Leyes de tensión y de corriente

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1 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 35 CAPÍTULO 3 Leyes de tensón y de corrente CONCEPTOS CLAVE INTRODUCCIÓN En el capítulo 2 se presentaron la resstenca así como varos tpos de fuentes. Después de defnr algunos térmnos nuevos sobre crcutos, se contará con elementos sufcentes para comenzar a analzar crcutos smples realzados a partr de estos dspostvos. Las técncas que se explcarán están basadas en dos leyes relatvamente smples: la ley de correntes de Krchhoff (LCK) y la ley de voltajes (tensones) de Krchhoff (LVK). La LCK se basa en el prncpo de conservacón de la carga, mentras que la LVK se fundamenta en el prncpo de conservacón de la energía, por lo cual ambas son leyes físcas fundamentales. Una vez que se haya famlarzado con el análss básco, podrá hacer un uso más extensvo de LCK y LVK para smplfcar combnacones en sere y en paralelo de resstencas, fuentes de tensón o fuentes de corrente y se desarrollarán los conceptos de dvsón de tensón y de corrente. En capítulos subsecuentes, se explcarán técncas adconales que permtrán analzar, de manera efcente, redes aún más complejas. 3.1 NODOS, TRAYECTORIAS, LAZOS Y RAMAS Ahora el foco de atencón se centrará en determnar las relacones corrente-tensón en redes smples con dos o más elementos de crcuto. Los elementos se conectarán entre sí por medo de cables (algunas veces denomnados hlos de conexón ), que tenen una resstenca nula. Debdo a que la red aparece entonces como varos elementos smples y un conjunto de hlos de conexón, se le da el nombre de red de parámetros concentrados. Surge un problema de análss más dfícl cuando se debe enfrentar una red de parámetros dstrbudos, que contene un número esencalmente nfnto de elementos pequeños que se van anulando. En este texto sólo se expondrán las redes de parámetros concentrados. Nuevos térmnos sobre crcutos: nodo, trayectora, lazo y rama. Ley de Krchhoff de corrente (LKC). Ley de Krchhoff de voltaje (LKV). Análss de crcutos báscos en sere y en paralelo. Combnacón de fuentes en sere y en paralelo. Smplfcacón de combnacones de resstencas en sere y en paralelo. Dvsón de corrente y de tensón. Conexones a terra. 35

2 Esta ley representa un enuncado matemátco del hecho de que la carga no se acumula en un nodo. Un nodo no es un elemento de crcuto, y certamente no puede almacenar, destrur o generar carga. En consecuenca, las correntes deben sumar cero. En ocasones resulta útl una analogía hdráulca para aclarar este caso: por ejemplo, consderar tres tuberías de agua undas en la forma de una Y. Se defnen tres correntes que fluyen haca cada una de las tres tuberías. S se nsste en que el agua sempre fluye, entonces resulta evdente que no se pueden tener tres correntes de agua postvas, o las tuberías explotarían. Lo anteror consttuye un resultado de las correntes defndas como ndependentes de la dhay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE En los crcutos ensamblados en el mundo real, los cables sempre tenen resstenca fnta. Sn embargo, dcha resstenca cas sempre es tan pequeña, en comparacón con otras resstencas del crcuto, que puede pasarse por alto sn ntroducr un error mportante. Por lo tanto, de ahora en adelante, en los crcutos dealzados, se hará referenca a cables de resstenca nula. 1 1 FIGURA 3.1 Crcuto que contene tres nodos y cnco ramas. El nodo 1 se vuelve a dbujar para consderarlo como dos nodos, aunque sgue sendo uno Un punto en el cual dos o más elementos tenen una conexón común se llama nodo. Por ejemplo, en la fgura 3.1a se presenta un crcuto que contene tres nodos. Algunas redes se dbujan de manera que engañan a un estudante desprevendo que cree que hay más nodos de los que en verdad exsten. Esto ocurre cuando un nodo, tal como el que se ndca con el número 1 en la fgura 3.1a, se muestra como dos unones separadas conectadas por un conductor (resstenca nula), como en la fgura 3.1b. Sn embargo, todo lo que se ha hecho es dspersar el punto común en una línea común de resstenca nula. Así, se debe consderar en forma oblgatora la totaldad de los hlos de conexón perfectamente conductores o las porcones de hlos de conduccón undos al nodo, como parte de este msmo. Observe tambén que todo elemento tene un nodo en cada uno de sus extremos. Suponga que se parte del nodo de una red y se mueve a través de un elemento smple haca el nodo del otro extremo. Se contnúa luego desde ese nodo a través de un elemento dferente hasta el sguente, y se prosgue con este movmento hasta que se haya pasado por tantos elementos como se desee. S se encontró un nodo más de una vez, entonces el conjunto de nodos y elementos a través de los cuales se pasó se defne como una trayectora. S el nodo en el cual se empezó es el msmo que con el que se fnalzó, entonces la trayectora es, por defncón, una trayectora cerrada o lazo. Por ejemplo, en la fgura 3.1a, s al moverse a partr del nodo 2 por la fuente de corrente haca el 1, y luego se atravesa la resstenca superor derecha haca el nodo 3, se establece una trayectora. Esto es debdo a que no se ha contnuado de nuevo haca el nodo 2, completando así un lazo. S se procede desde el nodo 2 a través de la fuente de corrente haca el 1, se atravesa la resstenca zquerda haca el 2, y después se sube otra vez por la resstenca central haca el nodo 1, no se está tenendo una trayectora, ya que se encontró más de una vez un nodo (en realdad dos nodos); tampoco tene un lazo, puesto que éste debe ser una trayectora. Otro térmno cuyo uso probará su convenenca es el de rama, a la cual se defne como una trayectora únca en una red, compuesta por un elemento smple y el nodo en cada extremo de ese elemento. Por lo tanto, una trayectora es una coleccón partcular de ramas. El crcuto de la fgura 3.1a y b contene cnco ramas. 3.2 LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF Ahora cuenta con elementos sufcentes para analzar la prmera de las dos leyes con las que se honra el nombre de Gustav Robert Krchhoff (dos h y dos f ), profesor unverstaro alemán que nacó en la época en que Ohm efectuaba su trabajo expermental. Esta ley axomátca se denomna ley de Krchhoff de corrente (abrevada LKC), la cual establece smplemente que: La suma algebraca de las correntes que entran a cualquer nodo es cero.

