Una Reformulación de la Mecánica Clásica

Transcripción

1 Una Reformulacón de la Mecánca Clásca Antono A Blatter Lcenca Creatve Commons Atrbucón 30 (2015) Buenos Ares Argentna Este trabajo presenta una reformulacón de la mecánca clásca que es nvarante bajo transformacones entre sstemas de referenca nercales y no nercales y que puede ser aplcada en cualquer sstema de referenca sn necesdad de ntroducr las fuerzas fctcas Introduccón La poscón nercal r, la velocdad nercal v y la aceleracón nercal a de una partícula, están dadas por: r = ( r R) v = ( v V) ω ( r R) a = ( a A) 2 ω ( v V) + ω [ ω ( r R) ] α ( r R) donde r es el vector de poscón de la partícula, ω y α son la velocdad angular y la aceleracón angular del free-system (ver Anexo) R, V y A son la poscón, la velocdad y la aceleracón del centro de masa del free-system ( v = d(r)/dt ) y ( a = d 2 (r)/dt 2 ) Un sstema de referenca S es no rotante s la velocdad angular ω del free-system respecto a S es gual a cero y además S es nercal s la aceleracón A del centro de masa del free-system respecto a S es gual a cero La fuerza neta F que actúa sobre una partícula m produce una aceleracón nercal a, según la sguente ecuacón: F = m a Los sstemas de referenca nercales y no nercales no deben ntroducr las fuerzas fctcas sobre F Las magntudes r, v, a, F, m y t son nvarantes bajo transformacones entre sstemas de referenca nercales y no nercales 1

2 Dnámca Lneal La dnámca lneal para una smple partícula m, está dada por: Momento L1 P L1 = m [ (v) ] Momento L2 P L2 = m [ (v) r ] Momento L3 P L3 = m [ (v)/ r ] Energía Cnétca L1 K L1 = 1/ 2 m [ (v) 2 ] Energía Cnétca L2 K L2 = 1/ 2 m [ (v) 2 (r) 2 ] Energía Cnétca L3 K L3 = 1/ 2 m [ (v) 2 /(r) 2 ] Energía Potencal L1 U L1 = [ ( F dr) ] Energía Potencal L2 U L2 = [ ( F dr) (r) 2 ] Energía Potencal L3 U L3 = [ ( F dr)/(r) 2 ] Energía Mecánca L1 E L1 = KL1 + U L1 Energía Mecánca L2 E L2 = KL2 + U L2 Energía Mecánca L3 E L3 = KL3 + U L3 Lagrangano L1 L L1 = KL1 U L1 Lagrangano L2 L L2 = KL2 U L2 Lagrangano L3 L L3 = KL3 U L3 S sobre m sólo actúan fuerzas conservatvas entonces E L1, E L2 y E L3 se conservan Del momento lneal P L1 se obtene la fuerza lneal (F L1 ) más senclla para utlzar, F L1 = d(pl1 )/dt = m d(v)/dt = m a = F El momento lneal P L1 de un sstema aslado de partículas se conserva s las fuerzas nternas del sstema obedecen la tercera ley de Newton en su forma débl ( P F = 0 ) 2

3 Dnámca Radal La dnámca radal para una smple partícula m, está dada por: Momento R1 P R1 = m [ (r v)/ r ] Momento R2 P R2 = m [ (r v) ] Momento R3 P R3 = m [ (r v)/(r) 2 ] Energía Cnétca R1 K R1 = 1/ 2 m [ (r v) 2 /(r) 2 ] Energía Cnétca R2 K R2 = 1/ 2 m [ (r v) 2 ] Energía Cnétca R3 K R3 = 1/ 2 m [ (r v) 2 /(r) 4 ] Energía Potencal R1 U R1 = [ ( [ 2 F dr + F r ] d 1/ 2 (r) 2 )/(r) 2 ] Energía Potencal R2 U R2 = [ ( [ 2 F dr + F r ] d 1/ 2 (r) 2 ) ] Energía Potencal R3 U R3 = [ ( [ 2 F dr + F r ] d 1/ 2 (r) 2 )/(r) 4 ] Energía Mecánca R1 E R1 = KR1 + U R1 Energía Mecánca R2 E R2 = KR2 + U R2 Energía Mecánca R3 E R3 = KR3 + U R3 Lagrangano R1 L R1 = KR1 U R1 Lagrangano R2 L R2 = KR2 U R2 Lagrangano R3 L R3 = KR3 U R3 S sobre m sólo actúan fuerzas conservatvas entonces E R1, E R2 y E R3 se conservan Del momento radal P R2 se obtene la fuerza radal (F R2 ) más senclla para utlzar, F R2 = d(pa2 )/dt = m d(r v)/dt = m (v v + a r) = 2 F dr + F r = T La energía mecánca E R2 de un sstema de partículas se conserva s el sstema está sujeto sólo a fuerzas conservatvas (esta energía mecánca es la más convenente para utlzar) 3

