Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el laboratorio

Transcripción

1 Análss de error tratamento de datos obtendos en el laboratoro ITRODUCCIÓ Todas las meddas epermentales venen afectadas de una certa mprecsón nevtable debda a las mperfeccones del aparato de medda, o a las lmtacones mpuestas por nuestros sentdos que deben regstrar la nformacón. El prncpal objetvo de la denomnada teoría de errores consste en acotar el valor de dchas mprecsones, denomnadas errores epermentales. Dado que el valor de las magntudes físcas se obtene epermentalmente por medda (ben drecta de la magntud o ben ndrecta, por medo de los valores meddos de otras magntudes lgadas con la magntud problema medante una fórmula físca) debe admtrse como postulado físco el hecho de que resulta mposble llegar a conocer el valor eacto de nnguna magntud, a que los medos epermentales de comparacón con el patrón correspondente en las meddas drectas, vene sempre afectado de mprecsones nevtables. De este modo, aunque es mposble encontrar en la práctca el valor "certo" o "eacto" de una magntud determnada, no ha duda de que este, nuestro problema es establecer los límtes dentro de los cuales se encuentra dcho valor. CLASIFICACIÓ DE LOS ERRORES El error se defne como la dferenca entre el valor verdadero el obtendo epermentalmente. Los errores no sguen una le determnada su orgen está en múltples causas. Atendendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasfcar en dos grandes grupos, errores sstemátcos errores accdentales. Se denomna error sstemátco a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medda, por tanto, afecta a todas las medcones de un modo defndo es el msmo para todas ellas. Estos errores tenen un sgno determnado las causas probables pueden ser las sguentes: - Errores nstrumentales (de aparatos). Por ejemplo el error de calbrado es de este tpo. - Error personal. Este es, en general, dfícl de determnar es debdo a lmtacones de carácter personal. Un ejemplo de éste sería una persona con un problema de tpo vsual. - Error de la eleccón del método. Corresponde a una eleccón nadecuada del método de medda de la magntud. Este tpo de error puede ponerse de manfesto cambando el aparato de medda, el observador, o el método de medda. Se denomnan errores accdentales a aquellos que se producen en las pequeñas varacones que aparecen entre observacones sucesvas realzadas por un msmo operador. Las varacones no son reproducbles de una medcón a otra, no presentan más que por azar la msma magntud en dos medcones cualesquera del grupo. Las causas de estos errores son ncontrolables para un observador. Los errores accdentales son en su maoría de magntud mu pequeña para un gran número de medcones se obtenen tantas desvacones postvas como negatvas. Aunque con los errores accdentales no se pueden hacer correccones para obtener valores más concordantes con el real, s se emplean m todos estadístcos se puede llegar a algunas conclusones relatvas al valor m s probable en un conjunto de medcones.

2 COCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓ Y SESIBILIDAD En lo que respecta a los aparatos de medda, ha tres conceptos mu mportantes que vamos a defnr eacttud, precsón, sensbldad. La eacttud se defne como el grado de concordanca entre el valor verdadero el epermental. De modo que, un aparato es eacto s las meddas realzadas con él son todas mu prómas al valor "verdadero" de la magntud medda. La precsón hace referenca a la concordanca entre una medda otras de la msma magntud, realzadas en condcones sensblemente guales. De modo que, un aparato será precso cuando la dferenca entre dferentes meddas de una msma magntud sea mu pequeña. La eacttud mplca normalmente precsón, pero la afrmacón nversa no es certa, a que pueden estr aparatos mu precsos que posean poca eacttud debdo a los errores sstemátcos tales como error de cero, etc. En general, se puede decr que es más fácl conocer la precsón de un aparato que su eacttud. La sensbldad de un aparato está relaconada con el valor mínmo de la magntud que es capaz de medr. Por ejemplo, decr que la sensbldad de una balanza es de 5 mg sgnfca que para masas nferores a la ctada, la balanza no presenta nnguna desvacón. ormalmente, se admte que la sensbldad de un aparato vene ndcada por el valor de la dvsón más pequeña de la escala de medda. En muchas ocasones, de un modo erróneo, se toman como déntcos los conceptos de precsón sensbldad, aunque hemos vsto a que se trata de conceptos dferentes. ERROR ABSOLUTO. ERROR RELATIVO S medmos una certa magntud físca cuo valor "verdadero" es 0, obtenendo un valor de la medda, llamaremos error absoluto en dcha medda, a la dferenca: 0 donde en general se supone que << 0. El error absoluto nos da una medda de la desvacón, en térmnos absolutos respecto al valor "verdadero". o obstante, en ocasones nos nteresa resaltar la mportanca relatva de esa desvacón. Para tal fn, se usa el error relatvo. El error relatvo se defne como el cocente entre el error absoluto el valor "verdadero": ε 0 en forma porcentual se epresará multplcado por cen. Cuando ndquemos el valor de una medda de una magntud, tendremos que ndcar sempre el grado de ncertdumbre de la msma, para lo que acompañaremos el resultado de la medda del error absoluto de la msma, epresando el resultado en la forma: ± De ordnaro, dado el sgnfcado de cota de mprecsón que tene el error absoluto, éste jamás debe tener más de dos cfras sgnfcatvas, admténdose por conveno, que el error absoluto sólo puede darse con dos cfras sgnfcatvas s la prmera de ellas es un, o s sendo la prmera un, la segunda no llega 5. En todos los demás casos debe darse un valor con una sola cfra,

