Resumen de los teoremas fundamentales del análisis estructural aplicados a celosías

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1 Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural aplcados a celosías INTRODUCCIÓN Fuerzas aplcadas y deformacones de los nudos (=1,n) ESTICIDD Tensón =Ν/Α. Unforme en cada seccón de la arra. Deformacón untara ε unforme en cada seccón de la arra. Ecuacón consttuta: Representa el comportamento del materal y estalece una relacón entre los estados de tensones y de deformacones untaras. Materal elástco: el proceso de carga y descarga se llea a cao sempre por la msma cura; y sea cual sea la hstora de cargas, el materal sempre se encuentra en un punto de dcha cura característca. Materal lneal: la relacón se estalece a traés de una constante E (módulo de elastcdad). = Eε Ecuacón consttuta con temperaturas as temperaturas proocan unas deformacones untaras ncales conocdas ε = αt Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 1

2 = E( ε ε ) = E( ε αt) α: coefcente de dlatacón lneal del materal, T : temperatura en el punto. as deformacones untaras totales son la suma de las térmcas, más las dedas a la tensón: ε = ε + /E E ENERGÍ DE DEFORMCIÓN DENSIDD DE ENERGÍ DE DEFORMCIÓN, Se defne la densdad de energía de deformacón, o energía de deformacón untara, como la ntegral: ε U() ε = dε con la condcón de que sea sólo funcón del estado fnal de deformacón untara, es decr que la ntegral sea ndependente del camno. a funcón U exste s el proceso de carga y descarga es reersle. Esta condcón se cumple sempre s el materal tene un comportamento elástco, lneal o no a densdad de energía U representa el traao efectuado en una undad de olumen por las tensones, al producrse la deformacón elástca del sóldo. Tamén se le suele denomnar traao nterno untaro. a densdad de energía U es la energía elástca acumulada en el sóldo por undad de olumen. U U Materal lneal, sn temperaturas: Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural

3 ε ε 1 1 ε ε ε ε ε U = d = E d = E = Materal lneal, con temperaturas. parece un nueo sumando en la energía: ε ε 1 = ε = ( ) ε = U d E ε ε d Eε ε Eε U ENERGÍ EÁSTIC DE DEFORMCIÓN a energía elástca de deformacón es la energía total que se acumula en el sóldo: U = Ud a expresón de esta energía en funcón del alargamento de la arra es: E 1 1 U = Eε ε Eε dx = ε E dx S la arra es de propedades unformes el alor de la energía es: 1 E 1 E E U = Eε = αt a rgdez axal de la arra es: k E = a constante λ defne el alargamento ncal de la arra dedo a la temperatura: λ = αt a energía acumulada en la arra es por lo tanto: 1 U = k kλ a expresón de la energía acumulada en una arra cualquera en funcón del esfuerzo axal es: 1 U = Eε εeε dx Susttuyendo la ecuacón consttuta: Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 3

4 ε = ε + / E = ε + N / E se otene, s la arra es de propedades unformes: U U 1 Eε = N E ρn Eλ = VRICIÓN DE ENERGÍ DE DEFORMCIÓN Se aplca una aracón rtual a los desplazamentos δ, mantenendo constante el alor de las tensones. Se orgna una aracón rtual de las deformacones untaras δε, y ello da lugar a una aracón de la densdad de energía: δu = dε = dε = δε ε+ δε ε+ δε a energía total acumulada U sufre tamén una aracón: ε δu = δu d = δεd U = U d = dx En una arra, la aracón es: δ δ δε S la arra es de propedades unformes: δu ε = δε U U ENERGÍ DE DEFORMCIÓN COMEMENTRI DENSIDD DE ENERGÍ DE DEFORMCIÓN COMEMENTRI Se defne la densdad de energía de deformacón complementara como la ntegral: U = εd con la condcón de que sea sólo funcón del estado fnal de tensón, es decr que la ntegral sea ndependente del camno. a densdad de energía complementara exste s el materal tene un comportamento elástco. Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 4