3 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 37 SECCIÓN 3.2 LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF 37 reccón en la cual en realdad fluye el agua. Por lo tanto, por defncón, el valor de una o dos correntes debe ser negatvo. Consdere el nodo de la fgura 3.2. La suma algebraca de las cuatro correntes que entran al nodo debe ser cero: A B ( C ) ( D ) = 0 Es obvo que la ley podría aplcarse de gual forma a la suma algebraca de las correntes que abandonan el nodo: ( A ) ( B ) C D = 0 Quzá se desee gualar la suma de las correntes que tenen flechas de referenca drgdas haca el nodo, con la suma de las drgdas haca afuera del msmo: D A FIGURA 3.2 Ejemplo de un nodo para lustrar la aplcacón de la ley de Krchhoff de corrente. B C A B = C D lo que establece de manera smple que la suma de las correntes que entran es gual a la suma de las correntes que salen. Una expresón compacta de la ley de Krchhoff de corrente es: N n = 0 [1] n=1 que es justo un enuncado breve de: N = 0 [2] Cuando se emplea la ecuacón [1] o la [2], se entende que las N flechas de corrente se drgen haca el nodo en cuestón, o se alejan de él. En el crcuto de la fgura 3.3a, calcular la corrente a través del resstor R 3 s se sabe que la fuente de tensón sumnstra una corrente de 3 A. Identfcar el objetvo del problema. La corrente que crcula por el resstor R 3 ya se marcó como sobre el dagrama de crcuto. Recoplar la nformacón conocda. La corrente fluye desde el nodo superor de R 3, que se conecta a las otras tres ramas. Las correntes que fluyen haca el nodo a partr de cada rama se sumarán para formar la corrente. Elaborar un plan. Empezar marcando la corrente que pasa por R 1 (fg. 3.3b), de manera que pueda escrbrse una ecuacón LKC en el nodo superor de los resstores R 2 y R 3. Construr un conjunto apropado de ecuacones. Sumar las correntes que crculan haca el nodo: R1 2 5 = 0 Para mayor clardad, las correntes que fluyen haca este nodo se muestran en el esquema del crcuto amplado de la fgura 3.3c. EJEMPLO 3.1 (Contnúa en la sguente págna)

4 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 10 V R 1 2 A R 2 R 3 5 A Determnar s se requere nformacón adconal. Observar que tene una ecuacón pero dos ncógntas, lo que sgnfca que se necesta obtener una ecuacón adconal. En este punto, se vuelve útl el hecho de que sepa que la fuente de 10 V sumnstra 3 A: la LKC muestra que ésta es tambén la corrente R1. Buscar la solucón. Susttuyendo, se tene que = = 6 A. 10 V R1 R 1 2 A R 2 R 3 5 A Verfcar la solucón. Es razonable o es la esperada? Sempre vale la pena el esfuerzo de verfcar una vez más la solucón. Además, puede hacerse el ntento de evaluar s al menos la magntud de la solucón es razonable. En este caso, tene dos fuentes: una sumnstra 5 A y la otra, 3 A. No hay otras fuentes, ndependentes o dependentes. Por consguente, no se debe esperar encontrar nnguna corrente en el crcuto mayor que 8 A. R1 ( R1 2 A) R 1 2 A R 2 R 3 5 A 5 A PRÁCTICA 3.1 Contar el número de ramas y nodos que hay en el crcuto de la fgura 3.4. S x = 3 y la fuente de 18 V entrega 8 A de corrente, cuál es el valor de R A? (Sugerenca: necesta de la ley de Ohm, así como de la LCK). 13 A (c) FIGURA 3.3 Crcuto smple en el que se desea que fluya la corrente a través de la resstenca R 3. La corrente que crcula por la resstenca R 1 se ndca de manera que la ecuacón de la LCK pueda escrbrse. (c) Las correntes en el nodo superor de R 3 se vuelven a dbujar por clardad. 18 V FIGURA 3.4 R A Respuesta: 5 ramas, 3 nodos, 1. 6 x 5 v x v 1 A 1 v 2 FIGURA 3.5 La dferenca de potencal entre los puntos A y B es ndependente de la trayectora elegda. 2 B 3 C v LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF La corrente se relacona con la carga que fluye por un elemento de crcuto, en tanto que la tensón consttuye una medda de la dferenca de energía potencal entre los extremos del elemento. En la teoría de crcutos, la tensón sólo tene un valor únco. Por lo tanto, en un crcuto, la energía necesara para mover una carga untara desde el punto A hasta el punto B debe tener un valor ndependente de la trayectora seguda de A a B (a menudo exste más de una trayectora). Este hecho se puede comprobar por medo de la ley de Krchhoff de tensón (abrevada LVK): La suma algebraca de las tensones alrededor de cualquer trayectora cerrada es cero. En la fgura 3.5, s se lleva una carga de 1 C de A a B a través del elemento 1, los sgnos de polardad de referenca de v 1 muestran que se utlzaron v 1 joules de trabajo. 1 Observar que se elgó una carga de 1 C por convenenca numérca: por lo tanto, se efectúa. Ahora ben, s, en vez de eso, se elge proceder de A a B (1) Observar que se elgó una carga de 1 C por convenenca numérca; por lo tanto, se efectúa (1 C)(v 1 J/C) = v 1 joules de trabajo.

5 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 39 SECCIÓN 3.3 LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF 39 por el nodo C, entonces consumrá v 2 v 3 joules de energía. El trabajo realzado, sn embargo, es ndependente de la trayectora en un crcuto, por lo cual los valores deben ser guales. Cualquer ruta debe conducr al msmo valor de la tensón. En otras palabras, v 1 = v 2 v 3 [3] Resulta que s traza una trayectora cerrada, la suma algebraca de las tensones en los elementos ndvduales, a lo largo de ella, debe ser nula. Así, se podría escrbr: v 1 v 2 v 3 v N = 0 o de manera más compacta, N v n = 0 [4] n=1 Se puede aplcar la LKT a un crcuto de varas maneras dferentes. Un método que propca menos errores de escrtura de ecuacones, en comparacón con otros, consste en moverse mentalmente alrededor de la trayectora cerrada en la dreccón de las manecllas de reloj y escrbr de manera drecta la tensón de cada elemento a cuya termnal () se entra, y después expresar el negatvo de cada tensón que se encuentre prmero en el sgno ( ). Aplcando lo anteror al lazo sencllo de la fgura 3.5, se tene v 1 v 2 v 3 = 0 lo cual concuerda con el resultado prevo, ecuacón [3]. En el crcuto de la fgura 3.6, determnar v x e x. EJEMPLO 3.2 Se conoce la tensón en dos de los tres elementos del crcuto. De tal modo, la LKT se aplca de nmedato para obtener v x. Empezando con el nodo superor de la fuente de 5 V, se aplca la LVK en el sentdo de las manecllas del reloj alrededor del lazo: 5 7 v x = 0 por lo que v x = 12 V. La LVK se aplca a este crcuto, pero sólo dce que la msma corrente ( x ) fluye a través de los tres elementos. Sn embargo, se conoce la tensón en la resstenca de 100. Se puede recurrr a la ley de Ohm, x = v x 100 = 12 A = 120 ma 100 PRÁCTICA 3.2 Determnar x y v x en el crcuto de la fgura 3.7. Respuesta: v x = 4 V; x = 400 ma. 5 V 7 V 100 v x FIGURA 3.6 Crcuto smple con dos fuentes de tensón y una sola resstenca. 3 V FIGURA 3.7 x 1 V x 10 v x

