Física Estadística. Tercer curso del Grado en Física. J. Largo & J.R. Solana. Departamento de Física Aplicada Universidad de Cantabria

Transcripción

1 Tercer curso del Grado en Físca largoju at uncan.es J. Largo & J.R. Solana solanajr at uncan.es Departamento de Físca Aplcada Unversdad de Cantabra

2 Indce I

3 Estadstcas Dstrbucones para los sstemas cuántcos Consderamos sstemas en los que las partículas nteracconen déblmente entre sí, de modo que la energía total del sstema pueda consderarse práctcamente gual a la suma de las energías ndvduales de las partículas que lo consttuyen. U = N ε El problema ser reduce a obtener la de probabldad de que una partícula del sstema se encuentre en un nvel de energía ε de las partículas del sstema

4 Bose-Ensten las partículas dependendo de sus característcas sguen una estadístca: W MBD = N! g N N! W F D = g! N! (g N )! Maxwell- Boltzmann con degeneracón W BE = (g + N 1)! N! (g 1)! Ferm-Drac

5 Para obtener las dstrbucones correspondentes maxmzaremos los logartmos neperanos de las probabldades termodnámcas con las condcones de contorno: N = N N ε = U

6 La condcón de máxmo: df (N ) = df (N ) dn = 0 dn ( ln N ) + α + βε dn = 0 g ( ) N ln + α + βε dn = 0 g N ( ) N ln + α + βε dn = 0 N + g MBD FD BE

7 Estas ecuacones deben cumplrse para cualquer valor de dn, y por tanto se ha de cumplr: ln ln ln N g + α + βε = 0 MBD N g N + α + βε = 0 N N + g + α + βε = 0 FD BE

8 La de Maxwell-Bolzmann con degeneracón g N = e α+βε La de Ferm-Drac N = g e α+βε + 1 La de Bose-Ensten N = g e α+βε 1

9 constantes de las leyes de Partendo de W MBD = N! g N N! ln W MBD = ln N!+ Dferencando y tenendo en cuenta que N ln g ln N g + α + βε = 0 MBD N ln N + N d ln W MBD = (ln g ln N ) dn = = α dn + β ε dn =0 =0 ln g N dn =

10 constantes de las leyes de Procedendo de forma smlar con las expresones de las estadístcas de Ferm-Drac y de Bose-Ensten, se obtene el msmo resultado, d ln W = α dn + β ε dn =0 =0 para las tres dstrbucones, de modo que nos basta calcular los multplcadores ndetermnados de Lagrange α y β para este caso general.

11 constantes de las leyes de Consderemos el cambo en la energía nterna U del sstema: du = ε dn + la energía del sstema puede cambar: N dε 1. ben porque varíen las poblacones N de los nveles sn que camben las energías ε de los msmos. 2. o ben porque camben las energías ε de los nveles sn que camben las poblacones N de los msmos.

12 constantes de las leyes de S camban las energías ε de los nveles sn que camben las poblacones N la probabldad termodnámca W permanece constante, y por tanto tambén la entropía. S = kln W y de acuerdo con el segundo prncpo de la Termodnámca, la varacón de energía nterna es gual al trabajo W. δw = N dε

13 constantes de las leyes de Entonces, el prmer térmno representa el calor: δq = ε dn Susttuyendo d ln W = α dn + βδq = αdn + βδq =0

14 constantes de las leyes de S el sstema expermenta un proceso en el que el número de partículas permanece constante, ds = kd ln W = kβδq = kβt ds lo que mplca que: β = 1 kt gual que en la estadístca clásca.

15 constantes de las leyes de Para determnar α partmos de la energía lbre F = U T S df = du T ds SdT T ds = kt d ln W = kt (αdn + βδq) df = du kt (αdn + βδq) SdT = = du δq kt αdn SdT = = δw kt αdn SdT

16 constantes de las leyes de S, por ejemplo, se trata de un sstema pv T, entonces δw = pdv y: ( ) F N T,V es decr: α = µ kt donde µ es el potencal químco. = µ = kt α

17 como límte de Ya hemos vsto que cuando g N, entonces: Esto mplca que W F D W BE W MBD N! = =0 g N N! N (F D) N N (BE) N N (MBD) N es decr: g e α+βε + 1 g e α+βε 1 g e α+βε

18 como límte de Para ello, se tene que verfcar: e α+βε 1 para todos los valores de ε, lo que requere que: e α 1 pues los valores nferores de ε son muy pequeños. Condcón que se ha de cumplr para que pueda aplcarse el tratamento clásco.

19 Parte I Aplcacones de la