GANTT, PERT y CPM INDICE

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1 GANTT, PERT y CPM INDICE 1 Antecedentes hstórcos Conceptos báscos: actvdad y suceso Prelacones entre actvdades Cuadro de prelacones y matrz de encadenamento Construccón del grafo Numeracón de nudos Tempo PERT Asgnacón de tempo: tempo optmsta, más probable y pesmsta Matrz de Zaderenko Concepto y cálculo de holguras Camno crítco Calendaro de ejecucón Planfcacón y programacón de proyectos a coste mínmo...13 Gant, PERT y CPM 1

2 1 Antecedentes hstórcos La planfcacón y programacón de proyectos complejos, sobre todo grandes proyectos untaros no repettvos, comenzó a ser motvo de especal atencón al fnal de la Segunda Guerra Mundal, utlzándose el Gráfco de Gantt desde 1913, sendo ésta la únca herramenta dsponble hasta fnales de los años cncuenta. Estos dagramas fueron deados con el objeto de representar las tres varables que ntervenen en toda fabrcacón: Peddos Medos de produccón (Hombres y máqunas) Tempos Como el estudo de estas tres varables requería un dagrama en tres dmensones, Gantt toma dos de ellas en una representacón plana, hacendo algunas anotacones sobre los msmos, de manera que los más frecuentes son: Como el estudo de estas tres varables requería un dagrama en tres dmensones, Gantt toma dos de ellas en una representacón plana, hacendo algunas anotacones sobre los msmos, de manera que los más frecuentes son: Dagrama de carga de operaros Dagrama de carga de máqunas Dagrama de peddos (programacón de peddos para pezas) Dagrama de coordnacón y progreso del trabajo (control de avance del trabajo) Para el proyecto de construccón de submarnos atómcos, armados con proyectles "Polars", se desarrolla un nuevo método para soluconar el problema de la planfcacón, donde se tendría que coordnar y controlar, durante un plazo de cnco años a 250 empresas, 9000 subcontratas y numerosas agencas gubernamentales. Este método denomnado PERT (Program Evaluaton and Revewe Technque), Técnca de Evaluacón de Programas y Revsón, consguó adelantarlo dos años sobre los cnco prevstos. Por la msma época, la compañía Du Pont crea una técnca smlar al PERT, a la que denomnan CPM (Crtcal Path Method), Método del Camno Crítco. Este método es muy parecdo al PERT, su dferenca fundamental es la nomenclatura y la relacón exstente entre el coste y la duracón de las actvdades, cosa que el PERT no tenía en cuenta, al estmar la duracón de las actvdades para un nvel de coste dado. Por un lado el CPM trabaja con duracones estmadas por experenca para las tareas, mentras que el PERT utlza estmacones probablístcas. 2 Conceptos báscos: actvdad y suceso Se comenzará descomponendo el proyecto en una sere de actvdades, entendendo por actvdad: la ejecucón de una tarea que necesta para su realzacón la utlzacón de uno o varos recursos (mano de obra, maqunara, materales, etc.) consderando como característca fundamental su duracón. Así, por ejemplo, la cmentacón, la nstalacón eléctrca, etc., son actvdades de un proyecto de construccón de un edfco. La representacón gráfca de las tareas se realzará medante arcos. Gant, PERT y CPM 2

