CINEMATICA. BERNARDO ARENAS GAVIRIA Universidad de Antioquia Instituto de Física

Transcripción

1 CINEMTIC BERNRD RENS GVIRI Unersdad de ntoqua Insttuto de Físca 2010

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3 Índce general 1. Cnemátca Introduccón Sstemas de referenca Concepto de partícula Descrpcón de la cnemátca de una partícula Vector poscón (r) Vector desplazamento ( r) Vector elocdad () Vector elocdad meda ( ) Vector elocdad nstantánea () Vector aceleracón (a) Vector aceleracón meda (ā) Vector aceleracón nstantánea (a) Momento rectlíneo de una partícula Velocdad en el momento rectlíneo () Momento rectlíneo unforme (MRU) celeracón en el momento rectlíneo Momento acelerado Momento rectlíneo desacelerado o retardado Momento rectlíneo unformemente acelerado (MRU) Momento curlíneo en un plano Momento curlíneo bajo aceleracón constante Momento general en un plano Vector poscón Vector elocdad Vector aceleracón Momento crcular Vector poscón Vector elocdad () Vector aceleracón(a) Momento crcular unforme Momento crcular unformemente acelerado Vector elocdad angular ector aceleracón angular Velocdades altas elocdades bajas

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5 Capítulo 1 Cnemátca bjetos En esta undad se busca Identfcar defnr las cantdades físcas relaconadas con el momento de los cuerpos. nalzar el modelo físco-matemátco, que permte obtener las herramentas necesaras para descrbr el momento de los cuerpos tratados bajo el modelo de partícula. plcar los conceptos de la cnemátca a stuacones físcas partculares. CNCEPTS BSICS En esta undad de cnemátca, se defnrán los sguentes conceptos que son báscos en el estudo del momento de los cuerpos: Sstema de referenca, concepto de partícula, ector poscón ( r), ector desplazamento ( r), ector elocdad (), ector aceleracón ( a), ector elocdad angular (ω), ector aceleracón angular (α) Introduccón La parte de la físca que analza el momento de los cuerpos, se conoce con el nombre de mecánca. La mecánca, a su ez, se dde en cnemátca dnámca. En esta undad, se busca analzar los métodos matemátcos que descrben el momento de los cuerpos, los cuales corresponden a la cnemátca. El estudo de la dnámca, se nca en la segunda undad Sstemas de referenca La frase traer el cuerpo que se encuentra a una dstanca de 2 m, es una frase ncompleta, porque como se lustra en la fgura 1.1, puede haber muchos cuerpos a una dstanca de 2 m entre sí. Esto llea a la pregunta: 2 m a partr de qué o respecto a quén? Lo anteror muestra la necesdad de especfcar un punto u obserador de referenca respecto al cual se mden los 2 m. Por ello es más correcto decr: "Traer el cuerpo que se encuentra a una dstanca de 2 m respecto al obserador B". 2 m 2 m 2 m 2 m Fgura 1.1: Cuerpos separados entre sí por una dstanca de 2 m. La frase anteror, aunque es menos ambgua, tampoco está completa a que ha un conjunto mu grande de puntos ubcados a una dstanca de 2 m respecto al obserador B. l unr este conjunto de puntos se obtene una esfera de rado 2 m en el espaco trdmensonal, una crcunferenca de rado 2 m en el plano como se muestra en la fgura 1.2 para el caso bdmensonal. Para defnr con toda clardad la poscón del cuerpo, se puede hacer la afrmacón: Traer el

6 2 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC B Fgura 1.2: Cuerpos a una dstanca de 2 m respecto a B. cuerpo que se encuentra a una dstanca de 2 m respecto a un obserador B, de tal manera que la recta que une a B con forma un ángulo θ con el eje, tomado horzontalmente. Esto equale a decr que se ha adconado un sstema de coordenadas al obserador B, como se muestra en la fgura 1.3, donde lo que realmente se ha defndo es un sstema de referenca, que consste en un obserador al que se le ha asgnado o lgado un sstema de coordenadas. B 2 m Fgura 1.3: Poscón de respecto a B. En la fgura 1.3, debe quedar claro que se puede emplear ben sea el sstema de coordenadas cartesanas o el sstema de coordenadas polares r, θ, tenendo en cuenta las relacones estentes entre ellas, como se ó en la undad de ectores. Por lo anteror, se puede conclur que para conocer con certeza la poscón de un cuerpo es ndspensable defnr un punto de referenca, esto es, un sstema de referenca, a que de lo contraro no tendría sentdo la ubcacón del cuerpo en consderacón. Como se ndca más adelante, para dar una descrpcón completa del momento de un cuerpo, se debe dsponer de un cronómetro o reloj con el fn de poder conocer los nstantes de tempo en los que ocupa las dferentes poscones. Lo dscutdo anterormente sólo es áldo para el obserador B, a que s se camba de obserador, o lo que es equalente, de sstema de referenca, necesaramente la poscón del cuerpo sería completamente dferente. De esta forma, el momento de un cuerpo puede defnrse como un cambo contnuo de su poscón respecto a otro cuerpo, es decr, el momento de un cuerpo dado sólo puede epresarse en funcón de un sstema de referenca. demás, el momento del cuerpo, respecto al cuerpo B, puede ser mu dferente al momento del cuerpo respecto a otro cuerpo C. B C Momento Fgura 1.4: C se mueen respecto a B. Suponga que un auto su conductor, en reposo entre sí, se mueen sobre una psta recta haca la derecha. Esta stuacón real, se modelará de tal forma que en la fgura 1.4, el conductor es el cuerpo, el auto el cuerpo C un poste fjo al lado de la ía es el cuerpo B. Los cuerpos C en reposo uno respecto al otro, se encuentran en momento haca la derecha respecto al cuerpo B, como en la fgura 1.4. Pero una stuacón dferente se presenta cuando se toma un sstema de referenca con orgen en el cuerpo C, como se ndca en la fgura 1.5. En este caso, el cuerpo está en reposo respecto al cuerpo C el cuerpo B en momento haca la zquerda respecto al cuerpo C. De acuerdo con lo anteror, cuando se quere analzar el estado cnemátco de un cuerpo, es