6 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE EJEMPLO 3.3 En el crcuto de la fgura 3.8 hay ocho elementos de crcuto; las tensones con pares más-menos se muestran en los extremos de cada elemento. Calcular v R2 (la tensón en R 2 ) y la tensón marcada v x. El mejor método para determnar v R2 en esta stuacón consste en consderar un lazo en el que sea posble aplcar la LVK. Exsten varas opcones, pero después de observar con cudado el crcuto se descubre que el lazo que está más haca la zquerda ofrece una ruta drecta, ya que dos tensones se especfcan con clardad. Por lo tanto, puede encontrar v R2 s escrbe una ecuacón LVK en torno al lazo de la zquerda, empezando en el punto c: 4 36 v R2 = 0 lo que produce v R2 = 32 V. 4 V c 36 V R 2 12 V v R2 14 V FIGURA 3.8 Crcuto con ocho elementos en el que se quere determnar v R2 y v x. a v x b v 2 R 1 v s1 v R1 Los puntos b y c, así como el cable entre ellos, son parte del msmo nodo. Para determnar v x, podría consderársele como la suma (algebraca) de las tensones de los tres elementos de la derecha. Sn embargo, puesto que no hay valores para estas cantdades, tal procedmento no sumnstraría una respuesta numérca. En vez de eso, se debe aplcar la LVK empezando en el punto c, moverse haca arrba y a través de la parte superor hasta a, a través de v x hasta b, y por el hlo de conduccón hasta el punto de nco tenendo así: v x = 0 por lo que v x = 6V Procedmento alterno: conocendo v R2 se podría haber tomado el camno corto a través de R 2 : v x = 0 con lo cual se obtendría v x = 6 V tambén en este caso. Como se puede ver justamente, la clave para analzar de manera correcta un crcuto consste en marcar prmero de manera metódca todas las tensones y las correntes sobre el esquema del crcuto. De este modo, la escrtura cudadosa de las ecuacones LCK o LVK proporconaría relacones correctas y la ley de Ohm se aplcaría como se requrese, s se obtenen al prncpo más ncógntas que ecuacones. Se lustran estos prncpos con un ejemplo más detallado.

7 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 41 SECCIÓN 3.3 LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF 41 Determnar v x en el crcuto de la fgura 3.9a. EJEMPLO A V 10 2 v x x 5 A v 8 v 4 60 V v v x x 10 2 FIGURA 3.9 Crcuto para el que se va a determnar v x medante LVK. Crcuto con tensones y correntes señaladas. Se debe empezar marcando (señalando) las tensones y las correntes en el resto de los elementos de crcuto (fg. 3.9b). Observe que v x aparece entre los extremos del resstor de 2 y la fuente x tambén. S se obtene la corrente que crcula por el resstor de 2 con la ley de Ohm se calculará v x. Al escrbr la ecuacón apropada de la LCK, se ve que: 2 = 4 x Desafortunadamente, no se tenen los valores de nnguna de estas tres cantdades. Por lo tanto, la solucón se ha atascado (de manera temporal). Puesto que se conoce el flujo de corrente de la fuente de 60 V, es más convenente trabajar con ese lado del crcuto. Podría obtenerse v x medante 2, de manera drecta de la LVK, en lugar de basarse en el conocmento de v x. Desde esta perspectva, se pueden escrbr las ecuacones LVK sguentes: 60 v 8 v 10 = 0 y v 10 v 4 v x = 0 [5] Esto ya es un avance. Ahora se cuenta con dos ecuacones con cuatro ncógntas, lo cual sgnfca una lgera mejora que contar con una ecuacón en la que todos los térmnos son ncógntas. En realdad, se sabe que v 8 = 40 V por medo de la ley de Ohm, ya que se djo que 5 A fluyen a través de una resstenca de 8. Por lo tanto, v 10 = = 20 V, de tal forma que la ecuacón [5] se reduce a v x = 20 v 4 S se pudera determnar v 4, se resolvería el problema. (Contnúa en la sguente págna)

8 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE La mejor forma de encontrar el valor numérco de la tensón v 4 en este caso es utlzar la ley de Ohm, la cual requere contar con un valor para 4. A partr de LCK, se puede ver que 4 = 5 10 = 5 v = = 3 de tal forma que v 4 = (4)(3) = 12 V y, por lo tanto, v x = = 8 V. PRÁCTICA 3.3 Determne v x en el crcuto de la fgura A V 10 2 v x x FIGURA 3.10 Respuesta: v x = 12.8 V. v s1 v s1 v R1 R 1 R 1 (c) v s2 v s2 R 2 v R2 FIGURA 3.11 Crcuto de un solo lazo con cuatro elementos. Modelo del crcuto con tensones de fuente y valores de resstenca dados. (c) Tenen que agregarse al crcuto los sgnos de referenca de la corrente y de la tensón. R EL CIRCUITO DE UN SOLO LAZO Se ha poddo observar que el uso repetdo de LCK y LVK en conjunto con la ley de Ohm puede aplcarse a crcutos no trvales que cuenten con varos lazos y un determnado número de elementos. Antes de avanzar más, éste es un buen momento para enfocar la atencón en el concepto de crcutos en sere (y, en la seccón sguente, paralelo), ya que ambos formarán la base de cualquer red que se presente en el futuro. Se dce que todos los elementos del crcuto que conducen la msma corrente están conectados en sere. Como ejemplo, consdere el crcuto de la fgura 3.9. La fuente de 60 V está en sere con la resstenca de 8 por ambos crcula la msma corrente de 5 A. Sn embargo, la resstenca de 8 no está en sere con la de 4 ; por ambas crculan correntes dferentes. Observe que los elementos pueden conducr correntes guales y no estar en sere; dos focos de luz eléctrca de 100 W en casas vecnas quzás conduzcan perfectamente correntes guales, pero realmente no conducen la msma corrente y no están en sere. La fgura 3.11a muestra un crcuto smple que consste en dos baterías y dos resstencas. Se supone que cada termnal, hlo de conexón y soldadura tene resstenca cero; juntos consttuyen un nodo ndvdual del esquema de crcutos de la fgura 3.11b. Ambas baterías están modeladas por fuentes de tensón deales; se supone que cualquer resstenca nterna que puedan tener es lo sufcentemente pequeña como para que pueda desprecarse. Se supone que las dos resstencas son reemplazables por resstencas deales (lneales). Se trata de encontrar la corrente a través de cada elemento, la tensón en cada elemento y la potenca que absorbe cada elemento. El prmer paso del análss es el supuesto de las dreccones de referenca de las correntes desconocdas. De manera arbtrara se elge la corrente en el sentdo de las manecllas del reloj que sale de la termnal superor de la fuente de tensón a la zquerda. Tal eleccón se ndca medante una flecha marcada en ese punto del crcuto, como se muestra en la fgura 3.11c. Una aplcacón trval de la ley de Krchhoff de