3 Otro concepto fundamental es el suceso (tambén conocdo como etapa, nudo o acontecmento), que representa un punto en el tempo; no consume recursos y sólo ndca el prncpo o fn de una actvdad o actvdades. Se suele representar con un círculo. 3 Prelacones entre actvdades En el caso del grafo PERT, los vértces serán sucesos y los arcos las actvdades, debendo cumplrse una sere de condcones: Cada actvdad real ha de tener un suceso que la preceda y otro en el que fnalce Cada suceso tendrá, al menos una actvdad que le preceda y otra que le sga, a excepcón de los sucesos ncal y fnal. El uso de actvdades fctcas (de duracón nula), útles en la práctca, oblga a ntroducr la palabra real en estos crteros. Nnguna actvdad puede comenzar hasta que se haya producdo el suceso que la precede; en consecuenca nngún suceso puede consderarse realzado hasta que todas las actvdades que en él termnan se hayan acabado de realzar. S exsten actvdades paralelas, con sucesos ncal y fnal comunes, se susttuyen por una red parcal, con los msmos sucesos ncal y fnal, pero con la ntroduccón de actvdades fctcas y sucesos ntermedos, elmnando las actvdades paralelas. Cuando la concurrenca de dstntas actvdades en un msmo suceso produzca confusas relacones de dependenca, se utlzarán actvdades fctcas y sucesos ntermedos a fn de que las relacones de dependenca queden completamente establecdas. Nngún suceso puede ser a la vez suceso ncal y fnal de un camno formado por actvdades de la red, es decr, la red no puede tener crcutos n bucles. Algunas veces, el cumplmento de las ctadas reglas puede mpedr el plantear las relacones de prelacón de algunas actvdades. Cuando esto sucede, se recurre al empleo de actvdades fctcas; éstas no consumen tempo n nngún tpo de recurso, sendo su únca fnaldad resolver los problemas de dependenca menconados. Algunas veces, el cumplmento de las ctadas reglas puede mpedr el plantear las relacones de prelacón de algunas actvdades. Cuando esto sucede, se recurre al empleo de actvdades fctcas; éstas no consumen tempo n nngún tpo de recurso, sendo su únca fnaldad resolver los problemas de dependenca menconados. Para la realzacón de un determnado proyecto es necesara la ejecucón de 14 actvdades ( A, B,..., M y N), que tenen las sguentes relacones de prelacón nmedata: Para que comence D tenen que estar fnalzadas A y B Sólo una vez fnalzada B podrán comenzar E y F C es nmedatamente anteror a G Para comenzar las actvdades H, I, J, K, L y M se tendrá que haber fnalzado la D Sólo cuando se termnen E, F y G se podrá dar comenzo a J y K Para la realzacón de I es totalmente mprescndble la fnalzacón de E La ejecucón de N no se lleva a cabo mentras no se hayan termnado H, I, J, K y L Para la realzacón de I es totalmente mprescndble la fnalzacón de E La ejecucón de N no se lleva a cabo mentras no se hayan termnado H, I, J, K y L 4 Cuadro de prelacones y matrz de encadenamento Para comenzar a construr el grafo se parte del conocmento de todas las actvdades que componen el proyecto, así como de sus relacones de prelacón. Es muy convenente recoger esta nformacón de una forma sstematzada, ya que ello ayudará en gran medda a construr el grafo. Exsten, báscamente, dos formatos para esto: Gant, PERT y CPM 3

4 La matrz de encadenamento: Consste en una matrz cuadrada cuya dmensón es gual al número de actvdades en que se ha descompuesto el proyecto. Cuando un elemento de dcha matrz aparece marcado con una, esto nos ndca que para poder ncar la actvdad correspondente a la columna será necesaro que haya fnalzado prevamente la actvdad de la fla correspondente. La tabla de precedencas: Esta compuesto por tres flas, en la fla central colocamos las dstntas actvdades del proyecto. En la fla superor las actvdades nmedatamente anterores y en la últma fla las nmedatamente sguentes de cada tarea. Contnuando con el ejemplo anteror, determnaremos la matrz de encadenamento y la tabla de precedencas: Matrz de encadenamento: A B C D E F G H I J K L M N A B C D E F G H I J K L M N Realzamos la tabla de precedencas: Tareas nmedatamente anterores A, B B B C D D, E D, E, F, G D, E, F, G D D I, J, K, L, H Tareas A B C D E F G H I J K L M N Tareas nmedatamente sguentes D D, E, F G H, I, J, K, L, M I, J, K J, K J, K N N N N N 5 Construccón del grafo 5.1 Clasfcacón en nveles Con objeto de que los nudos estén ordenados y faclten la representacón del grafo, se les clasfca en nveles, de acuerdo con el sguente crtero: Gant, PERT y CPM 4

