4 Contraste de hipótesis en el modelo de regresión múltiple

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1 4 Contraste de hpótess en el modelo de regresón múltple Ezequel Urel Unversdad de Valenca Versón: El contraste de hpótess: una panorámca Formulacón de la hpótess nula y de la hpótess alternatva Estadístco de contraste Regla de decsón 3 4. Contraste de hpótess utlzando el estadístco t Contraste de un solo parámetro Los ntervalos de confanza Contraste de hpótess sobre una combnacón lneal de parámetros Importanca económca versus sgnfcacón estadístca 4.3 Contraste de restrccones lneales múltples utlzando el estadístco F Restrccones de exclusón 4.3. Sgnfcacón global del modelo Estmando otras restrccones lneales Relacón entre los estadístcos F y t Contrastes sn normaldad Predccón Predccón puntual Predccón por ntervalos Predccón de y en un modelo logarítmco Evaluacón de las predccones y predccón dnámca 36 Eerccos El contraste de hpótess: una panorámca Antes de contrastar las hpótess en el modelo de regresón múltple, vamos a ofrecer una panorámca sobre el contraste de hpótess. El contraste de hpótess permte realzar nferencas acerca de parámetros poblaconales utlzando datos provenentes de una muestra. Para realzar el contraste de hpótess estadístco, en general, hay que realzar los sguentes pasos: 1) Establecer una hpótess nula y una hpótess alternatva relatvas a los parámetros de la poblacón. ) Construr un estadístco para contrastar las hpótess formuladas. 3) Defnr una regla de decsón para determnar s la hpótess nula debe ser, o no, rechazada en funcón del valor que tome el estadístco construdo. Vamos a examnar a contnuacón cada uno de estos pasos Formulacón de la hpótess nula y de la hpótess alternatva Antes de referrnos al modo de formular la hpótess nula y alternatva, dstnguremos entre hpótess smples e hpótess compuestas. Las hpótess que se formulan medante una o más gualdades se denomnan hpótess smples. Cuando para formular una hpótess se utlzan los operadores "desgualdad", "mayor que" y "menor que", entonces a dcha hpótess se le denomna compuesta. Es mportante señalar que el contraste de hpótess se refere sempre a los parámetros poblaconales. El contraste de hpótess mplca tomar la decsón, sobre la base de los datos muestrales, de rechazar o no que certas restrccones sean satsfechas por el modelo básco asumdo. Las restrccones que se desean contrastar se conocen 1

2 como la hpótess nula, a la que desgna H. Así pues, una hpótess nula es una declaracón sobre los parámetros poblaconales. Aunque es posble formular hpótess nulas compuestas en el contexto del modelo de regresón, sempre consderaremos que la hpótess nula es una hpótess smple. Es decr, para formular una hpótess nula, utlzaremos sempre el operador gualdad. Veamos a contnuacón algunos eemplos de hpótess nulas referdas al modelo de regresón: a) H : 1 = b) H : 1 + = c) H : 1 = = d) H : + 3 =1 Tambén vamos a defnr una hpótess alternatva, desgnada por H 1, que representa nuestra conclusón en el caso de que el contraste concluya que H es falsa. Aunque las hpótess alternatvas pueden ser tambén smples o compuestas, en el modelo de regresón, tomaremos sempre, como hpótess alternatva, una hpótess compuesta. La hpótess alternatva, a la que se desgna H 1, se formula medante el operador "desgualdad" en la mayor parte de los casos. Así, por eemplo, dada la H : H : 1 (4-1) podemos formular la sguente H 1 : H : 1 1 (4-) que es una hpótess "alternatva de dos colas". Las sguentes hpótess se llaman alternatvas de una cola : H : 1 1 (4-3) H : 1 1 (4-4) 4.1. Estadístco de contraste Un estadístco de contraste es una funcón de una muestra aleatora, por lo que tambén es una varable aleatora. Cuando se calcula el estadístco de contraste para una muestra dada, se obtene un resultado, es decr, un número. Al realza un contraste estadístco sería convenente conocer la dstrbucón del estadístco de contraste bao la hpótess nula. Esta dstrbucón depende en gran medda de las hpótess formuladas en el modelo. S en la especfcacón del modelo se asume el supuesto de normaldad, entonces la dstrbucón estadístca apropada será la dstrbucón normal o alguna de las dstrbucones asocadas a la msma, como son la Ch-cuadrado, la t de Student, o la F de Snedecor. En el cuadro 4.1 se muestran algunas dstrbucones, que son apropadas en dferentes stuacones, bao el supuesto de normaldad de las perturbacones del modelo.

3 CUADRO 4.1. Algunas dstrbucones utlzadas en el contraste de hpótess. 1 o más 1 restrccón restrccones conocda N Ch-square desconocda t de Student F de Snedecor El estadístco utlzado para el contraste se construye tenendo en cuenta la H y los datos muestrales. En la práctca, como es sempre desconocda, se utlzarán sempre las dstrbucones t y F Regla de decsón Para el contraste de hpótess vamos a consderar dos enfoques: el enfoque clásco y un enfoque alternatvo basado en los valores-p. Pero antes de ver la manera de aplcar la regla de decsón, examnaremos los tpos de error que se pueden cometer en el contraste de hpótess. Tpos de errores en el contraste de hpótess En el contraste de hpótess, podemos cometer dos tpos de errores: error de tpo I y error de tpo II. Error de tpo I Nosotros podemos rechazar la H cuando en realdad es certa. A este error se le denomna error de tpo I. Generalmente, se defne el nvel de sgnfcacón () de un contraste como la probabldad de cometer un error de tpo I. Smbólcamente, Pr( rechazar H H ) (4-5) Dcho de otro modo, el nvel de sgnfcacón es la probabldad de rechazar la H cuando la H es certa. Las reglas para el contraste de hpótess se construyen hacendo que la probabldad de un error de tpo I sea sufcentemente pequeña. Los nveles de sgnfcacón usuales para son.1,.5 y.1. Algunas veces tambén se utlza.1. Después de haber tomado la decsón de rechazar o no la H, la decsón puede haber sdo la correcta o puede que se haya cometdo un error. Nunca sabremos con certeza s se cometó un error. Sn embargo, podemos calcular la probabldad de haber cometdo un error de tpo I o un error de tpo II. Error de tpo II Podemos fracasar en rechazar la H cuando en realdad es falsa. S esto sucede se ha cometdo un error de tpo II. Pr( No rechazar H H ) (4-6) 1 En otras palabras, es la probabldad de no rechazar H cuando H 1 es certa. Es mportante señalar que no es posble mnmzar ambos tpos de error de forma smultánea. En la práctca lo que hacemos es selecconar un nvel de sgnfcacón bao. 3