9 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 43 SECCIÓN 3.4 EL CIRCUITO DE UN SOLO LAZO 43 corrente asegura que esta msma corrente debe crcular tambén por cada uno de los demás elementos del crcuto; se debe destacar este hecho colocando esta vez varos símbolos de corrente alrededor del crcuto. El segundo paso del análss consste en elegr la tensón de referenca para cada uno de las dos resstencas. La convencón de sgnos pasva requere que las varables de corrente y tensón de la resstenca se defnan de manera que la corrente entre a la termnal en la cual se localza la referenca de tensón postva. Puesto que ya se ha elegdo (de manera arbtrara) la dreccón de la corrente, y se defnen como en la fgura 3.11c. El tercer paso es aplcar la ley de Krchhoff de tensón a la únca trayectora cerrada. Es necesaro moverse alrededor del crcuto en la dreccón de las manecllas del reloj, empezar en la esquna nferor zquerda y escrbr de manera drecta cada tensón que se encuentre prmero en su referenca postva, y expresar el negatvo de cada tensón que se encuentre en la termnal negatva. Por lo tanto, v s1 v R1 v s2 v R2 = 0 [6] Después se aplca la ley de Ohm a los elementos resstvos: v R1 = R 1 and v R2 = R 2 La susttucón en la ecuacón [6] produce: v s1 R 1 v s2 R 2 = 0 Puesto que es la únca ncógnta, se determna que: = v s1 v s2 R 1 R 2 La tensón o la potenca asocada con cualquer elemento tal vez se obtenga ahora medante la aplcacón de v = R, p = v, o p = 2 R. PRÁCTICA 3.4 En el crcuto de la fgura 3.11b, v s1 = 120 V,v s2 = 30 V, R 1 = 30, y R 2 = 15. Calcular la potenca que absorbe cada elemento. Respuesta: p 120V = 240 W; p 30V =60 W; p 30 = 120 W; p 15 = 60 W. Calcular la potenca que absorbe cada elemento del crcuto que se presenta en la fgura 3.12a. EJEMPLO V 30 2v A 15 v A 30 v V 2v A 15 v A FIGURA 3.12 Crcuto de un solo lazo que contene una fuente dependente. Se asgnan la corrente y la tensón v 30. (Contnúa en la sguente págna)

10 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Prmero se asgna una dreccón de referenca a la corrente y una polardad de referenca a la tensón v 30 como se ndca en la fgura 3.12b. No es necesaro asgnar una tensón a la resstenca de 15 puesto que la tensón de control v A de la fuente dependente ya está dsponble. (Sn embargo, vale la pena señalar que los sgnos de referenca de v A están nvertdos respecto a los que se habrían asgnado, con base en la convencón de sgnos pasva.) Este crcuto contene una fuente de tensón dependente, cuyo valor permanece desconocdo hasta que se determne v A. No obstante, se utlza su valor algebraco 2v A del msmo modo como s se dspusera de un valor numérco. En consecuenca, al aplcar la LVK alrededor del lazo: 120 v 30 2v A v A = 0 [7] Utlzando la ley de Ohm para ntroducr los valores de resstenca conocdos: v 30 = 30 and y v A = 15 Observe que se requere el sgno negatvo, puesto que fluye haca la termnal negatva de v A. La susttucón en la ecuacón [7] produce: = 0 y por ello se determna que: = 8A Al calcular la potenca absorbda por cada elemento: p 120v = (120)( 8) = 960 W p 30 = (8) 2 (30) W p dep = (2v A )(8) = 2[( 15)(8)](8) W 12 V 8 p 15 = (8) 2 (15) = 960 W 30 v x 7 4v x PRÁCTICA 3.5 En el crcuto de la fgura 3.13, encontrar la potenca absorbda por cada uno de los cnco elementos del crcuto. FIGURA 3.13 Crcuto de un solo lazo. Respuesta: (En el sentdo de las manecllas del reloj desde la zquerda) W; 1.92 W; W; W; W. En el ejemplo anteror y el problema de la práctca, se pdó calcular la potenca absorbda por cada elemento de un crcuto. Sn embargo, es dfícl pensar en una stuacón en la que todas las cantdades de potenca absorbdas por un crcuto sean postvas, por la senclla razón de que la energía debe provenr de algún lugar. Por lo tanto, a partr de la conservacón de la energía, es de esperar que la suma de la potenca absorbda por cada elemento de un crcuto sea cero. En otras palabras, al menos una de las cantdades debe ser negatva (desprecando

11 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 45 SECCIÓN 3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS 45 el obvo caso en el que el crcuto no esté en operacón). Dcho de otra forma, la suma de la potenca absorbda por cada elemento debe ser gual a cero. De manera más práctca, la suma de la potenca absorbda es gual a la suma de la potenca sumnstrada, lo que parece lógco de acuerdo al valor. Lo anteror puede probarse con el crcuto de la fgura 3.12 del ejemplo 3.5, que consste en dos fuentes (una dependente y la otra ndependente) y dos resstencas. S se suma la potenca absorbda por cada elemento, se tene pabsorbda absorbed = = 0 0 todos all los elements elementos En realdad (la ndcacón en el esquema del crcuto es la del sgno asocado con la potenca absorbda) la fuente de 120 V sumnstra 960 W, y la fuente dependente W. Por lo tanto, las fuentes sumnstran un total de W. Se espera que las resstencas absorban potenca postva, que en este caso se adcona a un total de W. Por ende, s tomamos en cuenta cada elemento del crcuto, < m P pabsorbed = absorbda p suppled sumnstrada como se esperaba. S se enfoca en el problema de práctca 3.5, la solucón con la que querrá comparar, se observa claramente que las potencas absorbdas suman = 0. Resulta nteresante saber que la fuente de tensón ndependente de 12 V absorbe 1.92 W, lo que sgnfca que está dspando potenca y no sumnstrándola. En su lugar, la fuente de tensón dependente aparenta estar sumnstrando toda la potenca en este crcuto en partcular. Es factble esta stuacón? En general, sería de esperar que una fuente sumnstrara potenca postva; sn embargo, puesto que los crcutos emplean fuentes deales, es factble tener un flujo de potenca neto en cualquer fuente. S se modfca el crcuto de alguna forma, se podrá ver que la msma fuente sumnstrará la potenca postva. No se conocerá el resultado hasta que se haya llevado a cabo el análss de crcutos. 3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS El compañero de un crcuto de un solo lazo que se analzó en la seccón 3.4 es el crcuto de un par de nodos, en el que cualquer número de elementos smples se conectan entre el msmo par de nodos. Un ejemplo de este tpo de crcuto se lustra en la fgura 3.14a. Se conocen las dos fuentes de corrente y los valores de resstenca. Prmero, suponga una tensón en cualquer elemento y asígnele una polardad de referenca arbtrara. La LKT oblga a reconocer que la tensón en los extremos en cada rama es la msma que la de los extremos de cualquer otra. Se dce que los elementos de un crcuto que tenen una tensón común entre sus extremos están conectados en paralelo. 120 A 1 R 1 30 A 1 R A v 1 30 R 1 30 A 1 15 R FIGURA 3.14 Crcuto de un solo par de nodos. Se asgnan una tensón y dos correntes.

