Actividad III.25 Campos y potenciales electrostáticos Ecuación de Laplace

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1 Actividad III.5 Campos y potenciales electrostáticos Ecuación de Laplace Obetivo Determinar el mapa de líneas o superficies equipotenciales para distintas configuraciones de electrodos conectados a una fuente de baa tensión e inmerso en un medio líquido poco conductor. Comparar los resultados experimentales con la distribución de potencial que resulta al resolver la ecuación de Laplace en dos dimensiones usando el método de relaación implementado en una planilla de cálculo. Introducción El campo eléctrico en un dado punto del espacio está relacionado con la fuerza eléctrica que se eerce sobre una carga testigo q colocada en ese punto. Si en el punto de coordenadas (x, existe un campo eléctrico E! ( x,, sobre la carga testigo q, colocada en ese punto se eerce una fuerza F! ( x,. Según la definición de campo eléctrico tenemos [1-3] :!! F( x, = q E( x, (5.1) Como la fuerza F! es un vector y la carga q un escalar, resulta claro que E " es también un vector. Por su parte el potencial eléctrico, V, está relacionado con el trabao, W, que debemos realizar para llevar una carga de un punto a otro, más precisamente el cambio en el potencial entre dos puntos 1 y será: V(1,) = W(1,)/q. Aquí W(1,) es el trabao que tenemos que realizar para llevar la carga q del punto 1 al punto. Como el trabao es una magnitud escalar, el potencial también lo es. Más específicamente la variación de potencial entre dos puntos próximos es: dw 1 " " " " dv = = F( x, dl = E dl (5.) q q Por lo tanto, las componentes del campo eléctrico pueden expresarse en función del potencial eléctrico: E x dv =, dx E y dv dy = y E z dv = (5.3) dz o, más generalmente: dv E = d# max (5.4) Física re-creativa S.Gil y E. Rodríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 1

2 donde esta expresión significa que el módulo de E " es igual a la derivada del potencial eléctrico con respecto al desplazamiento, en la dirección en que esta derivada es máxima. Más aún, esta dirección es la dirección del campo E ". Esto se escribe más formalmente (los que no estén familiarizados con esta notación, pueden ignorar esta ecuación por aora): E! = " V. (5.5) Vemos también que cuando dv = 0, como ocurre sobre una línea equipotencial, la componente de E " sobre esta línea es cero. En otras palabras E " es siempre perpendicular a las líneas (o superficies) equipotenciales. La idea central de este experimento consiste en determinar experimentalmente los potenciales determinados por una dada configuración de los electrodos. Las líneas equipotenciales se obtienen determinando el lugar geométrico de los puntos de igual potencial. A partir de estas líneas equipotenciales se pueden encontrar las líneas de campo eléctrico, trazando las trayectorias ortogonales a las líneas equipotenciales. La Ley de Gauss [1-3] (físicamente equivalente a la ley de Coulomb) relaciona los campos con las cargas y puede expresarse de dos maneras. En forma integral se expresa como: S " " E ds = q neta ε 0, (5.6) donde la integral es sobre una superficie cerrada y q neta es la carga neta en el interior de dica superficie. En forma diferencial, la Ley de Gauss se escribe como: ρ " E ". = ε (5.7) 0 donde ρ es la densidad volumétrica de carga. Combinado (5.5) y (5.7) obtenemos la ecuación de Poisson que relaciona los potenciales con las cargas: ρ V = (5.8) ε 0 Cuando la densidad de cargas es nula, o sea en las zonas donde no ay carga neta, esta ecuación se reduce a la ecuación de Laplace: V = 0, (5.9) que es una ecuación diferencial en derivadas parciales. Esta es la ecuación que debe satisfacer el potencial eléctrico en las zonas libres de carga neta, en condiciones estáticas o con campos alternos, siempre y cuando las frecuencias sean baas o, meor dico, cuando las longitudes de ondas asociadas a dicas frecuencias sean muco más Física re-creativa S.Gil y E. Rodríguez Prentice Hall Buenos Aires 001

3 grandes que las dimensiones del sistema. Para una frecuencia de 50 Hz, la longitud de onda es de 6000 km en el aire. Métodos de resolución numérica: un modo de resolver en forma numérica la ecuación de Laplace consiste en usar el método de relaación [3-5]. Aquí describiremos brevemente su resolución para el caso bidimensional que puede implementarse usando una oa de cálculo. Si el problema es bidimensional, la Ec. (5.9) puede escribirse como: V x + V y = 0 (5.10) Si discretizamos el plano x,y de modo de formar una malla bidimensional como se ilustra en la Fig. 5.1, las coordenadas x,y se reemplazan por los índices. Recordando las expresiones clásicas de derivación numérica tenemos: V Vi+ 1, V V V 1 V, +, (5.11a) x y y V Vi+ 1, V + Vi 1, V V + 1 V + V 1,. (5.11b) x y Utilizando estas relaciones, la expresión (5.10) puede aproximarse como: V i+ 1, V + V i 1, V V + V 1 = 0 (5.1) donde es el tamaño de la discretización o de la celda unitaria, como se ilustra en la Fig Resolviendo (5.1) para V [ V(x,] tenemos: 1 4 ( V + V + V V ) V = i+ 1, i 1, (5.13) Esto significa que si la función V(x, satisface la ecuación de Laplace en dos dimensiones, el valor del potencial V() en un dado punto del plano () es igual al promedio del valor del potencial en los cuatro puntos vecinos próximos. En el método de relaación se ace uso de esta propiedad de la solución de la ecuación de Laplace. En una oa de cálculo, el valor de una dada celda es el promedio de sus vecinas más próximas, excepto para aquellos puntos que tienen un potencial fio (coincidente con el potencial de los electrodos), cuyos valores están establecidos por las condiciones de borde y no varían. Luego se realizan iteraciones asta que los valores de las celdas no cambian o asta que su variación es menor que un valor prefiado, digamos del 0.1%. Un eemplo de aplicación de este procedimiento se puede encontrar en la planilla relax.xls, que puede obtenerse del sitio de Internet Física re-creativa S.Gil y E. Rodríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 3