5 Para llegar en una red a un nodo de un nvel determnado es precso que se hayan pasado los nudos de nveles nferores. Como exsten proyectos cuyas redes pueden ser dbujadas antes de conocer el nvel de nudos, vamos a explcar su cálculo, tanto para el supuesto que estén dbujadas como que no lo estén. S la red está dbujada provsonalmente. Para saber s es correcto el dbujo de la red: Se asgna el nvel 1, al nudo orgen. Se elmna el nudo orgen y las actvdades que salen de él: Se mran los nudos que no recben nnguna actvdad: Forman el nvel 2. Se elmnan los nudos que pertenecen al nvel 2 y las actvdades que salen de él. Se mran los nudos que no recben nnguna actvdad: Forman el nvel 3. Se sgue así, hasta llegar al últmo nodo de la red. S la red no está dbujada, se opera con el cuadro de secuencas de la sguente manera: Se consdera la línea horzontal nferor (ndcada con una flecha) que señala el número de correspondente a cada columna. Se mran los 0 que exsten en dcho nvel. El orgen de esas actvdades corresponde al nudo orgen del grafo que es el nvel 1. En nuestro ejemplo corresponden a las actvdades A, B y C. Actvdades Destno A B C D E F G H I J K L M N A B A c t v d a d e s O r g e n C D E F G H I J K L M N Nvel Gant, PERT y CPM 5

6 Elmnamos las flas correspondentes a las actvdades anterores: A, B y C Se hace la suma por columnas del número de, en el nvel 2 Contnuamos con el procedmento hasta que todas las sumas sean nulas. Con la secuenca de las actvdades y el nvel de los nodos es fácl dbujar la red tenendo experenca y aplcando las reglas anterormente expuestas. Para dbujar el grafo se comenzará por aquellas actvdades que no tenen precedentes y que, por tanto, saldrán del nudo ncal. A partr de ahí, se deben colocar los sucesos y actvdades que sguen a los anterores, defnéndose, s es precso, actvdades fctcas para facltar la construccón del grafo. 5.2 Numeracón de nudos Una vez construdo el grafo, se deberán numerar los dstntos sucesos, para ello, prmero se denomnarán con letras sguendo un orden aleatoro, para a contnuacón aplcar el método de la matrz asocada. Este método consste en una matrz con una fla y una columna por cada suceso del grafo. S de un suceso sale una actvdad haca el suceso j, el elemento a será 1, sendo cero en caso contraro. Aplcando esto últmo al ejemplo anteror obtendremos la sguente matrz asocada al grafo: DESTINO a b c d e f g h j k O a R b I c G d E N e f g h j Gant, PERT y CPM 6

7 k Se puede observar que la columna a no tene nngún 1, debdo a que el suceso a no es fn de nnguna actvdad; este será el suceso ncal y se le asgna el 1. A contnuacón se elmnará la columna y la fla correspondente al suceso a, quedando una matrz de 10x10 a la que aplcamos el msmo crtero. Ahora son las columnas c y d las que no contenen nngún 1, luego podemos asgnar 2 y 3 ndstntamente. Seguremos el msmo proceso hasta el fnal, obtenendo el sguente resultado: O R I G E N DESTINO a b c d e f g h j k a b c d e f g h j k Nodos Y por tanto, la representacón del grafo quedará de la sguente forma: 6 Tempo PERT 6.1 Asgnacón de tempo: tempo optmsta, más probable y pesmsta Una vez elaborado el grafo con las secuencas de las actvdades podemos pasar a la programacón de las msmas. Para ello, es necesaro conocer las duracones de las dstntas actvdades. Generalmente, éstas no se pueden far con exacttud, ya que son muchos los factores de carácter aleatoro que están relaconados con ellas. El PERT resuelve este problema evaluando la duracón de una actvdad a partr de tres estmacones: Gant, PERT y CPM 7

