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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDO EAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 0 - TIPO DURACIÓN MÁIMA.0 HORAS 6 DE DICIEMBRE DE 0 NOMBRE Apelldo paterno Apelldo materno Nombre (s) Frma Problema La sguente dstrbucón representan los montos por concepto de carga, adeudados a una compañía amercana de 5 facturas. Intervalos de f Calcular el coefcente de varacón coefcente de smetría. Interpretar los resultados. 5 Puntos Resolucón El coefcente de varacón se defne como, sendo admensonal, de forma susttuendo, la meda la desvacón estándar que se defnen como n m entonces Intervalos de f x 6 x f x 5 5 ( 8. 5). 4 Fronteras de Marcas de x Frecuenca Absoluta f S n f ( x x) m n x f f ( x x ) f ( x x ) Sumas: Sn CV sn f ( x x ) ( ) PE_ EF_TIPO_0-

2 . cv entonces 49.5% El coefcente de smetría (o asmetría) es n a m f ( x x) S n susttuendo, se tene que (. ) ( 5. 04) a El coefcente de sesgo es postvo, la muestra tene sesgo a la derecha. Problema Una empresa comercalzadora de artículos electróncos está consderando comercalzar un nuevo modelo de pantalla LCD. En el pasado, el 40% de los equpos de pantallas que la empresa lanzó al mercado tuveron éxto el 60% no fueron extosos. Antes de lanzar al mercado el equpo de pantallas LCD, el departamento de nvestgacón de mercados realza un extenso estudo entrega un reporte, a sea favorable o desfavorable. En el pasado, el 80% de los equpos de pantalla LCD extosas habían recbdo un reporte de nvestgacón favorable el 0% de los equpos de pantalla LCD no extosos habían recbdo un reporte de nvestgacón favorable. Para los nuevos modelos de pantallas LCD bajo consderacón, el departamento de nvestgacón de mercado ha entregado un reporte favorable, cuál es la probabldad de que el equpo de pantalla LCD tenga éxto en el mercado? 5 Puntos Resolucón Sean los eventos A representa un equpo de pantalla extoso en el mercado. B representa el reporte del Departamento de Mercadotecna es favorable. Del enuncado P( A ) 0.4 P( A ) 0.6 P( B A ) 0.8 P( B A ) 0. de acuerdo con los eventos, se pde calcular P( A B ), del Teorema de Baes, se tene P( A B) P( A) P( B A) P( A) P( B A) P( A B) P( B) P( B) P( A) P( B A) + P( A) P( B A) susttuendo P( A B ) Es decr, la probabldad de que el equpo de pantalla LCD tenga éxto en el mercado, dado que se recbó un reporte favorable es de 0.64 PE_ EF_TIPO_0-

3 Problema Sea una varable aleatora dscreta con funcón de probabldad dada en forma tabular por 0 4 f x a) Obtener una tabla de dstrbucón de probabldad de la sguente varable aleatora Y b) Obtener la meda la varanca de la varable Y 5 Puntos Resolucón a) Al susttur los valores de en la funcón Y, se obtenen los correspondentes valores como Y Y 0 0 () () () Y Y Y Y Y Y Y Y La funcón de probabldad en forma tabular está dada por Y 7 0 fy b) El promedo se defne como E ( Y) f ( ) al susttur se tene E Y E( Y ) E( Y ) 4.75 La varanca se defne por μ Y Var Y Y f E Y E Y al susttur se tene Y Var Y Problema 4 Una muestra aleatora de 0 observacones se toma de una poblacón normal con varanca probabldad aproxmada de obtener una desvacón estándar muestral entre Puntos Resolucón P.4 < S < 8.94 entonces con n0 observacones Sea pde calcular ( ) ( ) σ 4.5 Calcular la 9.4 n S n S P( (.4) < S < ( 8.94) ) P < < P P < < < Χ < 4.5 σ 4.5 σ de tablas de la dstrbucón J cuadrada con nueve grados de lbertad, entonces PE_ EF_TIPO_0-