3 aumentando la prmera en una undad s la segunda fuera 5 o maor que 5. El valor de la magntud debe tener sólo las cfras necesaras para que su últma cfra sgnfcatva sea del msmo orden decmal que la últma del error absoluto, llamada cfra de acotamento. Como ejemplo damos la sguente tabla de valores de dstntas magntudes (en la columna de la zquerda mal escrtos en la derecha corregdos) para poner de manfesto lo dcho anterormente. Valores Incorrectos 3.48 ± ± ± ± ± Valores Correctos 3.4 ± ± ± ± ± S un valor de medda es leído de una tabla u otro lugar, sn ndcacón de su error, se tomar como error una undad del orden de la últma cfra con que se epresa. DETERMIACIÓ DE LOS ERRORES COMETIDOS E LAS MEDIDAS DIRECTAS Cuando realcemos la medda de cualquer magntud deberemos ndcar sempre una estmacón del error asocado a la msma. Dado que no conocemos el valor "verdadero" de la magntud que deseamos medr, se sguen certos procedmentos para hacer una estmacón tanto del valor "verdadero" de la magntud, como de una cota de error, que nos ndque la ncertdumbre en la determnacón realzada. Dstnguremos dos casos ben dferencados: a) Caso en el que se realza una únca medda de una magntud. En este caso consderamos que el error absoluto concde con el valor de la sensbldad del aparato utlzado para realzar la medda. De este modo el resultado de una medda lo ndcaremos en la forma: ± ( sensbldad) b) Caso en el que se realzan varas meddas de una msma magntud. Con el fn de alcanzar certa valdez estadístca en los resultados de las meddas, es mu convenente repetr varas veces la determnacón del valor de la magntud problema. Los resultados de las meddas ndvduales pueden presentarse poco o mu dspersas, en funcón de esta dspersón será convenente aumentar o no, el número de determnacones del valor de la magntud. Para decdr el número determnacones del valor de una magntud físca que deseamos medr seguremos el sguente procedmento. Se realzan sempre tres meddas de la magntud, se calcula el valor medo de estas tres meddas, dado por: 3

4 3 3 3 se halla la dspersón total D de las msmas, es decr, la dferenca entre los valores etremos de las meddas (valor mámo de las meddas obtendas menos el valor mínmo) fnalmente se obtene el tanto por cento de dspersón, T, que vene dado por: T D 3 00 S el valor de la dspersón total D no es maor que el valor de la sensbldad del aparato de medda, D S, en este caso se toma como estmacón del valor "verdadero" de la magntud el valor medo de las tres meddas 3 como error absoluto la sensbldad. Ahora ben, s el valor de la dspersón total D es maor que el de la sensbldad del aparato, D > S, procedemos a aumentar el número de meddas de la magntud. El crtero a segur en este aumento vene condconado por el valor del porcentaje de dspersón T del modo ndcado en la sguente tabla: T en las tres prmeras meddas T % % < T 8% 8% < T 5% 5% < T nº total de meddas necesaras Bastan las 3 meddas realzadas Ha que hacer 3 meddas más, hasta un total de 6 Ha que hacer un total de 5 meddas Ha que hacer 50 meddas como mínmo Una vez realzadas las meddas necesaras se toma como valor verdadero de la magntud, el valor medo de la msma calculado sobre el número total de meddas realzadas. En cuanto al correspondente error se determna según los casos como sgue: ) S se han realzado tres meddas, se toma como error absoluto el valor de la sensbldad del aparato, que como hemos ndcado anterormente, es el error absoluto de cada una de las meddas ndvduales. ) S se han realzado ses meddas, entonces se calcula el error de dspersón defndo como D6/4 (cuarta parte de la dspersón total de las ses meddas, es decr, la dferenca entre la maor menor de todas las meddas realzadas), se asgna como error absoluto de las meddas, el mámo entre este valor la sensbldad del aparato. 3) S se han realzado qunce meddas o más, el error absoluto puede calcularse por la epresón: ( ) ( ) que proporcona el error cuadrátco medo o desvacón estándar de las meddas, donde son cada uno de los valores meddos, es la meda artmétca de las meddas ndvduales es el número de meddas realzadas. 4