12 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE EJEMPLO 3.6 Determnar la tensón, la corrente y la potenca asocadas con cada elemento del crcuto de la fgura 3.14a. Prmero se defne una tensón v y se elge de manera arbtrara su polardad, como se muestra en la fgura 3.14b. Dos correntes, que fluyen en las resstencas, se escogen conforme a la convencón de sgnos pasva; tales correntes se ndcan tambén en la fgura 3.14b. Determnar cualquer corrente 1 o 2 permte obtener un valor de v. De este modo, el sguente paso es aplcar la LKC a cualquera de los dos nodos del crcuto. Igualando a cero la suma algebraca de las correntes que abandonan el nodo superor, se tene: = 0 Al escrbr ambas correntes en térmnos de la tensón v medante la ley de Ohm, se obtene: 1 = 30v and e 2 = 15v v 30 15v = 0 Cuando se despeja v de esta ecuacón, se tene como resultado, v = 2V Y al recurrr a la ley de Ohm se obtene: 1 = 60 A and e 2 = 30 A Ahora puede calcularse la potenca absorbda por cada elemento. En las dos resstencas: p R1 = 30(2) 2 = 120 W and y p R2 = 15(2) 2 = 60 W y para las dos fuentes: p 120A = 120( 2) = 240 W and y p 30A = 30(2) = 60 W En razón de que la fuente de 120 A absorbe 240 W negatvos, en realdad ésta sumnstra potenca a los otros elementos del crcuto. De manera smlar, se encuentra que la fuente de 30 A en realdad absorbe potenca, en vez de sumnstrarla. PRÁCTICA 3.6 Determnar v en el crcuto de la fgura A 10 v 1 A 10 6 A FIGURA 3.15 Respuesta: 50 V.

13 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 47 SECCIÓN 3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS 47 Determnar el valor de y la potenca sumnstrada por la fuente de corrente ndependente de la fgura EJEMPLO 3.7 x 6 6 k 2 x v 24 ma 2 k FIGURA 3.16 Se asgnan una tensón v y una corrente 6 crcuto de un solo par de nodos que contene una fuente dependente. Medante la LCK, la suma de las correntes que salen del nodo superor debe ser cero, por lo que: 6 2 x x = 0 De nuevo, observe que el valor de la fuente dependente (2 x ) se trata como s fuese cualquer otra corrente, aun cuando no se conoce su valor exacto hasta que el crcuto haya sdo analzado. A contnuacón se aplca la ley de Ohm a cada resstenca: 6 = v 6000 Por lo tanto, ( ) v v and e x = v 2000 ( v ) = 0 y por ello v = (600)(0.024) = 14.4 V. Cualquer otra nformacón que se quera determnar para este crcuto se obtene ahora con facldad, por lo general en un solo paso. Por ejemplo, la potenca sumnstrada por la fuente ndependente es p 24 = 14.4(0.024) = W (345.6mW). PRÁCTICA 3.7 En el crcuto de un solo par de nodos de la fgura 3.17, determnar A, B e C. A B C 5.6 A v x v x 9 2 A FIGURA 3.17 Respuesta: 3 A; 5.4 A; 6 A.

14 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE EJEMPLO 3.8 En el crcuto de la fgura 3.18a, encontrar 1, 2, 3 e v 1 25 A v v 1 C 0.2v 1 A 25 A 10 B 100 D 3 v v 1 1 C A D B 2.5 A (c) FIGURA 3.18 Crcuto de un solo par de nodos. Crcuto con los puntos marcados como auxlares. (c) Crcuto dbujado nuevamente. De acuerdo con la lustracón, este crcuto es un poco dfícl de analzar, por lo que, prmero, es necesaro volverlo a dbujar, después de marcar los puntos A, B, C y D como en la fgura 3.18b y por últmo en la 3.18c. Tambén se debe defnr una corrente 10 que crcula por la resstenca de 10 para antcparse al uso de la ley de Krchhoff de corrente. Nnguna de las correntes que se desean resulta evdente de nmedato a partr del esquema del crcuto, por lo que será necesaro obtenerlas a partr de la ley de Ohm. Cada uno de las tres resstencas tene la msma tensón (v 1 ) entre sus extremos, así que, smplemente, se deben sumar las correntes que fluyen haca el nodo más a la derecha: v v v 1 v 1 25 = 0

15 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 49 SECCIÓN 3.6 FUENTES INDEPENDIENTES CONECTADAS EN SERIE Y EN PARALELO 49 Despejando, se encuentra que v 1 = 250/5 = 50 V. Al observar la parte nferor del crcuto, se ve que 4 = v = = 0.5A De un modo smlar, se determna que 1 = 2Ae 10 = 5 A. Las dos correntes restantes, 2 e 3 se determnan con la LCK para sumar de manera ndependente las correntes conocdas en los nodos del lado derecho y del lado zquerdo. Por lo tanto 2 = 1 0.2v 1 10 = = 3A 3 = = = 8A 3.6 FUENTES INDEPENDIENTES CONECTADAS EN SERIE Y EN PARALELO Ocurre que algunas de las ecuacones obtendas para los crcutos en sere y en paralelo se evtan s se combnan las fuentes. Sn embargo, observe que la totaldad de las relacones de corrente, tensón y potenca en el resto del crcuto permanecen nvarables. Por ejemplo, varas fuentes de tensón en sere tal vez sean susttudas por una fuente de tensón equvalente que tenga una tensón gual a la suma algebraca de las fuentes ndvduales (fg. 3.19a). Tambén se podrían combnar las fuentes de corrente en paralelo medante la suma algebraca de las correntes ndvduales; además, el orden de los elementos en paralelo quzá se vuelva a arreglar como se desee (fg. 3.19b). Determnar la corrente que crcula a través de la resstenca de 470 de la fgura 3.20a combnando prmero las cuatro fuentes en una sola fuente de tensón. v 1 v 2 = v 1 v 2 v 3 v = FIGURA 3.19 Las fuentes de tensón conectadas en sere se susttuyen por una sola fuente. Las fuentes de corrente en paralelo se susttuyen por una sola fuente. EJEMPLO V 5 V 1 V 2 V 9 V FIGURA 3.20 Crcuto de un solo lazo que cuenta con cuatro fuentes de tensón en sere. Crcuto equvalente. Hay cuatro fuentes de tensón conectadas en sere. Es necesaro reemplazarlas por una sola fuente de tensón que tenga su termnal de referenca en la parte superor. Para ello, se debe comenzar en la termnal de referenca de la fuente de 3 V y se escrbe: = 9 V (Contnúa en la sguente págna)

16 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE El crcuto equvalente se muestra en la fgura 3.20b. Ahora se calcula el valor de a partr de la ley de Ohm: = 9 = ma 470 Es normal que se obtenga una gananca muy pequeña al nclur una fuente dependente en una combnacón de fuentes de tensón o de corrente, pero no es ncorrecto hacerlo de esa forma. PRÁCTICA 3.8 Determnar en el crcuto de la fgura 3.21 combnando prmero las tres fuentes de corrente. 5 A 10 v 1 A 10 6 A FIGURA 3.21 Respuesta: 50 V. Para conclur el análss de las combnacones de fuentes en paralelo y en sere, se debe consderar la combnacón en paralelo de dos fuentes de tensón y la combnacón en sere de dos fuentes de corrente. Por ejemplo, cuál es el equvalente de una fuente de 5 V en paralelo con una fuente de 10 V? De acuerdo con la defncón de una fuente de tensón, no puede cambar la tensón en la fuente; entonces, medante la ley de Krchhoff de tensón, 5 es gual a 10 y se ha supuesto como hpótess una mposbldad físca. De tal modo, las fuentes de tensón deales en paralelo se pueden tener sólo cuando cada una tene la msma tensón a nvel termnal en todo nstante. De modo smlar, no se pueden poner dos fuentes de corrente en sere a menos que cada una tenga la msma corrente y el msmo sgno, en cada nstante de tempo. EJEMPLO 3.10 Determnar cuáles de los crcutos de la fgura 3.22 son váldos. El crcuto de la fgura 3.22a consste en dos fuentes de tensón en paralelo. El valor de cada fuente es dferente, por lo que vola la LVK. Por ejemplo, s una resstenca se pone en paralelo con la fuente de 5 V, tambén está en paralelo con la fuente de 10 V. La tensón real en sus extremos es por tanto ambgua y, obvamente, no hay posbldad de construr el crcuto como se ndca. S se ntenta construr un crcuto de este tpo en la vda real, será mposble localzar fuentes de tensón deales, pues todas las fuentes del mundo real tenen una resstenca nterna. La presenca de este tpo de resstenca permte una dferenca de tensón entre las dos fuentes reales.