5 Materal lneal, sn temperaturas. Tene el msmo alor que la energía complementara: Materal lneal, con temperaturas: 1 = ε = = = ε = U d d U E E = = + = + E E U εd ε d ε U U ENERGÍ DE DEFORMCIÓN COMEMENTRI a energía de deformacón complementara es la densdad de energía complementara acumulada en todo el sóldo: U = U d En una arra cualquera de la celosía su alor es: N N N U = + ε dx = + ε dx = dx + αtndx E E E S la arra es de propedades unformes: U N = T N E + α U N ρ = + λ N VRICIÓN DE ENERGÍ COMEMENTRI Se aplca una aracón rtual a las fuerzas exterores δ, mantenendo constante el alor de las deformacones. a aracón de las fuerzas produce una aracón rtual de las tensones δ, y ello da lugar a una aracón de la densdad de energía complementara: δu = εd = ε d = εδ + δ + δ a energía complementara acumulada en una arra sufre una aracón: Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 5

6 δu = δu d = εδdx S la arra es de propedades unformes: δu = εδ U TEOREMS DIRECTOS FÓRMU DE CEYRON Traao efectuado por las fuerzas exterores, en régmen elástco lneal: 1 W = W Conseracón de la energía: el traao efectuado por las fuerzas exterores aplcadas es gual a la energía elástca acumulada U. 1 W = = U RINCIIO DE TRJO VIRTU El traao rtual producdo al aplcar una aracón rtual a las deformacones + δ + δ δw = d d = = δ = 1, n = 1, n = 1, n δ es Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 6

7 Este traao rtual tamén puede ealuarse en funcón de los esfuerzos axales N en las arras y de sus alargamentos correspondentes. Estos esfuerzos axales N están en equlro con las fuerzas exterores y los alargamentos de las arras son compatles geométrcamente con las deformacones de los nudos. + δ + δ δw = N d N d = = N δ El alargamento de cada arra proporcona la deformacón untara en la msma, supuesta constante: ε = δ = δε Susttuyendo el alor del esfuerzo axal N= : δw = N δ = δε El sumatoro de la derecha es la aracón de la energía elástca acumulada en toda la celosía. δw = N δ = δu or lo tanto: δw = δ = δε = δu = 1, n = 1, En la forma contnua más general: δw = δεd = δu a condcón necesara y sufcente para que haya equlro, en una estructura elástca, es que para cualquer desplazamento rtual (compatle con los enlaces) el traao rtual de las fuerzas exterores sea gual a la aracón de la energía elástca. Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 7

8 W W U U RIMER TEOREM DE CSTIGINO Consderamos una estructura de materal elástco, sometda a un sstema de n cargas puntuales exterores (fuerzas o momentos). Sea la deformacón en la dreccón de la carga en cada punto de aplcacón. Energía elástca almacenada en el sóldo, expresada en funcón de las deformacones U( ). plcamos una aracón rtual a las deformacones δw = δ = 1, n δ. El traao rtual producdo es: Según el prncpo del traao rtual, este traao rtual es gual a la aracón de la energía elástca almacenada: = 1, n δ = δu S la energía complementara se ha expresado en funcón de las deformacones, su aracón es: U δ δ = = 1, n = 1, n l ser la aracón de los desplazamentos artrara, deen ser guales cada uno de los térmnos del sumatoro: U = = 1, n rmer teorema de Castglano (1879). Es la ase del denomnado método de rgdez. Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 8

9 TEOREMS COMEMENTRIOS RINCIIO DE TRJO VIRTU COMEMENTRIO Traao complementaro efectuado por una fuerza en régmen elástco lneal: 1 W = d = El traao complementaro efectuado por todas las fuerzas exterores: W 1 = = 1, n Se aplca una aracón rtual a las fuerzas exterores (compatle con el equlro), mantenendo las deformacones constantes. El traao complementaro rtual producdo es: + δ + δ W = d d = = δ = 1, n = 1, n = 1, n δ Este traao complementaro rtual tamén puede ealuarse en funcón de los esfuerzos axales N en las arras y de sus alargamentos correspondentes. Estos esfuerzos axales N están en equlro con las fuerzas exterores y los alargamentos de las arras son compatles geométrcamente con las deformacones de los nudos. N+ δn N+ δn W = dn dn = = δn N N δ Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 9

