CAPÍTULO 4 MARCO TEÓRICO

Transcripción

1 CAPÍTULO 4 MARCO TEÓRICO Cabe menconar que durante el proceso de medcón, la precsón y la exacttud de cualquer magntud físca está lmtada. Esta lmtacón se debe a que las medcones físcas sempre contenen errores. En este estudo, se espera encontrar s exste una dferenca sgnfcatva entre las dmensones de una peza dependendo de su poscón. Por tal motvo, para comprobar dcha dferenca de medcones se utlzará el análss de varanza. En este capítulo se encuentra la defncón y el procedmento de la ANOVA así como tambén el procedmento de Tuey. 4. DEFINICIÓN DE ERROR E INCERTIDUMBRE Para poder obtener una medcón confable, hay que controlar dchos factores causantes del error y conocer el nvel de ncertdumbre del sstema de medcón. Antes de contnuar, es necesaro defnr la dferenca entre ncertdumbre y error. E. R. Cohen del Rocwell Internatonal Scence Center, defne error como la dferenca entre el valor meddo de una cantdad físca y el valor verdadero de esa cantdad. Es decr, es la desvacón del valor real contra el valor nomnal del obeto meddo.

2 Defne ncertdumbre como la cantdad que descrbe la probable o posble magntud del error desconocdo. En otras palabras, ncertdumbre se refere al rango estmado donde se encuentra el valor verdadero meddo. Generalmente, los datos obtendos de una medcón, no son utlzados drectamente como resultados, esta nformacón requere un auste o correccón. Esta correccón de los datos observados puede representarse como una funcón matemátca dada por: y = f ( x ; c ; p ) + δf x = datos observados; c = constantes: calbracón, h, aceleracón de la gravedad, etc. p = parámetros: temperatura, presón, dstorsones mecáncas, etc. δf = correccón de los datos analzados. Los datos meddos son transformados en magntudes físcas a través de la funcón f. La precsón de los resultados no sólo depende de la exacttud de la medcón de los datos observados (x ), s no que tambén nvolucra las constantes de calbracón y la evaluacón de los efectos de los parámetros ambentales. Exsten dos clasfcacones de errores expermentales: aleatoros y sstemátcos. Los errores aleatoros son asgnados a la varable x, mentras que, los sstemátcos, a las varables c y p.

3 El proceso de reduccón y correccón de los datos meddos es y = f(x ;c ;p ). Asumendo que cualquer desvacón del valor real fuese mínma, el error del valor de salda (y) está defndo por: ε y = f f f ε x + ε c + x c p ε p δf ε x, ε c y ε p = error desconocdo de los datos Los errores ε defndos en la ecuacón anteror, son desconocdos. Los valores asgnados a x, c, p son estmacones precsas y cualquer error conocdo es automátcamente austado por la funcón f. En un grupo de observacones, x = x real + ε, el error ε se puede descomponer en dos componentes, aleatoro y bas b. El error aleatoro tene una varanza fnta y una meda cero. Mentras que, el error bas el cual es constante entre medcón y medcón, por lo que tene meda fnta y varanza cero. Aunque no hay manera de determnar el error bas, solamente se puede obtener el valor x real + b. A parte de que no hay manera de separar el error b del valor real, tambén es mposble hacer una dferenca entre este error y el aleatoro, debdo a que no es posble hacer medcones guales ya que las condcones y parámetros no se mantenen constantes. Los componentes constantes que ocasonan el error b se referen a los errores sstemátcos. Para conocer la ncertdumbre sstemátca es necesaro modfcar los factores ambentales de tal modo que se pueda determnar la forma en que afectan a los datos o medcones. Con la aleatorzacón de errores sstemátcos se busca dentfcar la magntud de los efectos y hacer la transformacón de errores sstemátcos a correccones conocdas. Los errores sstemátcos restantes son consderados como la ncertdumbre de la magntud del efecto.