4 Enfoque clásco: Aplcacón de la regla de decsón El método clásco mplca los sguentes pasos: a) Eleccón de. El contraste de hpótess clásco requere que ncalmente se especfque un nvel de sgnfcacón. Cuando se especfca un valor para, esencalmente lo que estamos cuantfcando es nuestra toleranca para un error de tpo I. S =.5, entonces el nvestgador está dspuesto a rechazar H falsamente en un 5% de los casos. b) Obtencón de c, valor crítco, utlzando tablas estadístcas. El valor c se determna por el valor de. El valor crítco en un contraste de hpótess es un umbral con el cual se compara el estadístco de contraste para determnar s la hpótess nula se rechaza o no. c) Comparando el resultado del estadístco de contraste, s, con c, la H se rechaza o no para un valor dado de. La regón de rechazo (RR), delmtada por el valor crítco (c), es un conunto de valores del estadístco de contraste para los cuales se rechaza la hpótess nula. (Véase fgura 4.1). Es decr, el espaco muestral del estadístco de contraste se dvde en dos regones: una regón (la regón de rechazo) nos lleva a rechazar la hpótess nula H, mentras que la otra no nos dea rechazar la hpótess nula. Por lo tanto, s el valor observado del estadístco de contraste s se encuentra en la regón crítca, rechazamos la H ; en el caso de que no se encuentre en la regón de rechazo llegamos a la conclusón, de no rechazar la H o de fracasar en rechazar la H. Smbólcamente, S s c se rechaza H (4-7) S s c no se rechaza H S la hpótess nula se rechaza con la evdenca de la muestra, ésta es una conclusón fuerte. Sn embargo, la aceptacón de la hpótess nula es una conclusón débl porque no conocemos cuál es la probabldad de no rechazar la hpótess nula cuando debe ser rechazada. Es decr, no conocemos la probabldad de cometer un error de tpo II. Por lo tanto, en lugar de utlzar la expresón de la aceptacón de la hpótess nula, es más correcto decr fracasar en rechazar la hpótess nula, o no rechazar, ya que lo que realmente sucede es que no tenemos sufcente evdenca empírca para rechazar la hpótess nula. En el proceso de contrastacón, la parte más subetva es la determnacón a pror del nvel de sgnfcacón. Qué crteros se pueden utlzar para determnar? En general, se trata de una decsón arbtrara, aunque como ya hemos dcho, los nveles de 1%, 5% y 1% para son los más utlzados en la práctca. A veces se efectúa el contraste condconado a dstntos nveles de sgnfcacón. 4

5 Regón de no rechazo RNR Regón de rechazo RR c W FIGURA 4.1. Contraste de hpótess: enfoque clásco. Un enfoque alternatvo: el valor-p Con la utlzacón de ordenadores, el contraste de hpótess puede contemplarse desde otra perspectva mucho más raconal. Así, los programas de ordenador suelen ofrecer, unto al estadístco de contraste una probabldad. Esta probabldad, a la cual se le denomna valor-p (p-value) -es decr, valor de probabldad-, tambén es conocda como nvel de sgnfcacón crítco o exacto, o probabldad exacta de cometer un error de tpo I. Más técncamente, el valor-p se defne como el más bao nvel de sgnfcacón al que puede ser rechazada una hpótess nula. Una vez que el valor-p ha sdo determnado, sabemos que la hpótess nula se rechaza para cualquer nvel de sgnfcacón valor-p; por el contraro, la hpótess nula no se rechaza cuando <valor-p. Por lo tanto, el valor-p es un ndcador del nvel de admsbldad de la hpótess nula: cuanto mayor sea el valor-p, más confanza podemos tener en la hpótess nula. El uso de valor-p camba por completo el enfoque en el contraste de hpótess. Así, en lugar de far a pror el nvel de sgnfcacón, se calcula el valor-p, que nos permte determnar los nveles de sgnfcacón para los que se rechaza la hpótess nula. En las seccones sguentes vamos a ver en la práctca el uso de valor-p en el contraste de hpótess. 4. Contraste de hpótess utlzando el estadístco t 4..1 Contraste de un solo parámetro El estadístco t Bao los supuestos del MCL del 1 al 9, ˆ ~, var( ˆ N ) 1,,3,, k (4-8) S tpfcamos ˆ ˆ ~ N,1 ˆ var( ˆ ) sd( ) 1,,3,, k (4-9) El supuesto de normaldad se apoya en el Teorema del Límte Central (TCL), pero este teorema es restrctvo en algunos casos. Es decr, la normaldad no sempre se 5

6 puede asumr. En cualquer aplcacón, asumr o no el supuesto de normaldad de u es realmente una cuestón empírca. A menudo, medante una transformacón, por eemplo, tomando logartmos, se obtene una dstrbucón que está más cercana a la normaldad y que es más fácl de manear desde un punto de vsta matemátco. Las muestras grandes nos permten prescndr del supuesto de normaldad sn afectar demasado a los resultados. Bao los supuestos de MLC del 1 al 9, se obtene una dstrbucón t de Student bˆ -b tn-k (4-1) ee( bˆ ) donde k es el número de parámetros desconocdos en el modelo poblaconal (k-1 parámetros de pendente y el térmno ndependente, 1 ). La expresón (4-1) es mportante porque nos permte contrastar la hpótess sobre. S comparamos (4-1) con (4-9), vemos que la dstrbucón de t de Student derva del hecho de que el parámetro de ee( ˆ ) ha sdo reemplazado por su estmador ˆ, que es una varable aleatora. Así pues, los grados de lbertad de la t son n-k, correspondentes a los grados de lbertad utlzados en la estmacón de ˆ. Cuando una dstrbucón t tene muchos grados de lbertad (gl) se aproxma a una dstrbucón normal estándar. En la fgura 4. se ha representado la funcón de densdad normal y la funcón de densdad de la t para dferentes grados de lbertad. Como puede verse, las funcones de densdad de la t son más aplanadas (platcúrtcas) y con las colas más anchas que la funcón de densdad normal, pero a medda que aumentan los gl, la funcón de densdad de la t está más próxma de la funcón de densdad normal. De hecho, lo que pasa es que la dstrbucón t tene en cuenta que se ha estmado por ser desconocda. Dada esta ncertdumbre, la dstrbucón de la t se extende más que la de la normal. Sn embargo, cuando los gl crecen, la dstrbucón t está más cerca de la dstrbucón normal porque la ncertdumbre de no conocer dsmnuye. Por lo tanto, debería tenerse en mente la sguente convergenca en dstrbucón: t N(,1) (4-11) n n Así pues, cuando el número de grados de lbertad de una t de Student tende haca nfnto converge haca una dstrbucón N(,1). En el contexto del contraste de hpótess, s crece el tamaño de la muestra, tambén lo harán los grados de lbertad. Esto mplca que para tamaños grandes se puede utlzar, de forma práctcamente equvalente, la dstrbucón normal para contrastar hpótess con una sola restrccón, aun cuando no se conozca la varanza poblaconal. Como regla práctca, cuando los gl son mayores que 1, pueden tomarse valores crítcos de la dstrbucón normal. 6