4 ( ) ( ) P.4 < S < 8.94 P.088 < Χ < Problema 5 S se ajusta correctamente la sensbldad de un reflector actvado por movmento, el número promedo de veces por semana que lo actvan ardllas otros pequeños anmales es de 0.5 a) Cuál es el número promedo de veces que esperaría su actvacón por dchos anmales en dos semanas? b) S ocurrera la actvacón por estos anmales al menos cnco veces en dos semanas, supondría que es necesaro ajustar la sensbldad del reflector? Justfque su respuesta con base a la probabldad. 5 Puntos Resolucón a) Sea la varable aleatora que representa el número de actvacones en una semana. número de actvacones ~ Posson λ una semana Se sabe que la meda la varanca de la varable aleatora con dstrbucón de Posson es gual con el parámetro lambda, entonces para dos semanas debdo al proceso de Posson: Sea Y la varable aleatora que representa el número de actvacones en dos semanas, es número de actvacones Y ~ Posson λ dos semanas El promedo de actvacones para dos semanas es el valor esperado, entonces E( Y) λ Lo que sgnfca que se espera una actvacón en dos semanas, en promedo. b) La actvacón por estos anmales al menos cnco veces en dos semanas, la probabldad a calcular es PY ( 5) PY ( 5) + PY ( 6 ) PY ( 5) PY ( < 5) PY ( 0) + PY ( ) + PY ( ) + PY ( ) + PY ( 4) 4 4 e PY ( 5) PY ( < 5) e 0! 0! 65 PY ( 5) e e La probabldad de que se actve el reflector al menos cnco veces es poco probable, tene maor probabldad que se actve a lo más en cuatro veces, por lo cual se requere un ajuste. Problema 6 Dos drectvos acordaron encontrarse en un restaurante entre las :00 :00 p.m. para comer frmar el acuerdo de su alanza estratégca. Consdérese que es la hora de llegada del drectvo A Y es la hora de llegada del drectvo B. Además, supóngase que Y son ndependentes cada una está dstrbuda unformemente en el ntervalo [,]. a) Obtener la funcón de densdad de probabldad conjunta de Y b) Cuál es la probabldad de que ambos drectvos lleguen entre las :00 las :0 p.m.? c) S a las :00 p.m., el prmer drectvo en llegar es B esperará en el restaurante 5 mnutos antes de rse, cuál es la probabldad de que ambos drectvos coman juntos? 5 Puntos Resolucón a) Del enuncado Y se dstrbuen unformemente en [,], por lo tanto sus funcones de densdad están dadas por PE_ EF_TIPO_0-4

5 ; x f ( x) 0 ; en otro caso ; fy ( ) 0 ; en otro caso se sabe que son ndependentes, entonces debe cumplr con alguna de las condcones sguentes f ( x, ) f ( x) fy ( ) o ben, f f x o ben Y f Y f Y al usar las funcones margnales, se tene f x, f ()() ; x, ( x, ) 0 ; en otro caso b) Se pde calcular la probabldad de que lleguen entre las :00 las :0, esto es P( <.5, Y <.5) por lo tanto P <.5, Y < dxd x d.5 d 0.5 d [ ] [ ].5 0.5[ ] 0.5(.5 ) 0.5( 0.5) 0.5 c) La probabldad de que ambos drectvos coman juntos, dado que B llegó a las :00 p.m. solo esperará 5 mnutos, P.5 Y, entonces prmero ha que determnar la funcón condconal dado un valor esto es ( x,) f ; fy ( ) > 0 f( Y) fy 0 ; en otro caso susttuendo ; < x < f ( Y ) 0 ; en otro caso por lo que la probabldad es.5.5 P.5 Y dx x por ndependenca, se sabe que f Y f x entonces al calcular la funcón margnal de f.5.5 x, se tene P.5 Y dx x PE_ EF_TIPO_0-5

6 Problema 7 Las estaturas (en centímetros) pesos (en klogramos), de 0 jugadores de baloncesto de un equpo, algunos se muestran en la tabla. Estatura (x) Pesos () se sabe que x x x Sumas: a) Estmar la recta de regresón por el método de mínmos cuadrados de los pesos en funcón de la estatura. b) Calcular el coefcente de determnacón e nterpretar el resultado. c) Obtener el peso estmado de un jugador que mde 08 cm. 5 Puntos Resolucón a) Como el coefcente de determnacón se utlza como medda de efcaca de la regresón, éste se calculará a partr del cuadrado del coefcente de correlacón. Las medas son 0 n susttuendo Y 0 Y n x Los parámetros el modelo, son ŷ ˆ β x+ ˆ β x ( 950)( 9) 0 x ˆ 76 β.0 ( 950) x 0 x 0 ˆ β ˆ β x 0 ˆ ˆ β0 βx ( 95 ) por lo tanto el modelo está dado por ˆ.0 x 07.9 b) Para determnar s el modelo es váldo debe obtenerse el coefcente de determnacón. El coefcente de correlacón, está defndo por SSx r SS SS xx PE_ EF_TIPO_0-6

7 SS SS xx 0 x 0 ( 950) x ( 9) x 0 0 x ( 950)( 9) SS x susttuendo r SSx SSxx SS ( 68)( 40.9) entonces el coefcente de determnacón es r ( 68)( 40.9) SS R 0.89 SS SS x 76 xx Del resultado anteror, se puede observar conclur, que el coefcente de determnacón es r 0.89, esto es, 89. % está poco cercano al 00%, por lo que se consdera que el modelo lneal es adecuado para estos datos. c) Se debe consderar la estatura del jugador como varable x, el peso como, entonces la ecuacón de regresón que se calculó es ˆ.0 x 07.9 pero la estmacón es para un valor fuera del ntervalo, por lo que, es ncorrecto hacer la estmacón de un jugador que mde 08 cm. PE_ EF_TIPO_0-7