4 Cabe menconar que exste una dferenca entre errores sstemátcos e ncertdumbre sstemátca. El Internatonal Vocabulary of Metrology defne error sstemátco como error que permanece constante o varable de forma predecble. La parte predecble del error se puede corregr, sólo aquella parte resdual del error sstemátco conduce a una ncertdumbre sstemátca. Es decr, la ncertdumbre sstemátca se refere a la parte del error sstemátco no predecble. El térmno ncertdumbre sstemátca sólo se aplca a la contrbucón de errores b no corregdos o no meddos. 4. ANÁLISIS DE VARIANZA. ANOVA Análss de Varanza se puede defnr como un conunto de stuacones expermentales y procedmentos estadístcos para el análss de respuestas cuanttatvas de undades expermentales (Devore, 00). Los problemas de ANOVA, dependendo del número de factores a estudar, se clasfcan en ANOVA de un solo factor y ANOVA con factores múltples. Los factores son las varables ndependentes que se pueden controlar. Estos factores afectan drectamente la respuesta Y de un expermento. Durante el análss de datos obtendos durante un expermento, es necesaro dentfcar las varables ndependentes o factores del expermento. Estas pueden ser de gran ayuda para la formacón de bloques. Para el análss de varanza se emplea la prueba F para probar la hpótess nula, la cual afrma la gualdad entre las medas poblaconales o las de tratamento. ANOVA de un solo factor hace una comparacón de más de dos medas poblaconales o de tratamento. Entonces la hpótess nula es: H 0 : µ = µ = L = µ I

5 contra: H a : al menos dos µ son dferentes µ = meda de la poblacón o respuesta promedo del tratamento... µ Ι = meda de la poblacón I o respuesta promedo del tratamento I I = número de poblacones o tratamentos en comparacón La hpótess nula, H 0, es verdadera, entonces las observacones de cada muestra tenen como orgen una dstrbucón normal con la msma meda, µ. Por lo tanto, las medas muestrales deben ser smlares. El estadístco de prueba está basado en comparar la varacón entre muestras, con una medda de varacón calculada a partr de cada una de las muestras. El estadístco de prueba para una ANOVA de un solo factor se defne como: MSTr F = MSE MSTr = Cuadrado Medo de Tratamentos MSE = Cuadrado Medo del Error

6 4.3 DISTRIBUCIÓN F La dstrbucón F tene dos parámetros enteros postvos, v y v. El prmero se conoce como número de grados de lbertad del numerador y el segundo, v, número de grados de lbertad del denomnador. La dstrbucón F se relacona fuertemente con la dstrbucón χ. S y son varables aleatoras χ ndependentes entre sí con v y v grados de lbertad, entonces se demuestra que: F = v v La notacón de la esta dstrbucón es F α,v,v. La curva de densdad de la dstrbucón F no es smétrca por lo que tenemos: F α, v, v = F α, v, v 4.4 PRUEBA F Teorema: Sea F = MSTr/MSE el estadístco de prueba de un análss de varanza de un solo factor, con poblacones o tratamentos y una muestra aleatora de n observacones. S H 0 es verdadera, entonces F tene una dstrbucón F con - grados de lbertad en el numerador y (n-) grados de lbertad en el denomnador. S f representa el valor calculado de F, la regón de rechazo f F α,-,(n-) especfca una prueba con nvel de sgnfcanca α.

7 4.5 PROCEDIMIENTO DE TUKEY Cuando H 0 es rechazada, generalmente se requerrá saber cuales medas poblaconales o de tratamentos son dferentes. Para poder dentfcar las medas dferentes, exsten varos métodos llamados procedmentos de comparacones múltples. Para este procedmento se requere la ntervencón de la dstrbucón de rango estudentzado. Esta dstrbucón requere de dos parámetros: grados de lbertad m del numerador y grados de lbertad v del denomnador. Entonces tenemos que Q α,m,v es el valor crítco de cola superor α de la dstrbucón. Con el valor crítco Q α,i,i(j-) se puede utlzar para generar ntervalos de confanza smultáneos para las dferencas por pares de las medas de las dferentes poblacones o tratamentos (µ µ ). Con la probabldad de -α, tenemos: para toda y, con. w = Q α, I, I ( J ) w µ µ MSE J + w Con la funcón anteror, se obtene una coleccón de enuncados smultáneos de confanza sobre los valores reales de las dferencas entre µ -µ, entre las medas reales de la poblacón o tratamento. Es decr, cada ntervalo que no ncluya cero nos lleva a la conclusón de que hay una dferenca sgnfcatva a nvel α entre los valores de µ y µ.