7 FIGURA Funcones de densdad: normal y t para dferentes grados de lbertad Consdere la hpótess nula, H : Puesto que mde el efecto parcal de x sobre y, después de controlarr para todas las otras varables ndependentes, H : sgnfca que, unaa vez que x, x 3,,x 1, x +1,, x k han sdo tendos en cuenta, x no tene efecto sobre y. Esta H corresponde al denomnado contrastee de sgnfcatvdad. El E estadístco que se utlza para contrastar H :, contra cualquer otra alternatva, se denomna el estadístco t, o la rato t, de ˆ y se expresa comoo t ˆ ˆ ee( ˆ ) Cuando vamos a contrastar H :, es natural tener presente a ˆ nuestro estmador nsesgado de. En una muestra dada ˆ nunca será s cero exactamente,, pero un valor pequeño ndcará una hpótess nula verdadera, mentras que un valor grande ndcará una hpótess nula falsa. La pregunta es: hasta qué punto ˆ está aleada de cero? Debemos recordar que hay unn error de muestreo en la estmacón de ˆ, por lo que el tamaño de ˆ debe comparase con su error de muestreo. Esto ess precsamente lo que hacemos cuando usamos t ˆ, ya que este estadístco mde cuantos errores estándar, está ˆ aleada de cero. A fn de determnar una regla paraa rechazar H, tenemos que decdr sobre la hpótess alternatva relevante. Hay tres posbldades: hpótess alternatvas unlaterales (cola derecha e zquerda) e hpótesss alternatvaa de dos colas. Hpótess alternatva de una cola: derecha En prmer lugar, vamos a consderar la hpótess nula 7

8 contra la hpótess alternatva H : H : 1 Este es un contraste de sgnfcacón postva. La regla de decsón es en este caso la sguente: Regla de decsón S S t ˆ t ˆ t t nk nk se rechaza no se rechaza H H (4-1)( Por lo tanto, rechazamos H : en favor de H : 1 cuando t ˆ t nk comoo puede verse en la fgura 4.3. Está muy claro quee para rechazar H contra H : 1 el valor de t ˆ debe ser postvo. Un resultado negatvo n dee t ˆ, no mporta lo grande que sea, no proporcona nnguna evdenca a favor de H : 1. Porr otra parte, para obtener t en n k la tabla estadístca de la t, sólo necestamos conocer el nvel de sgnfcacónn y los grados de lbertad. En todo caso, es mportante destacar que cuando dsmnuye, t n k aumenta. Hasta certo punto, el enfoque clásco es, en algún sentdo arbtraro, puesto que se tene que elegr un de antemano, y, dependendo de esa eleccón, laa H se rechaza o no. En la fgura 4.4 se representaa el enfoque alternatvo. Como se desprende del examen de la fgura, la determnacón del valor-p es la operacón nversa de encontrar el valor en las tablas estadístcas para unn determnado nvel dee sgnfcacón. Una vez que el valor-p ha sdo determnado, sabemos que se rechaza la H para cualquer nvel de sgnfcacón en que >valor-p, por ell contraro, la hpótesss nula no see rechaza cuando <valor-p. GURA 4.3. Regón de rechazo utlzandoo la t: hpótess alternatva de cola a la derecha. FIG FIGU URA 4.4. El valor-p utlzando la t: hpótess alternatva de cola a laa derecha. EJEMPLO 4.1 Es la propensónn margnal a consumr menor que la propensón meda al consumo? Como se ve en el eemplo 1.1, contrastar la proposcón 3 de la funcón de consumo keynesana, en un modelo lneal, es equvalente a contrastar s el térmno ndependente es sgnfcatvamente mayor que. Es decr, en el modelo cons 1 nc u 8

9 Tenemos que contrastar s 1 Con una muestra aleatora de 4 observacones, se han obtendoo los sguentess resultados cons Los números entre paréntess, debao de los coefcentes, son los errores estándar (ee) de los estmadores. La pregunta que nos planteamos es laa sguente: es la tercera proposcón de la teoría keynesana admsble? A contnuacón, respondemos a esta pregunta. 1) En este caso, las hpótess nula y alternatva son las sguentes: H : 1 H1: 1 ) El contraste estadístco es: ˆ 1 ˆ t ee( ˆ ) ee( ˆ ).35 1 = nc (.35) (.6) 3) Regla de decsón Es convenente utlzar varos nveles de sgnfcacón. Comencemos C con un nvel de sgnfcacón de. 1 porque el valor de t es s relatvamente pequeño (menor que 1.5). En este caso, los grados de lbertad son 4 (4 observacones menos parámetros estmados). S noss famos en laa tabla estadístca de la t (fla 4 y columna c de.1 o., en las tablas de una cola, o de dos colas,.1 respectvamente), encontramos que q t Como t<1.33, no se rechaza la H. S no rechazamos la H para =.1, tampoco se rechazará para =.5 ( t ) o = =.1 ( t ), como puede verse en la fgura 4.5. En esta fgura la regón de rechazo corresponde a =.1. Porr lo tanto, no se puede rechazar la H enn favor de la H 1. En otras palabras, los datos muestrales no son consstentes con la proposcón 3 de Keynes. En el enfoque alternatvo, como puede verse en la fgura 4.6, el valor-p correspondentee a t ˆ 1 =1.171 para una t con 4 gl ess gual a.14. Para < por eemplo,.1,.5 y.1-, no se rechaza la H. 1 FIGURA 4.5. Eemplo 4.1: Regón de rechazo utlzando la t con hpótess alternatva de cola a la derecha. RA 4.6. Eemplo 4.1: El valor-p utlzando la t con hpótess alternatva de cola a la derecha. FIGU Hpótess alternatva de una cola: zquerda Consderemos ahoraa la hpótess nula contra la hpótess alternatva H : H : 1 9