7 1.2. SISTEMS DE REFERENCI 3 Momento B ' C ' momento respecto a una ía recta, un pasajero deja caer un cuerpo. Cuál será el camno segudo por el cuerpo, respecto al pasajero? Cuál será el camno segudo por el cuerpo, respecto a una persona que se encuentra sobre la ía? Fgura 1.5: B se muee respecto a C, no se muee respecto a C. necesaro defnr con toda clardad cuál es el sstema de referenca a utlzar, a que como en la stuacón de la fgura 1.4, el momento de C es haca la derecha respecto al cuerpo B, mentras que para la stuacón de la fgura 1.5, está en reposo B en momento haca la zquerda respecto al cuerpo C. Para obtener nformacón completa sobre la forma como camba la poscón de un cuerpo respecto a otro, es necesaro medr tempos, o sea, que el obserador debe dsponer de un reloj o cronómetro, además del sstema de coordenadas. De la stuacón anteror tambén se puede conclur que reposo momento son conceptos relatos, a que ambos dependen del sstema de referenca en consderacón. S un cuerpo está en momento respecto a algunos sstemas de referenca, smultáneamente puede estar en reposo respecto a otros sstemas de referenca, esto es, el momento es relato. En lo que sgue, se supone que se tene un sstema de referenca ben defndo. Los sstemas de referenca que se emplearán en adelante, se supone que están en reposo respecto a la terra. Estos sstemas recben el nombre de sstemas de referenca nercales. En la undad 2, se defne de forma más concsa este tpo de sstemas de referenca, donde tambén se ncluen otros sstemas de referenca, que aunque estén en momento respecto a la terra, cumplen la condcón de ser nercales. Lo epuesto anterormente para una dmensón, tambén es áldo en el caso de dos tres dmensones. Pregunta : Por la entana de un autobús, en daro se obseran cuerpos en momento, ben sobre la superfce de la terra o a determnada altura respecto ella. El momento de estos cuerpos ocurre dentro de un gran mar de are llamado atmósfera. El are, el más común de los gases de la terra, es una mezcla de gases conocdos, tales como: ntrógeno, oígeno, bódo de carbono, hdrógeno, etc. Cuando se analza el momento de un cuerpo, respecto a la superfce de la terra, se obtenen los msmos resultados s este análss se llea a cabo respecto a un globo estátco que se encuentra a determnada altura sobre la terra. La gualdad en los resultados, al tomar cualquera de los sstemas de referenca anterores, se debe a que la atmósfera terrestre está estátca respecto a la terra, es decr, que la gran masa de are es arrastrada por la terra en su momento de rotacón. sea, que cuando un cuerpo se elea en el are sgue sn separarse de la terra a que se mantene lgado a su capa gaseosa la cual tambén toma parte en el momento de rotacón de la terra alrededor de su eje. Debdo a que el sstema terra-are gra como un todo, hace que arrastre consgo todo lo que en él se encuentra: las nubes, los aeroplanos, las aes en uelo, etc. S esto no ocurrera, los cuerpos en todo momento estarían sometdos a fuertes entos. Stuacón que se puede presentar pero por razones físcas mu dferentes. Necesaramente, cuando un cuerpo se muee respecto a la terra, ben sea sobre ella o a una altura determnada dentro de la atmósfera, estará sometdo a los efectos del are. Esta stuacón se percbe cuando se aja en un auto con las entanllas abertas o cuando se deja caer ertcalmente una hoja de papel. En ambos casos los cuerpos tenen un momento respecto al sstema are. En esta undad, no se consderan los efectos

8 4 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC del are sobre el momento de los cuerpos. El análss de esta stuacón se hace en la undad Concepto de partícula Se consdera la sguente stuacón: Un bloque se deslza o traslada sobre una superfce horzontal sn cambar su orentacón n su forma geométrca, es decr, se muee como un todo de una poscón a otra. En este caso, como se ndca en la fgura 1.6, los puntos B, pertenecentes al bloque, se mueen la msma dstanca d. B d d B Fgura 1.6: Traslacón pura de un cuerpo. unque sólo se han consderado los puntos B, es certo que todos los puntos del bloque se mueen la msma dstanca d. Esto permte analzar el momento de solo un punto del bloque, a que el comportamento de él es déntco al comportamento de todos los demás puntos. Cuando es posble hacer la smplfcacón anteror, se dce que el cuerpo se ha reducdo al modelo de una partícula. Posterormente, se dará una defncón más completa del concepto partícula. En esta undad se consdera sólo el momento de traslacón de los cuerpos, ben sea en línea recta o a lo largo de una cura; por ello el momento de los cuerpos se descrbe medante el modelo de partícula Descrpcón de la cnemátca de una partícula Vector poscón (r) Para el caso de dos dmensones, un cuerpo tratado bajo el modelo de partícula, se muee a lo largo de un camno, tambén conocdo como traectora. La poscón de la partícula, en un nstante determnado respecto al sstema de referenca mostrado en la fgura 1.7, está dada por el ector poscón r trazado desde el orgen del sstema de referenca hasta la poscón donde se encuentre la partícula. j r( t) (, ) Traectora Fgura 1.7: Vector poscón r de la partícula. S el ector poscón en componentes rectangulares está dado por r = + j, se tene que su magntud dreccón están dadas, respectamente, por r = θ = tan 1. (1.1) La forma de las epresones dadas por la ecuacón (1.1) son áldas, en general, para obtener la magntud dreccón de cualquer ector, s se conocen sus componentes rectangulares. En la fgura 1.7 se obsera que el ector poscón r aría con el tempo tanto en magntud como en dreccón, mentras la partícula se muee a lo largo de su traectora. Ejemplo 1.1. El ector poscón de una partícula que se muee en el plano, está dado por r(t) = (t 3) (t 2 15)j, donde r está dado en m t en s. Cuando t = 2.50 s la partícula pasa por el punto. Determne: a) Las coordenadas de la partícula en el punto. b) La magntud dreccón del ector poscón en dcho nstante. Solucón a) Reemplazando t = 2.50 s en la epresón dada, se encuentra que el ector poscón en componentes rectangulares, cuando la partícula pasa por el punto, está dado por r = ( 0.50 m) + (8.75 m)j.

