k la recta de ecuacón es una asíntota vertcal Las asíntotas horzontales son rectas con ecuacón de la forma tal que lm f ( h En nuestro caso lm f ( ha asíntota horzontal lm h, sendo h un valor, por lo que no Las asíntotas oblcuas son rectas cua ecuacón es de la forma m n, sendo m un f ( valor dado por lm f ( En nuestro caso m lm lm lm = En cuanto a n vene dado por n f ( m n lm lm lm En consecuenca, la asíntota oblcua es la recta de ecuacón lm La representacón gráfca de las asíntotas equvale, por tanto, a la representacón gráfca de dos rectas cuas ecuacones son, recta perpendcular al eje de abscsas por el punto (, e, que es la bsectrz del º º cuadrante La funcón es crecente en aquellos puntos donde la prmera dervada es postva, es decrecente en los puntos donde esta dervada es negatva; por tanto habrá que calcular la dervada de esa funcón estudar el sgno de ésta: f ( 7

13 El denomnador de esta fraccón, por ser un cuadrado, toma sempre valores postvos (eceptuamos el valor, cuando donde la funcón no es contnua, por tanto el sgno de la fraccón será el que tome el numerador Tratemos de epresar en forma de producto el numerador; para ello calculemos sus raíces: 8 7 Al resultarnos la raíz de un número negatvo, que no este en el conjunto de los números reales, podemos conclur que la parábola correspondente a la representacón gráfca de la funcón del numerador no corta al eje de abscsas por lo que los valores de la funcón son, para cualquer valor de postvos ó negatvos, en nuestro caso postvo En conclusón la funcón es crecente en todo su domno, es decr en el conjunto,, b ( puntos Se lanzan smultáneamente dos dados cuas caras están numeradas del al Cuál es la probabldad de que la suma de las caras sea? El espaco muestral, resultados posbles, estaría formado por las sguentes parejas de resultados: (,,(,,(,,(,,(,,(,, (,,(,,(,,(,,(,,(,, (,,(,,(,,(,,(,,(,, E (,,(,,(,,(,,(,,(,, (,,(,,(,,(,,(,,(,, (,,(,,(,,(,,(,,(,, Cada uno de estos resultados tene la msma probabldad de obtenerse, es decr se trata de resultados equprobables, por lo que la probabldad de que se realce uno cualquera de ellos vale Nos pden la probabldad de que la suma de las caras sea ; esta suma sólo se presenta cuando se obtene el resultado (,, por tanto la probabldad de que la suma sea es gual que la probabldad de que se obtenga (,, o sea

14 EJERCICIO Una cooperatva acetera quere realzar un estudo sobre la nfluenca de las campañas publctaras en sus cfras de ventas Para ello dspone del gasto destnado a publcdad del volumen de ventas en los últmos años (ambos en mles de euros: X : gasto en publcdad Y : ventas a ( puntos Obtenga la ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X Cuál será el volumen de ventas s la nversón en publcdad ascendera a 8 mles de euros? La ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X tene por epresón _ s r s s _, ó tambén s donde r es el coefcente de correlacón lneal, que vene defndo así s r, s s n n s es la covaranza, s es la varanza de la varable X, n n s, desvacón típca de la varable X, es la raíz cuadrada de la varanza s,, por últmo, _ n n _ es la meda artmétca de la varable X Dspongamos los cálculos necesaros en forma de tabla: Sumas ; 7 ; s s ; s ; 97 s 7 7; s

15 La ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X es 7 9 ó en forma eplícta 7 87 La recta obtenda nos permte estmar el valor de la varable Y (venta obtenda para valores de la varable X (nversón en publcdad En concreto, s se nverte en publcdad 8 mles de euros, = 8, la venta estmada sería mles de euros b ( puntos Calcule el coefcente de correlacón lneal e nterprete su valor r s s s Del valor del coefcente de correlacón lneal ha que tener en cuenta dos aspectos: su sgno su valor absoluto (el recorrdo de valores de r va desde a + El sgno nos ndca s la relacón es drecta (al aumentar una varable la otra tambén lo hace ó nversa (s aumenta una varable la otra dsmnue pero no nos ndca s la relacón es ntensa o débl La relacón entre las dos varables, drecta o nversa, es más fuerte cuanto más prómo a es el valor absoluto de r más débl cuanto más se acerque a En nuestro caso se trata de una relacón lneal drecta (a más gasto en publcdad más venta mu ntensa

