Transcripción

1 TEMA AMO EALARE Y VETORIALE. INTRODUIÓN e entende por magntud cualquer cualdad o propedad medble. ueden clasfcarse en: - Magntudes escalares: Quedan totalmente defndas cuando se epresa cantdad undad en la que se ha meddo. - Magntudes ectorales: ara su total defncón es necesaro representarlas con ectores. o Vector lgado: on necesaros todos los datos reseñados (punto de aplcacón sentdo dreccón módulo). o Vector deslante: El punto de aplcacón puede ser cualquera de su recta de dreccón. o Vector lbre: omo recta de dreccón puede tomar cualquera que sea paralela a la dada.. AMO EALARE Y VETORIALE e entende por campo de una magntud aquella regón del espaco donde dcha magntud está defnda tene un alor. la magntud defnda es una magntud escalar el campo corresponderá a un campo escalar s la magntud es ectoral el campo será ectoral. El calor de la magntud en cada punto del campo dependerá de las coordenadas del punto del tempo en el espaco trdmensonal utlando un sstema cartesano de referenca las coordenadas del punto serán por los que: U f t ó f t ( ) ( ) dchas funcones no dependen del tempo se dce que el campo es estaconaro. Representacón de campos escalares Dado un campo estaconaro en un espaco trdmensonal defndo medante un sstema cartesano de referenca [U f ( )] su representacón consste en unr todos los puntos con gual alor de la magntud. Dado que la funcón es unoca contnua dcha representacón corresponderá a superfces enolentes que no tenen nngún punto en común. ada una de estas superfces recbe el nombre de superfce equescalar. la representacón se hace en un plano [U f ( )] la unón de los puntos dará lugar a líneas llamadas solíneas cerradas que no se cortan. Representacón de campos ectorales ara representar un campo ectoral se acude a traar líneas de campo o líneas de corrente que son líneas para las que el ector representato de la magntud en cada punto es sempre tangente a ellas. Dado que la representacón de campos escalares es mas smple que la representacón de campos ectorales las operacones con magntudes escalares son tambén mas smples que con magntudes ectorales se defnen una sere de funcones que nos permten asocar a un determnado campo otro de gual o dstnto tpo. Estas operacones corresponden al gradente dergenca aconal. 3. GRADIENTE DE UN EALAR e entende por gradente de un escalar una aplcacón ectoral sobre un campo escalar de tal forma

2 que a cada punto del campo escalar en el que la magntud ale U le hace corresponder un ector aplcado en ( grad U) sguendo esa dreccón. cua proeccón sobre cualquer dreccón es gual a la derada de U en el punto grad U dr du sendo dr un ector sobre una dreccon cualquera U U U du d d d el ector dr tene como componentes (d d d) el ector ector: U U d U d d du grad U dr d d d d d d ; j ; d d d U U U grad U j U U U grad U dr d d d du grad U corresponderá entonces al 4. FLUJO DE UN VETOR. DIVERGENIA La dergenca solo se aplca a los campos ectorales. Lo que caractera a un campo ectoral son las líneas de corrente. La dergenca ale cero en los puntos donde nacen o mueren líneas de corrente. a ds d a lm Τ 0 Τ Eje : a a a d a a dd a dd a ddd a dd a a a dd ddd a dd ddd a Eje ddd Eje :

3 b b b d b b b dd b dd b ddd b dd b dd ddd b dd b Eje ddd b ddd Eje : c c c d c c c c dd c dd c ddd c dd c dd ddd c dd ddd c Eje ddd a b c a ds ddd ddd ddd a b c d a lm Τ 0 Τ ddd d a a. TEOREMA DE GAU O DE LA DIVERGENIA El flujo para una superfce cerrada del campo ectoral a por el ds es gual a la ntegral del olumen encerrado por la superfce de la dergenca de por la dτ φ ds d dτ a ds d a lm Τ 0 Τ lm a ds d a Τ Τ 0 n φ a ds a ds lm a ds V o d a dτ. IRULAIÓN DE UN VETOR. ROTAIONAL V V 3

4 e entende por crculacón de un ector a lo largo de una línea al producto escalar del ector el ector representato de la línea dl c dl dl Total B A En una traectora cerrada: dl aconal ector ector El aconal de una superfce es un ector perpendcular a ella dl módulo : lm 0 dreccón : erpendcular al área delmtada por la traectora sentdo : El que marque el sentdo de la traectora En ( ) alculamos la crculacón en cada traectora (erde) omponente (naranja) omponente (aul) omponente uando la traectora contene a ale ( ) Las longtudes de los ejes son dferencales de ellos porque son porcones nfntesmales. omponente : ( ) ( d00) d 4

5 ( ) aumentado habra por lo tanto punto No contene al : d d d ( ) dd d 0 d0 d d d d d d : ( ) dd d d00 d d d ( ) ( ) d d0 0 umamos las crculacones: d dd d dd d d dd dd dd omponente : omponente : ( ) ( ) d 0 d0 ( ) dd d 00 d d d d ( ) dd d d0 0 d d d 3 3 ( ) ( ) d d umamos las crculacones: d dd d dd d d dd dd dd omponente : omponente :

6 ( ) ( ) d 00 d 3 3 ( ) dd d d00 d d d ( ) dd d d 00 d d d 4 4 ( ) ( ) d d00 umamos las crculacones: d dd d dd d d dd dd dd omponente : ( ) crculacón 0 lm dd dd dd dd dd dd Defncón: El aconal del campo ectoral es gual a un lmte cuando la superfce tende a cero de la crculacón de cerrada de por el dferencal del desplaamento partdo por la superfce que encerra la línea cerrada (del aconal). ólo en los cambos de sentdo el aconal es dstnto de cero. dl l 0 m ara los problemas: j j j

7 TEOREMA DE TOKE Defncón: La crculacón de un ector a lo largo de una línea cerrada es gual al flujo del aconal de dcho ector calculado sobre la superfce que encerra dcha línea. ds dl dloa dlab dl bc dlab dlde dleb dl dl co ab Todas las líneas nternas se anulan entre s solo quedan las eternas total n dl dl dl dl ds 8. OERAIONE DE EGUNDO ORDEN Laplacana de un escalar U d( grad U) U U U U U Laplacana de un ector grad d ( ) ( ) ( ) j 7