9 1.4. DESCRIPCIÓN DE L CINEMÁTIC DE UN PRTÍCUL 5 Como en el plano el ector poscón en general se epresa en la forma r = + j, al comparar con la gualdad anteror se tene que = 0.50 m = 8.75 m, que son las coordenadas de la partícula cuando pasa por el punto. b) Utlzando las ecuacones (1.1), se encuentra que la magntud dreccón del ector poscón están dadas por r = 8.76 m θ = o. sí, el ector poscón se puede epresar en la forma r = 8.76 m o El sguente dagrama es una representacón gráfca de los resultados obtendos. partícula pasa por el punto. Determne: a) Las coordenadas de la partícula en el punto. b) La magntud dreccón del ector poscón en dcho nstante Vector desplazamento ( r) Como se ndca en la fgura 1.8, se consdera una partícula que en el nstante t pasa por el punto, defndo por el ector poscón r. S en un certo tempo posteror t B (t B > t ) la partícula pasa por el punto B, defndo medante el ector poscón r B, el ector desplazamento, que descrbe el cambo de poscón de la partícula conforme se muee de a B, es dado por r = r B r = ( B ) + ( B )j. (1.2) (m) r 8.75 j (m) j r (, ) r B r B(, ) B B Ejercco 1.1. El ector poscón de una partícula que se muee en el plano, está dado por r(t) = (t 3) (t 2 15)j donde r está dado en m t en s. a) Encuentre la ecuacón de la traectora seguda por la partícula. De acuerdo con su resultado, qué traectora descrbe la partícula? b) Halle el nstante en que la partícula pasa por el eje el nstante en que pasa por el eje. c) btenga el ector poscón de la partícula en el nstante t = 0. Ejercco 1.2. El ector poscón de una partícula que se muee en el plano, está dado por r = (2t 2 1) (t 3 + 2)j donde r está dado en m t en s. Cuando t = 2.50 s la Fgura 1.8: Vector desplazamento r entre B. Ejemplo 1.2. Una partícula cuo ector poscón está dado por r(t) = (t 3) (t 2 15)j se encuentra en el punto en t = 2.50 s. S en el tempo t B = 4.00 s pasa por el punto B, calcule la magntud dreccón del ector desplazamento entre B. Solucón l reemplazar t = 2.50 s t B = 4.00 s en la epresón dada, se encuentra que los ectores poscón de la partícula, en componentes rectangulares, respectamente están dados por r = ( 0.50 m) + (8.75 m)j, r B = (1.00 m) (1.00 m)j.

10 6 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC hora, utlzando la ecuacón (1.2), para este caso se tene que el ector desplazamento, entre B, en componentes rectangulares está dado por r = (1.50 m) (9.75 m)j. Por últmo, utlzando las ecuacones.(1.1), se encuentra que la magntud dreccón del ector desplazamento están dadas por r = 9.86 m β = o, Es decr r = 9.86 m o En el dagrama sguente se muestra, tanto el ector desplazamento como el ángulo que forma con la horzontal Vector elocdad meda ( ) De acuerdo con la fgura 1.9, se consdera una partícula que en el nstante t pasa por el punto, determnado por el ector poscón r. S en un tempo posteror t B (t B > t ) la partícula pasa por el punto B, determnado por el ector poscón r B, la elocdad meda durante el nteralo de tempo t = t B t, se defne como el desplazamento dddo entre el nteralo de tempo correspondente, es decr r t = r B r t B t = ( B ) + ( B )j t B t = + j. r (, ) r B(, ) B B (1.3) r r r B j r B Fgura 1.9: Vector elocdad meda entre B. Ejercco 1.3. Una partícula cuo ector poscón está dado por r = (2t 2 1) (t 3 + 2)j, donde r está dado en m t en s, se encuentra en el punto en t = 2.50 s. S en el tempo t B = 4.00 s pasa por el punto B, calcule la magntud dreccón del ector desplazamento entre B Vector elocdad () Cuando la poscón de una partícula camba con respecto al tempo, se dce que la partícula ha adqurdo una elocdad. En general, la elocdad de una partícula se defne como la rapdez con que camba de poscón al transcurrr el tempo. Dmensones undades del ector elocdad meda De acuerdo con la ecuacón (1.3), las dmensones del ector elocdad meda en general de la elocdad, son LT 1. Por consguente, las undades son m.s 1 en el sstema SI, cm.s 1 en el sstema gaussano, p.s 1 en el sstema Inglés; en general, cualquer undad de longtud ddda por una undad de tempo, tal como km.h 1. La defncón (1.3) muestra que la elocdad meda,, es un ector a que se obtene al ddr el ector r entre el escalar t, por lo tanto, la elocdad meda nclue tanto magntud como dreccón. Donde su magntud está dada por r/ t su dreccón por por la dreccón del ector desplazamento r. Esta cantdad es una

11 1.4. DESCRIPCIÓN DE L CINEMÁTIC DE UN PRTÍCUL 7 elocdad meda, a que la epresón no dce cómo fue el momento entre B. La traectora pudo haber sdo cura o recta, el momento pudo haber sdo contnuo o arable. La sguente es una stuacón en la que el ector elocdad meda es nulo. En la fgura 1.10, un auto parte del punto pasando por el punto B regresa al punto, luego de un tempo t. En este caso, la elocdad meda es cero a que el desplazamento de la partícula es cero, aunque la dstanca recorrda es dferente de cero. Fgura 1.10: Vector desplazamento nulo. Ejemplo 1.3. Una partícula cuo ector poscón está dado por r(t) = (t 3) (t 2 15)j, se encuentra en el punto en t = 2.50 s. S en el tempo t B = 4.00 s pasa por el punto B, determne la magntud dreccón de la elocdad meda entre B. Solucón btenendo el ector desplazamento r sabendo que t = 1.5 s, medante la ecuacón (1.3), se encuentra que la elocdad meda en componentes rectangulares está dada por = (1.00 m s 1 ) (6.5 m s 1 )j. Medante las ecuacones (1.1), para este caso se encuentra que la magntud dreccón del ector elocdad meda, correspondentes, son B = 6.58 m s o Ejercco 1.4. Una partícula cuo ector poscón está dado por r(t) = (t 3) (t 2 15)j, se encuentra en el punto en el nstante t. S en el tempo t B pasa por el punto B, demuestre que la elocdad meda cuando la partícula pasa del punto al punto B, está dada por = (t B + t )j. Ejercco 1.5. Una partícula cuo ector poscón está dado por r = (2t 2 1) (t 3 + 2)j, se encuentra en el punto en t = 2.50 s. S en el tempo t B = 4.00 s pasa por el punto B, calcule la magntud dreccón del ector desplazamento entre B. Ejemplo 1.4. La elocdad meda cuando una partícula pasa del punto al punto B, está dada por = (t B + t )j. btenga la magntud dreccón de la elocdad meda, cuando la partícula se muee durante los nteralos de tempo mostrados en la tercera columna de la tabla 1.1. Solucón En la tabla 1.1 se muestran los alores obtendos para la magntud ( ) la dreccón (θ) del ector elocdad meda, en dferentes nteralos de tempo ( t) con t B = 3.0 s. t (s) t B (s) t(s) (m/s) θ( o ) = 6.58 m s 1 β= o o sea que es la msma dreccón del ector desplazamento r, como se esperaba. Pregunta Qué puede conclur al obserar los alo-