16 EJERCICIO a ( puntos En una cudad se sabe que el % de las personas son mujeres el % son mujeres maores de edad Asmsmo, el % de las personas de esa cudad son hombres maores de edad Se elge al azar una persona resulta ser maor de edad, cuál es la probabldad de que esta persona sea, además, mujer? La representacón, medante la sguente tabla, de la dstrbucón de las personas de esa cudad nos faclta la resolucón mujeres hombres totales maores % % 7% menores % % % totales % % % El número de cada celdlla representa el porcentaje de personas que cumplen, smultáneamente, la condcón de la fla (maor o menor columna (mujer u hombre en la que se encuentra dcho número Por consguente, la probabldad de que sea mujer sabendo que es maor de edad es de 7 b ( puntos En un colego se estuda la dstrbucón de la nota de Matemátcas de sus estudantes, resultando ser una Normal de meda 7 desvacón típca Se elge al azar un estudante de ese colego, cuál será la probabldad de que su nota en esta asgnatura sea maor que 7? Sabemos que s la varable X, nota de Matemátcas de los alumnos de ese colego, se dstrbue según una le Normal de meda 7 desvacón típca, X N(7,, X 7 la varable se dstrbue según una varable Normal tpfcada, Z, es decr N(,, cuos valores venen tabulados Por lo tanto vamos a pasar de la varable X a la Z Nos preguntan la probabldad de que la varable X tome valores maores que 7, es decr X 7 PX 7 PX P( PZ P Z 987

17 ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN EN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO a ( puntos Raconalce las epresones 7 b ( puntos Halle el conjunto de solucones de la necuacón EJERCICIO ( a ( puntos Calcule las dervadas de las funcones f ( ( g b ( puntos Halle el valor de la constante a para que la funcón a f ( a s s sea contnua en todos los números reales estude s es dervable en = para ese valor de a EJERCICIO a ( puntos Sabendo que el prmer térmno de una progresón artmétca es el cuarto es 9, halle la dferenca de la progresón la suma de sus prmeros térmnos b ( puntos Hace cuatro años se depostó una cantdad de dnero en una cuenta de ahorro, a un nterés compuesto, con un rédto del % anual S el captal obtendo fnalmente es de euros, calcule el captal ncal que se depostó los ntereses totales que ha producdo en los años 7

18 EJERCICIO En la correccón de errores tpográfcos de un teto se han encontrado págnas con solo error en cada una, 9 págnas con errores en cada una, págnas con errores en cada una, págnas con errores en cada una, págnas con errores en cada una nngún error en las 8 págnas restantes a ( puntos Construa las tablas de frecuencas absolutas de frecuencas relatvas de la dstrbucón del número de errores por págna en este teto b ( puntos Halle la meda la desvacón típca del número de errores por págna en dcho teto EJERCICIO De una caja que contene bolas rojas, blancas negra, se etraen al azar dos bolas, sucesvamente sn reemplazamento, se observan sus colores en el orden en el que se etraen a ( puntos Descrba el espaco muestral de este epermento aleatoro b ( puntos Halle la probabldad de que la prmera bola etraída sea roja c ( puntos Halle la probabldad de que las dos bolas sean del msmo color EJERCICIO El peso de las manzanas que se producen en una huerta sgue una le Normal de meda gramos una desvacón típca de gramos a ( puntos Qué porcentaje de estas manzanas tendrá un peso nferor a gramos? b ( puntos Halle la probabldad de que una manzana, elegda al azar en este huerto, tenga un peso que se encuentre entre gramos 8

19 9 RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE EJERCICIO a ( puntos Raconalce las epresones b ( puntos Halle el conjunto de solucones de la necuacón ( ( ( 9 Se puede epresar el conjunto solucón, de forma equvalente, así, EJERCICIO a ( puntos Calcule las dervadas de las funcones ( ( g f ( ( ( f ( g

20 b ( puntos Halle el valor de la constante a para que la funcón a s f ( a s sea contnua en todos los números reales estude s es dervable en = para ese valor de a Para que sea contnua la funcón en debe cumplrse 9a a a Para que sea dervable debe cumplrse sea gual a, lo que, evdentemente, no es certo, por lo que la funcón no es dervable en EJERCICIO a ( puntos Sabendo que el prmer térmno de una progresón artmétca es el cuarto es 9, halle la dferenca de la progresón la suma de sus prmeros térmnos Notemos por a, a, S, el prmer térmno, cuarto térmno la suma de los prmeros térmnos, respectvamente, de esa progresón artmétca sea d la dferenca o razón de la progresón En una progresón artmétca se verfcan las sguentes relacones: 9 a a ( d S a a Susttuendo los datos conocdos en la ª gualdad: 9 9 d 9 d d Calculemos a, térmno necesaro para calcular la suma de los prmeros térmnos: a a ( d 7 S a a