8 Tempo optmsta (a), representa el tempo mínmo en que podría ejecutarse la actvdad s todo marchara ben, no producéndose nngún contratempo durante la fase de ejecucón. Se consdera que la probabldad de poder fnalzar la actvdad en esta duracón no es superor al 1 por 100. Tempo probable (m), es el tempo que, normalmente, se empleará en ejecutar la actvdad; en caso de que dcha tarea se hubera realzado varas veces, sería el tempo con mayor frecuenca de aparcón. Tempo pesmsta (b), representa el tempo máxmo en que se podría ejecutar la actvdad s todas las crcunstancas que nfluyen en su duracón fueran totalmente desfavorables. La probabldad es de 1 por 100. Una vez establecdas las tres estmacones se calcula la duracón de la actvdad, tambén llamado tempo PERT, d, medante la expresón: a + 4b + c d = 6 A partr de la duracón meda estmada (o valor estmado por la experenca en el CPM) se puede comenzar a determnar en que fecha ocurrrá cada uno de los sucesos del grafo. Para ello se empezará por el suceso ncal, el cual será el nstante cero (t1=0); a contnuacón se calculará el suceso 2, que será la fecha del suceso 1 más la duracón de la actvdad 1-2 t + 2 = t1 d12 Después el suceso 3, etc. S suponemos que a este últmo llegan dos actvdades, una del suceso 1 (A13) y otra del 2 (A23), la ocurrenca de este suceso sgnfcaría que han fnalzado ambas, por lo que su fecha sería el máxmo entre t1+d13 y t2+d23. Generalzando, se podría decr que t = max( t + d j Sendo j el suceso cuya fecha hay que calcular e cada una de las etapas orgen de actvdades que llegan a él. Estas fechas son las más tempranas en las que se puede dar un suceso, tempos tempranos, así pues, la fecha más temprana del suceso fnal nos ndcará la duracón del proyecto o tempo mínmo en el que se puede acabar el proyecto (en condcones normales sn acelerar la ejecucón de las dstntas actvdades). No todos los sucesos serán gualmente vtales, en relacón al cumplmento de fechas, para que el proyecto fnalce en el tempo calculado anterormente. Por ello, es nteresante y útl calcular en que momento se pueden producr, como muy tarde, cada uno de los sucesos para que el proyecto se pueda acabar en el plazo prevsto o acordado. Estas fechas se denomnan fechas más tardías, T, del suceso, tempos últmos. El cálculo es análogo al anteror pero empezando por el suceso fnal. Se hace concdr la duracón del proyecto con Tn, fecha más tardía del últmo suceso, a contnuacón se calcula la del suceso nmedatamente anteror (n-1), que será gual a: T ( n 1) = Tn + d ( n 1) n ) De forma genérca podemos expresar el tempo últmo como: T = mn( T + d Este proceso se sgue de forma smlar hasta T1. Este método es bastante engorroso cuando el grafo está formado por muchos sucesos, por lo que resulta más cómodo resolverlo medante la matrz de Zaderenko que se verá más adelante. Las fechas calculadas y el orden del suceso se anotan en el grafo de la sguente forma: Aquellos sucesos cuya fecha más temprana concda con la más tardía se denomnan sucesos crítcos, ya que, al no tener nngún margen de tempo entre ambas, cualquer retraso en su Gant, PERT y CPM 8 n )

9 ocurrenca provocaría el retraso en el proyecto, por lo que éstos deberán ser vglados con más nterés. A partr del grafo anteror y con la duracón de las actvdades que aparecen sobre cada uno de los arcos, se han calculado las fechas más tempranas y tardías, de acuerdo con lo expuesto anterormente. Duracón de las actvdades: A = 9 E = 5 I = 10 M = 10 B = 9 F = 10 J = 12 N = 10 C = 8 G = 9 K = 7 D = 8 H = 14 L = 3 Cálculo de los tempos tempranos: t1 = 0 t2 = máx(0+9) = 9 t3 = máx(0+8) = 8 t4 = máx(0+9, 9+0) = 9 t10 = máx(17+14, 17+10, 19+12, 26+0) = 31 t11 = máx(17+10, 31+10) = 41 Cálculo de los tempos últmos: T11 = 41 T10 = mín(41-10) = 31 T9 = mín(31-0) = 31 T8 = mín(31-12, 31-7) = T2 = mín(19-5, 19-10) = 9 T1 = mín(9-9, 10-8, 9-9) = 0 Gant, PERT y CPM 9