10 a aracón en el esfuerzo axal corresponde a la aracón de la tensón en la arra: δn = δ Susttuyendo el alor del alargamento en funcón de la deformacón untara = ε : δ δ ε δ W = N = El sumatoro de la derecha es la aracón de la energía elástca complementara acumulada en la celosía. δw = δn = δu or lo tanto: δw = δ = ε δ = δu = 1, n = 1, En la forma contnua más general: δw = εδd = δu a condcón necesara y sufcente para que un sóldo elástco esté en equlro es que para cualquer aracón rtual de las fuerzas (que cumpla el equlro) el traao rtual complementaro producdo sea gual a la aracón de la energía complementara elástca. W W U U SEGUNDO TEOREM DE CSTIGINO Energía elástca complementara almacenada en el sóldo, expresada en funcón de las fuerzas aplcadas U ( ). Se aplca una aracón rtual a las fuerzas δw δ. El traao rtual complementaro producdo es: = δ = 1, n Según el prncpo del traao rtual complementaro este traao rtual complementaro es gual a la aracón de la energía elástca complementara. = 1, n δ = δu S la energía complementara se ha expresado en funcón de las fuerzas exterores, su aracón es: Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 1

11 U δ = δ = 1, n = 1, n Como la aracón de las fuerzas es artrara deen ser guales cada uno de los térmnos del sumatoro. U = = 1, n Este es el Teorema de Crott (1888) Engesser (1889). Es la ase del denomnado método de flexldad y es asmsmo muy utlzado para el cálculo de deformacones. S el sóldo es lneal sn temperaturas, la energía y la energía complementara concden: U = = 1, n Esta es la expresón del segundo teorema de Castglano (1879). TEOREM DE ENGESSER Sea una estructura de celosía con materal elástco, sometda a un sstema de cargas general. Consderamos un esfuerzo axal nterno cualquera fuerzas tal que: N y aplcamos una aracón rtual al sstema de Todas las fuerzas exterores y todas las reaccones se mantenen constantes. El esfuerzo nteror N se aría en una magntud δ N. Sempre estará formado por una parea de fuerzas guales y de sentdo contraro. Su aracón tamén estará compuesta por dos fuerzas guales y de sentdo contraro. t N N N N Sea la componente de la deformacón en la dreccón del esfuerzo axal (es decr en la dreccón del ee de la arra). El traao rtual complementaro producdo por la aracón de fuerzas aplcada es nulo: rncpo del traao rtual complementaro: δ = ( δ ) + ( δ ) = W N N δw = = δu S la energía complementara se puede expresar en funcón de N, su aracón sempre se puede poner como: Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 11

12 δu U = δn = N Como esto dee satsfacerse para cualquer aracón δ N, se dee cumplr que U N = Segundo teorema de Engesser. Muy útl para formular las ecuacones de compatldad de deformacones en el método de flexldad. Es aplcale a cualquer fuerza nteror en una estructura retcular: axal N, cortante Q o flector M. TEOREM DE MÉNRÉ En una estructura sn efectos térmcos la energía y la energía complementara son guales. El segundo teorema de Engesser queda: U = N Teorema de Ménaréa (1858), quen lo enuncó para el caso partcular de las estructuras de celosía hperestátcas. Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 1

13 TEOREMS DE RECIROCIDD TEOREM DE ETTI-RYEIGH O DE TRJO RECÍROCO Sstema elástco lneal, sometdo a dos sstemas de fuerzas dstntos: Sstema, compuesto por una sola fuerza aplcacón y en otro punto. Sstema, compuesto por una sola fuerza aplcacón y en el otro punto., que produce una deformacón, que produce una deformacón en su punto de en su punto de Se aplca en prmer lugar el sstema y a contnuacón el. El traao que producen es:, 1 1 W = + + Se aplca en prmer lugar el sstema y a contnuacón el. El traao que producen es:, 1 1 W = + + El traao total es el msmo en amos casos. Igualándolos se otene: = Teorema del traao recíproco. E. ett (187) y ord Raylegh (1874). El traao producdo por un sstema de fuerzas actuando sore las deformacones producdas por otro sstema es gual al traao producdo por el sstema de fuerzas actuando sore las deformacones producdas por el sstema. Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 13

14 TEOREM DE MXWE O DE S DEFORMCIONES RECÍROCS Msmos sstemas de cargas y, que en teorema de ett-raylegh, pero con cargas de alor undad. El traao cruzado entre los dos sstemas es el msmo: = Sstema Sstema 1 1 l ser las dos fuerzas untaras: = Teorema de las deformacones recíprocas de Maxwell (1864). a deformacón nducda en un punto por una fuerza untara aplcada en otro punto es gual a la deformacón nducda en por una fuerza untara aplcada en. Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural 14

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