Física Estadística. Tercer curso del Grado en Física. J. Largo & J.R. Solana. Departamento de Física Aplicada Universidad de Cantabria

Transcripción

1 Tercer curso del Grado en Física largoju at unican.es J. Largo & J.R. Solana solanajr at unican.es Departamento de Física Aplicada Universidad de Cantabria

2 Indice I

3 equilibrio Densidad de La radiación está constituida por fotones de energía ε = hν Los fotones no interaccionan entre sí, aunque pueden interaccionar con la materia gas ideal cuántico de Bose- Einstein. Los fotones no tienen masa en reposo y por tanto no se conserva su número N µ = 0 ya que el multiplicador de Lagrange α surge de la condición de conservación del número de partículas. α = µ/kt = 0

4 equilibrio Densidad de La expresión del número de partículas N = j n j = j ze βε j 1 ze βε j = j 1 e βε j 1 donde n j es el número medio de ocupación de un estado cuántico de energía ε j : 1 n j = e βε j 1 Los fotones tienen spin 1, de manera que la degeneración de un estado cuántico debería ser 3, sin embargo, la condición de transversalidad del campo electromagnético reduce el número de estados de spin independientes a 2, que se corresponden a los dos estados posibles de polarización de una onda electromagnética, de manera que g = 2.

5 equilibrio Densidad de Determinar la densidad de D(ν). 1. Se obtiene como para los fonones 2. En lugar de los tres modos independientes, c es aquí la velocidad de la luz. 4. No existe limitación en cuanto a la longitud de onda g d3 V q d 3 V p h 3 = 2 4πV p2 dp h 3 p = hν c D (ν) = 8πV c 3 ν2

6 Función de partición y La función de partición macrocanónica del gas de fotones Ξ = Q = j ln Q = j 1 1 e βε j = j 1 1 e hν j/kt ln (1 ) e hν j/kt Pasando a formulación continuo: [ ] ln Q = D (ν) ln 1 e hν/kt dν = 0 = 8πV c 3 0 [ ] ν 2 ln 1 e hν/kt dν

7 Función de partición y Haciendo el cambio de variable x = hν/kt ln Q = 8πV c 3 ( ) kt 3 x 2 ln ( 1 e x) dx h 0 y si integramos por partes ln Q = 8πV ( ) 1 kt 3 x 3 c 3 3 h 0 e x 1 dx ln Q = 8πV π 4 ( ) kt 3 c 3 45 h

8 Función de partición y F = kt ln Q = 8π 5 V σ = 2π5 k 4 15c 2 h 3 σ es la constante de Stefan-Boltzmann. (kt )4 45 (hc) 3 = 4σ 3c V T 4

9 El número de fotones con frecuencias comprendidas entre ν y ν + dν es: dn (ν, T ) = D (ν) ndν = 8πV c 3 D (ν) = 8πV c 3 ν2 y n j = ν 2 dν e hν/kt 1 1 e βε j 1

10 el número total de fotones por unidad de volumen ρ = N (T ) V ( kt = 8π c h ( kt = 8π c h ) 3 0 ) 3 2!ζ (3) ( ) 2πkT 3 ρ (T ) 0, 244 hc x 2 e x 1 dx = lím ρ = 0 T 0

11 La distribución espectral de energía en la cavidad du(ν,t ) dν du (ν, T ) = hνdn (ν, T ) = 8πhν3 V dν c 3 [ e hν/kt 1 ] es la densidad espectral de energía. La densidad espectral de energía específica u (ν, T ) = du (ν, T ) V dν = 8πhν 3 c 3 [ e hν/kt 1 ]

12 El flujo monocromático del cuerpo negro, es decir la energía por unidad de superficie, por unidad de tiempo y por unidad de intervalo de frecuencias emitida por un cuerpo negro en un hemisferio, se define mediante la relación: Φ CN (ν, T ) = c 4 u (ν, T ) = C 1 ν 3 c 4 [ e hν/kt 1 ] que es la ley de distribución de en la que: C 1 = 2πhc 2

13 El flujo monocromático de un cuerpo negro 20.0 ( ν,t) x CN 1010 J/m 2 Φ 1400 K K K K 600 K ν x seg -1

14 La ley de distribución de en términos de la longitud de onda Φ CN (λ, T ) dλ = Φ CN (ν, T ) dν = Φ CN (ν, T ) c λ 2 dλ con lo cual resulta: Φ CN (λ, T ) = C 1 λ 5 [ e c 2/λT 1 ] siendo c 2 = hc/k.

15 ( ν,t) x CN 1010 J/m 2 Φ K K K K 600 K ν x seg -1 Figura: Flujo monocromático de la radiación del cuerpo negro, se observa que cada isoterma presenta un máximo que se desplaza progresivamente en la dirección de las altas frecuencias, a medida que aumenta la temperatura.

16 Para determinar la posición del máximo en función de la temperatura, impondremos la condición de máximo dφ CN (ν, T ) ν=νm = 0 o dφ CN (λ, T ) λ=λm = 0 según el caso, con el resultado: x máx = hν máx kt = 2, λ máx T = 0, m K ley de desplazamiento de Wien. Es preciso resaltar que las distribuciones Φ CN (ν, T ) y Φ CN (λ, T ) no son idénticas, de manera que sus respectivos máximos no se corresponden el uno con el otro.

17 El flujo total hemisférico del cuerpo negro es: = 2πh c 2 Φ CN (T ) = 0 con ζ(4) = π 4 /90 ν 3 0 e hν/kt 1 Φ CN (T ) = 2π5 k 4 Φ CN (ν, T ) dν = dν = 2πh c 2 que es la ley de Stefan-Boltzmann. ( ) kt 4 3!ζ (4) h 15c 2 h 3 T 4 = σt 4