10 6.2 Matrz de Zaderenko El procedmento de cálculo para los tempos últmos y tempranos que hemos descrto anterormente son fácles de aplcar cuando se trata de un grafo PERT sencllo. En grafos de gran complejdad se puede resolver medante el uso del procedmento matrcal desarrollado por Zaderenko. A contnuacón pasamos a descrbr ésta forma de cálculo apoyándonos en el ejemplo. Se comenza por construr una matrz cuadrada cuya dmensón sea gual al número de nudos del grafo, del que estamos calculando los tempos, para nuestro ejemplo será de 11. Los elementos de esta matrz ndcan los tempos PERT de las actvdades que nacen en el suceso que corresponde a la fla que cruza ese elemento y fnalzan en el suceso correspondente a la columna que cruza dcho elemento. A contnuacón representamos la matrz correspondente al grafo de nuestro ejemplo. Gant, PERT y CPM 10

11 7 Concepto y cálculo de holguras La nformacón que proporcona al responsable del control de un proyecto, el conocmento de los tempos últmo y temprano, de un determnado suceso, no es en sí, demasado mportante, exceptuando los tempos últmo y temprano del últmo suceso del proyecto, ya que estos ndcarán el tempo máxmo que se puede emplear en la realzacón del proyecto. La verdadera mportanca de los tempos últmos y tempranos, es que estos consttuyen el fundamento para el cálculo de las holguras, que son peza fundamental en todo proceso de análss del método PERT. Se defne holgura de un certo suceso, que se representa por h, como la dferenca entre los tempos últmo y temprano de dcho suceso, es decr: h = T t La holgura de un suceso nos defne el tempo el tempo que puede retrasarse la realzacón del msmo, de manera que el tempo estpulado para la fnalzacón del proyecto no sufra nngún aumento. A contnuacón pasamos a calcular las holguras correspondentes a los sucesos de nuestro ejemplo h1 = 0 h2 = 0 h3 = 2. La holgura total de una certa actvdad, que representaremos por H, se defne como el tempo que resulta de restar al tempo últmo del suceso fnal el tempo temprano del suceso ncal y la duracón de la actvdad, es decr: H = T j t d Gant, PERT y CPM 11

12 Las holguras correspondentes a las actvdades de nuestro ejemplo serán las que se exponen a contnuacón: H1,2 = T2-t1-d1,2 = = 0 H1,3 = T3-t1-d1,3 = = 2 H1,4 = T4-t1-d1,4 = = 0 H2,4 = T4-t2-d2,4 = = 0 H2,6 = T6-t2-d2,6 = = 5 H2,8 = T8-t2-d2,8 = = 0 H3,8 = T8-t3-d3,8 = = 2 H4,5 = T5-t4-d4,5 = = 0 H5,6 = T6-t5-d5,6 = = 2 Es muy mportante tener en cuenta que s una actvdad consume la totaldad o parte de su holgura puede producr una dsmnucón en la holgura de la actvdad sguente. 8 Camno crítco Aquellas actvdades cuya holgura total sea cero recben el nombre de actvdades crítcas. Unendo todas las actvdades crítcas se obtene un camno que recbe el nombre de camno crítco y es esencal en el control del proyecto, ya que cualquer retraso en la ejecucón de las actvdades crítcas supondrá un retraso en la termnacón del proyecto. Resumendo podemos far las fases de ejecucón de un grafo PERT: 1 Elaboramos la tabla de prelacones o la matrz de encadenamento 2 Con el cuadro de secuencas clasfcamos los dstntos nveles 3 Dbujamos la red con los nveles anterormente fados 4 Numeramos los sucesos con la matrz asocada al grafo 5 Determnamos los tempos últmo y temprano de cada suceso con la ayuda de la matrz de Zaderenko. 6 Hallamos las holguras y el camno crítco. Gant, PERT y CPM 12

