Potenciales y campos eléctricos

Transcripción

1 Potencales y campos eléctrcos Obetvo El obetvo de este expermento es determnar las líneas (o superfces) equpotencales es decr el lugar geométrco donde el potencal eléctrco es constante. Estos potencales son creados en este caso conectando electrodos sumergdos en un medo poco conductor (líqudo) a una fuente de baa tensón. Los potencales se mden con un voltímetro. Fnalmente se propone comparar los resultados expermentales de la dstrbucón de potencal con la que resulta al resolver la ecuacón de Laplace con un método numérco usando una planlla de cálculo. Introduccón El campo eléctrco en un dado punto del espaco está relaconado con las fuerzas que en dco punto se eercen sobre una carga testgo q colocada r en ese punto. S la fuerza que ren el punto de coordenadas (xy) el campo eléctrco E(xy) eerce sobre la carga q es F(xy). Según la defncón de campo eléctrco tenemos [-3] : r r F( x y z) = q E( x y z) () Como la fuerza es un vector y la carga q un escalar resulta claro que E r es tambén un vector. F r Por su parte el potencal eléctrco esta relaconado con el trabao que se necesta acer para llevar una carga de un punto a otro debdo al campo eléctrco. Como el trabao es una magntud escalar el potencal tambén lo es. Más específcamente la varacón de potencal entre dos puntos próxmos es: O sea que: E x d = dx dw r r r r d = = F ( x y) dl = E dl () q q E y d = y dy E z d = (3) dz o más generalmente: E d = dl max (4) Físca re-creatva - S. Gl y E. Rodríguez

2 donde esta expresón sgnfca que el módulo de E r es gual a la dervada del potencal con respecto al desplazamento en la dreccón que esta dervada es máxma. Además esta dreccón es la dreccón del campo E r. Esto se escrbe más formalmente (los que no estén famlarzados con esta notacón pueden gnorar esta ecuacón por aora). E =. (5) emos tambén que cuando d=0 como ocurre sobre una línea equpotencal la componente de E r sobre esta línea es cero. En otras palabras E r es sempre perpendcular a las líneas (o superfces) equpotencales. La dea central de este expermento consste en determnar expermentalmente para una dada confguracón las líneas equpotencales (es decr las líneas sobre las cuales el potencal (meddo con un voltímetro) es constante. A partr de estas líneas equpotencales se pueden encontrar las líneas de campo trazando las trayectoras ortogonales a las líneas equpotencales. La Ley de Gauss [-3] (físcamente equvalente a la ley de Coulomb) relacona los campos con las cargas y puede expresarse de dos maneras. En forma ntegral establece: r r E ds = S q neta ε 0 (6) aquí la ntegral es sobre una superfce cerrada y q neta es la carga neta en el nteror de dca superfce. En forma dferencal esta ecuacón se escrbe como: ρ r E r. = (7) ε 0 donde ρ es la densdad volumétrca de carga. Combnado (5) y (7) obtenemos la ecuacón de Posson que relacona los potencales con las cargas: ρ = (8) ε 0 Cuando la densdad de cargas es nula o sea en las zonas donde no ay carga neta esta ecuacón se reduce a la ecuacón de Laplace: = 0 (9) Método de Relaacón: [3-5] Este método permte resolver en forma numérca la ecuacón de Laplace. En partcular descrbremos brevemente su resolucón para el caso bdmensonal que puede realzarse usando una oa de cálculo. S el problema es bdmensonal la ecuacón (9) puede escrbrse como: Físca re-creatva - S. Gl y E. Rodríguez

3 Físca re-creatva - S. Gl y E. Rodríguez 3 0 = y x (0) S dscretzamos el plano xy de modo de formar una malla bdmensonal como se lustra en la Fgura las coordenadas xy se reemplazan por los índces. Recordando las expresones cláscas de dervacón numérca: y x y x () la expresón (0) puede aproxmarse como: 0 = () donde es el tamaño de la dscretzacón o de la celda untara como se lustra en la Fgura. Fgura. Dscretzacón del plano. Resolvendo () para [ (xy)] tenemos: ( ) 4 =. (3) - - xy