10 Este es un contraste de sgnfcacón negatva. La regla de decsón es en este caso es la sguente: Regla de decsón S S t t se rechaza H ˆ nk t t no se rechaza H ˆ nk (4-13) Por lo tanto, rechazamos H : en favor de H : 1 para un dado cuando t ˆ t n, como puede verse en la fgura 4.7. Está muy claro que para rechazar H en contra de H : 1, el valor de t ˆ debe ser negatvo. Un valor postvo de t ˆ, no mporta lo grande que sea, no proporcona nnguna evdenca a favor de H : 1. En la fgura 4.8 se representa el enfoque alternatvo. Una vez que el valor-p ha sdo determnado, se sabe que se rechaza H para cualquer nvel de sgnfcacón tal que >valor-p; por el contraro, la hpótess nula no se rechaza cuando <valor-p. Regón de rechazo RR Regón de no rechazo RNR tn k No se rechaza para α>p-value Se rechaza para ɑ<p-value tn k p-value t nk FIGURA 4.7. Regón de rechazo utlzando la t: hpótess alternatva de cola a la zquerda. t ˆ FIGURA 4.8. El valor-p utlzando la t: hpótess alternatva de cola a la zquerda. EJEMPLO 4. Tene la renta una nfluenca negatva sobre la mortaldad nfantl? El sguente modelo ha sdo planteado para explcar las muertes de nños menores de 5 años por 1 nacdos vvos (deathun5). deathun5 1gnpc 3ltrate u donde gnpc es la renta naconal bruta per cápta e ltrate es la tasa de analfabetsmo de adultos (15 años o más) en porcentae. Con una muestra de 13 países (fchero hdr1) se ha realzado la sguente estmacón: deathun 5 = gnpc +.43ltrate (5.93) (.8) (.183) Los números entre paréntess, debao de los coefcentes, son los errores estándar (ee) de los estmadores. Una de las preguntas formuladas por los nvestgadores es s la renta tene una nfluenca negatva sobre la mortaldad nfantl. Para responder a esta pregunta se lleva a cabo un contraste en el que las hpótess nula y alternatva y el estadístco de contraste son los sguentes: H : ˆ.86 t.966 H1: ee( ˆ.8 ) Dado que el valor de t es relatvamente alto, vamos a empezar a contrastar con un nvel del 1%..1.1 Para =.1, t13 t6.39. Tenendo en cuenta que t<-.39, como se muestra en la fgura 4.9, se rechaza la H a favor de la H 1. Por lo tanto, la renta naconal bruta per cápta tene una nfluenca que es sgnfcatvamente negatva en la mortaldad de nños menores de 5 años; es decr, cuanto mayor sea la 1

11 renta naconal bruta per cápta más bao seráá el porcentae de mortaldad de nños menores de 5 años. Comoo la H se ha rechazado paraa =.1, tambén será rechazada por loss nveles de 5% % y 1%. En el enfoque alternatvo, como puede verse en la fgura 4.1, el valor-p correspondente a un t =-.966 para t con menos de 61 gl es guall a.. Para todos los >. como.1,.5 y.1, ˆ 1 se rechaza la H. FIGURA 4.9. Eemplo 4.: Regón de rechazo utlzando la t con una hpótess alternatva de cola a la zquerda. URA 4.1. Eemplo 4.: El valor-p utlzando la t con una hpótess alternatva de cola a la zquerda. FIGU Hpótess alternatva con dos colas Consderemos ahoraa la hpótess nula contra la hpótess alternatva H : H : 1 Esta es la alternatva relevantee cuando el sgno de no está ben determnado por la teoría o el sentdo común. Cuando la alternatva es de doss colas, estamos nteresados en el valor absoluto del estadístco t. Este es un contraste c dee sgnfcacón. La regla de decsón en este caso es la sguente: Regla de decsón S S t ˆ t ˆ t t / nk / nk se rechaza no se rechaza H H (4-14)( cuando Por lo tanto, rechazamos H t ˆ H a favor de H : 1, negatvo. / t n k, como puede verse en la fgura Enn este caso, para rechazar la t ˆ : en favor de H : 1 debe ser lo sufcentemente grande, ben sea postvo o / Es mportante hacer notar que cuando decrece, t au n k umenta en valor absoluto. En el enfoque alternatvo, una vezz que el valor-p ha sdo determnado, se sabe que se rechaza H para cualquer nvel dee sgnfcacón s >valor-p; porr el contraro, la para un dado 11

12 CUADRO 4.. Salda estándar e en una regresón para explcar el preco de una casa. n=55. Varable Coefcente Error estándar Estadístco t Prob. C rooms lowstat crme Dado que el valor de t es e relatvamente alto, vamos a empezar a contrastar para un nvel del 1%..1/.1/ Para =.1, t 51 t (En las tablas estadístcas habtuales para la dstrbucón t, no hay nformacón para cada gl, uno a uno, más allá de ). Tenendo en cuentaa que t.69, rechazamos la H a favor de la H 1. Por lo tanto, la delncuenca tene una nfluenca sgnfcatva en el preco de la vvenda con un nvel de sgnfcacón del 1% y, por tanto, de un 5% y 1%. En el enfoque alternatvo podemos realzar el contraste con mayor precsón. En el cuadro 4., vemos que el valor de valor-p para el coefcente crme es de.. Esoo sgnfca que la probabldad de que el estadístco t sea mayor de 4.16 es.1 y la probabldad de que t sea menor de es de.1. Es decr, el valor de valor-p, como se muestra en la fgura 4.13 se dstrbuye en los dos lados. Comoo puede versee en esta fgura, se rechaza H para todos los nveles de sgnfcacón superores a., tales como.1,.5 y.1. S se tratara de un contraste de una cola, en el enfoque alternatvo el valor-p sería gual a./1=..1. hpótess nula no se rechaza cuando <valor-p. En este casoo valor-p see dstrbuye entre las dos colas de forma smétrca, comoo se muestra en la fgura 4.1. FIGURA Regón de rechazo usandoo t: hpótess alternatva dee dos colas. RA 4.1. valor-p usando t: Regón de rechazo usando t: hpótess alternatva de dos colas. FIGUR Cuando no se específca una hpótess alternatva, por p lo general, se consdera que el contraste de hpótess es de dos colas. S se rechaza la H a favor de la H1 para un dado, se suele decr que "x es estadístcamente sgnfcatva para ell nvel ". EJEMPLO 4.3 La tasa de delncuenca, uegaa un papel en el preco de la l vvenda dee un área? Para explcar el preco de la vvenda en una cudad estadoundense se ha estmado el sguente modelo: prce 1 rooms 3lowstat 4crmee u donde rooms es el número de habtacones de la casa, lowstat es el porcentae p de personas de "clase margnal" en la zona y crme son los deltos cometdos per capta en la zona. Los resultados del modelo austado realzado con E-vews, utlzando el fchero hprce (prmeras 55 observacones), aparece en el cuadro 4.. El sgnfcado de d las tres prmeras columnas es claro: "Estadístco t" es el dato requerdo r paraa hacer un contraste de sgnfcacón, es decr, es la relacón entre el "Coefcente" y el "Errorr estándar", y "Prob" es el valor-p para unn contraste dee dos colas. En relacón con este modelo la pregunta que se hacen los nvestgadores es s la tasa de crmnaldad uega un papel mportante en el preco de las casas de la zona. Para responder a esta pregunta, se ha llevado a cabo el sguente procedmento. En este caso, la hpótess nula y alternatva, y el estadístco de contraste, son los sguentes: H : 4 ˆ t 4.16 H : ee( ˆ )