21 b ( puntos Hace cuatro años se depostó una cantdad de dnero en una cuenta de ahorro, a un nterés compuesto, con un rédto del % anual S el captal obtendo fnalmente es de euros, calcule el captal ncal que se depostó los ntereses totales que ha producdo en los años C F C I r t C I CI C I 98C I C I Los ntereses producdos son la dferenca entre el captal fnal obtendo, euros, el captal ncal desembolsado, 97, es decr: 97=9 euros EJERCICIO En la correccón de errores tpográfcos de un teto se han encontrado págnas con solo error en cada una, 9 págnas con errores en cada una, págnas con errores en cada una, págnas con errores en cada una, págnas con errores en cada una nngún error en las 8 págnas restantes a ( puntos Construa las tablas de frecuencas absolutas de frecuencas relatvas de la dstrbucón del número de errores por págna en este teto Del enuncado se desprende que la varable estadístca, X, que se estuda es número de errores por págna Esta varable toma los valores,,,,, puesto que ha págnas en las que ha errores, págnas en las que ha error, así sucesvamente hasta págnas con errores El número de págnas que ha con errores, que es 8, es la frecuenca absoluta del valor ; la frecuenca absoluta del valor es así sucesvamente En consecuenca la tabla estadístca correspondente sería

22 Nº de errores: X Nº págnas: frecuenca absoluta, n 8 9 Frecuenca Relatva f n n Sumas 8 b ( puntos Halle la meda la desvacón típca del número de errores por págna en dcho teto Las dos últmas columnas de la tabla anteror dsponen los cálculos prevos para determnar la meda artmétca, _, la varanza, s, la desvacón típca, s _ n n n 8 8 s n n n _ 8 s

23 EJERCICIO De una caja que contene bolas rojas, blancas negra, se etraen al azar dos bolas, sucesvamente sn reemplazamento, se observan sus colores en el orden en el que se etraen a ( puntos Descrba el espaco muestral de este epermento aleatoro Tenendo en cuenta que el espaco muestral consta de los resultados posbles del epermento aleatoro denotando por r etraer bola roja, b blanca n negra tenendo en cuenta que cada resultado sería una pareja de bolas en un determnado orden, tendríamos como espaco muestral: r r, r b, r n, b r, b b, b n, n r, n b b ( puntos Halle la probabldad de que la prmera bola etraída sea roja Puesto que ha bolas rojas en un total de, s etraemos una bola, la probabldad de que esta sea roja es c ( puntos Halle la probabldad de que las dos bolas sean del msmo color Es la suma de la probabldad de etraer r r con la probabldad de etraer b b, es decr: 8 7 EJERCICIO El peso de las manzanas que se producen en una huerta sgue una le Normal de meda gramos una desvacón típca de gramos a ( puntos Qué porcentaje de estas manzanas tendrá un peso nferor a gramos? Sea X la varable aleatora peso de las manzanas producdas en la huerta S X sgue X una le Normal de meda desvacón típca, la varable =Z sgue una le Normal de meda desvacón típca Tenendo en cuenta lo anteror, la probabldad de que esa varable X tome valores nferores a vene dada por P( X X P P Z 7 PZ 7 P Z %

24 b ( puntos Halle la probabldad de que una manzana, elegda al azar en este huerto, tenga un peso que se encuentre entre gramos P( X P X P 7 Z PZ PZ

25 ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN EN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO a ( puntos Raconalce smplfque la fraccón b ( puntos Calcule las dervadas de las sguentes funcones: f (, g( (ln EJERCICIO a ( puntos La ecuacón de segundo grado p 7 tene la solucón Determne p la otra solucón de la ecuacón b ( puntos Sean A B dos sucesos ncompatbles de un espaco muestral cuas probabldades son P ( A P( B Calcule P( A B, P( A B, P( A C B EJERCICIO 9 a ( puntos Calcule : b ( puntos Determne el valor del parámetro a para que la funcón a s f ( s sea contnua en = Para a=, determne los vértces de cada una de las parábolas EJERCICIO a ( puntos Resuelva el sstema lneal ( 8 b ( puntos Una persona coloca euros en un producto de nversón que ofrece una rentabldad anual del % de nterés compuesto durante años Determne los ntereses producdos cada año el captal fnal obtendo al acabar el plazo prevsto

