Físicas (1º curso CC AA) Teoría de Errores (Programa de Prácticas)

Transcripción

1 Físcas (1º curso CC AA) Teoría de Errores (Programa de Práctcas)

2 Programa IB. Teoría de Errores. (h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón.

4 Granada Málaga 131.0km

5 Granada Málaga 131±1 km Es nteresante decr km? Es eacto/centífco? Sgnfca km? Qué precsón tene? Qué es la verdad? m Podríamos aceptar un error de 1000 m? mm Más vale acertar apromadamente que errar eactamente John Maynard Keynes Economsta

6 Cuánto mdes? Se puede aceptar un error de 1000 m? Qué error se puede aceptar? El error: relatvo a la magntud Qué error es nevtable? Cuántas cfras podemos escrbr?

7 Conteto Esta pequeña ntroduccón nos ha plantado algunas preguntas Ahora pasamos a algunas defncones nteresantes para empezar a contestar

9 Error Absoluto D m D = error absoluto m = valor meddo o apromado = la verdad

10 Error Relatvo e D 100% m e = error relatvo m = valor meddo o apromado D = error absoluto

11 Intervalos de confanza m ma mn m mn m ma d mn = mámo posble subestmacón d ma = mámo posble sobreestmacón m = valor meddo o apromado = la verdad

12 Smetría En el caso que ma mn (lo que pasa con frecuenca) D Solemos escrbr la medda así m D

13 Ejemplo asmétrco Dstanca sol-terra : (150 ± 3) 10 6 km Error absoluto: km Error relatvo: % No es smétrco, en realdad (vara) km < < km Nosotros trabajaremos con casos smétrcos

14 Defncones Eacttud - grado de concordanca entre el. valor verdadero y el epermental Precsón - concordanca entre una medda y otras. de la msma magntud, realzadas. en condcones. sensblemente guales. Sensbldad - el. valor mínmo de la magntud. que. un aparato es capaz de dferencar

15 Eacttud y Precsón Trando flechas

16 N precso n eacto

17 Precso

18 Eacto

19 Eacttud y Precsón A)N precso n eacto B) Precso y eacto C) Imprecso y eacto D)Precso pero neacto 19

21 Qué sabemos Aceleracón de gravedad, g= Número de Avogadro, N= Velocdad de luz, c=

22 Epresón de magntudes físcas Cantdad Undad (!!) Grado de confabldad índce de eacttud error

23 Epresón de cantdades El orden de cálculo no es nada ntutvo PRIMERO: Error absoluto ENTONCES: Valor de la cantdad

24 Qué edad tenes? Antes de contestar: Prmero elges las undades Cas sempre en años Un bebé puede tener 0 años? (mejor meses) Segundo aceptas un error absoluto Nunca contestas hasta más o menos una hora Normalmente: hasta +/- 1 año Los dos pasos anterores están relaconados (y mucho) ENTONCES: un nño dce cuatro años y medo un alumno dce 19 años

25 Epresón de cantdades Segumos el msmo orden PRIMERO: Error absoluto ENTONCES: Valor de la cantdad OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS)

26 Epresón de cantdades 1º Elegr la magntud º Determnar el valor y «aceptar» un error EDAD DEL PROFESOR Edad : 51,758 años Error : 1 año 3º Adaptar las cfras del valor y el error Edad: 51 +/- 1 año o será más acertado redondear a 5 +/- 1 años 6

27 Paso 3º: Adaptar las cfras del valor y el error Conveno para la Epresón de cantdades Pérdda de nformacón nunca será mayor del 0% El conveno para epresar correctamente las cantdades usa el concepto de CIFRA SIGNIFICATIVA: Las cfras sgnfcatvas son aquellas que aportan nformacón útl tanto del error como del valor de la cantdad: o Caso del error: Las cfras sgnfcatvas son la prmera o segunda cfra desde la zquerda dependendo del valor del error (ejemplo: de ±3,4567 es el «3»; de ±0, es el «5»; de ±1,5681 son el «1» y el «5»). o Caso del valor: Las cfras sgnfcatvas dependen del error. Un esquema nos ayudará a epresar correctamente las cantdades 7