13 FIGURA Eemplo 4.3: valor-pp utlzando t: hpótess alternatva de dos colas. Hasta ahora hemos vsto el contraste sgnfcatvo dee una cola y de dos colas en el que un parámetro toma el valor enn la H. Ahora vamos a ver un casoo más general en que el parámetro en la H toma un valor específco cualquera: En este caso, el estadístco t adecuado es ˆ t ˆ ee( ˆ ) Al gual que antes, t ˆ mdee la cantdad de desvacones estándar está ˆ dstancada de, valor que toma el parámetro en la hpótess nula. H : EJEMPLO 4.4 Es la elastcdad del gasto en frutas/renta gual a 1? Ess la fruta un ben de luo? Para responder a estas dos preguntass vamos a utlzar el sguente modelo para explcar el gasto en fruta (frut): ln( frut) 1ln(nc) 3househsze 4 punders u donde nc es la renta dsponblee de los hogares, househsze es el número de membros de la famla y punder5 es la proporcón de nños menores dee cnco años en el hogar. Dado que las varables frut f e nc aparecen expresadas en logartmos naturales, entonces es la elastcdad del gasto/renta. Utlzando una muestra de 4 hogares (fchero demand), se han obtendo los resultados del cuadro 4.3. CUADRO 4.3. Salda estándar e de una regresón que explca los gastos en fruta. n=4. Varable Coefcente Error estándar Estadístco t Prob. C ln(nc) househsze punder Es la elastcdad del gasto en frutas/ renta gual a 1? Para responder a esta pregunta, se haa llevado a cabo el sguente procedmento. En este caso las hpótess nula y alternatva, y el estadístco dee contraste, son los sguentes: H : 1 ˆ ˆ t H1: 1 ee( ˆ ) ee( ˆ ).51.1/.1/ Para =..1, nos encontramos con que t36 t Como t >1.69 se rechaza H..5/.5/ Para =.5, t 36 t Como t <.3 no rechazamos H para p =.5, n para =.1. Por lo tanto, rechazamos que la elastcdad dell gasto en fruta/renta sea gual a 1 para=.1, pero no rechazamos para =.5, n para=.1. 13

14 Es la fruta un ben de luo? Según la teoría económca, una mercancía es un ben de luo cuando la elastcdad del gasto con respecto a la renta es mayor que 1. Por lo tanto, para responder a esta segunda cuestón, y tenendo en cuenta que el estadístco t es el msmo, se ha llevado a cabo el sguente procedmento: H : 1 H1 : Para =.1, nos encontramos con que t36 t Cuando t>1.31, rechazamos H en.5.5 favor de H 1. Para =.5, t t.como t>1.69, rechazamos la H en favor de la H 1. Para =.1, t t Como t<.44, no rechazamos H. Por lo tanto, la fruta es un ben de luo para =.1 y =.5, pero no se puede rechazar la H en favor de la H 1 para =.1. EJEMPLO 4.5 Es la Bolsa de Madrd un mercado efcente? Antes de responder a la cuestón planteada, vamos a examnar algunos conceptos prevos. La tasa de rendmento de un actvo en un período de tempo se defne como la varacón porcentual que expermenta el valor nvertdo en ese actvo durante dcho período de tempo. Vamos a consderar ahora como actvo específco, a una accón de una compañía ndustral adqurda en una Bolsa española al fnal de un año y que se mantene hasta el fnal del año sguente. A esos dos momentos de tempo los desgnaremos t-1 y t respectvamente. La tasa de rendmento de esa accón al cabo de ese año puede expresarse medante la sguente relacón: D P + D + A RA (4-15) t t t t Pt - 1 donde Pt : es la cotzacón de la accón al fnal del período t Dt : son los dvdendos percbdos por la accón durante el período t At : es el valor de los derechos que eventualmente han poddo corresponder a la accón durante el período t Así pues, en el numerador de (4-15) se recogen los tres tpos de ganancas de captal que se han poddo percbr por el mantenmento de una accón durante el año t : ncremento - o pérdda en su caso en la cotzacón, dvdendos y derechos de amplacón. Al dvdr por Pt-1 se obtene la tasa de gananca sobre el valor de la accón a fnales del período anteror. De los tres componentes el más mportante es el ncremento en la cotzacón. Tenendo en cuenta solamente a esa componente, la tasa de rendmento de la accón puede expresarse por RA DP (4-16) t 1t Pt - 1 o, alternatvamente s utlzamos una tasa de varacón natural, por RA DlnP t (4-17) De la msma forma que RAt, en cualquera de las dos expresones, representa la tasa de rendmento de una accón concreta, se puede estmar tambén la tasa de rendmento del conunto de accones cotzadas en Bolsa. A esta últma tasa de rendmento, a la que desgnaremos por RMt, se le denomna tasa de rendmento de mercado. Hasta ahora hemos consderado la tasa de rendmento en un año, pero gualmente se puede aplcar expresones del tpo (4-16), o (4-17), para obtener tasas de rendmento daro. Analzando el comportamento de estas tasas cabe preguntarse s las tasas de rendmento en el pasado son de utldad para predecr las tasas de rendmento en el futuro. Esta pregunta está relaconada con el concepto de efcenca de un mercado. Un mercado es efcente s los precos ncorporan toda la nformacón dsponble, de modo que hay posbldad de obtener ganancas extraordnaras al utlzar esta nformacón. Para contrastar la efcenca de un mercado vamos a defnr el sguente modelo, utlzando tasas de rendmento daras defndas según (4-16): t rmad9 t 1rmad9t 1 ut (4-18) 14