12 8 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC res de las tres últmas columnas de la tabla 1.1? Ejercco 1.6. Para una partícula, el ector poscón en funcón del tempo está dado por r = (2t 2 1) (t 3 + 2)j, donde r está dado en m t en s. a) S la partícula pasa por el punto en el nstante t por el punto B en el nstante t B, halle el ector elocdad meda en sus componentes rectangulares. b) btenga la magntud dreccón de la elocdad meda, cuando la partícula se muee durante los nteralos de tempo mostrados en la tercera columna de la tabla Vector elocdad nstantánea () Es la elocdad de una partícula en un nstante dado cualquera. La elocdad, respecto a determnado sstema de referenca, puede arar ben sea porque camba sólo su magntud ó sólo su dreccón ó smultáneamente camban tanto su magntud como su dreccón. Para el momento de una partícula, representado en la fgura 1.11, cómo se puede determnar su elocdad en el punto? j r r B r r'' r' B'' Fgura 1.11: Vector elocdad nstantánea. l consderar las poscones ntermedas de la partícula en t, 2, t,, 2, t,,, 2, determnadas por los ectores poscón r, 2, r,, 2, r,,, 2, se obsera que los ectores desplazamento r,, r,,, r,,,, camban tanto en magntud como en dreccón, o sea que la elocdad meda aría tanto en magntud como en dreccón al tener en cuenta los puntos entre B. B' B Igualmente, los nteralos de tempo correspondentes t = t 2 t 1, t, = t, 2 t, 1, t,, = t,, 2 t,, 1, t,,, = t,,, 2 t,,, 1, cada ez se hacen más pequeños. S se contnúa este proceso hacendo que B se aprome al punto, el ector desplazamento se hace cada ez más pequeño hasta que tende a una dreccón límte, que corresponde a la de la tangente a la traectora de la partícula en el punto. Este alor límte de r/ t se conoce como elocdad nstantánea en el punto, o sea, la elocdad de la partícula en el nstante de tempo t. S r es el desplazamento en un pequeño nteralo de tempo t, a partr de un tempo t o, la elocdad en un tempo posteror t, es el alor al que tende r/ t cuando tanto r como t, tenden a cero, es decr, r = lím t 0 t. (1.4) La ecuacón (1.4) no es más que la defncón de derada, esto es = dr dt. (1.5) Por la ecuacón (1.5), se conclue que la elocdad nstantánea es tangente a la traectora seguda por la partícula. La magntud de la elocdad se llama rapdez es gual a = = dr dt. Como r = + j, se tene que en componentes rectangulares = dr dt = d dt + d dt j = + j. S en la fgura 1.12, se conocen las componentes rectangulares, se tene que su magntud dreccón están dadas por = θ = tan 1.

13 1.4. DESCRIPCIÓN DE L CINEMÁTIC DE UN PRTÍCUL 9 De acuerdo con la defncón del ector elocdad nstantánea, se tene que sus dmensones undades son las msmas del ector elocdad meda. En adelante, sempre que se hable de elocdad, se hace referenca a la elocdad nstantánea. j r( t) Fgura 1.12: Componentes rectangulares del ector elocdad. Partendo de la defncón del ector elocdad, es posble conocer el ector poscón de una partícula s se conoce la forma como aría el ector elocdad con el tempo. De la ecuacón (1.5) se obtene que t r = r o + t o (t)dt. (1.6) Mentras no se conozca la forma como aría el ector elocdad ((t)) con el tempo, no es posble resoler la ntegral de la ecuacón (1.6). Un caso partcular se presenta cuando el ector elocdad permanece constante en magntud dreccón. Cuando ello ocurre, la ecuacón (1.6) se transforma en r = r o + (t t o ). (1.7) La ecuacón (1.7) corresponde a un momento conocdo como momento rectlíneo unforme, a que al no cambar la dreccón de la elocdad, la traectora es rectlínea al no cambar la magntud de la elocdad su rapdez es constante. Este caso partcular de momento se consderará más adelante. Ejemplo 1.5. El ector poscón de una partícula que se muee en el plano, está dado por r(t) = (t 3) (t 2 15)j, donde r está dado en m t en s. Determne la elocdad de la partícula, magntud dreccón, en el nstante t = 3 s. Solucón Empleando la ecuacón (1.5) se tene que la elocdad en cualquer nstante de tempo t está dada por = 2tj. Reemplazando t = 3 s en la epresón para, se tene que el ector elocdad en componentes rectangulares está dado por = (1 m s 1 ) (6 m s 1 )j. sí que su magntud dreccón están dadas respectamente por = m s 1 θ = o, es decr = m.s o Pregunta Compare este resultado con los alores de la tabla 1.1 en el ejemplo 1.4. Qué puede conclur? Ejercco 1.7. El ector poscón de una partícula que se muee en el plano, está dado por r = (2t 2 1) (t 3 + 2)j donde r está dado en m t en s. Determne la elocdad de la partícula, magntud dreccón, en el nstante t = 3 s. Compare el resultado con lo obtendo en el ejercco 1.6. Ejemplo 1.6. S la elocdad de una partícula está dada por = 2tj, halle el ector poscón de la partícula en el nstante de tempo t, sabendo que partó de una poscón en la cual r o = (3.0 m) + (15 m)j en t o = 0. Solucón Reemplazando los ectores r o en la ecuacón (1.6), se encuentra que al ntegrar, ealuar smplfcar, el ector poscón de partícula está dado por r = (t 3) (t 2 15)j,