26 EJERCICIO En una urbanzacón se ha realzado un estudo sobre el número de personas que habtan en cada pso se obtenen los sguentes datos Personas Psos 8 a ( puntos Cuántos psos ha en la urbanzacón? b ( puntos Determne la meda la moda de la dstrbucón c ( puntos Determne la varanza la desvacón típca de la msma EJERCICIO La duracón de un tpo de plas alcalnas sgue una dstrbucón Normal de meda horas una desvacón típca de horas a ( puntos Calcule la probabldad de que una pla elegda al azar dure más de horas b ( puntos Calcule la probabldad de que una pla elegda al azar dure entre 8 horas

27 7 RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE EJERCICIO a ( puntos Raconalce smplfque la fraccón b ( puntos Calcule las dervadas de las sguentes funcones: ( f g ln ln ln ( EJERCICIO a ( puntos La ecuacón de segundo grado 7 p tene la solucón Determne p la otra solucón de la ecuacón ésta debe cumplrse ecuacón, en la por decr que ssesusttue es ecuacón ha de satsfacerla, solucón de la ser Por p p p p Por tanto la ecuacón sería 7 8 Ésta es una ecuacón de º grado, cuas solucones serían Por tanto: p = 8 la otra solucón es = -7 (ln (, ( g f

28 8 b ( puntos Sean A B dos sucesos ncompatbles de un espaco muestral cuas probabldades son ( ( B P A P Calcule (, (, ( B A P B A P B A P C El enuncado nos dce que A B son ncompatbles, por tanto su nterseccón es el suceso mposble, cua probabldad es, es decr: ( ( P B A P Sabemos que, en general, ( ( ( ( B A P B P A P B A P ( ( ( B A P B P B A P C EJERCICIO a ( puntos Calcule 9 : 9 : 9 9 : b ( puntos Determne el valor del parámetro a para que la funcón s s ( a f sea contnua en = Para a=, determne los vértces de cada una de las parábolas Para que la funcón sea contnua debe cumplrse que a a f ( ( ( f lím a a ( ( ( f lím ( ( f lím f

29 9 Por tanto debe ser a La prmera parábola vene dada por la funcón ( f Su dervada, gualada a, nos daría la abscsa del vértce de la parábola: ( f Susttuendo en la funcón, ( f, obtendríamos la ordenada del vértce: ( f Por tanto el vértce de la prmera parábola sería el punto de coordenadas, En la segunda parábola, ( f, procedendo de forma análoga se obtendría como vértce el punto, EJERCICIO a ( puntos Resuelva el sstema lneal 8 ( Operando, el sstema dado se transforma en otros equvalentes: como 9 ( susttuendo en la ª: ecuacón ª en la despejando 8

30 b ( puntos Una persona coloca euros en un producto de nversón que ofrece una rentabldad anual del % de nterés compuesto durante años Determne los ntereses producdos cada año el captal fnal obtendo al acabar el plazo prevsto Al fnalzar el º año: Al fnalzar el º año: 8 Al fnalzar el º año: 88 Por lo tanto, el captal fnal sería: ++8+= euros El cálculo drecto del captal fnal, podríamos obtenerlo, tambén, utlzando la fórmula del nterés compuesto: C F C I r t 8 EJERCICIO a ( puntos En una urbanzacón se ha realzado un estudo sobre el número de personas que habtan en cada pso se obtenen los sguentes datos Personas Psos 8 ( puntos Cuántos psos ha en la urbanzacón? Del enuncado se desprende que la varable estadístca X que se está estudando es el número de personas que habtan en cada uno de los psos de un conjunto de psos observados, en concreto el número de psos observados es la suma de la segunda fla de la tabla: ++++8=8 Esta varable estadístca toma los valores con frecuenca absoluta, con frecuenca, con frecuenca, con frecuenca, por últmo, la frecuenca absoluta del valor es 8

31 ( puntos Determne la meda la moda de la dstrbucón Dsponendo la tabla en la forma clásca con la notacón tradconal, efectuamos los cálculos prevos necesaros para contestar a éste al sguente apartado: Nº personas: X Frec Absol n n n Sumas 8 78 La meda artmétca, _, de la varable X, vene dada por _ n n n 8 8 El valor modal de esa varable estadístca, el de maor frecuenca, es ( puntos Determne la varanza la desvacón típca de la msma La varanza, s, de la varable X, vene dada por la epresón: s n n n _ ( La desvacón típca, s, es la raíz cuadrada de la varanza: s