15 S un mercado es efcente, entonces el parámetro del anteror modelo debe ser. Vamos a contrastar ahora s la Bolsa de Madrd, en lo que respecta a la renta varable, es o no efcente en su conunto. El modelo de (4-18) se ha estmado con datos daros de la Bolsa de Madrd para el año 199, utlzando el fchero bolmadef. Los resultados obtendos han sdo los sguentes: rmad 9t rmad9t- (.7) (.69) R =.163 n=47 Los resultados obtendos pueden resultar paradócos. Por una parte, el valor del coefcente de determnacón es muy bao (.163), lo que sgnfca que solamente el 1.63% de la varanza total de la tasa de rendmento se explca por la tasa de rendmento del día anteror. Por otra parte, sn embargo, el coefcente correspondente a la tasa de sgnfcacón del día anteror es estadístcamente sgnfcatvo para un nvel del 5% pero no para un nvel de 1%, porque el estadístco t es gual a.167/.69=..1.1 que es lgeramente mayor en valor absoluto que t45 t6 =.. El motvo de esta aparente paradoa se debe a que el tamaño de la muestra es muy elevado. Así, aunque la ncdenca de la varable explcatva sobre la varable endógena es relatvamente reducda (como ndca el coefcente de determnacón), sn embargo, esta ncdenca es sgnfcatva (como lo confrma el estadístco t) debdo a que se ha dspuesto de una muestra de datos sufcentemente grande. Contestando a la pregunta de s la Bolsa de Madrd es o no un mercado efcente, en un prmer análss la respuesta es que no es totalmente efcente. Sn embargo, esta respuesta debe matzarse. En economía fnancera es conocda la exstenca de una relacón de dependenca entre la tasa de rendmento de un día y la del día precedente. Esta relacón no es muy fuerte, aunque sí es estadístcamente sgnfcatva en muchas bolsas mundales, y se debe a las frccones del mercado. En cualquer caso, este fenómeno no se puede explotar de forma lucratva por los agentes del mercado, por lo que no se puede calfcar a estos mercados de nefcentes, de acuerdo con la defncón dada anterormente sobre el concepto de efcenca. EJEMPLO 4.6 La rentabldad de la Bolsa de Madrd, se ve afectada por la rentabldad de la Bolsa de Toko? El estudo de la relacón entre dstntos mercados de accones (Bolsa de Nueva York, Bolsa de Toko, Bolsa de Madrd, Bolsa de Londres, etc.) ha recbdo una gran atencón en los últmos años, debdo a una mayor lbertad en la crculacón de captales y a la convenenca de utlzar mercados extraneros para reducr el resgo en la gestón de carteras, ya que la ausenca de una perfecta ntegracón de los mercados permte la dversfcacón del resgo. De todas formas, cada vez se camna haca una mayor ntegracón mundal de los mercados fnanceros, en general, y de los mercados de accones, en partcular. S los mercados son efcentes, y hemos vsto en el eemplo 4.5 que se puede admtr que lo sean, las notcas que se van producendo, a las que se denomnan nnovacones, durante un período de 4 horas se rán vendo refleadas en los dstntos mercados. Convene dstngur entre dos tpos de nnovacones: a) nnovacones globales, que son notcas que se generan alrededor del mundo y que se captan en los precos de las accones en todos los mercados; b) nnovacones específcas, que es la nformacón generada durante un período de 4 horas que solo afecta a los precos de un mercado partcular. Así, la nformacón sobre evolucón de los precos del petróleo se puede consderar como una nnovacón global, mentras que una nueva regulacón del sector fnancero en un país sería consderada posblemente como una nnovacón específca. De acuerdo con la exposcón anteror, en una sesón de Bolsa de un determnado mercado, los precos de las accones que en él se cotzan vendrán afectados por las nnovacones globales recogdas en otro mercado que haya cerrado antes. Así, las nnovacones globales recogdas en el mercado de Toko nflurán en las cotzacones del mercado de Madrd de ese msmo día. El sguente modelo recoge la transmsón de efectos entre la Bolsa de Toko y la Bolsa de Madrd: rmad9 t = 1 + rtok9 t +u t (4-19) donde rmad9t es la tasa de rentabldad de la Bolsa Madrd en el período t, y rtok9 t es la tasa de rentabldad de la Bolsa de Toko en el período t. Las rentabldades de los mercados se han calculado de acuerdo con (4-16). 1 15

16 En el fchero madtok se pueden encontrar los índces generales de la Bolsa de Madrd y la Bolsa de Valores de Toko durante los días en que ambas bolsas estaban abertas de forma smultánea. Es decr, se han elmnado las observacones de los días en los que cualquera de las bolsas estuvese cerrada. En total, el número de observacones es de 34, en comparacón con los 47 y 46 días en que las Bolsa de Madrd y de Toko estuveron abertas respectvamente. La estmacón del modelo (4-19) es como sgue: rmad rtok9 t (.7) (.375) R =.45 n=35 Obsérvese que el coefcente de determnacón es relatvamente bao. Sn embargo, para contrastar H : =, se obtene que el estadístco t = (.144/.375) = 3.3 lo que mplca que se rechaza la hpótess nula de que la tasa de rendmento de la Bolsa de Valores de Toko no tenga nngún efecto sobre la tasa de rentabldad de la Bolsa de Madrd, para un nvel de sgnfcacón de.1. Una vez más nos encontramos con la msma paradoa aparente que aparecó cuando se analzó la efcenca de la Bolsa de Madrd en el eemplo 4.5 a excepcón de una dferenca. En este últmo caso, la tasa de rendmento del día anteror aparecía como sgnfcatva, debdo a problemas dervados de la elaboracón del índce general de la Bolsa de Madrd. En consecuenca, el hecho de que la hpótess nula sea rechazada mplca que hay evdenca empírca que apoya la teoría de que las nnovacones globales de la Bolsa de Tokyo se transmten a las cotzacones de la Bolsa de Madrd ese msmo día. 4.. Los ntervalos de confanza Bao los supuestos del MLC, es fácl construr un ntervalo de confanza (IC) para el parámetro de la poblacón,. A los IC tambén se les denomna estmacones por ntervalo, ya que proporconan un rango de valores verosímles para, y no solamente una estmacón puntual. El IC está construdo de tal manera que el parámetro desconocdo está contendo dentro del recorrdo del IC con una probabldad prevamente especfcada. Utlzando el hecho de que bˆ -b tn-k ee( bˆ ) que ˆ / / Pr tnk tnk 1 ee( ˆ ) Operando para stuar al parámetro solo en el centro del ntervalo, obtenemos ˆ ˆ ˆ ˆ / / Pr ee( ) t nk ee( ) tnk 1 Por lo tanto, los límtes nferor y superor, respectvamente, de un IC de probabldad (1-) están dados por ˆ ˆ / ee( ) t nk ˆ ˆ / ee( ) t n k S las muestras se obtuveron al azar de forma repetda calculando y cada vez, el parámetro poblaconal (desconocdo) caería en el ntervalo (, ) en un (1 )% de las muestras. Desafortunadamente, para la muestra ndvdual que se utlza en 16 t

17 la construccón del IC, no sabemos s está o no realmente contenda dentro del ntervalo. Una vez que el IC se ha construdo, es fácl llevar a cabo contrastes de hpótess de dos colas. S la hpótess nula es H : a, entonces la H se rechaza contra la H : 1 a para el nvel de sgnfcacón del 5%, s y sólo s, a no está en el IC del 95%. Para lustrar todo lo anteror, en la fgura 4.14 se han construdos ntervalos de confanza del 9%, 95% y 99%, para la propensón margnal al consumo - - correspondente al eemplo 4.1.,99,95, FIGURA Intervalos de confanza para la propensón margnal al consumo en el eemplo Contraste de hpótess sobre una combnacón lneal de parámetros En muchas aplcacones, estamos nteresados en contrastar hpótess en las que están mplcados más de un parámetro poblaconal. El estadístco t tambén se puede utlzar para contrastar una combnacón de parámetros, en la que dos o más parámetros están mplcados. El contraste sobre una combnacón lneal de parámetros se puede hacer por dos procedmentos dferentes. En el prmer procedmento, el error estándar de la combnacón lneal de los parámetros correspondentes a la hpótess nula se calcula utlzando nformacón sobre la matrz de covaranza de los estmadores. En el segundo procedmento, el modelo se reparametrza medante la ntroduccón de un nuevo parámetro deducdo de la hpótess nula, después se estma el modelo reparametrzado y el contraste del nuevo parámetro nos ndca sí se rechaza, o no, la hpótess nula. El sguente eemplo lustra ambos procedmentos. EJEMPLO 4.7 Hay rendmentos constantes a escala en la ndustra químca? Para examnar s hay rendmentos constantes a escala en el sector químco se va a utlzar la funcón de produccón Cobb-Douglas, dada por ln( output) 1 ln( labor) 3ln( captal) u (4-) En el anteror modelo los parámetros y 3 son elastcdades (produccón/trabao y produccón/captal). Antes de hacer nferencas hemos de recordar que los rendmentos a escala se referen a una característca técnca de la funcón de produccón que analza los cambos en la produccón debdas a un cambo en la msma proporcón de todos los nputs, que en este caso son el trabao y el captal. S la produccón camba en la msma proporcón que los nputs entonces se dce que hay rendmentos constantes a escala. Los rendmentos constantes a escala mplcan que s los factores trabao y captal aumentan a una certa tasa (dgamos el 1%), la produccón aumentará en la msma proporcón (esto es en un 1%). S la produccón aumenta en una mayor proporcón, entonces hay rendmentos crecentes a escala. S aumenta la produccón en una menor proporcón, exsten rendmentos decrecentes a escala. En el modelo anteror, sucede que: 17