28 Conveno para la epresón de cantdades del valor del error

29 Conveno para la epresón de cantdades del valor del error OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS) 9

30 El error absoluto Conveno: solo tene uno o dos dígtos sgnfcatvos En general, uno (1,,3,4,5,6,7,8,9) 10 N Ejm: poblacón de Granada ± = (± 4)10 4 ± = (± 3)10 4 ± = (± 35)10 3 Ecepcón: podemos usar dos cuando redondear nos quta mucha nformacón: S el prmero dígto es 1 S el prmero dígto es y el segundo es nferor a 5 Redondear 84 a 80 nos da un error de menos de 5% (ejm: edad de un abuelo) Redondear 6 a 10 es muy bruto: hay mucha dferenca! (ejm: edad de un nño) (10,11,1,13,14,15,16,17,18,19,0,1,,3,4) 10 N-1 Ejm. Poblacón de Almuñecar ±1000 = (± 1)10 3 ±1300 = (± 13)10 ±1350 = (± 135)10 1

31 Epresando el error absoluto Solo un dígto sgnfcatvo (1,,3,4,5,6,7,8,9) A veces se permten dos (10,11,1,13,14,15,16,17,18,19,0,1,,3,4) Los ceros normalmente no son sgnfcatvos Al fnal de la cfra Al prncpo de la cfra

32 La Magntud de la Cantdad Cuanto mdes? No más precsa que permte el error! Ejm: h = / m h = / m S sólo sabes tu altura hasta el centímetro, qué sentdo tene especfcar los mlímetros?

33 Ejemplos de Magntudes Incorrectos (U) Correctos (U) Mejor? (U) 3.418± ± ± ± ± ± ±0.1 ó 3.4± ± ± ± ±0.006 (34±1) 10 - (630±9) 10 - (463±16)10-1 (4835±15) 10 - (17±6) 10-3

34 Errores Se desconoce la verdad Sempre hacemos algún tpo de error Objetvos: Caracterzar/conocer los errores Mnmzarlos cuando es posble

36 Tpos de Errores Errores sstemátcos Dfícl a caracterzar S los conocemos, los corregmos Pueden ser constantes afectan todas meddas Errores aleatoros Inevtables y desconocdos, pero unas hpótess: Dstrbucón de frecuencas normal Más pequeñas, más frecuentes Promedo de cero

37 Errores aleatoros Errores de dscernmento Cambos en las condcones epermentales Errores de especfcacón en los procesos de fabrcacón (por ejemplo, una bola esférca metálca puede estar lgeramente ovalada o contener planos) Se pueden reducr ( cómo?)

38 Error cuadrátco medo (MSE) Cuando se hace múltples (N) meddas ( ) de un fenómeno ALEATORIO, se puede estmar el error cuadrátco medo, 1 Donde es el promedo de las N meddas Cuando más meddas hay, menos error (Hasta certo punto) N N 1 ( )

39 Deduccones Una estmacón es mejor cuando menos error sstemátco tene menos error aleatoro tene Los errores son nevtables Medr con cudado, y precsón A veces, hacen falta muchas meddas Cuántas meddas necestamos?

40 Unas reglas práctcas para medr una cantdad en el laboratoro Para empezar: tres (3) meddas con error epermental e (sensbldad) Calcular la dspersón: D = ma mn Comparar D y e D <= e Error domnante es tpo sstemátco (lmtacón de nstrumento) No se puede hacer mucho! Tomar como valor, e D > e Error es tpo aleatoro Posblemente, hace falta más meddas! Cuántas meddas bastan?