4 Figura 5.1 Discretización del plano. Condiciones de borde: Existen dos tipos básicos de condiciones de borde en el caso que se use un diseño experimental como el propuesto en este experimento. Por un lado, están los valores de potencial determinados por los electrodos (metálicos) cuyos valores son constantes. En estas zonas se aplica como condición de borde lo que se conoce como condición de Diriclet (V=constante). Operacionalmente, esto se logra aciendo que los valores de potencial en las celdas que definen estos bordes sean constantes y no varíen. Por otro lado, están las condiciones de borde sobre las paredes del recipiente, " " que son no conductoras, por lo tanto la corriente eléctrica ( = σ E ) sobre dica pared sólo puede tener componente paralela a la misma. O sea que sobre estas paredes de la cuba, la componente perpendicular del campo eléctrico es nula, esto es: V E = 0 ó = 0. (5.14) n Esta condición de contorno se denomina de Neumann. Operacionalmente, esta condición de contorno se logra aciendo que los valores de las celdas que definen los bordes del recipiente sean iguales a los valores de las celdas contiguas interiores. Por eemplo, si la pared izquierda del recipiente coincide con el ee y, Fig. 5., las celdas que representan esta pared están caracterizadas por los índices (i=0, ), el valor del potencial sobre esta pared cumple V i=0, = V i=1,, con lo que se satisface la condición (5.14). Física re-creativa S.Gil y E. Rodríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 4

5 Proyecto 1.- Análisis semi-cuantitativo Equipamiento básico recomendado: Una bandea de vidrio o acrílico transparente, de aproximadamente 30 cm x 0 cm x 4 cm. Una fuente de tensión alterna de 5 1 V. Un voltímetro. Placas metálicas (cobre, bronce, aluminio) para usar como electrodos. Utilizando el dispositivo experimental similar al ilustrado en la Fig. 5.:!"Determine las líneas equipotenciales y las líneas de campo. Para cada línea equipotencial, mida por lo menos 6 puntos con separaciones de aproximadamente 1 cm. Luego, en un papel milimetrado, marque estos puntos y únalos con líneas continuas. Estas son las líneas equipotenciales correspondiente a la geometría de electrodos escogida. Determine al menos 10 líneas equipotenciales, tratando que alguna de ellas esté cerca de los electrodos y algunas en las zonas centrales. En cada caso discuta las zonas donde el campo eléctrico es más alto.!"para la misma configuración anterior, coloque un conductor entre los electrodos y determine la líneas equipotenciales (Fig. 5.3). En particular estudie las líneas equipotenciales alrededor del conductor. Cómo son las líneas de campo y el campo mismo sobre la superficie de conductor? Figura 5. La bandea de material aislante contiene agua destilada. Las líneas gruesas continuas representan los electrodos metálicos. En el punto de coordenadas (x,, se mide el valor del potencial eléctrico V(x,. Física re-creativa S.Gil y E. Rodríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 5

6 Figura 5.3 La bandea contiene una muestra de un conductor o un aislador entre los electrodos Proyecto.- Análisis cuantitativo Método de relaación I Utilizando el dispositivo experimental similar al ilustrado en la Fig. 5.:!"Determine el potencial para todos los puntos de la bandea usando un reticulado de aproximadamente 1 cm de lado. Represente sus resultados en una matriz bidimensional y realice una representación gráfica de sus resultados.!"para la geometría elegida, calcule el potencial por el método de relaación. Represente los resultados numéricos usando el mismo criterio de graficación que el elegido para representar los resultados experimentales. Compare sus mediciones con la solución numérica. Proyecto 3.- Análisis cuantitativo Método de relaación II Utilizando alguno de los arreglos experimentales ilustrados en la Fig. 5.4, realice el mismo estudio que el propuesto en el proyecto anterior, esto es: Física re-creativa S.Gil y E. Rodríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 6

7 !"Para la geometría elegida, determine el potencial experimental punto a punto y grafique sus resultados.!"use el método de relaación y represente los resultados numéricos usando el mismo criterio de graficación que el elegido para representar los resultados experimentales. Compare sus mediciones con la solución numérica. Figura 5.4 Eemplos de configuraciones de electrodos posibles para estudiar la distribución de potenciales. Bibliografía 1. R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México, 199).. Experimental study of te Neumann and Diriclet boundary conditions in D electrostatic problems S. Gil, M. Eduardo Saleta, and D. Tobia,, Am. J. Pys. 70 (1) 108 (00). 3. E. M. Purcell, Berkeley pysics course, vol., Electricidad y Magnetismo (Reverté, Barcelona, 1969). 4. M. Di Stacio and W. McHarris, Electrostatic problems? Relax!, Am. J. Pys. 49, 440 (1979). 5. F. Sears, M. Zemansky, H. Young y R. Freedman, Física universitaria, vol. II (Addison-Wesley Longman, México, 1990). Física re-creativa S.Gil y E. Rodríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 7