18 - s + 3 =1, hay rendmentos constantes a escala. - s + 3 >1, hay rendmentos crecentes a escala. - s + 3 <1, hay rendmentos decrecentes a escala Los datos utlzados en este eemplo son una muestra de 7 empresas del sector de metales prmaro (fchero prodmet), donde la produccón es el valor añaddo bruto, el trabao es una medda de la mano de obra y el captal es el valor bruto de la planta y equpo. Detalles adconales sobre la construccón de estos datos se ofrecen en Agne et al. (1977) y en Hldebrand y Lu (1957). Los resultados obtendos en la estmacón del modelo (4-) aparecen en el cuadro 4.4. CUADRO 4.4. Salda estándar de la estmacón de la funcón de produccón: modelo (4-). Varable Coefcente Error estándar Estadístco t Prob. constant ln(labor) ln(captal) Para responder a la pregunta planteada en este eemplo, tenemos que contrastar: H : 3 1 contra la hpótess alternatva sguente: H1: 3 1 De acuerdo con la H, se deduce que 3 1. Por lo tanto, el estadístco t se basa ahora en s la suma estmada ˆ ˆ 1 3 es lo sufcentemente dferente de como para rechazar la H a favor de la H 1. Para contrastar esta hpótess se van a utlzar dos procedmentos. En el prmer procedmento se utlza la matrz de covaranzas de los estmadores. En el segundo, el modelo se reparametrza ntroducendo un nuevo parámetro. Procedmento que utlza la matrz de covaranzas de los estmadores De acuerdo con H, se estma que 3 1. Por lo tanto, el estadístco t está basado ahora en s la suma estmada ˆ ˆ 1 3 es lo sufcentemente dferente de para rechazar la H a favor de la H 1. Para tener en cuenta el error de muestreo en nuestros estmadores, se estandarza esta suma dvdendo por su error estándar: ˆ ˆ 3 1 t ˆ ˆ 3 ee( ˆ ˆ 3) Así que, s t ˆ ˆ es lo sufcentemente grande, vamos a conclur, en un contraste de dos colas, 3 que no hay rendmentos constantes a escala. Por otro lado, s t ˆ ˆ es postvo y lo sufcentemente 3 grande, vamos a rechazar, en un contraste alternatvo de una cola (la derecha), a H en favor de H1: 3 1, concluyendo que sí hay rendmentos crecentes a escala. Por otro parte, tenemos que ee( ˆ ˆ ˆ ˆ 3) var( 3) donde var( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3) var( ) var( 3) covar(, 3) Por lo tanto, para estmar ee( ˆ ˆ 3) se necesta nformacón sobre la covaranza estmada de los estmadores. Muchos paquetes de software econométrco, como el E-Vews, tene una opcón para mostrar las estmacones de la matrz de covaranzas del vector de los estmadores. En este caso, la matrz de covaranzas obtenda aparece en el cuadro 4.5. Con esta nformacón se tene que ee( ˆ ˆ 3) ˆ ˆ t ˆ ˆ.34 3 ee( ˆ ˆ )

19 CUADRO 4.5. Matrz de covaranza de la funcón de produccón. constante ln(labor) ln(captal) constant ln(labor)) ln(captal) Tenendo en cuenta que t=.34, es evdente que no podemos rechazar la exstenca de rendmentos constantes de escala, para los nveles de sgnfcacón habtuales. Dado que el estadístco t toma un valor negatvo, no tene sentdo contrastar s exsten rendmentos crecentes a escala. Procedmento en el que se reparametrza el modelo medante la ntroduccón de un nuevo parámetro La aplcacón de este segundo procedmento es una forma más fácl de realzar este contraste. En este procedmento se estma un modelo dferente que proporcona drectamente el error estándar en que estamos nteresados. Así, en el eemplo anteror vamos a defnr: 3 1 por lo que la hpótess nula de que hay rendmentos constantes a escala es equvalente a postular que H :. De la defncón de se tene que 3 1. Susttuyendo en la ecuacón orgnal: ln( output) 1( 3 1)ln( labor) 3ln( captal) u Por lo tanto, ln( output / labor) 1 ln( labor) 3ln( captal / labor) u Así pues, contrastar s exsten rendmentos constantes a escala es equvalente a realzar un contraste de sgnfcacón del coefcente ln(labor) en el modelo anteror. La estratega de reescrbr el modelo, de modo que contenga el parámetro de nterés, funcona en todos los casos y normalmente es fácl de mplementar. S aplcamos esta transformacón en este eemplo, se obtenen los resultados del cuadro 4.6. Como puede verse se obtene el msmo resultado: ˆ t ˆ.34 ee( ˆ ) CUADRO 4.6. Salda de la estmacón de la funcón de produccón: modelo reparametrzado. Varable Coefcente Error estándar Estadístco t Prob. constant ln(labor) ln(captal/labor) EJEMPLO 4.8 Publcdad o ncentvos? La Compañía Bush se dedca a la venta y dstrbucón de regalos mportados de Orente Próxmo. El artículo más popular en el catálogo es la pulsera de Guantánamo. Tene algunas propedades relaantes. Los agentes de ventas recben una comsón del 3% del mporte total de las ventas. Con el fn de aumentar las ventas sn necesdad de expandr la red comercal, la compañía establecó ncentvos especales para aquellos agentes que rebasen el obetvo de ventas durante el últmo año. Por otra parte, se emten anuncos publctaros en rado en dferentes regones para fortalecer la promocón de las ventas. En esos lugares se hzo especal hncapé en destacar el benestar de llevar un brazalete de Guantánamo. El gerente de la Empresa Bush se pregunta s un dólar gastado en ncentvos especales tene, o no, una mayor ncdenca en las ventas que un dólar gastado en publcdad. Para responder a esa pregunta el económetra de la compañía sugere el sguente modelo para explcar las ventas (sales): sales advert ncent u 1 3 donde ncent son los ncentvos a los vendedores y advert son los gastos en publcdad. Las varables sales, ncent y advert están expresadas en mles de dólares. 19