41 Tanto por cento de dspersón T 100% D T<% %<T<8% 8%<T<15% T>15% N Error Epresón e má ( D6 / 4, ) / N 1 /( N 1)

42 Tanto por cento de dspersón T 100% D T<% %<T<8% 8%<T<15% T>15% N Error Epresón e má ( D6 / 4, ) / N 1 /( N 1)

43 Cuantas Meddas Volveremos a este tema con unas defncones de la estmacón de errores Ahora: motvacón para el tratamento de (y propagacón de) los errores

44 Motvacón Granada Jaén: 94±1 km Dgamos que se sabe que el tempo promedo para el vaje es 1.0± 0.1 horas Cuál es la velocdad promeda para el vaje? Acordarse: para escrbr un resultado, hay que empezar con el error! Cómo podemos determnar el error en esta estmacón?

46 Propagacón de errores Hay una dstncón entre Errores en meddas drectas Errores en magntudes dervadas Un poco de teoría (mportante)

47 Propagacón lneal de errores -Sea f f (, y, z, c) La funcón f lga a la magntud que nos nteresa hallar (f) con las magntudes ndependentes que se obtenen del epermento (,y,z) y con una constante (c). Dferencando: df f d f y dy f z dz f dc c S dentfcamos los ncrementos con los errores absolutos de las varables correspondentes, en el caso más desfavorable se obtendrá: Df f D f y Dy f z Dz f Dc c Sensbldad de f al determnante z Error en z

48 Dervadas parcales Son mprescndbles en esta asgnatura A revsar! No solemos trabajar con ejemplos muy dfícles y a n y' y n a n1

49 Ejemplo numérco Densdad de flujo radatvo emtda por un cuerpo negro E T 4 s = W m - K -4 (constante de Stephan-Boltzmann) Para un cuerpo negro con T = K Cómo podemos epresar E? 4 valores

50 E DE T 4T 3 DT Ejemplo numérco E D E T K T Wm K Wm E = W m - Podemos hacer mejor s = W m - K -4

51 Resumen: propagacón lneal de los errores ),,, ( c z y f f c c f z z f y y f f f D D D D D Tenemos que pensar en esta ecuacón en muchas ocasones (en todas las práctcas)

52 Ejm: (ntutvamente) Como pesar una cantdad de H O (l) Botella vacía: 90.04g 70.04g (Msma) botella con agua: Escala con sensbldad = 0.01g Claro, el agua pesa: 0g pero ERROR? g

53 Como pesar una cantdad de H O (l) (centífcamente) Botella vacía: = 0.01g 90.04g 70.04g (Msma) botella con agua: y= z = y 0.01g Dz Dz z z Dy D y Dy D g

54 Resumen: propagacón lneal de los errores ),,, ( c z y f f c c f z z f y y f f f D D D D D Ahora un ejemplo epermental

55 Altura de un acantlado Cómo medr? Dfícl mantener un metro en vertcal Otra opcón h v 0 t 1 gt

56 Hacemos una medda 1 h v 0 t gt t = /- 0.01s Posbles errores (aleatoros): v 0 0 Pulgar torpe o errátco A la salda A la entrada al agua A repetr! 1 t = /- 0.01s t = /- 0.01s 3

57 Tanto por cento de dspersón t = / s 1 t s t = / s t = / s 3 T 100% D D 0. 0s = 1.4% T<% %<T<8% 8%<T<15% T>15% N Error Epresón e má ( D6 / 4, ) / N 1 /( N 1) Valor epermental t = / s

58 Nuestro valor epermental t = / s Para poder escrbr h, 1º su error 0 1 gt t v h 1 gt h c c f z z f y y f f f D D D D D t t h g g h h D D D t Dg 1 gt Dt t vd

59 Errores, dstanca frente a tempo h v 0 t 1 gt +/ s Dh gtdt vdt v h t t (s) h (m) v (m/s)

60 epermentalmente con un péndulo Altura de un acantlado g = / m s - 1 er paso: el error Dh gtdt vdt Dh = 0.14m h 1 gt h = / m Valor epermental t = / s

62 Interpolacón en tablas Qué valor (z) tene el calor latente a una temperatura de =1+/-1ºC? Qué error tene este valor? T (ºC) Calor latente de evaporacón (J/g) ( 1 ) ( ) (z 1 ) (z )