14 10 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC que es el msmo ector poscón consderado en el ejemplo 1.1. De este resultado, se puede conclur que s se conoce el ector poscón de una partícula, en funcón del tempo, es posble conocer el ector elocdad s se conoce el ector elocdad, en funcón del tempo, se puede conocer el ector poscón de la partícula (recuerde que la ntegracón es la operacón nersa de la deracón). j B B - Fgura 1.13: Vector aceleracón meda. B Ejercco 1.8. S la elocdad de una partícula está dada por = 4t 3t 2 j, halle el ector poscón de la partícula en el nstante de tempo t, sabendo que partó de una poscón en la cual en r o = (1.00 m) (2.00 m)j en t o = 0. Compare su resultado con el ector poscón dado en el ejercco Vector aceleracón (a) menudo, la elocdad de un cuerpo camba en magntud /o dreccón, al encontrarse en momento. Cuando esto ocurre se dce que el cuerpo tene una aceleracón. La aceleracón de un cuerpo se defne como la rapdez con que camba su ector elocdad al transcurrr el tempo Vector aceleracón meda (ā) De la fgura 1.13, en el tempo t una partícula se encuentra en el punto tene una elocdad en el nstante posteror t B ( t B > t ) se encuentra en el punto B tene una elocdad B, la aceleracón meda ā durante el momento de a B se defne como el cambo de elocdad dddo entre el nteralo de tempo correspondente, es decr ā t = B, (1.8) t B t ā es un ector a que se obtene ddendo el ector con el escalar t, o sea, que se caracterza por su magntud dreccón. Su dreccón es la de su magntud es dada por / t. ā es una aceleracón meda a que no se ha dcho la forma como aría el ector elocdad con el tempo durante el nteralo de tempo t. S durante este nteralo de tempo no ha cambo en el ector elocdad, esto es, s el ector elocdad permanece constante, en magntud en dreccón, entonces en todo el nteralo de tempo = 0 la aceleracón sería cero. Dmensones undades del ector aceleracón meda De acuerdo con la ecuacón (1.8), las dmensones del ector aceleracón son LT 2. Por consguente, las undades son m. s 2 en el sstema SI, cm.s 2 en el sstema gaussano, p.s 2 en el sstema nglés; en general, cualquer undad de longtud ddda por una undad de tempo al cuadrado, tal como km.h 2. Ejemplo 1.7. Una partícula pasa por el punto en el nstante t por el punto B en el nstante t B. Determne el ector aceleracón meda de la partícula entre estos dos puntos, sabendo que su ector elocdad está dado por = 2tj, donde está dado en m.s 1 t en s. Solucón En este caso, la elocdad de la partícula en el punto está dada por = 2t j en el punto B por B = 2t B j, o sea que el cambo en la elocdad es = 2(t B t )j. Reemplazando t = t B t en la ecuacón (1.8), se encuentra que el ector aceleracón meda es dado por ā = (2 m s 2 )j. Por el resultado obtendo, se tene que la elocdad no camba en la dreccón del eje por ello no aparece componente

15 1.4. DESCRIPCIÓN DE L CINEMÁTIC DE UN PRTÍCUL 11 de aceleracón en dcha dreccón, mentras que se presenta un cambo de elocdad en la dreccón del eje lo que hace que se presente una componente de aceleracón en esta dreccón. a a a j Ejercco 1.9. Una partícula pasa por el punto en el nstante t por el punto B en el nstante t B. Determne el ector aceleracón meda de la partícula entre estos dos puntos, sabendo que su ector elocdad está dado por = 4t 3t 2 j, donde está dado en m.s 1 t en s Vector aceleracón nstantánea (a) S una partícula se está moendo de tal manera que su aceleracón meda, medda en aros nteralos de tempo dferentes no resulta constante, se dce que se tene una aceleracón arable. La aceleracón puede arar en magntud /o dreccón. En tales casos, se trata de determnar la aceleracón de la partícula en un nstante dado cualquera, llamada aceleracón nstantánea a defnda por a = lím t 0 t = d dt = d2 r dt 2. (1.9) S el ector elocdad en componentes rectangulares está dado por = + j, entonces el ector aceleracón se epresa en la forma a = d dt + d dt j = a + a j. (1.10) De este modo su magntud dreccón están dadas, respectamente, por a = a 2 + a 2 θ = tan 1 a. a Como se muestra en la fgura 1.14, el ector aceleracón sempre apunta haca la concadad de la traectora en general no es tangente n perpendcular a ella. Las dmensones undades del ector aceleracón nstantánea, o smplemente aceleracón, son las j Fgura 1.14: Componentes rectangulares del ector aceleracón. msmas que las del ector aceleracón meda. De la defncón de aceleracón, ecuacón (1.9), se encuentra que t = o + t o a(t)dt. (1.11) Esta ntegral se puede resoler sólo s se conoce la forma como aría la aceleracón con el tempo. En el caso partcular que el ector aceleracón permanezca constante, en magntud dreccón, entonces = o + a(t t o ). (1.12) Reemplazando la ecuacón (1.12) en la ecuacón (1.6), luego de ntegrar ealuar se llega a r = r o + o (t t o ) a(t t o) 2. (1.13) Epresón que úncamente es álda s el ector aceleracón permanece constante mentras la partícula está en momento. Ejemplo 1.8. Halle la aceleracón, en funcón del tempo, de una partícula cua elocdad está dada por = 2tj. Solucón Derando la epresón anteror respecto al tempo, se encuentra que la aceleracón está dada por a = ( 2 m s 2 )j.

16 12 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC Este resultado muestra que la aceleracón de la partícula es una constante a lo largo de la dreccón, lo que se esperaba a que concden la aceleracón meda (ejemplo 1.7) la aceleracón nstantánea. Ejercco Halle la aceleracón, en funcón del tempo, de una partícula cua elocdad está dada por = 4t 3t 2 j. Ejemplo 1.9. Halle, en funcón de t, la elocdad de una partícula cua aceleracón está dada por a = ( 2 m s 2 )j, s o = (1.0 m s 1 ) en t o = 0. Solucón Luego de reemplazar a o en la ecuacón (1.11), al ntegrar ealuar se llega a la epresón = 2tj, que es un resultado déntco a la epresón dada en el ejemplo 1.8, como se esperaba. Ejercco Halle, en funcón de t, la elocdad de una partícula cua aceleracón está dada por a = 4 6tj, s o = 0 en t o = 0. Compare con la epresón dada para en el ejercco Momento rectlíneo de una partícula Hasta este momento se han defndo, de manera general, las cantdades cnemátcas que permten descrbr el momento de los cuerpos, medante el modelo de partícula. En lo que sgue, se consderan casos partculares de las epresones consderadas anterormente. Se nca con el caso del momento más smple que puede presentarse como es el de un cuerpo cua traectora es una línea recta, la cual se hace concdr, generalmente, con uno de los ejes de coordenadas ( ó ). Luego de analzar este momento, se analzan otros momentos más generales en el plano, los cuales se representan por medo de sus proeccones sobre los ejes de coordenadas o utlzando coordenadas polares. Momento Fgura 1.15: Momento rectlíneo de una partícula. unque el desplazamento por defncón es una cantdad ectoral, se consdera en prmer lugar la stuacón en la cual sólo una componente del desplazamento es dferente de cero, a que en la maoría de los casos se hace concdr uno de los ejes de coordenadas con la traectora rectlínea descrta por la partícula. La traectora en línea recta puede ser ertcal, horzontal u oblcua, como la mostrada en la fgura S en la fgura 1.15, el eje concde con la traectora descrta por una partícula, se tene que el ector poscón, el ector elocdad el ector aceleracón de la partícula están dados, respectamente, por r =, =, a = a. hora, como al hacer concdr el eje con la traectora de la partícula, a queda defnda la dreccón del momento, es posble escrbr las cantdades anterores en forma escalar, es decr r =, = d dt, a = d dt. (1.14) sea, las defncones conceptos de la seccón anteror sguen sendo áldos, ecuacones (1.1) a (1.13), sempre cuando se tenga presente que solo aparece una componente en cada uno de los ectores, s la traectora concde con el eje utlzado. Es precso recordar que no se debe confundr desplazamento con dstanca recorrda, como se lustra en la fgura 1.16, donde una partícula a