5 DETERMIACIÓ DEL ERROR DE UA MAGITUD MEDIDA IDIRECTAMETE La medda ndrecta de una magntud se alcanza por aplcacón de una fórmula a un conjunto de meddas drectas, (varables ndependentes o datos), que las relaconan con la magntud problema. Medante dcha fórmula se obtene tambén el error de la medda según pasamos a eplcar. Antes de contnuar, debemos ndcar que s en dcha fórmula aparecen números rraconales tales como p, e, etc., debemos elegr el número de cfras sgnfcatvas con que deben tomarse a la hora de realzar los cálculos correspondentes, de modo que los errores cometdos al apromar estos números rraconales no afecten a la magntud del error absoluto de la magntud que queremos determnar. Supongamos que la magntud F es funcón de otras magntudes físcas, estando relaconada con ellas por F f (,, z,...). Supongamos además, que se han realzado meddas de las ctadas varables,,, z...; se han determnado su valor su error. Para realzar el cálculo del error absoluto de F, en funcón de los errores absolutos cometdos en las determnacones drectas de,, z... se procederá de la sguente forma: En prmer lugar se obtene la dferencal total de F en funcón de las dferencales de las varables,, z,...; medante : df d d dz... z A contnuacón asmlamos las dferentes dferencales a los errores absolutos, además consderamos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable, es decr, error maor, para lo cual tomaremos los valores absolutos de las dervadas parcales, con el fn de tener una suma de térmnos postvos, obtenendo para el valor del error absoluto de F el resultado: F z... z En este problema se presenta una notable smplfcacón en el caso en el que la funcón consderada sea de la forma: a b c F z... con a, b, c,... constantes postvas o negatvas, a que en este caso, podemos proceder del sguente modo, tomando logartmos neperanos: s a contnuacón obtenemos la dferencal: ln F a.ln b.ln c.ln z d(ln F) a.d(ln ) b.d(ln ) c.d(ln z) tenendo en cuenta la dferencal logarítmca dada por: tenemos que: d(ln u) (du)/u 5

6 df F d a d dz b c... z donde asmlando de nuevo los dferencales totales a los errores absolutos obtenemos: Ejemplo numérco del cálculo de errores. F z a b c... F z Vamos a calcular el error de una magntud F que depende de otras a través de una epresón del tpo: ( )z F (u v)w consderemos que se han meddo las magntudes de las varables se han determnado sus valores absolutos de modo que: 7.33 ± ± 0.05 z 0.0 ± 0. u 50. ± 0. v.033 ± 0.0 w 3.6 ± 0.0 vamos a obtener el valor de la magntud F el error correspondente a la msma, prmeramente tenemos: en segundo lugar se obtene el error medante: F.8579 F z z u u v v w w realzando cálculos se obtene: z (u v)w z (u v)w ( ) z (u v)w ( )z u (u v) w ( )z v (u v) w w ( )z (u v)w tras aplcar valores absolutos realzar las operacones numércas obtenemos: F