4 Dnámca Angular La dnámca angular para una smple partícula m, está dada por: Momento A1 P A1 = m [ (r v)/ r ] Momento A2 P A2 = m [ (r v) ] Momento A3 P A3 = m [ (r v)/(r) 2 ] Energía Cnétca A1 K A1 = 1/ 2 m [ (r v) 2 /(r) 2 ] Energía Cnétca A2 K A2 = 1/ 2 m [ (r v) 2 ] Energía Cnétca A3 K A3 = 1/ 2 m [ (r v) 2 /(r) 4 ] Energía Potencal A1 U A1 = [ ( ( R F dr) (r) 2 R [ 2 R F dr + F r ] d 1 / 2(r) 2 )/(r) 2 ] Energía Potencal A2 U A2 = [ ( ( R F dr) (r) 2 R [ 2 R F dr + F r ] d 1 / 2(r) 2 ) ] Energía Potencal A3 U A3 = [ ( ( R F dr) (r) 2 R [ 2 R F dr + F r ] d 1 / 2(r) 2 )/(r) 4 ] Energía Mecánca A1 E A1 = KA1 + U A1 Energía Mecánca A2 E A2 = KA2 + U A2 Energía Mecánca A3 E A3 = KA3 + U A3 Lagrangano A1 L A1 = KA1 U A1 Lagrangano A2 L A2 = KA2 U A2 Lagrangano A3 L A3 = KA3 U A3 S sobre m sólo actúan fuerzas conservatvas entonces E A1, E A2 y E A3 se conservan Del momento angular P A2 se obtene la fuerza angular (F A2 ) más senclla para utlzar, F A2 = d(pa2 )/dt = m d(r v)/dt = m (r a) = r F = M El momento angular P A2 de un sstema aslado de partículas se conserva s las fuerzas nternas del sstema obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte ( P r F = 0) 4

5 Relacones Energía Cnétca 1 K L1 = K R1 + K A1 Energía Cnétca 2 K L2 = K R2 + K A2 Energía Cnétca 3 K L3 = K R3 + K A3 Energía Potencal 1 U L1 = U R1 + U A1 Energía Potencal 2 U L2 = U R2 + U A2 Energía Potencal 3 U L3 = U R3 + U A3 Energía Mecánca 1 E L1 = E R1 + E A1 Energía Mecánca 2 E L2 = E R2 + E A2 Energía Mecánca 3 E L3 = E R3 + E A3 Lagrangano 1 L L1 = L R1 + L A1 Lagrangano 2 L L2 = L R2 + L A2 Lagrangano 3 L L3 = L R3 + L A3 Observacones Todas las ecuacones de este trabajo pueden ser aplcadas en cualquer sstema de referenca nercal o no nercal sn necesdad de ntroducr las fuerzas fctcas sobre F Todas las magntudes de este trabajo son nvarantes bajo transformacones entre sstemas de referenca nercal o no nercal Este trabajo no contradce la dnámca de Newton De hecho, la ecuacón F = m a es un smple reformulacón de la segunda ley de Newton Las ntegrales usadas en este trabajo son ntegrales ndefndas S nnguna fuerza actúa sobre la partícula entonces las ntegrales dan como resultado constantes Fnalmente, las ecuacones de este trabajo podrían modfcarse de manera tal que no haya necesdad de trabajar con ntegrales ndefndas 5

6 Anexo Free-System El free-system es un sstema de N partículas que está sempre lbre de fuerzas externas e nternas, que es trdmensonal y que las dstancas relatvas entre las N partículas permanecen sempre constantes La poscón R, la velocdad V y la aceleracón A del centro de masa del free-system respecto a un sstema de referenca S, la velocdad angular ω y la aceleracón angular α del free-system respecto al sstema de referenca S, están dadas por: M = N m R = M 1 N V = M 1 N A = M 1 N m r m v m a ω α = I 1 L = d(ω)/dt I = N m [ r R 2 1 (r R) (r R) ] L = N m (r R) (v V) donde M es la masa del free-system, I es el tensor de nerca del free-system (respecto a R) y L es el momento angular del free-system respecto al sstema de referenca S ( r R) ( r R ) = r = r = r = r ( v V) ω ( r R) ( v V ) ω ( r R ) = v = v Transformacones = v = v ( a A) 2 ω ( v V) + ω [ ω ( r R) ] α ( r R) = a = a ( a A ) 2 ω ( v V ) + ω [ ω ( r R ) ] α ( r R ) = a = a 6