17 1.5. MVIMIENT RECTILÍNE DE UN PRTÍCUL 13 B Momento Fgura 1.16: Desplazamento dstanca recorrda. > 0 del orgen de coordenadas al punto luego regresa, pasando por, hasta llegar al punto B. sí, en este caso, el ector desplazamento de la partícula tene una magntud dada por = B, apuntando haca la derecha; esto corresponde al ector que a del punto al punto B, mentras que la dstanca recorrda es d = 2 + B. Ejercco Una partícula, cua ecuacón cnemátca de poscón está dada por (t) = 3t 3 4t 2 t + 5, donde se da en m t en s, se muee en línea recta a lo largo del eje. a) Determne la elocdad la aceleracón de la partícula en funcón del tempo. b) Calcule la poscón, la elocdad la aceleracón de la partícula en el nstante t = 2.5 s. c) Cuáles son las dmensones de los coefcentes numércos, en cada uno de los térmnos de las ecuacones cnemátcas de poscón, elocdad aceleracón? Velocdad en el momento rectlíneo () Cuando la traectora rectlínea de la partícula es tal que esta concde con el eje de coordenadas, la elocdad es un ector cua magntud está dada por la segunda de las ecuacones (1.14.) cua dreccón concde con la del momento. sí, la elocdad estará drgda en el sentdo del ector untaro s d / dt > 0 en el sentdo opuesto de s d / dt < 0. sea, el sgno de d / dt ndca el sentdo de momento, como se muestra en la fgura En síntess, de acuerdo con lo anteror, se tene que el sgno de la elocdad está dado por el sstema de referenca empleado. Para momento en una dmensón, la epresón dada por la ecuacón (1.6) adquere la for- Momento < 0 Fgura 1.17: El sgno de ndca el sentdo de momento. ma t = o + t o (t)dt, (1.15) que como se sabe, es posble resoler la ntegral s se conoce la forma funconal de (t). Ejercco Determne, en funcón del tempo, la poscón de una partícula que se muee a lo largo del eje, sabendo que su ecuacón cnemátca de elocdad está dada por = 9t 2 8t 1, con o = 5 m en t o = 0. Compare su resultado con la epresón para (t) dada en el ejercco Momento rectlíneo unforme (MRU) Se presenta un caso partcular de la ecuacón (1.15) cuando la elocdad con la cual se muee un cuerpo permanece constante, es decr, = Constante. Esta stuacón ocurre, por ejemplo, cuando la aguja del elocímetro de un auto no camba de poscón mentras el auto está en momento por una ía recta. De este modo, ntegrando ealuando en la ecuacón (1.15), se obtene = o + (t t o ), (1.16) que es la ecuacón cnemátca de poscón para este momento, denomnado momento rectlíneo unforme (MRU). En muchos casos, es posble tomar t o = 0.

18 14 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC t o, el área sombreada es gual al desplazamento de una partícula que tene momento rectlíneo unforme. o t o Fgura 1.18: Gráfca de la poscón en funcón del tempo para un MRU. De acuerdo con la geometría analítca, la ecuacón (1.16) corresponde a la ecuacón de una línea recta, donde su pendente es la magntud de la elocdad del momento. t o t rea = Fgura 1.19: Gráfca de la elocdad en funcón del tempo para un MRU. En las fguras se muestran las gráfcas de poscón elocdad en funcón del tempo, para el caso de una partícula con momento rectlíneo unforme. En la fgura 1.18 se tene que la pendente de la gráfca de poscón en funcón del tempo está dada por Pendente = o t t o =. (1.17) l comparar las ecuacones.(1.16) (1.17) se encuentra que realmente la pendente de la recta corresponde a la elocdad de una partícula con momento rectlíneo unforme. Ejercco Utlzando la fgura 1.19, demuestre que para el nteralo de tempo t = t t t t Ejemplo Dos autos B se mueen con elocdades B, sobre una psta recta, en carrles paralelos con sentdos opuestos. Incalmente, los autos están separados una dstanca d. a) Haga un dagrama lustrato de la stuacón planteada, donde se muestre el sstema de referenca a emplear. b) Tenendo en cuenta el sstema de referenca elegdo, plantee las ecuacones cnemátcas de poscón para cada auto. c) Determne el tempo que demoran los autos en pasar uno frente al otro. d) Halle el alor de la cantdad obtenda en el numeral anteror, s = 216 km h 1, B = 40 m s 1 d = 50 m Solucón a) Dagrama lustrato de la stuacón planteada, en el cual se muestra el sstema de referenca a emplear. Momento Momento b) De acuerdo con el enuncado, las cantdades d, B son dadas los autos se mueen con elocdades constantes, por lo que cada uno tene momento rectlíneo unforme. sí, las ecuacones cnemátcas de poscón tenen la forma general dada por la ecuacón (1.16), donde para este caso, t o = 0, o = 0 ob = d. Respecto al sstema de referenca mostrado en el dagrama con orgen en, las ecuacones cnemátcas de poscón para los autos B, respectamente, adqueren la forma d B = t. (1) B = d B t. (2) c) Cuando un auto pasa frente al otro la poscón es la msma, por lo que las ecuacones (1) (2) son guales, tenendo en cuenta que a partr de la stuacón ncal, el tempo que demoran los autos en encontrarse es el msmo.