17 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 51 SECCIÓN 3.7 RESISTENCIA EN SERIE Y EN PARALELO 51 R 5 V 10 V 2 V 14 V 1 A 1 A R FIGURA 3.22 De a (c). Ejemplos de crcutos con fuentes múltples, algunos de los cuales volan las leyes de Krchhoff. De acuerdo con lo anteror, el crcuto de la fgura 3.22b es perfectamente váldo. El crcuto de la fgura 3.22c vola LKC: no es claro que, realmente, la corrente fluya a través de la resstenca R. (c) PRÁCTICA 3.9 Determnar s el crcuto de la fgura 3.23 vola las leyes de Krchhoff. 5 A 3 A R FIGURA 3.23 Respuesta: No. Sn embargo, s se qutara la resstenca, el crcuto resultante sí las volaría. 3.7 RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO A menudo se susttuyen combnacones de resstencas relatvamente complcadas por una sola resstenca equvalente. Lo anteror resulta útl cuando no se está nteresado de manera específca en la corrente, la tensón o la potenca asocadas con cualquera de las resstencas ndvduales de las combnacones. Todas las relacones de corrente, tensón y potenca en el resto del crcuto permanecerán nvarables. Consdere la combnacón en sere de N resstencas que se muestra en la fgura 3.24a. Es necesaro smplfcar el crcuto susttuyendo las N resstencas por una sola resstenca R eq de modo que el resto del crcuto, en este caso sólo la fuente de tensón, no se percate de que se ha realzado algún cambo. La corrente, R 1 R 2 R N v 1 v 2 v N v s v s R eq FIGURA 3.24 Combnacones en sere de N resstencas. Crcuto eléctrcamente equvalente.

18 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE la tensón y la potenca de la fuente deben ser las msmas antes y después de la susttucón. Prmero se aplca la LVK: y después la ley de Ohm: v s = v 1 v 2 v N v s = R 1 R 2 R N = (R 1 R 2 R N ) Compare ahora este resultado con la ecuacón smple aplcándola al crcuto equvalente de la fgura 3.24b: v s = R eq Así, el valor de la resstenca equvalente de N resstencas en sere está dado por R eq = R 1 R 2 R N [8] En consecuenca, se puede susttur una red de dos termnales compuesta por N resstencas en sere, por un solo elemento de dos termnales R eq que tengan la msma relacón v-. Debe subrayarse de nuevo que tal vez nterese la corrente, la tensón o la potenca de uno de los elementos orgnales. Por ejemplo, la tensón de una fuente de tensón dependente quzá dependa de la tensón en R 3. Después de que R 3 se combna con varas resstencas en sere para formar una resstenca equvalente, éste desaparece y su tensón no puede determnarse hasta que R 3 se dentfque al separarlo de la combnacón. En ese caso, sería mejor contnuar adelante y no hacer que al prncpo R 3 forme parte de la combnacón. Otra sugerenca: la nspeccón de la ecuacón de la LVK para un crcuto en sere muestra que no hay dferenca en el orden en el que se ubquen los elementos. EJEMPLO 3.11 Utlzar las combnacones de resstenca y fuente para determnar la corrente de la fgura 3.25a, así como la potenca que entrega la fuente de 80 V. Prmero se ntercamban las poscones de los elementos del crcuto, para lo cual se debe tener cudado de preservar el sentdo apropado de las fuentes, como se lustra en la fgura 3.25b. El sguente paso consste en combnar las tres fuentes de tensón en una fuente equvalente de 90 V, y las cuatro resstencas en una resstenca equvalente de 30 como en la fgura 3.25c. De tal modo, en lugar de escrbr: = 0 smplemente se tene = 0 y de esa manera se determna que: = 3A

19 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 53 SECCIÓN 3.7 RESISTENCIA EN SERIE Y EN PARALELO V 30 V 8 20 V 20 V V 30 V V 30 (c) FIGURA 3.25 Crcuto en sere con varas fuentes y resstencas. Los elementos se vuelven a ordenar para lograr una mayor clardad. (c) Un equvalente más smple. Para calcular la potenca que la fuente de 80 V que aparece en el crcuto dado entrega al crcuto, resulta necesaro regresar a la fgura 3.25a sabendo que la corrente es gual a 3 A. En ese caso, la potenca deseada es 80 V 3A 240 W. Es nteresante advertr que nngún elemento del crcuto orgnal queda en el crcuto equvalente. PRÁCTICA 3.10 Determnar en el crcuto de la fgura V V 5 V 5 FIGURA 3.26 Respuesta: 333 ma.

20 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE s v 1 R 1 2 R 2... N R N Se aplcan smplfcacones smlares a crcutos en paralelo. Un crcuto que contene N resstencas en paralelo, como el de la fgura 3.27a, conduce por medo de la ecuacón de la ley de Krchhoff de corrente a lo sguente... o s = 1 2 N s = v R 1 v R 2 v R N s v R eq FIGURA 3.27 Crcuto con N resstencas en paralelo. Crcuto equvalente. Por lo tanto, = v R eq 1 = R eq R 1 R 2 R N [9] que puede escrbrse como, R 1 eq o en térmnos de conductancas como, = R 1 1 R 1 2 R 1 N G eq = G 1 G 2 G N El crcuto smplfcado (equvalente) se lustra en la fgura 3.27b. Una combnacón en paralelo se ndca de manera rutnara sguendo la notacón abrevada: R eq = R 1 R 2 R 3 El caso especal de sólo dos resstencas en paralelo se encuentra con bastante frecuenca, y está dado por: O, más smplemente: R eq = R 1 R 2 1 = 1 1 R 1 R 2 R eq = R 1 R 2 R 1 R 2 [10] Vale la pena memorzar la últma forma, s ben es un error común ntentar generalzar la ecuacón [10] para más de dos resstencas; por ejemplo: R eq = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 R 3 Una rápda revsón de las undades de esta ecuacón muestra de nmedato que no es posble que la expresón sea correcta.