63 Interpolacón Lneal 1 z z 1 z z z z D D z z z z Hpótess: A. Error provene de B. Relacón lneal

64 En tablas de doble entrada y 1 y 1 z 11 z 1 z 1 z z z z z 1 11 y y1 1 y y1 z z Dz z 1 z 11 1 D z y 1 z y 11 1 Dy

66 Regresón y Correlacón (Métodos cuanttatvos de análss gráfco) Importanca de las representacones gráfcas Utldad de las versones lnealzadas de los gráfcos (X, Y) Dstntas maneras de llevar a cabo una lnealzacón

67 Regresón Lneal El método se llama tambén mínmos cuadrados La relacón analítca que mejor se ajusta a nuestros datos La mportanca de la eleccón del varable ndependente

68 En que dreccón? Y X y = a + b Error desprecable

69 Suma de cuadrados (Sum of squares) Es útl defnr la funcón (Ch-cuadrado): y ( a b) Una medda de la desvacón total de los valores observados y respecto de los predchos por el modelo lneal. Los mejores valores de la pendente a y la ordenada en el orgen b son aquellos que mnmzan esta desvacón total.

70 Mínmos cuadrados (Least Squares) 0 a 0 b N y y N a N y y b Como buscar el mínmo de una funcón cuadrátca: Prmer dervado = 0

71 Bondad del ajuste (Goodness of ft) El crtero de mínmos cuadrados es objetvo; reemplaza el juco personal de quen mre los gráfcos y defna cuál es la mejor recta. Además, da una posbldad de estmar la bondad del ajuste, a través el coefcente de correlacón (r) entre las varables X e Y Muchas veces se presenta su cuadrado (R ).

72 El coefcente de correlacón ) ( ) ( ), ( y Var Var y Cov y y N y y N y Cov N N N ), ( 1 1 ) ( N N Var N N 1 1 ) ( y y N y N y y Var N N 1 1

73 El coefcente de correlacón Descrbe la correlacón entre los varables r = 0, los varables no son correlaconados r < 0, los varables son ant-correlaconados r > 0, los varables son correlaconados r = 0.95, mucha correlacón r = 0.7, correlacón, pero no mucha

74 R El cuadrado del coefcente de correlacón eprme el porcentaje de la varanza en los varables X e Y que eplca el modelo lneal r = 0.95, el modelo eplca 90% de la varanza r = 0.7, eplca 49% de la varanza r = 0.3, eplca 9% de la varanza

75 Otra ventaja del método Podemos estmar los errores asocados con los parámetros a y b a N N Var ( ) b N N 1 N Var ( )

76 En funcón de r Las ncertdumbres de a y b tambén pueden descrbrse así: a a 1 ( ) 1 N b a Estas ecuacones son muy útles, ya que la mayoría de las hojas de cálculo y programas de ajuste ndcan a, b y (ó a veces R ).

77 Incertdumbre de los parámetros de un modelo general Al gual que en el caso del modelo lneal, mnmzacón de la funcón Ch-cuadrado: a * de modo que mn = (a*, b*, ) Cómo determnar a*, b*,? Procedmento sofstcado Dversas teorías y opnones Depende de cómo es de no-lneal a, b, c,... a aa* 0

78 Es preferble Transformar (a lo lneal) En general, es preferble Método: suponemos un modelo y = a ln() Defnmos z=ln() Entonces: y = a z ( + b ) Buscamos ajuste lneal entre y & z Podemos estmar los errores asocados con los parámetros a y b

79 No gusta hacer muchos cálculos (tocar botones calculador) Muchos cálculos Por eso tenemos ordenadores N y y N a N y y b ) ( N Var N a ) ( 1 N Var N N b

80 No gusta hacer muchos cálculos (tocar botones calculador) Muchos cálculos Por eso tenemos ordenadores N y y N a N y y b ) ( N Var N a ) ( 1 N Var N N b

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