32 EJERCICIO La duracón de un tpo de plas alcalnas sgue una dstrbucón Normal de meda horas una desvacón típca de horas a ( puntos Calcule la probabldad de que una pla elegda al azar dure más de horas Sea X la varable aleatora duracón de un tpo de plas alcalnas El enuncado dce que esa varable aleatora X sgue una dstrbucón Normal, N(, S X sgue una le Normal con esos parámetros, meda desvacón típca, la varable Z X sgue una le Normal de meda desvacón típca, cuas probabldades están tabuladas La pregunta formulada se puede epresar así: P( X 9 X P( P( Z P( Z P( Z b ( puntos Calcule la probabldad de que una pla elegda al azar dure entre 8 horas La epresón matemátca de la pregunta formulada es: P( X 8 P X 8 P Z P( Z P Z 9 79

33 ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN EN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO a ( puntos Raconalce las epresones 8 8 b ( puntos Halle el conjunto de solucones de la necuacón 8 EJERCICIO a ( puntos Calcule la dervada de la funcón f ( b ( puntos Durante 8 años, un captal ha estado depostado en un banco con un nterés compuesto del %, sendo el captal fnal obtendo en estos 8 años de 8 euros, calcule el captal ncal que se depostó en el banco Calcule los ntereses producdos durante los dos prmeros años EJERCICIO a ( puntos En una progresón artmétca, sabemos que el prmer térmno es gual a el octavo es gual a 8, halle la dferenca de la progresón la suma de los prmeros térmnos b ( puntos Calcule la dervada de la funcón f ( ln 8 EJERCICIO Tomamos un grupo de ordenadores, en los que estudamos la velocdad la memora, obtenendo los resultados X=Memora Y=Velocdad 9 8 a ( puntos Obtenga la ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X Cuál es la velocdad de un ordenador cua memora es 7? b ( puntos Calcule el coefcente de correlacón lneal e nterprete su valor

34 EJERCICIO a ( puntos Un cajón contene pezas, de las cuales, son tornllos, son tuercas son púas Se etraen dos pezas al azar sn reemplazamento Halle la probabldad de que la prmera peza sea una tuerca Halle la probabldad de sacar tuercas b ( puntos Estude la contnudad dervabldad, en el punto =, de la funcón f ( 8 9 s s EJERCICIO La vda útl de un modelo de pla sgue una le Normal con una meda de horas desvacón típca de horas: a ( puntos Qué porcentaje de este modelo de pla tendrá una duracón nferor a horas? b ( puntos Halle la probabldad de que una pla de este modelo elegda al azar, tenga una duracón comprendda entre 9 horas

35 RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE EJERCICIO a ( puntos Raconalce las epresones b ( puntos Halle el conjunto de solucones de la necuacón El conjunto de solucones de la necuacón es el consttudo por todos los números reales menores o guales que - lo que tambén se puede epresar así,

36 EJERCICIO a ( puntos Calcule la dervada de la funcón Aplcando la regla de dervacón de un cocente f ( f ( 8 7 b ( puntos Durante 8 años, un captal ha estado depostado en un banco con un nterés compuesto del %, sendo el captal fnal obtendo en estos 8 años de 8 euros, calcule el captal ncal que se depostó en el banco Calcule los ntereses producdos durante los dos prmeros años r Utlzando la fórmula del nterés compuesto Ct C, donde C t es el captal fnal al cabo de t años, C es el captal ncal, r es el rédto anual t es el tempo transcurrdo, en años, t 8 8 C C euros El nterés obtendo al fnalzar el prmer año se puede obtener consderando nterés smple, C r t 7 89 Por tanto al fnal del º año el captal obtendo sería 7+89=7 Procedendo de forma smlar para el º año se obtendría el sguente nterés 7 9 En conclusón, nterés producdo al fnalzar el º año: 89, nterés producdo durante el º año 9, nterés total producdo en los dos prmeros años 89+9=8 El captal obtendo al fnalzar los dos prmeros años sería 7+8=9987, cantdad que podría haberse obtendo utlzando nterés compuesto a dos años