21 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 55 SECCIÓN 3.7 RESISTENCIA EN SERIE Y EN PARALELO 55 PRÁCTICA 3.11 Determnar v en el crcuto de la fgura 3.28 combnando prmero las tres fuentes de corrente y después las dos resstencas de A 10 v 1 A 10 6 A FIGURA 3.28 Respuesta: 50 V. Calcular la potenca y la tensón de la fuente dependente de la fgura 3.29a. EJEMPLO A v x A A v v 2 A 3 6 (c) FIGURA 3.29 Crcuto multnodal. Las dos fuentes de corrente ndependentes se combnan en una fuente de 2 A, y la resstenca de 15 en sere con las dos resstencas de 6 en paralelo se susttuyen por una sola resstenca de 18. (c) Crcuto equvalente smplfcado. Es necesaro smplfcar el crcuto antes de analzarlo, pero se debe tener cudado de no nclur la fuente dependente puesto que sus característcas de tensón y de potenca son de nterés. (Contnúa en la págna sguente)

22 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE A pesar de no estar dbujadas juntas, las dos fuentes de corrente ndependentes están, en realdad, en paralelo, por lo que se las reemplaza por una fuente de 2 A. Las dos resstencas de 6 están en paralelo y pueden reemplazarse con una resstenca de 3 en sere con la de 15. Por lo tanto, las dos resstencas de 6 y la de 15 se reemplazan por una de 18 (fgura 3.29b). Sn mportar qué tan tentador sea, no se deben combnar las tres resstencas sobrantes: la varable de control 3 depende de la resstenca de 3 por lo que esa resstenca debe quedar ntacta. La únca smplfcacón adconal, entonces, es 9 18 = 6, como se muestra en la fgura 3.29c. Al aplcar la LCK en el nodo superor de la fgura 3.29c, se tene v 6 = 0 Empleando la ley de Ohm: lo que permte calcular v = = 10 3 A De esta forma, la tensón en la fuente dependente (que es la msma que la tensón en la resstenca de 3 ) está dada por: v = 3 3 = 10 V Entonces, la fuente dependente sumnstra v = 10(0.9)(10/3) = 30 W al resto del crcuto. Ahora ben: s se pde la potenca dspada en la resstenca de 15 se debe volver al crcuto orgnal. Tal resstenca se encuentra en sere con una resstenca equvalente de 3 exste una tensón de 10 V en el total de 18 en consecuenca, crcula una corrente de 5/9 A por la resstenca de 15 y la potenca absorbda por el elemento corresponde a (5/9) 2 (15) o 4.63 W. PRÁCTICA 3.12 En el crcuto de la fgura 3.30, encontrar la tensón v A v 4 4 A 2 10 FIGURA 3.30 Respuesta: V.

23 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 57 SECCIÓN 3.8 DIVISIÓN DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 57 R 1 R 2 R 3 v s R R 7 R5 R4 R 8 v s R 6 A B R A s R B R C v s R D R E (c) FIGURA 3.31 Estos dos elementos de crcuto están en sere y en paralelo. R 2 y R 3 están en paralelo, y R 1 y R 8 se encuentran en sere. (c) No hay elementos de crcuto en sere o en paralelo entre sí. Tres comentaros fnales sobre las combnacones en sere y en paralelo podrían ser de utldad. El prmero se refere a la fgura 3.31a y se debe preguntar: Están v s y R en sere o en paralelo? La respuesta es en las dos condcones. Los dos elementos conducen la msma corrente y, por lo tanto, están en sere; están sujetos tambén a la msma tensón y, en consecuenca, se encuentran en paralelo. El segundo comentaro es una alerta. Tal vez los estudantes sn experenca o nstructores malcosos dbujen los crcutos de manera que resulte dfícl dstngur combnacones en sere o en paralelo. En la fgura 3.31b, por ejemplo, las úncas dos resstencas en paralelo son R 2 y R 3, en tanto que las úncas dos en sere son R 1 y R 8. El últmo comentaro es que un elemento de crcuto smple no necesta estar en sere o en paralelo con otro elemento de crcuto smple de un crcuto. Por ejemplo, R 4 y R 5 en la fgura 3.31b no están en sere o en paralelo con otro elemento de crcuto smple, y no hay elementos de crcuto smples en la fgura 3.31c que estén en sere o en paralelo con cualquer otro elemento de crcuto smple. En otras palabras, no se puede smplfcar más el crcuto utlzando cualquera de las técncas analzadas en este capítulo. 3.8 DIVISIÓN DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Al combnar resstencas y fuentes, se encuentra un método para smplfcar el análss en un crcuto. Otro camno útl consste en la aplcacón de las deas de dvsón de tensón y de corrente. La dvsón de tensón se usa para expresar la tensón en una o varas resstencas en sere, en térmnos de la tensón de la

24 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE v R 1 v 1 R 2 v 2 FIGURA 3.32 Ilustracón de la dvsón de tensón. combnacón. En la fgura 3.32, la tensón en R 2 se determna por medo de la LVK y de la ley de Ohm: v = v 1 v 2 = R 1 R 2 = (R 1 R 2 ) de modo que, o En consecuenca: = v R 1 R 2 ( ) v v 2 = R 2 = R 2 R 1 R 2 R 2 v 2 = v R 1 R 2 y la tensón en R 1 es, de modo smlar: R 1 v 1 = v R 1 R 2 S se generalza la red de la fgura 3.32 medante la elmnacón de R 2 y se la susttuye por la combnacón en sere R 2, R 3,...,R N, tentonces se tene el resultado general de la dvsón de tensón en una cadena de N resstencas en sere, v k = R k R 1 R 2 R N v [11] lo cual nos permte calcular la tensón v k que aparece entre los extremos de una resstenca arbtrara R k de la sere. EJEMPLO 3.13 Determnar v x del crcuto de la fgura 3.33a Ω 12 sen t V 6 3 v x 12 sen t V 2 v x FIGURA 3.33 Ejemplo numérco que lustra la combnacón de resstenca y dvsón de tensón. Crcuto orgnal. Crcuto smplfcado. Prmero se deben combnar las resstencas de 6 y 3 y sustturlas por (6)(3)/(6 3) = 2. Debdo a que v x aparece en los extremos de la combnacón en paralelo, la smplfcacón no ha perddo esta cantdad. Sn embargo, una smplfcacón adconal del crcuto al susttur la combnacón en sere de la resstenca de 4 por una nueva resstenca de 2 producría dcha stuacón.