20 Utlzando una muestra de 18 áreas de venta (fchero advncen), se han obtendo los resultados de la regresón y la matrz de covaranzas de los coefcentes que aparecen en los cuadros 4.7 y 4.8, respectvamente. CUADRO 4.7. Salda estándar de la regresón para el eemplo 4.8. Varable Coefcente Error estándar Estadístco t Prob. constant advert ncent CUADRO 4.8. Matrz de covaranza para el eemplo 4.8. C advert ncent constant advert ncent En este modelo, el coefcente ndca el aumento de las ventas producdas por un dólar de ncremento en el gasto en publcdad, mentras 3 ndca el aumento que se produce en las ventas por un dólar de ncremento en los ncentvos especales, mantenendo fo en ambos casos el otro regresor. Para responder a la pregunta planteada en este eemplo, la hpótess nula y la hpótess alternatva son las sguentes: H : 3 H1: 3 El estadístco t se construye utlzando la nformacón sobre la matrz de covaranzas de los estmadores: ˆ 3 ˆ t ˆ ˆ 3 ee( ˆ ˆ ) 3 ee( ˆ ˆ 3 ) ˆ 3 ˆ t ˆ ˆ ee( ˆ ˆ ) Para =.1, nos encontramos con que t Como t<1.341, no rechazamos H para =.1, n para =.5 o =.1. Por lo tanto, no hay evdenca empírca de que un dólar gastado en ncentvos especales tenga una mayor ncdenca en las ventas que un dólar gastado en publcdad. EJEMPLO 4.9 Contraste de la hpótess de homogenedad en la demanda de pescado En el caso de estudo del capítulo fueron estmados dversos modelos, utlzando datos de corte transversal, para explcar la demanda de productos lácteos en los que la renta dsponble era la únca varable explcatva. Sn embargo, el preco del producto estudado y, en mayor o menor medda, los precos de otros productos son determnantes en la demanda. El análss de la demanda sobre la base de datos de corte transversal, tene precsamente la lmtacón de que no es posble examnar el efecto de los precos en la demanda porque los precos se mantenen constantes, ya que los datos se referen todos al msmo punto en el tempo. Para analzar el efecto de los precos es necesaro el uso de datos de seres temporales o, alternatvamente, de datos de panel. A contnuacón vamos a examnar, brevemente, algunos aspectos de la teoría de la demanda de un ben para luego pasar a la estmacón de una funcón de demanda con datos de seres temporales. Como colofón a este caso, vamos a contrastar una de las hpótess que, en determnadas crcunstancas, debe satsfacer un modelo teórco. La demanda de un ben -como el ben - se puede expresar, de acuerdo con un proceso de optmzacón llevado a cabo por el consumdor, en térmnos de renta dsponble, del preco de la mercancía y de los precos del resto de benes. Analítcamente: q f ( p1, p,, p,, pm, R) (4-1) donde - R es la renta dsponble de los consumdores.

21 - p1, p,, p, pm son los precos de los benes que se tenen en cuenta por los consumdores cuando adqueren el ben. En los estudos de demanda, los modelos logarítmcos son atractvos, ya que los coefcentes son drectamente elastcdades. El modelo logarítmco se expresa de la sguente forma: ln( q 1 ln( p1) 3ln( p) ln( p) m 1ln( pm) mln( R) u (4-) Como puede verse de forma nmedata, todos los coefcentes β, excluyendo el térmno constante, son elastcdades de dferentes tpos y, por lo tanto, son ndependentes de las undades de medda de las varables. Cuando no hay lusón monetara, s todos los precos y la renta crecen a la msma tasa, la demanda de un ben no se ve afectada por estos cambos. Por lo tanto, suponendo que los precos y la renta se multplcan por s el consumdor no tene lusón monetara, se debe satsfacer que f ( lp, lp,, lp,, lp, lr) f ( p, p,, p, p, R) (4-3) 1 m 1 m Desde un punto de vsta matemátco, la condcón anteror mplca que la funcón de demanda debe ser homogénea de grado. Esta condcón se llama la restrccón de homogenedad. Aplcando el teorema de Euler, la restrccón de homogenedad, a su vez mplca que la suma de la elastcdad de demanda/renta y de todas las elastcdades de demanda/preco es cero, es decr: m q p h q R (4-4) h1 Esta restrccón aplcada al modelo logarítmco (4-) mplca que 3 m 1 m (4-5) En la práctca, cuando se estma una funcón de demanda, los precos de muchos benes no están ncludos, sno sólo aquellos que están estrechamente relaconados, ya sea por ser complementaros o por ser susttutvos del ben estudado. Tambén es ben sabdo que la asgnacón presupuestara del gasto se suele realzar en varas etapas. A contnuacón, estudaremos la demanda de pescado en España, utlzando un modelo smlar a (4-). Tengamos en cuenta que en una prmera asgnacón, el consumdor dstrbuye su renta entre el consumo total y el ahorro. En una segunda etapa, el gasto de consumo por funcón se lleva a cabo tenendo en cuenta el consumo total y los precos relevantes en cada funcón. En concreto, en la demanda de pescado se ha supuesto que sólo es relevante el preco del pescado y el preco de la carne que es el susttutvo más mportante. Tenendo en cuenta las consderacones anterores, se ha formulado el sguente modelo: ln( fsh1 ln( fshpr) 3ln( meatpr) 4ln( cons) u (4-6) donde fsh es el gasto de pescado a precos constantes, fshpr es el preco del pescado, meatpr es el preco de la carne y cons es el consumo total a precos constantes. El fchero fshdem contene nformacón acerca de esta sere para el período Los precos son números índces con base 1986, y fsh y cons son magntudes a precos constantes tambén con base en Los resultados de la estmacón de modelo (4-6) son los sguentes: ln( fsh ln( fshpr ) ln( meatpr ) +.3 ln( cons ) (.3) (.133) (.11) (.137) Como se puede observar, los sgnos de las elastcdades son correctos: la elastcdad de la demanda es negatvo con respecto al preco del propo ben, mentras que las elastcdades con respecto al preco del ben susttutvo y con respecto al consumo total son postvos. En el modelo de (4-6) la restrccón de homogenedad mplca la sguente hpótess nula: 3 4 (4-7) Para realzar este contraste vamos a utlzar un procedmento smlar al del eemplo 4.6. Ahora, el parámetro se defne de la sguente forma 3 4 (4-8) Hacendo 3 4, se ha estmado el sguente modelo: ln( fsh 1ln( fshpr) 3ln( meatpr fshpr) 4ln( cons fshpr) u (4-9) Los resultados obtendos han sdo los sguentes: 1

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