4 Esto sgnfca que s la funcón (xy) satsface la ecuacón de Laplace en dos dmensones el valor del potencal (I) en un dado punto del plano () es gual al promedo del valor del potencal en los cuatro puntos vecnos próxmos. En el método de relaacón se ace uso de esta propedad de la solucón de la ecuacón de Laplace. En una oa de cálculo el valor de una dada celda es el promedo de sus vecnas más próxmas excepto para aquellos puntos que tenen un potencal fo (concdente con ekl potencal de los electrodos) cuyos valores están establecdos por las condcones de borde y no varían. Luego se realzan teracones asta que los valores de las celdas no camban o asta que su varacón es menor que un valor prefado dgamos del 0.%. Un eemplo de aplcacón de este procedmento se puede encontrar en la planlla relax.xls que pude baarse de Internet del sto ttp://ome.ba.net/~sgl. Exsten dos tpos báscos de condcones de borde en el caso que se use un dseño expermental como el propuesto en este expermento. Por un lado están los valores de potencal determnados por los electrodos (metálcos) cuyos valores son constantes donde se aplca como condcón de borde lo que se conoce como condcón de Drclet. Operaconalmente esto se logra acendo que los valores de potencal en las celdas que defnen estos bordes sean constantes. Por otro lado están las condcones de borde sobre las paredes del recpente que son no conductoras por lo tanto la r r corrente eléctrca ( = σ E ) sobre dca pared sólo puede tener componente paralela a la msma. O sea que sobre estas paredes la componente perpendcular del campo eléctrco es nula esto es: E = 0 ó = 0. (4) n Esta condcón de contorno se denomna de Neumann. Operaconalmente esta condcón de contorno se logra acendo que los valores de las celdas que defnen los bordes del recpente sean guales a los valores de las celdas contguas nterores. Por eemplo s la pared zquerda del recpente concde con el ee y cuyas celdas están caracterzadas por los índces ( =0) el valor del potencal sobre esta pared =0 = = con lo que se satsface la condcón (4). Expermento El dspostvo expermental se muestra esquemátcamente en la Fgura. Consste en una bandea rectangular de vdro transparente que contene agua como materal conductor (de baa conductvdad eléctrca). Debao de la bandea se coloca un papel mlmetrado que permte conocer las coordenadas de cada punto. Tambén se requere tener dos electrodos metálcos conectados a una fuente de tensón. La tensón la sumnstra una fuente de 4 a. Es convenente usar una tensón alterna para evtar la polarzacón de los electrodos debdo a los efectos de electrólss. Puede usarse como fuente por eemplo la salda (secundaro) de un transformador de 5 a que es muy accesble en negocos de electrónca. Nota: Asegúrese que se trata de un transformador y no de un auto-transformador o varac. Estos últmos pueden producr sock eléctrco. Se puede dferencar fáclmente el transformador de los otros dspostvos observando s el prmaro del msmo está aslado del secundaro. Físca re-creatva - S. Gl y E. Rodríguez 4

5 Se colocan electrodos de dstntas geometrías y para cada uno de estas confguracones se determnan las líneas equpotencales. Para ello se buscan las coordenadas cartesanas sobre las cuales el potencal meddo con el voltímetro es constante. La bandea de vdro se llena con aproxmadamente cm de agua común o destlada. Actvdad Análss sem-cuanttatvo Mda por lo menos 6 a 8 puntos para cada equpotencal con separacones de aproxmadamente cm. Luego en un papel mlmetrado marque estos puntos y únalos con líneas contnuas. Estas son las líneas equpotencales correspondente a la geometría de electrodos escogda. Para cada confguracón determne al menos 0 líneas equpotencales tratando que alguna de ellas estén cerca de cada electrodo y algunas en las zonas centrales Determne las líneas equpotencales y las líneas de campo para por lo menos dos confguracones de electrodos. En cada caso dscuta las zonas donde el campo es mayor. Para una de las confguracones usadas (preferentemente la de placas paralelas ver Fgura ) coloque un aslador entre los electrodos y determne la líneas equpotencales. En partcular estude las líneas equpotencales al rededor del aslador. Cómo son las líneas de campo y el campo msmo sobre la superfce de aslador? Cómo puede explcar lo que observa en este caso? Para la msma confguracón anteror coloque un conductor entre los electrodos y determne la líneas equpotencales. En partcular estude las líneas equpotencales alrededor del conductor. Cómo son las líneas de campo y el campo msmo sobre la superfce de conductor? Físca re-creatva - S. Gl y E. Rodríguez 5

6 Fgura. La bandea contene el agua A es el electrodo postvo B el negatvo C es un punto de referenca (fo) a partr del cual se mden los potencales el cual puede concdr o no con A o B. El punto P de coordenadas (xy) donde se mde el potencal (xy). Nota: Antes de conectar la fuente pda que un docente revse su crcuto y lo autorce a conectar la msma. Fgura 3. La bandea de agua contene además de los electrodos A y B una muestra de un conductor o aslador entre las placas. Físca re-creatva - S. Gl y E. Rodríguez 6

7 Actvdad Análss cuanttatvo Método de relaacón Para dos de las geometrías lustradas en la Fgura 4 determnar el potencal para todos los puntos de la bandea usando un retculado de aproxmadamente cm de lado. Represente sus resultados en un dagrama bdmensonal. Para la geometría elegda calcule el potencal por el método de relaacón. Represente sus resultados usando el msmo crtero que el usado para representar sus resultados expermentales. Cómo se comparan sus medcones con los cálculos teórcos? a) Electrodo neutro b) Electrodo vvo c) d) Fgura 4. Eemplos de geometrías posbles para estudar los potencales. Bblografía. Físca para estudantes de cencas e ngenería Hallday Resnck y Krane 4ta. Ed. ol. II Mexco 99.. Físca ol.ii - Campos y ondas M. Alonso y E. J. Fnn Fondo Educatvo Interamercano Ed. Inglesa Addson-Wesley Readng Mass. (967); Fondo Educatvo Interamercano (970). Físca re-creatva - S. Gl y E. Rodríguez 7

8 3. Berkeley pyscs course olumen Electrcdad y Magnetsmo E. M. Purcell Edtoral Reverté Barcelona (969). 4. Electrostatc problems? Relax! M. DStaco and W. McHarrs Am. J. Pys (979). 5. Físca unverstara vol. II F. Sears M. Zemansky H. Young y R. Freedman Addson Wesley Longman Trabaos práctcos de fsca J. E. Fernández y E. Gallon - Edtoral Ngar Buenos Ares (968). Físca re-creatva - S. Gl y E. Rodríguez 8