19 1.5. MVIMIENT RECTILÍNE DE UN PRTÍCUL 15 Por lo tanto, luego de gualar las ecuacones (1) (2), smplfcar, se encuentra que el tempo que demoran en encontrarse está dado por t = d + B. (3) d) l reemplazar en la ecuacón (3) los alores = 216 km h 1 60 m s 1, B = 40 m s 1 d = 50 m, se tene t = 50 m 60 m s m s 1 = 0.5 s, que es el tempo que los autos demoran en pasar uno frente al otro. Ejercco Dos autos B se mueen con elocdades B ( > B ), sobre una psta recta, en carrles paralelos en el msmo sentdo. Incalmente, los autos están separados una dstanca d. a) Haga un dagrama lustrato de la stuacón planteada, donde se muestre el sstema de referenca a emplear. b) Tenendo en cuenta el sstema de referenca elegdo, plantee las ecuacones cnemátcas de poscón para cada auto. c) Determne el tempo que demoran los autos en pasar uno frente al otro. d) Halle el alor de la cantdad obtenda en el numeral anteror, s = 60 m s 1, B = 144 km h 1 d = 50 m, e) Qué se puede afrmar respecto al tempo, cuando las elocdades de los autos son guales? celeracón en el momento rectlíneo De acuerdo con la defncón de aceleracón para el caso de momento rectlíneo, con el eje de coordenadas concdente con la traectora, un cuerpo posee aceleracón s camba la magntud de la elocdad con el tempo, es decr, s = (t). La aceleracón es un ector cua magntud está dada por la tercera de las ecuacones (1.14) cua dreccón concde con la del momento o con la opuesta, dependendo de s la magntud de la elocdad aumenta o dsmnue con el tempo. Igual que para la elocdad, el sgno de la aceleracón lo da el sstema de referenca Momento acelerado S la magntud de la elocdad aumenta con el tempo, se tene momento acelerado, en este caso la elocdad la aceleracón tenen el msmo sentdo, como se lustra en la fgura Esta stuacón se presenta cuando en un auto se aplca el acelerador. > 0 < 0 a a a > 0 a < 0 Fgura 1.20: Momento rectlíneo acelerado. En síntess, un cuerpo tene momento rectlíneo acelerado, cuando tanto la elocdad como la aceleracón tenen el msmo sgno Momento rectlíneo desacelerado o retardado Cuando la magntud de la elocdad dsmnue con el tempo, se tene momento rectlíneo desacelerado o retardado, es decr, cuando la elocdad la aceleracón tenen sentdos opuestos, como se muestra en la fgura Esta stuacón se presenta cuando en un auto se aplcan los frenos. En síntess, un cuerpo tene momento rectlíneo desacelerado o retardado, cuando la elocdad la aceleracón tenen sgnos opuestos. Para momento en una dmensón, la ecuacón (1.11) se puede escrbr en forma ntegral es posble resolerla s se conoce la forma

20 16 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC a > 0 a < 0 < 0 a a < 0 o rea = t o t t Fgura 1.21: Momento rectlíneo retardado. funconal de a(t). t = o + t o a(t)dt. (1.18) Ejercco Determne, en funcón del tempo, la elocdad de una partícula que se muee a lo largo del eje, s la ecuacón cnemátca de aceleracón está dada por a = 18t 8, con o = 1 m s 1 en t o = 0. Compare su resultado con la epresón para (t) dada en el ejercco Momento rectlíneo unformemente acelerado (MRU) Es un momento en el cual la magntud de la aceleracón permanece constante, es decr, a(t) = a = Constante. De este modo, la ecuacón (1.18) toma la forma = o + a(t t o ), (1.19) esta es la ecuacón cnemátca de elocdad para el momento rectlíneo unformemente acelerado (MRU). La ecuacón (1.19) corresponde a la ecuacón de una línea recta, donde su pendente es la magntud de la aceleracón del momento. En las fguras se muestran las gráfcas de elocdad aceleracón en funcón del tempo, para el caso de momento rectlíneo unformemente acelerado. De la fgura 1.22, se tene que la pendente de la gráfca de elocdad en funcón del tempo Fgura 1.22: Gráfca de la elocdad en funcón del tempo para un MRU. está dada por: Pendente = o t t o = a. (1.20) l comparar la ecuacón (1.20) con la ecuacón (1.19), se encuentra que la pendente de la recta corresponde a la aceleracón de una partícula con momento rectlíneo unformemente acelerado. a a t o rea = Fgura 1.23: Gráfca de la aceleracón en funcón del tempo para un MRU. La ecuacón cnemátca de poscón de una partícula con momento rectlíneo unformemente acelerado, se obtene al susttur la ecuacón (1.19) en la ecuacón (1.15), donde al ntegrar ealuar se llega a la epresón = o + o (t t o ) a(t t o) 2, (1.21) epresón que sólo es álda s la magntud de la aceleracón permanece constante. Cuando se grafca la poscón de una partícula con momento rectlíneo unformemente acelerado, en funcón del tempo, se obtene una parábola cua concadad depende del sgno de t t

21 1.5. MVIMIENT RECTILÍNE DE UN PRTÍCUL 17 o t o t t Fgura 1.24: Gráfca de la poscón en funcón del tempo para un MRU. la aceleracón. En la fgura 1.24 se muestra la gráfca en el caso de una aceleracón posta. La pendente de la recta tangente en un punto, tal como en la fgura 1.24, corresponde a la elocdad de una partícula cuando pasa por la poscón. En forma matemátca = d dt =. Ejercco Demuestre que el área sombreada, en la gráfca de la fgura 1.23, es gual al cambo en la elocdad de una partícula en el nteralo de tempo t = t t o, cuando se tene momento rectlíneo unformemente acelerado. Ejercco Demuestre que el área sombreada, en la gráfca de la fgura 1.22, es gual al desplazamento de una partícula en el nteralo de tempo t = t t o, cuando tene momento rectlíneo unformemente acelerado. Ejemplo Un auto aja a 60 km h 1 a lo largo de una psta recta. El conductor del auto e un camón que aja delante de él a una dstanca de 30 m con una elocdad de m s 1. El conductor del auto aplca los frenos a los 2 s de haber obserado el camón, generando una aceleracón de 50 cm s 2. a) Haga un dagrama lustrato de la stuacón plateada, ncluendo el sstema de referenca a emplear. b) Plantee las ecuacones cnemátcas de poscón t elocdad que rgen el momento del auto del camón. c) El auto alcanza al camón? Por qué? d) Calcule el tempo en que se detene el auto. e) Calcule la poscón del auto del camón en el nstante que se detene el auto. Solucón a) Dagrama lustrato de la stuacón plateada Momento Momento B 30 C (m) En el dagrama se consdera la stuacón ncal de los móles, se toma el orgen de coordenadas del sstema de referenca en la poscón donde el conductor del auto e al camón. El punto B es la poscón donde el auto aplca los frenos. De acuerdo con el enuncado, las cantdades dadas son o = 60 km h m s 1, oc = 30 m, C = m s 1, t = 2 s a = 50 cm s m s 2. b) Ecuacones cnemátcas de poscón elocdad para el auto el camón: ntes de aplcar los frenos, el auto tene momento rectlíneo unforme entre B, así la ecuacón (1.16), con t o = 0 o = 0 adquere la forma = 16.67t. (1) partr del punto B, el auto aplca los frenos adquere un momento rectlíneo unformemente retardado, por lo que la ecuacón (1.21) se transforma en = B (t 2) (t 2)2. (2) En cambo, el camón se muee con momento rectlíneo unforme a partr de oc = 30 m, por lo que la ecuacón (1.16) se puede escrbr como C = t. (3) hora, reemplazando t = 2 s en la ecuacón (1), se tene que la poscón del auto cuando aplca los frenos es B = m. (4)

