Especialista en Estadística y Docencia Universitaria REGRESION LINEAL MULTIPLE
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- Luis Miguel Cuenca Márquez
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1 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara REGRESION LINEAL MULTIPLE El modelo de regresón lneal múltple El modelo de regresón lneal múltple con p varables predctoras y basado en n observacones tomadas es de la forma: para =1,,.n. Escrbendo el modelo para cada una de las observacones, éste puede ser consderado como un sstema de ecuacones lneales de la forma: que puede ser escrta en forma matrcal como: O sea, 1
2 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara donde Y es un vector columna n dmensonal, X es una matrz n x p, con p =p+1, b es el vector de coefcentes de regresón a ser estmados, su dmensón es p y e es un vector columna aleatoro de dmensón n Por ahora, las úncas suposcones que se requeren son que E(e= y que la matrz de varanza y covaranzas de los errores está dada por Var(e=σIn, donde In es la matrz dentdad de orden n. Vector de parámetros aqu (X X-1 representa la matrz nversa de (X X. Notar que X X es smétrca, pues su transpuesta da la msma matrz. En la regresón lneal smple, p=1 y el modelo puede ser escrto en forma matrcal como S R = SCE n p 1 S R = S R ( ( ˆ β = R jj VAR S q
3 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara ' ( 1 q jj = dag X X Intervalos de confanza para los ˆ β m t β ( ( VAR 1 / 1 ( ˆ β α n p ( SCT = y y ( ˆ SCR = y y ( ˆ SCE = y y Coefcente de determnacón SCR R = SCT ANOVA para el contraste sobre bondad de ajuste lneal SCT CMT = n 1 SCR CMR = P SCE CME = n p 1 F CMR = CME F p, n p 1 3
4 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara Intervalos de confanza a nvel ( 1 α para la meda y para la predccón en X = X ' ' ( 1 α /, n p 1 R ( 1 yˆ m t S X X X X ( 1 yˆ m t S 1 X X X X ' ' ( 1 /, 1 R + α n p ( Ejemplo: Se quere ajustar un modelo que permta estmar los gastos de almentacón de una famla (Y con base a la nformacón que proporconan las varables regresoras X1 = Ingresos mensuales y X = Número de membros de la famla. Para ello se recoge una muestra aleatora smple de 15 famlas cuyos resultados son los de la tabla adjunta. ( El gasto e ngreso está dado en centos de mles de pesos. GASTO INGRESO TAMAÑO,43,1 3,31 1,1 4,3,9 5,46 1,6 4 1,5 6, 4,44,3 3,5 1,8 6,9 1, 5 1,9 8,9 3,35,4,35 1, 4,78 4,7 3,43 3,5,47,9 3,38 1,4 4 4
5 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara β ur r Y =. 9 = X β + ε = β β r ε X ' X = ,7 X ' Y = 3, 63 8,96 1, , , ( ' 1 -, , ,16475 X X = -,815378,16475,
6 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara.16 ( X X 1 X Y ˆ β ' '.149 = =.77 ˆ β =.16 ˆ β =.149 ˆ β =.77 1 PLANTEAMIENTO DEL MODELO: Yˆ = X +.77X 1 RESIDUALES: e = Y Yˆ Y ˆ e e,386149,5,4541,31846, 6,4394E-7, ,4,144189, ,7,5613 1,69318,18,364878, ,3,76399, ,5,37576, ,8, , ,1,1877,35317, 1,6E-7, ,,5917, ,1,11439, ,8,745, ,3,9983,355457,,6415 SUMA,,
7 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara S = CME = SCE, R,68154 n p = S =,68154 =, R ' ( 1 q jj = dag X X q q q = 1, =, =, ( ( ˆ β = R jj VAR S q VAR VAR VAR ( β ( β1 ( β1 ˆ =, , =,81719 ˆ =,68154, =9,947E-5 ˆ =,68154, =,4486 Intervalos de confanza para los ˆ β m t Para β ˆ β m t β ( ( VAR 1 / 1 ( ˆ β α n p ( ( VAR 1 / 1 ( ˆ β α n p t ( 1,.5 =
8 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara [ m ] ,81719 m =.16, L L s =.16,168964=-, =.16 +,168964=, [ ] P -, < β <, = 9% De la msma forma se realzan los ntervalos para β 1 y β Y ˆ e e ( Y Y ( Yˆ Y,386149, ,4541,11664,41447, ,8459 6,4394E-7,51984,516187, ,379749,144189,4754,34999, ,748349,5613,684, ,69318, ,364878,56944,8961, ,76438,76399,964, , , ,37576,34,9456, , ,68639,6154, , , ,1877,56554, , ,317 1,6E-7,35344,35483, ,434838,5917,35344,458184, , ,11439,58564,535179, , ,745,11664,57999, , ,9983,464,1356,355457, ,6415,4964, SUMA 1,316E-14, , , ( SCT = y y = 1,43164 ( SCR = yˆ y = 1, ( SCE = y yˆ =,
9 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara SCR 1, R = = =, SCT 1,43164 CMT SCT 1,43164 = = =,16 n 1 14 SCR 1, CMR = = =, P SCE, CME = = =,68154 n p 1 1 F c CMR, = = = 113,14143 CME,68154 Pruebas de hpótess ndvduales para los β Para β : 1. H : β = H : β. a 3. α =.5 4. a ˆ β β E P t =. c S β 9
10 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara 4. b R. C. se rechaza H s t < t o t > t ( 1 α / ( n p 1 ( 1 α / ( n p 1 c c R. C. se rechaza H s tc <.18 o tc > a t c ˆ β β.16 = = = S β 5. b
11 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara 6. a Decsón: No se rechaza H. 6. b Conclusón: β = De la msma forma se realzan las pruebas de hpótess para β 1 y β Prueba de hpótess para la convenenca del modelo lneal. H : β = β = 1 Tabla de análss de varanza (ANOVA: FUENTE SUMA DE CUADRADOS GL CUADRADOS MEDIOS F CALC. Regresón SCR P CMR FC Error SCE n-p-1 CME Total SCT n-1 FUENTE SUMA DE CUADRADOS GL CUADRADOS MEDIOS F CALC. Regresón 1, , ,1414 Error, ,68154 Total 1, F = p, n p 1 F =, para α =.5 F > F se rechaza H Como C T Intervalos de predccón para la respuesta meda y para una respuesta ndvdual X = 6 y X = 5 cuando: 1 Yˆ = X +.77X 1 11
12 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara ( ( Y ˆ = = 1.1 X 1 = 6 5 ' X = ( ( 1 X X ' X X =, ' ' ' ( 1 α /, n p 1 R ( 1 yˆ m t S X X X X ( 1 yˆ m t S 1 X X X X ' ' ( 1 /, 1 R + α n p ( 1.1m1.78 (.68154(, ( + 1.1m 1.78 ( , Para la respuesta meda: L L s = = 1.3 = = 1.1 P 1.3 < Y < 1.1 = 9% 1
13 Especalsta en Estadístca y Docenca Unverstara Para la respuesta ndvdual: L L P s = = 1.11 = = 1.13 [ Y ] 1.11 < < 1.13 = 9% VERIFIQUE LOS RESULTADOS MATEMATICAMENTE Y MEDIANTE UN PAQUETE ESTADISTICO INTERPRETE CADA UNO DE LOS RESULTADOS REALICE EL ANALISIS DE RESIDUOS 13
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