7 tenendo en cuenta el número mámo de cfras sgnfcatvas del error absoluto: F 0.04 con lo cual vemos que la últma cfra sgnfcatva en el valor de F es la segunda cfra decmal, de modo que fnalmente epresamos: F.86 ± 0.04 COSTRUCCIÓ DE GRÁFICAS La representacón gráfca de los fenómenos físcos que estudemos debe ajustarse a las sguentes normas: ) Gráfcas en papel mlmetrado con los ejes ben trazados, en cuo centro ndcaremos la magntud representada, en las undades en que ha sdo medda (con letra grande clara). El título de la gráfca ser claro vendrá ndcado en la parte superor. ) La varable ndependente del fenómeno debe r representada en abscsas la dependente en ordenadas. 3) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permtr una lectura rápda senclla. Para ello se elegrán las escalas con ntervalos de,, 5, 0, 0,... etc. undades (ponendo pocos números). 4) Las escalas deben abarcar todo el ntervalo de meddas realzadas sólo el ctado ntervalo. 5) Sobre los ejes sólo se ndcan los valores correspondentes a las dvsones enteras de la escala (que han de quedar así unformemente espacadas). unca se señalan los valores correspondentes a las meddas realzadas. 6) Los valores meddos se representan sobre el papel mlmetrado por el punto correspondente a sus dos coordenadas (punto epermental) rodeado por el denomnado rectángulo de error, cua base abarca desde - hasta cua altura se etende desde - hasta, sendo (,) las coordenadas del punto epermental. En el caso de que o sean desprecables en comparacón con la escala utlzada, el rectángulo de error queda reducdo a un smple segmento vertcal u horzontal, según sea el caso. 7) Las gráfcas han de ser líneas fnas "contnuas " nunca quebradas, que han de pasar por todos los rectángulos de error, aunque para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos epermentales que pueden quedar a derecha o zquerda de la gráfca. S al hacer esta operacón, alguno de los rectángulos de error, queda ecesvamente alejado de la forma contnua de la gráfca, es prueba de que esa medda es falsa por alguna causa accdental, debe repetrse. AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIÓ POR EL MÉTODO DE MÍIMOS CUADRADOS Con frecuenca, se plantea el problema de encontrar una epresón matemátca del tpo f(), de la le físca que rge el comportamento de un determnado fenómeno, a partr de una sere de meddas (, ), de las magntudes e que lo caracterzan. Cuando la representacón gráfca del fenómeno estudado proporcona una dstrbucón de los puntos epermentales en forma 7

8 8 práctcamente lneal, es convenente determnar la ecuacón de la recta que será epresón de la le físca que rge el fenómeno estudado, utlzando para ello el método de mínmos cuadrados. Dcha recta debe cumplr la condcón de que los puntos epermentales, queden dstrbudos smétrcamente a ambas partes de la msma, además, lo más prómos posble. Esta condcón se cumple s se oblga a que la recta de ecuacón: a b cumpla con que la epresón: ) b a ( c tenga un valor mínmo. Dervando c respecto a "a" "b", anulando ambas dervadas, tras una sere de operacones se obtene: a b Además de los valores de la pendente la ordenada en el orgen, es nteresante obtener el denomnado coefcente de correlacón lneal r, que nos da una medda del grado de correlacón entre los valores de las varables e, es decr, hasta qué punto e están relaconadas medante una funcón lneal. La epresón de r es: r varía entre 0 (no este correlacón) ± (correlacón completa). Las epresones correspondentes al cálculo del error de la pendente la ordenada en el orgen son: ) ( ) ( b) a ( a

9 b ( ) ( a ( ) b) ITERPOLACIÓ E TABLAS DE SIMPLE ETRADA Las tablas de smple entrada nos proporconan el valor de una varable dada en funcón de otra z vceversa. Cuando se quere determnar el valor de z que corresponde a uno dado de no tabulado, o vceversa, se determnan prevamente los valores tabulados de z entre los que se encuentra los de nuestro problema. Sean z z entonces, la relacón que lga con z puede escrbrse apromadamente según la fórmula lneal: z z z z ( ) que permte determnar z en funcón de o vceversa. El error de z resulta ser: z z z ITERPOLACIÓ E TABLAS DE DOBLE ETRADA En las tablas de doble entrada para cada pareja de valores (,) se proporcona el valor correspondente a una tercera varable z relaconada con las dos anterores. En este caso el trazo de tablas entre cuos valores se encuentran el z buscado, presenta el aspecto: z z z z la relacón apromada que permte el cálculo de z es: z z z z z z ( ) ( ) puede ser utlzada en la nterpolacón nversa, es decr, en la determnacón de o, conocdos los valores de (,z) o de (,z). El error de z resulta obtenble análogamente de la epresón: 9

10 z z z z z 0

11 Teoría de errores. Determne el error absoluto relatvo de cada una de las meddas del sguente conjunto de datos :.,.3,.0,.,.8,.6, Eprese correctamente los errores sguentes : , 3789, , 30, ,.3986, , 0.08, , Eprese correctamente (cuando sea necesaro) las meddas errores sguentes : a) ± 0.34 b) ± 6.34 c) ± 0.34 d) ± e) ± f) 6789 ± g).9 ± h) 9 ± 3 ) ± j) 00 ± 0.5 k) 679 ± 300 l) ±.79 m) (leído en una tabla sn ndcacones de error). n) π 3.45 (valor del número p leído en una tabla). ñ) g 9.8 (valor de la gravedad leído en una tabla). o) 0.56 ± 4 p) ± q) ± 0.7 r) 5 ± 0.5 s) 7.0 ± 0.5 t) 7.0 ± u) 000 ± 0 v) ± 0.0 w) ± ) 6578 ± 0. ) ± 0.6 z) ± Indque cuántas meddas debe realzar en cada uno de los sguentes casos determne (en su caso) el valor verdadero de la medda junto a su error : a) Se han obtendo las sguentes meddas: 0.0, 0.0, 0.03 utlzando un nstrumento de sensbldad b) Se han obtendo las sguentes meddas: 0.0, utlzando un nstrumento de sensbldad c) Se han obtendo las sguentes meddas: 0.5, 0.33, 0.0 utlzando un nstrumento de sensbldad 0.0.