25 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 59 SECCIÓN 3.8 DIVISIÓN DE TENSIÓN Y CORRIENTE 59 En consecuenca, sólo se debe aplcar la dvsón de tensón al crcuto de la fgura 3.33b: 2 v x = (12sen sn t) = 4 sen sn t volts 4 2 PRÁCTICA 3.13 Recurrr a la dvsón de tensón para determnar v x en el crcuto de la fgura v x 10 V FIGURA 3.34 Respuesta: 2 V. El complemento 2 de la dvsón de tensón es la dvsón de corrente. En este caso se tene una corrente total que se almenta a varas resstencas en paralelo, como en el crcuto de la fgura La corrente que fluye por R 2 es o 2 = v R 2 = (R 1 R 2 ) R 2 = R 2 R 1 R 2 R 1 R 2 v 1 2 R 1 R 2 FIGURA 3.35 Ilustracón de la dvsón de corrente. R 1 2 = R 1 R 2 [12] y de manera smlar, R 2 1 = R 1 R 2 [13] La naturaleza no nos sonríe en este caso, ya que estas dos últmas ecuacones tenen un factor que dfere sutlmente del utlzado con la dvsón de tensón, y se requerrá certo esfuerzo para evtar errores. Muchos estudantes consderan la expresón de la dvsón de tensón como evdente y la correspondente a la dvsón de corrente como dferente. Ayuda a reconocer que la más grande de las dos resstencas en paralelo conduce sempre la corrente más pequeña. Para combnar en paralelo N resstencas, la corrente que crcula por la resstenca R k es 1 k = R k R 1 R 2 R N [14] (2) El prncpo de dualdad se encuentra a menudo en ngenería. El tema, en forma breve, se consdera en el capítulo 7 cuando se comparan bobnas y capactores

26 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Escrto en térmnos de conductancas: G k k = G 1 G 2 G N lo que se asemeja en gran medda a la ecuacón [11] de la dvsón de tensón. EJEMPLO sen t V 6 3 FIGURA 3.36 Crcuto utlzado como un ejemplo de dvsón de corrente. La línea ondulada en el símbolo de la fuente de tensón ndca su varacón senodal con el tempo. 3 v x Escrbr la expresón de la corrente que pasa por la resstenca de 3 en el crcuto de la fgura La corrente total que fluye en la combnacón de 3 y 6 se calcula medante: 12 sen sn t 12sen sn t (t) = = = 2 sen sn t A y por lo tanto la corrente deseada está dada por la dvsón de corrente: ( ) 6 3 (t) = (2 sen sn t) = 4 sen sn t A Desafortunadamente, la dvsón de corrente se aplca algunas veces cuando no es aplcable. Como ejemplo, consdere otra vez el crcuto de la fgura 3.31c, en cuyo caso ya se ha acordado que no contene elementos de crcuto que estén en sere o en paralelo. Sn resstencas en paralelo, no hay forma de que pueda aplcarse la dvsón de corrente. Aun así, hay muchos estudantes que dan un rápdo vstazo a las resstencas R A y R B y tratan de aplcar la dvsón de corrente, escrbendo una ecuacón ncorrecta, como R B A = S R A R B Recuerde que, las resstencas en paralelo deben ser ramas entre el msmo par de nodos. PRÁCTICA 3.14 En el crcuto de la fgura 3.37, utlzar los métodos de combnacón de resstencas y de dvsón de corrente para determnar 1, 2 y v ma v 3 FIGURA 3.37 Respuesta: 100 ma; 50 ma; 0.8 V.

27 hay6611x_ch03.qxd 1/4/07 5:07 PM Page 61 Hasta ahora, se han dbujado esquemas de crcuto de una manera smlar al de la fgura 3.38, donde las tensones se defnen entre dos termnales marcadas con toda clardad. Se tuvo especal cudado en subrayar el hecho de que la tensón no puede defnrse en un solo punto: es por defncón la dferenca de potencal entre dos puntos. Sn embargo, muchos esquemas utlzan la convencón de consderar a la terra como la defncón de cero volts, de modo que todas las demás tensones se referen de manera mplícta a este potencal. A menudo el concepto se conoce como conexón a terra, y está vnculado de manera fundamental con los reglamentos de segurdad dseñados para evtar ncendos, choques eléctrcos fatales y lo relaconado con el caos. El símbolo de la conexón a terra se muestra en la fgura 3.39a. Debdo a que la conexón a terra se defne como cero volts, a menudo resulta convenente emplearla como una termnal común en los esquemas de crcuto. El crcuto de la fgura 3.38 se presenta dbujado otra vez de esta manera en la fgura 3.40, donde el símbolo de conexón a terra representa un nodo común. Resulta mportante advertr que dos crcutos son equvalentes en térmnos de nuestro valor v a (4.5 V en cualquer caso), aunque ya no son totalmente guales. Se afrma que el crcuto de la fgura 3.38 flota, pues para todos los propóstos práctcos podría nstalarse sobre un tablero de crcuto de un satélte en una órbta geosíncrona (o en su camno haca Plutón). Sn embargo, el crcuto de la fgura 3.40 está conectado físcamente de algún modo a la terra por medo de una trayectora conductora. Por esta razón, exsten otros dos símbolos que se usan en ocasones para denotar una termnal común. La fgura 3.39b muestra lo que suele conocerse como terra de la señal; tal vez haya (y a menudo hay) una gran tensón entre la conexón a terra y cualquer termnal conectada a la terra de la señal. El hecho de que la termnal común de un crcuto pueda o no conectarse medante alguna trayectora de baja resstenca a la terra, propca stuacones potencalmente pelgrosas. Consdere el dagrama de la fgura 3.41a, que descrbe a un nocente espectador a punto de tocar una peza de equpo energzado por una toma de 4.7 k PRACTICAL APLICACIÓN APPLICATION PRÁCTICA La conexón a terra dfere de la terra geológca corrente de ca. Sólo se han utlzado dos termnales del contacto de la pared; la termnal redonda de conexón a terra del enchufe no se ha conectado. La termnal común de cualquer crcuto del equpo se ha undo y conectado eléctrcamente con el chasís conductor del equpo; a menudo, esta termnal se denota medante el símbolo de la conexón a terra de chasís de la fgura 3.39c. Desafortunadamente, exste una falla en el cableado, debdo a una fabrcacón pobre o quzá sólo al desgaste y a la prsa. De cualquer forma, el chasís no está aterrzado, por lo que se presenta una gran resstenca entre la cone-xón al chass y la conexón a terra. En la fgura 3.41b. se exhbe un pseudo-esquema (se tomaron certas lbertades con el símbolo de la resstenca equvalente de la persona) de la stuacón. En realdad, la trayectora eléctrca entre el chasís conductor y la terra puede ser la mesa, la cual puede representar una resstenca de centos de megaohms o más. Sn embargo, la resstenca de una persona es muchos órdenes menos de magntud. Una vez que la persona toca el equpo para ver por qué no está trabajando correctamente... ben, sólo se señala que no todas las hstoras tenen un fnal felz. El hecho de que la terra no sempre sea la conexón a terra puede provocar una ampla gama de problemas de segurdad y de rudo eléctrco. De vez en cuando se encuentra un ejemplo en los edfcos vejos, donde la plomería consstía al prncpo en cobre conductor de electrcdad. En este tpo de edfcos, cualquer tubería de agua se consderó a menudo como una trayectora de baja resstenca haca la terra, y por lo tanto se usó en muchas conexones eléctrcas. Sn embargo, cuando las 9 V (c) FIGURA 3.39 Tres símbolos dferentes utlzados para representar una conexón a terra o termnal común: terra; terra de señal, (c) terra de chasís. 4.7 k 4.7 k v a 9 V 4.7 k v a FIGURA 3.38 Crcuto smple con una tensón v a defnda entre dos termnales. FIGURA 3.40 El crcuto de la fgura 3.38 se volvó a dbujar utlzando el símbolo de la conexón a terra. El símbolo de conexón a terra de la derecha es redundante; sólo se requere marcar la termnal postva de v a ; por lo tanto, la referenca negatva es mplíctamente la conexón a terra, o cero volts. (Contnúa en la sguente págna)