37 EJERCICIO a ( puntos En una progresón artmétca, sabemos que el prmer térmno es gual a el octavo es gual a 8, halle la dferenca de la progresón la suma de los prmeros térmnos En una progresón artmétca a n Entonces, a S a n d Calculando a 9 susttuendo en la epresón anteror de la suma S 8 d 8 7d 8 7d d 8 a n a a n a a n S 7 b ( puntos Calcule la dervada de la funcón f ( ln 8 Se trata de dervar una suma en la que el º sumando es una funcón logartmo neperano el º una raíz cuadrada, 8 7 f ( 8 8 EJERCICIO Tomamos un grupo de ordenadores, en los que estudamos la velocdad la memora, obtenendo los resultados X=Memora Y=Velocdad 9 8 a ( puntos Obtenga la ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X Cuál es la velocdad de un ordenador cua memora es 7? 7

38 La ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X tene por epresón _ s r s s _, ó tambén s donde r es el coefcente de correlacón lneal, que vene defndo así s n n es la covaranza, s n n _ s r, s s es la varanza de la varable X, s, desvacón típca de la varable X, es la raíz cuadrada de la varanza últmo, _ n n es la meda artmétca de la varable X s,, por En la tabla sguente se dsponen los cálculos prevos necesaros para la determnacón de los parámetros anterores: X Y ; 8 7; s s 87 9 ; 87 s ; 777 s 79 9; s La ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X es o en forma eplícta La recta obtenda nos permte estmar el valor de la varable Y (velocdad para valores de la varable X (memora En concreto, para una memora de 7 la velocdad estmada según el modelo anteror sería

39 b ( puntos Calcule el coefcente de correlacón lneal e nterprete su valor r s s s Del valor del coefcente de correlacón lneal ha que tener en cuenta dos aspectos: su sgno su valor absoluto (el recorrdo de valores de r va desde a + El sgno nos ndca s la relacón es drecta (al aumentar una varable la otra tambén lo hace ó nversa (s aumenta una varable la otra dsmnue pero no nos ndca s la relacón es ntensa o débl La relacón entre las dos varables, drecta o nversa, es más fuerte cuanto más prómo a es el valor absoluto de r más débl cuanto más se acerque a En nuestro caso se trata de una relacón lneal drecta (a más memora más velocdad mu ntensa EJERCICIO a ( puntos Un cajón contene pezas, de las cuales, son tornllos, son tuercas son púas Se etraen dos pezas al azar sn reemplazamento Halle la probabldad de que la prmera peza sea una tuerca Halle la probabldad de sacar tuercas Tenendo en cuenta que ha pezas, de ellas son tuercas, la probabldad de que la prmera peza etraída sea una tuerca es el cocente Se pueden formar C parejas posbles con las pezas, etraendo una, después otra observando la composcón de la pareja obtenda De esas parejas, C estarían consttudas por tuercas; en consecuenca, la probabldad de que las, dos pezas etraídas sean tuercas es el cocente 7 b ( puntos Estude la contnudad dervabldad, en el punto =, de la funcón f ( 8 9 s s 9

40 Para que la funcón sea contnua en debe cumplrse que lím f ( f ( f ( ( 9 lím f ( ( 8 lím f ( ( Por tanto la funcón dada es contnua en 9 La funcón dervada de la funcón dada es f ( 9 s s Para que la funcón sea dervable en debe cumplrse que f ( f ( En caso de cumplrse la gualdad, éste sería el valor de f ( f ( lím f ( lím f ( f ( 9 En conclusón, esten dervadas laterales en pero como son dstntas la funcón no es dervable en EJERCICIO La vda útl de un modelo de pla sgue una le Normal con una meda de horas desvacón típca de horas: a ( puntos Qué porcentaje de este modelo de pla tendrá una duracón nferor a horas? Sea X la varable aleatora duracón de una pla El enuncado dce que esa varable aleatora X sgue una dstrbucón Normal, N(,

41 S X sgue una le Normal con esos parámetros, meda desvacón típca, la varable Z X sgue una le Normal de meda desvacón típca, cuas probabldades están tabuladas La probabldad de que una pla, elegda al azar, de entre las de ese modelo tenga una duracón nferor a horas se puede epresar así: X P( X P( P( Z 977 En consecuenca, según este modelo, el 977% de las plas tendría una duracón nferor a horas b ( puntos Halle la probabldad de que una pla de este modelo elegda al azar, tenga una duracón comprendda entre 9 horas La epresón matemátca de la pregunta formulada es: P(9 X 9 P X P Z P( Z P Z P( Z P( Z 8 ( 8 8

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