EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS POR GUILLERMO HERNÁNDEZ GARCÍA

Transcripción

1 EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS POR GUILLERMO HERNÁNDEZ GARCÍA

2 . El Método de Dferencas Fntas El Método consste en una aproxmacón de las dervadas parcales por expresones algebracas con los valores de la varable dependente en un lmtado número de puntos selecconados. Como resultado de la aproxmacón la ecuacón dferencal parcal que descrbe el problema es reemplazada por un número fnto de ecuacones algebracas en térmnos de los valores de la varable dependente en puntos selecconados. El valor de los puntos selecconados se converten en las ncógntas. El sstema de ecuacones algebracas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operacones artmétcas.

3 .. Fluo Estable Para mostrar este método vamos a consderar el caso de fluo b-dmensonal de un fludo en un acuífero omogéneo sotrópco confnado sn fuentes o sumderos. Para este el fluo es descrto por la ecuacón de Laplace: (..) 0 x y Esta ecuacón debe ser satsfeca en todos los puntos del domno R del acuífero consderado. En la frontera de R el nvel del agua debe satsfacer certas condcones de frontera. Vamos a asumr que las condcones de frontera son: (..) ens f (..3) en S Qn T n 0

4 .. Fluo Estable Una retícula de cuadrados es trazada sobre la regón R (fgura.). El valor de la varable en un punto nodal de la retícula o nodo es expresada como donde ndca la poscón de una línea vertcal de la retícula (la columna) y la línea orzontal de la retícula (el renglón).

5 .. Fluo Estable En general la aproxmacón de la prmera dervada con respecto a x de una funcón F(xy) es dada por: (..4) x x y Fx y F F x x esta se dce que es la aproxmacón de dferenca fnta aca adelante de la dervada parcal. La dferenca fnta aca atrás es obtenda de la forma sguente: (..5) F Fx y Fx x y x x

6 .. Fluo Estable Exsten pequeñas dferencas entre las dos aproxmacones. La dferenca fnta central es a menudo más exacta: (..6) La segunda dervada es la dervada de la prmera dervada; y s utlzamos una aproxmacón de dferenca fnta central obtendremos: (..7) F x F x x y Fx x y F F x x F x x y F( x y) Fx x y x F x F

7 .. Fluo Estable La fórmula se lustra en la fgura. donde la funcón mostrada tene segunda dervada postva por el ncremento de la pendente en la dreccón x.

8 .. Fluo Estable La aplcacón de (..7) a las dervadas parcales el (..) nos da la aproxmacón del operador de Laplace. S por razones de smplcdad se asumen ntervalos guales en las dreccones de x e y: (..8) como la parte zquerda de la ecuacón se reduce a cero según lo ndca la ecuacón dferencal básca (..) se puede acer la aproxmacón requrendo que: (..9) 4 y x 4

9 .. Fluo Estable Los nodos en la frontera requeren atencón especal para acomodar las condcones de frontera. Una posble condcón de frontera es la condcón de Drclet (..) la cual establece que el nvel del agua subterránea sea el especfcado a lo largo de parte de la frontera. En este caso ésta se prescrbe a pror y ya no es una ncógnta. En un nodo de una frontera mpermeable a lo largo de la cual una condcón de frontera de Neumann (..3) es aplcada el nvel es una ncógnta y la ecuacón para ese nodo debe reflear la condcón de no fluo en la frontera.

10 .. Fluo Estable Para un nodo en una frontera vertcal por la zquerda esto puede ser expresado por la condcón de que -= +. La susttucón en el algortmo general nos da: (..0) 4 Un eemplo smple de una regón rectangular es mostrada en la fgura.3. A lo largo del límte superor el nvel se especfca como 00. En la esquna nferor zquerda es especfcado el nvel cero. La estmacón ncal para los nodos con valor desconocdo se consdera con el valor promedo de 50.

11 .. Fluo Estable En la prmera parte de la fgura se muestran las condcones ncales. Estas no satsfacen la ecuacón (..9). Son corregdas aplcando la aproxmacón en una sguente teracón o cclo del programa y el resultado se muestra en la parte central de la fgura. Tampoco se satsface la ecuacón (..9). Después de un número dado de teracones en cada una de las cuales todos los valores son actualzados la solucón correcta es obtenda y representada en la parte dereca de la fgura. El método descrto es denomnado de relaacón porque en cada paso los errores son relaados. En termnología matemátca el método de relaacón es tambén conocdo como el método de Gauss-Sedel.

12 .. Fluo Estable Fgura.3 Eemplo del método de dferencas fntas