22 18 CPÍTUL 1. CINEMÁTIC sea que al reemplazar la ecuacón (4) en la ecuacón (2), se tene = (t 2) (t 2)2. (5) = (t 2). (6) En las epresones (3), (5) (6), t es el tempo meddo a partr de la stuacón ncal del auto del camón, mostrada en la fgura. c) S el auto el camón se encuentran, su poscón debe ser la msma. Por lo tanto, al gualar las ecuacones (3) (5), se llega a una epresón cuadrátca en t, cua solucón es t = 7.56 ± 66.85, que corresponde a solucones físcamente no aceptables, a que se obtene un tempo magnaro que no tene sgnfcado dentro del marco de la físca clásca. Lo anteror, permte conclur que el auto el camón no se encuentran. d) Para hallar el tempo que tarda el auto en detenerse, la ecuacón (6) se guala a cero, lo que llea al resultado t = s. e) La poscón de los móles cuando se detene el auto, se encuentra reemplazando la ecuacón (7) en las ecuacones (3) (5). De este modo se obtene 50 cm s 2. a) Haga un dagrama lustrato de la stuacón plateada, ncluendo el sstema de referenca a emplear. b) Plantee las ecuacones cnemátcas de poscón elocdad que rgen el momento del auto del camón. c) El auto alcanza al camón? Por qué? d) Calcule el tempo en que se detene el auto. e) Calcule la poscón del auto del camón en el nstante que se detene el auto. f) nalce completamente los resultados obtendos. Momento ertcal de un cuerpo o caída lbre daro se obseran cuerpos que ascenden o descenden ertcalmente en el are. este momento se le denomna caída lbre cuando se presenta en el acío, sempre cuando sólo se consdere el efecto debdo a la accón de la terra sobre el cuerpo. Por ello, en esta seccón se desprecan los efectos que pueda tener el are sobre el momento de los cuerpos, lo que equale a suponer que se mueen en el acío. Este es un ejemplo mu mportante de momento rectlíneo unformemente acelerado, se presenta cuando los cuerpos caen lbremente bajo la accón de la graedad. a = - g j = m C = m. El resultado anteror muestra que cuando el auto se detene, el camón se encuentra , m delante de él. Esto sgnfca que el auto, mentras se encuentra en momento, está atrás del camón por consguente no es posble que se encuentren como se concluó en el numeral c). Ejercco Un auto aja a m s 1 a lo largo de una psta recta. El conductor del auto e un camón que aja delante de él a una dstanca de 5 m con una elocdad de 40 km h 1. El conductor del auto aplca los frenos a los 0.5 s de haber obserado el camón, generando una aceleracón de Terra Terra a = + g j Fgura 1.25: El sgno de la aceleracón depende del sstema de referenca. La aceleracón con la cual se mueen lbremente los cuerpos a lo largo de la ertcal, se debe a la accón de la terra sobre los cuerpos se denomna aceleracón de la graedad, así que

23 1.5. MVIMIENT RECTILÍNE DE UN PRTÍCUL 19 es un ector drgdo sempre haca abajo en la dreccón ertcal se representa por el símbolo g. El sgno de g, ndependentemente del sentdo de momento del cuerpo a lo largo de la ertcal, depende del sentdo que se tome como posto para el eje ertcal, que generalmente se hace concdr con el eje. sí, g = ±gj, es decr, el sgno es posto cuando el eje se toma posto ertcalmente haca abajo negato cuando eje se toma posto ertcalmente haca arrba. En síntess, el sgno depende del sstema de referenca como se ndca en las fguras En la fgura 1.26, se ndcan los dos sentdos de momento que puede presentar un cuerpo, cuando se muee ertcalmente sometdo a la aceleracón de la graedad. En este caso, el cuerpo tene momento rectlíneo unformemente retardado a que el sentdo del ector elocdad se opone al sentdo del ector aceleracón de la graedad; en su lugar, el cuerpo B tene momento rectlíneo unformemente acelerado a que el sentdo del ector elocdad concde con el sentdo del ector aceleracón de la graedad. Momento a = g Terra B Momento Fgura 1.26: Momento ertcal acelerado desacelerado. En conclusón, cuando un cuerpo se muee ertcalmente haca arrba, el momento es retardado cuando un cuerpo se suelta o se lanza ertcalmente haca abajo, el momento es acelerado, ndependente del sstema de referenca. unque el alor de la aceleracón de la graedad g aría de un lugar a otro de la superfce terrestre, debdo a los cambos de altura respecto al nel del mar, su magntud es cercana a g = 9.8 m s 2 en el sstema de undades SI ó g = 32.2 p s 2 en el sstema nglés de undades. El alor de g es el msmo para todos los cuerpos que caen se toma ndependente de la altura, mentras no se alejen mucho de la superfce terrestre a que su alor dsmnue a medda que la dstanca sobre la superfce terrestre o bajo ella (menos masa que atrae) aumenta. La aceleracón de la graedad en Medellín es del orden de m s 2, que es un alor cercano al tomado como referenca. Ejemplo Desde la superfce de la terra se lanza una pedra ertcalmente haca arrba con una elocdad de 54 km h 1. los 0.7 s de lanzada la pedra, se deja caer un pequeño bloque de madera desde una altura de 10 m, respecto a la superfce de la terra. Los cuerpos se mueen sobre traectoras paralelas. a) Haga un dagrama lustrato de la stuacón planteada, donde se muestre el sstema de referenca a emplear. b) Tenendo en cuenta el sstema de referenca elegdo, plantee la ecuacones cnemátcas de poscón elocdad que rgen el momento de la pedra del bloque. c) Calcule el tempo que demoran los cuerpos en pasar uno frente al otro. d) En el nstante que el bloque llega al pso, dónde se encuentra la pedra? scende o descende la pedra? Solucón a) Dagrama lustrato de la stuacón planteada En el dagrama se ha tomado (m) 10 ob = 0 Terra 15 m s -1 el orgen de coordenadas del sstema de referenca, en la superfce de la terra. Igualmente se muestra la poscón ncal de cada cuerpo. De acuerdo con el enuncado, las cantdades dadas son op = 54 km h 1 15 m s 1, t o = 0.7 s