12 d) Se han obtendo las sguentes meddas: 0.77, utlzando un nstrumento de sensbldad 0.0. Posterormente prevendo la necesdad de tomar más meddas se determnaron, por orden, las sguentes: 0.77, 0.76, 0.76, 0.78, , , 0.77, 0.79, 0.78, e) Se han obtendo las sguentes meddas:.3,.9,.7 utlzando un nstrumento de sensbldad 0.0. Posterormente prevendo la necesdad de tomar más meddas se determnaron, por orden, las sguentes:.4,.3,.5,.4,.7,.6,.3,.3,.4,.8,.3,.4,.5,.7, La magntud f f(,) vene dada por : 4- se sabe que (.33 ± 0.07) e (.8976 ± 0.003). Determínese el error en la magntud f. 6. Se ha meddo el volumen de un clndro con auda de una regla (sensbldad mm) para medr su altura un nonus (sensbldad 0.05 mm) para medr el rado. Las meddas fueron de 5.8 cm de 45.5 mm. Determne el volumen su error. 7. Se ha meddo la velocdad de un móvl que se mueve con movmento rectlíneo unforme con auda de una regla graduada en mlímetros de un reloj que apreca a las centésmas de segundo. Las meddas obtendas ndcan que el móvl recorró 5 m en.45 s. Determne el error en la velocdad obtenda. 8. Se ha meddo la aceleracón de un móvl a partr de la obtencón del tempo consumdo en recorrer 00 m. Se utlza un metro graduado en cm un reloj que apreca las décmas de segundo. Obtenga el error en la aceleracón cuando se observan tempos de 5.3 s, 5.6 s, 5.4 s. 9. Para determnar el volumen superfce de una esfera se utlza un nonus de sensbldad 0.05 mm. Se obtene un valor para el dámetro de mm. Calcule la superfce el volumen de dcha esfera así como su error. 0. Se tenen 8 g (± 0. g) de vapor de agua en una botella cuo volumen ha sdo calculado obtenéndose un valor de 45 cm3 (± 5 cm3). S se ntroduce un termómetro graduado en décmas de grado centígrado se mde una temperatura de 5 C. Suponendo una apromacón de gas deal, calcule la presón del gas su error. (Suponga que el peso molecular del gas no tene error).. En un epermento se han obtendo los sguentes datos en abscsas :.0 ± 0.,.0 ± 0.3, 3.5 ± 0.7, 4. ± 0.4, 5.6 ± 0.3, 7.0 ± 0.5, 9. ± 0.6,.4 ± 0.4; los correspondentes datos en ordenadas fueron : 8.9 ± 0.3, 6.5 ± 0.5, 6. ± 0.7, 3. ± 0.4, 43.0 ± 0.6, 49.6 ± 0.5, 6.6 ± 0.7, 88.0 ± 0.4. Construa una tabla con los datos. Dbuje estos datos en papel mlmetrado con su correspondente rectángulo de error; encuentre el ajuste por mínmos cuadrados con ndcacón de la pendente su error, la ordenada en el orgen su error el coefcente de correlacón.

13 . En una tabla pueden leerse los sguentes datos : Presón (bar) Temperatura ( C) Obtenga la temperatura para un valor de la presón de 0.55 bar. 3. En la práctca Tensón superfcal, se calcula la tensón superfcal de un líqudo problema, determnando la dferenca de fuerza F, entre la medda ncal del dnamómetro, con el anllo suspenddo en el are, la medda obtenda en el momento de desgarre. Sabendo que la tensón superfcal es σ F/4πr, donde el rado r del anllo es (5.0 ± 0.) cm. Hallar la tensón superfcal de los 3 líqudos problema sguentes con su error, s el número de meddas dsponbles es sufcente. Líqudo número. F 49 dn, 43 dn 407 dn. La sensbldad del dnamómetro es dn. Líqudo número. F 0 dn, 0 dn 00 dn. La sensbldad del dnamómetro es dn. Líqudo número 3. F 57 dn, 58 dn 563 dn. La sensbldad del dnamómetro es dn.