13 9 Calendaro de ejecucón El proceso de cálculo que hemos desarrollado en los apartados anterores, proporcona una nformacón de gran utldad para el responsable encargado de la ejecucón del proyecto. Por otra parte, de esta nformacón puede deducrse fáclmente un calendaro de ejecucón del proyecto, que será la peza básca en el control de la ejecucón del msmo. En este calendaro se establecen cuatro fechas para cada actvdad, que son las sguentes: Fecha de comenzo más temprana: La fecha de comenzo más temprana de una certa actvdad, que representamos por un trángulo con subíndce nos ndca lo más pronto que puede comenzarse la actvdad. Obvamente dcha fecha vendrá dada por el tempo temprano del suceso ncal de la actvdad menconada. Δ = t Fecha de comenzo más tardía: La fecha de comenzo más tardía de una actvdad, que representamos de la msma forma que la anteror añadendo como superíndce un astersco, nos ndca lo más tarde que puede ncarse dcha actvdad, de manera que la fnalzacón del proyecto no se retrase en nnguna undad de tempo. Dcha fecha vendrá dada por la suma del tempo últmo del suceso ncal y la holgura total de la actvdad, es decr: Δ * Tenendo en cuenta la fórmula de la holgura total: = t + H Δ * = T + d j Fecha de fnalzacón más temprana: La fecha de fnalzacón más temprana de una certa actvdad, que representamos por ncremento, con subíndce, nos ndca lo antes que puede fnalzarse la actvdad. Dcha fecha será dada por la suma del tempo temprano del suceso ncal y el tempo PERT correspondente a dcha actvdad, es decr: Δ * = t + d j Fecha de fnalzacón más tardía: La fecha de fnalzacón más tardía de una certa actvdad, que representamos gual que la anteror pero con un astersco como superíndce, nos ndca la fecha tope para la fnalzacón de la actvdad. Obvamente dcha fecha vendrá dada por el tempo últmo del suceso fn de la actvdad. Δ * = T j 10 Planfcacón y programacón de proyectos a coste mínmo La realzacón de cualquer proyecto trae consgo la aparcón de dos tpos de costes: drectos, que provenen de factores drectamente mputables a cada tarea (materas prmas, mano de obra, horas máquna, etc.), e ndrectos, que son mputables medante claves de dstrbucón (gastos generales, supervsón, etc.). Los costes drectos de una actvdad suelen estar relaconados nversamente con su duracón por una funcón del tpo representado en la fgura. En ella se puede aprecar un mínmo en el punto N, que corresponde al denomnado coste normal de la actvdad para una duracón normal, que se Gant, PERT y CPM 13

14 utlza para una prmera programacón. Se puede acortar hasta una duracón récord, la cual está lgada al coste récord de la actvdad. Cuando es necesaro acortar la duracón de un proyecto, uno de los factores será el ntentar hacerlo con el mínmo ncremento de coste, para lo cual se deberá selecconar las actvdades crítcas que se ntentan reducr en su duracón. Con objeto de facltar este proceso, la curva de costes suele smplfcarse por una recta que pasa por los puntos récord y normal o ben por una polgonal de un número convenente de lados. La mayoría de los procedmentos empleados para acelerar un proyecto, consguendo el mínmo ncremento de coste, utlza el concepto de pendente de coste, entendendo por tal al ncremento producdo en este últmo al reducr la duracón de la tarea en una undad de tempo. Partendo de una stuacón en que todas las tareas estén en duracón normal (punto normal del proyecto, DNP) y sguendo un procedmento, se podrá reducr la duracón del proyecto hasta que un camno crítco tenga todas sus actvdades en duracón récord, nstante a partr del cual es nútl cualquer ntento de acortamento. Se puede decr que dcho camno crítco está bloqueado y que el proyecto se encuentra en un punto récord, DRP. El coste normal del proyecto, CNP, es gual a la suma de los costes normales de todas sus tareas, y el coste récord del proyecto, CRP, será gual a CNP más los ncrementos de coste producdos por la reduccón de las duracones de las actvdades crítcas. S tenemos en cuenta los costes ndrectos, que son proporconales a las duracones de las tareas, y que se ncluyen posbles prmas y penalzacones, obtendremos la curva de costes totales, donde el mínmo señala la duracón óptma del proyecto, DOP. Costes D RP D OP D NP Gant, PERT y CPM 14

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