CASO PRÁCTICO TEORÍA. 1 i (REGRESIÓN LINEAL CON PESOS ESTADÍSTICOS OBTENIDOS DE RÉPLICAS)

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1 Caso 6: Calbrado para fosfato y predccón nversa 43 Caso 6 : Calbrado para fosfato y predccón nversa (REGRESIÓN LINEAL CON PESOS ESTADÍSTICOS OBTENIDOS DE RÉPLICAS) CASO PRÁCTICO Al hacer calbrados con la ley de Beer suele ser habtual suponer que el error es el msmo en todas las meddas de absorbancas (error constante o desvacón estándar constante), hacéndose por tanto un ajuste de regresón lneal sn pesos estadístcos (en realdad se trata de una regresón lneal con pesos constantes, ya que es como s se hubera ponderado con w = 1/1 2 =1). Pero esta suposcón podría no ser correcta, de manera que lo más recomendable es obtener 4-5 réplcas de cada concentracón. Supongamos que los datos obtendos han sdo los sguentes: Se desea analzar estos datos con el fn de construr una recta de calbrado del tpo ley de Beer con un térmno constante C de correccón por línea base (absorbanca de los reactvos): que en térmnos matemátcos podríamos escrbr como la ecuacón de una recta: TEORÍA El modelo de regresón de una varable dependente y frente a una varable ndependente x es de la forma: donde θ es un vector de parámetros desconocdos e ndependentes (θ 1, θ 2, θ 3,... θ P ) y ε es el error expermental. Como es sabdo, dados n pares de observacones (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ),... (x n,y n ), el método general de los mínmos cuadrados consste en calcular el valor de los parámetros θ que mnmce la suma de los resduales al cuadrado. Pero, para que el ajuste tenga las propedades estadístcas adecuadas, es necesaro que los errores ε sgan una dstrbucón normal de meda cero (meddas no sesgadas) y varanza constante (meddas con msma precsón). S la varanza de los errores no es constante, hay que utlzar la estratega de los mínmos cuadrados ponderados (regresón lneal con pesos estadístcos), que consste en calcular el valor de los parámetros θ" que mnmzan la suma de los resduales al cuadrado ponderados con sus pesos estadístcos: ( y f ( x, )) 2 WSSQ = w θ donde los pesos w se toman gual al nverso de la varanza: w = σ 2 1 y = m x + C [ Fosfato] C Absorbanc a = ε l + y = f (x, θ ) + ε

2 44 Caso 6: Calbrado para fosfato y predccón nversa y donde WSSQ sgnfca suma de resduales al cuadrado con pesos estadístcos (weghted sum of squares). En realdad no suele ser posble conocer la varanza exacta σ 2, por lo que tendremos que contentarnos con una estmacón de la msma, que se denota como s 2, de forma que los pesos estadístcos vendrán dados por: donde s es la llamada desvacón estándar de cada punto, obtenda en este caso a partr de las 4 réplcas expermentales que se han meddo en cada punto. Hablaríamos, por tanto, de una regresón lneal con pesos estadístcos, calculados en base a desvacones estándar s obtendas de réplcas. PROCEDIMIENTO PASO A PASO w = 1.- Crear prmero un archvo con los datos 2 1s Selecconar en el menú prncpal la opcón Fle > Make a curve fttng fle - Makfl. Haga clc en Run the program para acceder al sguente cuadro de opcones que nos ofrece varas posbldades para ntroducr los datos: En este caso nos nteresa selecconar x suppled n ncreasng order (normal mode) y s not typed n (nput x,y: s calculated). A contnuacón aparece un cuadro de dálogo donde se escrbrá el nombre del drectoro y del archvo donde se desean guardar los datos (por ejemplo: caso6.sm). Después de pulsar OK deberá r contestando a preguntas sencllas que va hacendo el programa, ncluda la del número de pares de datos que se desean ntroducr, fnalmente se desplega una pantalla tpo hoja de cálculo donde se teclean los datos x,y solamente. Al fnalzar de ntroducr los datos, se pulsa Ext y aparece la sguente pantalla de opcones, donde se seleccona Calculate s values:

3 Caso 6: Calbrado para fosfato y predccón nversa 45 Segudamente el programa ofrece dferentes opcones para calcular las s de los puntos: en este caso debemos elegr la opcón de s = smple Standard devaton, ya que se dsponen de réplcas para determnar la s a partr de ellas. Fnalmente, se vuelve al menú anteror, donde podemos nspecconar los datos elgendo Dsplay table of current (x,y,s) data. Aparecerá una tabla con los valores x,y tecleados y sus s ya calculadas. 2.- Importar los datos desde Excel a través del portapapeles (copar-pegar) Una alternatva al procedmento anteror es abrr el archvo de Excel caso6-xls, luego selecconar las 3 columnas numércas (ojo, sn los nombres de las varables), coparlas al portapapeles (Ctrl+C). Fnalmente cuando el control de SIMFIT solcte abrr el archvo con los datos pulsaremos sobre el botón Paste. 3.- Ajuste de los datos a una recta Selecconar en el menú prncpal la opcón Ft, seguda de la opcón Lnear: multlnear and GLM models - Lnft y fnalmente Run the program. A contnuacón se desplega un submenú con todas las opcones dsponbles:

4 46 Caso 6: Calbrado para fosfato y predccón nversa Selecconaremos la opcón Ft a lne/calbrate (smple). Segudamente aparece una pantalla en la que selecconaremos New data para mportar nuestro archvo de datos (caso6.sm), a contnuacón remos respondendo al programa en la forma usual y al volver al menú de partda selecconaremos ahora la opcón Analyse the current data set. Automátcamente el programa hace el ajuste de regresón lneal por mínmos cuadrados y muestra la sguente tabla con los resultados: En esta tabla aparece, junto con el valor del parámetro, el error estándar (desvacón estándar) asocado a ese parámetro, así como los límtes de confanza al 95 % para dcho parámetro (ntervalo de confanza). La tabla muestra tambén, en la últma columna de la derecha, la probabldad p de que el parámetro sea redundante, es decr que sea tan próxmo a cero que no esté justfcada su nclusón en la ecuacón, cuando p< 0.05 se consdera que el parámetro es sgnfcatvamente dstnto de cero (esta prueba se realza con el test t de Student cuyo fundamento se verá mas adelante). En este caso nnguno de los 2 parámetros es redundante. Fnalmente la tabla ncluye el coefcente de correlacón al cuadrado (R 2 ) y el coefcente de correlacón (R). En conclusón, la ecuacón de la recta, cuando la concentracón de fosfato se expresa en mm, sería ahora: [ ] Absorbanca = 3.69 Fosfato +

5 Caso 6: Calbrado para fosfato y predccón nversa 47 En resumen, esta estratega de haber realzado réplcas de cada determnacón expermental, nos ha permtdo usar pesos estadístcos y nos ha proporconado una recta de ajuste con menores desvacones estándar para los parámetros. No obstante, las dferencas no han sdo muy llamatvas al tratarse de pocos puntos y a que los msmos no se desvían mucho de la lnealdad. Ya se aprecarán dferencas más grandes en otros ejerccos. El programa ofrece a contnuacón dferentes opcones, marcaremos las tres prmeras, ya que ahora s que estamos nteresados en hacer predccón nversa (calbracón), es decr predecr la concentracón de fosfato en una muestra a partr de su medda de absorbanca: Segudamente el programa muestra dferentes opcones para representar los datos, elegremos Orgnal plot axes: Aparecendo a contnuacón una gráfca en la que fguran los puntos expermentales, el ajuste de la recta a los puntos y las bandas de confanza al 95 %, bandas que en este caso son muy estrechas debdo a la precsón de esta técnca espectrofotométrca:

6 48 Caso 6: Calbrado para fosfato y predccón nversa S se desea, esta gráfca se puede edtar pulsando Edt, con el fn de modfcar las escalas y rotular los ejes. S queremos mprmr la gráfca se pca en el botón Wndows (mpresora bajo Wndows) y aparece un menú en el que basta selecconar Prnt now para obtener la copa mpresa. A nosotros nos nteresa ahora mas predecr la concentracón de fosfato en dos muestras a las que hemos meddo su absorbanca (predccón nversa o calbracón). Para ello, el programa nos pregunta prmero desde donde queremos ntroducr los valores de y, desde el termnal o desde un archvo preparado al efecto. Ahora lo más sencllo es selecconar Termnal: Hecho esto se desplega una tabla para teclear nuestros valores, magnemos unas absorbancas de y 0.472:

7 Caso 6: Calbrado para fosfato y predccón nversa 49 A contnuacón el programa calcula los valores de x y sus límtes de confanza asocados: Como puede aprecarse, las predccones están acompañadas de sus ntervalos de confanza, límtes que calcula el programa en base a las expresones correspondentes de propagacón del error y las desvacones estándar de los parámetros. Después de pulsar OK, podemos abandonar el programa pulsando segudamente No y luego Ext.